高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题11 排列组合、二项式定理 文
【2012高考真题精选】
1.【2012高考全国文7】6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有
（A）240种（B）360种（C）480种（D）
720种
2.【2012高考重庆文4】
5
(13)x
-的展开式中3x的系数为
（A）-270 （B）
-90 （C）90 （D）270
3.【2012高考四川文2】
7
(1)x
+的展开式中2x的系数是（）
A、21
B、28
C、35
D、42
4.【2012高考全国文13】
8
)
2
1
(
x
x+
的展开式中2x的系数为____________.
【答案】7
【解析】二项展开式的通项为
k
k
k
k
k
k
k
x
C
x
x
C
T)
2
1
(
)
2
1
(28
8
8
8
1
?
=
=-
-
+
，令2
2
8=
-k，解得3
=
k，所以2
3
2
3
8
4
7
)
2
1
(x
x
C
T=
?
=
，所以2x的系数为7.
5.【2012高考上海文8】在
6
1
x
x
??
-
?
??的二项式展开式中，常数项等于
【答案】－20.
【解析】
r
r
r
r x
x
C
T)
1
(
6
6
1
-
=-
+
=
r
r
r x
C26
6
)1
(-
-
，令r2
6-=0，得r=3。故常数项为3
3
6
)1
(-
C
=－20.
【2011高考真题精选】 （2011·全国卷） 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A ．12种
B ．24种
C ．30种
D ．36种
【答案】 B 【解析】 从4位同学中选出2人有C24种方法，另外2位同学每人有2种选法，故不同的选法共有C24×2×2＝24种，故选B.
（2011·全国卷） (1－x)10的二项展开式中，x 的系数与x9的系数之差为________．
【答案】0
【解析】 展开式的第r ＋1项为Cr 10(－x)r ＝Cr 10(－1)rxr ，x 的系数为－C110，x9的系数为－C910，则x 的系数与x9的系数之差为0.
（2011·湖北卷） ? ??
??x －13x 18的展开式中含x15的项的系数为________．(结果用数值表示) 【答案】17
【解析】 二项展开式的通项为Tr ＋1＝Cr 18x18－r ? ??
??－13x r ＝()－1r ? ????13rCr 18·x18－32r.令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x15的项的系数为()－12? ??
??132C218＝17. （2011·四川卷） (x ＋1)9的展开式中x3的系数是________．(用数字作答)
（2011·重庆卷）(1＋2x)6的展开式中x4的系数是______．
【答案】240
【解析】 ∵(1＋2x)6的展开式中含x4的项为C46(2x)4＝240x4，∴展开式中x4的系数是240.
(2011年高考广东卷文科7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）
A ．20
B ．15
C ．12
D ．10
样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以,21所以这个正五棱柱对角线的条数共有
2021121415=???C C C ,所以选择A.
（2011年高考湖南卷文科16)给定*k N ∈，设函数**:f N N →满足：对于任意大于k 的正整数n ，
()f n n k =-
（1）设1k =，则其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；
（2）设4k =，且当4n ≤时，2()3f n ≤≤，则不同的函数f 的个数为 。
【2010高考真题精选】
（2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
（2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种
甲、乙同组，则只能排在15日，有
24C =6种排法 甲、乙不同组，有112432(1)C C A +=36种排法，故共有42种方法
（2010全国卷1文数）(5)43(1)(1)x x -的展开式 2x 的系数是
(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
【答案】A. 【解析】()13
43234
22(1)(1)1464133x x x x x x x x x ??--=-+---+- ??? 2x 的系数是 -12+6=-6
（2010四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
（A ）36 （B ）32 （C ）28 （D ）24
（2010上海文数）12.在n 行m 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ???--?? ????- ? ???? ?????????????????????? ? ????---?
?中， 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =???。当9n =时，11223399a a a a +++???+= 。
答案：45
解析：11223399a a a a +++???+=1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
（2010上海文数）5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 20 个个体。
答案：20
解析：考查分层抽样应从C 中抽取20102100=?
（2010全国卷2文数）(14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________
【答案】84
【解析】本题考查了二项展开式定理的基础知识
∵ 9191()r r r r T C x x -+=，∴ 923,3r r -==，∴ 3984C =
（2010全国卷1文数）(15)某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
（2010四川文数）(13)(x－
2 x
)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)
（2010湖北文数）11.在
210
(1)
x
-的展开中，4x的系数为______。
【2009高考真题精选】
1.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）
A．8 B．24 C．48 D．120
于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448
?=（个）.故选C.
2.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有
（A）6种（B）12种（C）24种（D）30种
答案：C
解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数
2
4
2
4
C
C=36，再求
出两人所选两门都相同和都不同的种数均为
2
4
C=6，故只恰好有1门相同的选法有24种。
3.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36
4.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
A.120种
B.96种
C.60种
D.48种
【答案】C
【解析】5人中选4人则有
4
5
C
种，周五一人有
1
4
C
种，周六两人则有
2
3
C
，周日则有
1
1
C
种，故共有
4
5
C
×
1
4
C
×
2
3
C
=60种,故选C
5.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为
A．14 B．16 C．20 D．48
【答案】B
【解析】由间接法得
321
624
20416
C C C
-?=-=
，故选B.
6.（2009全国卷Ⅰ文）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种
【答案】D
【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。
解：由题共有
345
2
6
1
3
1
5
1
2
1
6
2
5
=
+C
C
C
C
C
C
，故选择D。
7（2009陕西卷文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为
(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108
答案：C.
解析：首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有
1
4
C
种，再丛剩余3个奇数中选择一个，
从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。则共有
1123
4333
216
C C C A=个
故
选C.
8.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
A.120种
B.96种
C.60种
D.48种
【答案】C
【解析】5人中选4人则有
4
5
C
种，周五一人有
1
4
C
种，周六两人则有
2
3
C
，周日则有
1
1
C
种，故共有
4
5
C
×
1
4
C
×
2
3
C
=60种,故选C
【最新模拟】
1．从10名大学毕业生中选3人，担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56
C．49 D．28
2．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )
A．504种B．960种
C．1008种D．1108种
3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中含有1门相同的选法有( )
A ．6种
B ．12种
C ．16种
D ．24种
4． (1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A ．80
B ．40
C ．20
D ．10
【答案】B
【解析】(1＋2x)5展开式中的第r ＋1项为Tr ＋1＝Cr 5(2x)r ＝2rCr 5xr ，令r ＝2得T3＝40x2，∴x2的系数为40，故选B.
5． (4x －2－x)6(x ∈R)展开式中的常数项是( )
A ．－20
B ．－15
C ．15
D ．20
【答案】C
【解析】Tr ＋1＝Cr 6(4x)6－r·(－2－x)r
＝Cr 6(－1)r2(12－3r)x
令12－3r ＝0，∴r ＝4，∴T5＝C46＝15.
6．若(x2－1ax )9(a ∈R)的展开式中x9的系数是－212，则??0
a sinxdx 等于( ) A ．1－cos2
B ．2－cos1
C ．cos2－1
D ．1＋cos2
【答案】A 【解析】由题意得Tr ＋1＝Cr 9(x2)9－r(－1)r(1ax
)r ＝(－1)rCr 9x18－3r 1ar
，令18－3r ＝9得r ＝3， 所以－C391a3＝－212
，解得a ＝2， 所以??0
2sinxdx ＝(－cosx)|20＝－cos2＋cos0＝1－cos2. 7．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A ．12种
B ．24种
C ．30种
D ．36种
【答案】B
【解析】从4人中任选2个选修甲课程共有C24＝6种选法．
其余2人各自从乙、丙课程中任选1门有C12·C 12＝4种选法，根据分步计数原理共有6×4＝24种选法．
8． (x ＋a x )(2x －1x
)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A ．－40
B ．－20
C ．20
D ．40
【答案】D
【解析】依题意：(1＋a)(2－1)5＝2，得a ＝1.
9．设(x －1)21＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
10．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
【答案】14
【解析】依题意：①一个2三个3的四位数有4个；②两个2两个3的四位数有C24＝6个；③三个2一个3的四位数有4个，合计14个．
11．从集合{O ，P ，Q ，R ，S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法种数是________(用数字作答)．
12．若(x －
a x2
)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________． 【答案】4 【解析】依题意，通项Tr ＋1＝Cr 6x6－r·(－
a x2)r ＝(－1)r·C r 6x6－3r·a r 2
. 当r ＝2时，为常数项，此时有：C26·a＝60，∴a ＝4.
13．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种选法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
14．在二项式(x＋
1
24
x
)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最
大的项．
15．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个不同的四位偶数？
(3)可组成多少个能被3整除的四位数？