2007年全国数学竞赛模拟试题(一)
2007年全国数学竞赛模拟试题(一)
一、选择题
1.已知有理数x 、y 、z 两两不等，则y x x z x z z y z y y x ------,,中负数的个数是（ ） A 1个 B 2个 C3个 D 4个
2.把10个相同的小正方体按如图的位置堆放，他的外表会有若干个小正方 形，如果将图中表有字母P 的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形的个数与搬动前相比（ ） A 不增不减 B 减少1个 C 减少2个 D 减少3个
3.一椭圆形地块，打算分A 、B 、C 、D 四个局域栽种观赏植物，要求同一种区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现在有4种不同的植物可供选择，那么所有的种栽方案的个数为（ ）
A 66
B 72
C 60
D 84
4.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写下已经写过的数的约数，最后不能写得为失败者，如果甲写第一个，甲要必胜，甲应写数字（ ）
A 10
B 9
C 8
D 64
5. 如图, 边长为12m 的正方形池塘的周围是草地, 池塘边D C B A ,,,处各有一棵树, 且===CD BC AB 3m. 现用长4m 的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上, 为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在（ ）
A A 处
B B 处
C C 处
D D 处
6.某台球桌为如图所示的长方形ABCD , 小球从A 沿ο45角击出, 恰好经过5次碰撞到达B 处. 则BC AB :等于（ ）
A 1:2
B 2:3
C 2:5
D 3:5
7.对于方程553222=-b a , 共有几对整数解（ ）
A 0
B 1
C 3
D 5
8.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和m ，圆心距为n ，且2和m 都是方程x 2-10x+n=0的两根，
则两圆的位置关系是( )
A 相交
B 外离
C 内切
D 外切
二、填空题
9.若53=a ，85=a ，并且有正整数n 满足721=++++n n n a a a ，则=2005a ．
A D
B
C P
A B C D
第6题 第5题 第3题 第2题
10.已知x 、y 是实数且满足0222=-++y xy x ，设M=2
2y xy x +-，则M 的取值范围是 ． 11.只用圆规度量∠XOY 的度数，方法是：以顶点O 为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A ，B （如图），在这个圆上顺次截取?????AB
BC CD DE EF =====L ,这样绕着圆一周周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m 次截得的弧的末端恰好与点A 重合（m >n ），那么∠XOY 的度数等于 .
12．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a ，b 的正方形拼成一个大正方形. 图中Rt △ABC 的斜边AB 的长等于 （用a ，b 的代数式表示）.
13.如图，正方形ABCD 的边长为1，点M 、N 分别为BC 、CD 上的动点，且满足△CMN 的周长为2，则∠MAN ＝_______度.
14.在直角坐标系中有三点A(0,-1),B(1,3) C(2,6).已知直线y=ax+b 上横坐标为0，1，2a,b 的值使达到最小值222CF BE AD ++ .
三、解答题 15.物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心. 例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等.
（1） 你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2） 现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻 度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）.
O G F E D
C B A b B C
A 第11题 第12题 第13题
16. 甲、一辆汽车零售商（以下分别简称甲、乙）向某品牌汽车生产厂订购一批汽车，甲开始订购的汽车数量是乙订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲从其所定的汽车中转让给乙6辆，在提车时，生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆，最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍. 试问：甲、乙最后所购的汽车总数至多是多少辆？又至少是多少辆？
17.如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的
?AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G.
（1）当点P在
?AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不
变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG∶PG∶HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。
G
B
P
A
H
O
18.如图,在直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(1,0),点B 在x 轴上且在A 点的右侧,OA=AB,分别过点A 、B 作x 轴的垂线,与二次函数2
y x =的图象交于C 、D 两点,分别作y 轴的垂线,交y 轴于点E 、F,直线CD 交y 轴于点H. (1)验证:29OACE S S =矩形梯形ECDF ：：；
(2)如果点A 的坐标改为(t,0)(t>0),其它条件不变,(1)题的结论是否仍然成立?请说明理由.
(3)如果点A 的坐标改为(t,0)(t>0),二次函数2
y x =改为2y ax =(a>0),其它条件不变,记点C 、D 的横坐标分别为C D x x ，，点H 的坐标记为H y .试证明: 1C D H x x y a
?=-
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