浅谈方程实根个数的研究性学习
6中国科教创新导刊中国科教创新导刊I 2008N O .31
C hi na Educa t i on I nnov at i on H er al d 理论前沿
研究性学习是指学生在教师指导下,
从自然、社会和生活中选择和确定专题进
行研究,并在研究过程中主动地获取知识、
应用知识、解决问题的学习活动。开展研究性学习活动可以培养学生的创新精神和
实践能力,顺应了时代对学校教育改革的要求。1问题的背景引理1对于实系数的一元二次方程（a ≠0）,定义判别
式,(1)如果△＞0,那么方程有两个不相等的实根；(2)如果△=0,那么方程只有一个实根；(3)如果△＜0,那么方程没有实根。
对于一元三次方程,其中a,b,c,d 都是实数且a ≠0,令化为y 3+p y +q =0,其
中
,,使用代数方法,有卡当公式。引理2对于实系数的一元三次方程x 3+px+q=0来说。(1)如果,那么方程只有一个实根；(2)如果,那么方程有两个不相等的实根；(3)
如果,那么方程有三个互不相等的实根
,,。
一元三次方程的求解除了求根公式以
外,还有很多求根方法,其中之一是笛卡儿
方法,它是利用平面解析几何的理论,通过
圆与抛物线y=x 2的交点来求解一元三次
方程（和一元四次方程）。
2问题的提出
引理3一次函数f(x)=ax+b (a ≠0)时,
无论a,b 取何值(a ≠0),f(x)图象始终与x 轴
只有一个交点,即f (x)有且只有一个零点；二次函数时(a ≠0),定义判别式。二次函数有两个不同零
点的充要条件是△＞0；有一个零点的充要
条件是△=0；没有零点的充要条件是△＜
0。
我们知道,一元一次方程和一元二次
方程的实根个数可由一次函数和二次函数
的性态来确定,自然地引导或启发学生提
出问题：如何利用三次多项式函数的性态
来确定三次多项式函数的零点个数或一元
三次方程的实根个数？
3指导学生制订研究计划,撰写开题
报告
教师介绍了问题的背景,提出了问题
后首先对教学班级进行研究性学习分组。
分组的原则是三名至四名学生一小组,优
劣互补,即小组中有男生也有女生、有学
习成绩好中差之分的同学、有组织协调能
力强的同学、有敢想敢说的同学、有埋头
苦干的同学、当然也要有会写的同学。分
组后,教师要让各小组的成员思考为什么
提出该课题？对该课题打算怎样实施？要
求各小组在此基础上提出研究计划,收集
或提供有关文献资料,撰写开题报告。
4评价研究计划的可行性、合理性
对各小组写出开题报告教师要一一审
查,对每小组的研究计划教师要与该组学
生面对面讨论。许多小组的研究计划不全面,其中最普遍的问题是不可实施,因为学
生们没有研究数学问题的经历,对此教师
不要批评而要鼓励。教师要告诉学生研究
计划在于能否实施。很多小组的学生会简
单的认为由三次函数的图形就可以确定一
元三次方程实根的个数,实际并非如此。
教师要引导学生思考二次函数的性态可以
通过导数这一工具来定量研究,从而引导
浅谈方程实根个数的研究性学习
吴小银
（江苏省如东县马塘中学江苏如东226401）
摘要：以方程实根个数的研究性学习为例，展现了整个研究性学习的教学设计、资料收集、整理与分析、发现一元三次方程实根个数的充要条件的全过程。关键词：一元三次方程实根个数函数导数零点
中图分类号：G622文献标识码：A 文章编号：1673-9795(2008)11(a )-0162-01
学生通过使用导数定量研究三次函数来掌握三次函数的性态。教师还要提醒学生三次函数无最大值与最小值,给学生介绍一些新概念——极值（包括极大值和极小值）、极值点（取得极值的点,包括极大值点和极小值点）,告诉学生极大值是局部最大值,而极小值局部最小值,指出极值点和极值可由导数定量描述。5课题研究中检查与指导根据各小组的研究计划,检查进度,督促做好分析或观察。对困难的小组要及时指点,要求各小组组长至少在实施中期主动向指导教师汇报或请教一次。6论文写作指导和结题评价对研究论文的写作,教师要指导学生用文字表达研究的成果,要求各小组把研究的内容与结果一步一步的写出,强调逻辑性与条理性。对每个小组,要求提供开题报告、研究笔记、研究论文、结题报告,教师要认真审阅并给出书面评价。7结语对于研究性学习,通常先由教师简要讲解,主要是提出问题,适当介绍问题的背景,介绍主要的数学理论和研究方法；然后让学生自己动手去做,自己去尝试,去观察,通过观察得出结论。教师在学生动手研究中要密切了解学生的思维进程,对误入歧途的学生或小组及时帮助,对遇到困难的学生或小组加以引导,对问题研究意见不统一的小组要通过梳理各种意见而统一意见,决不可放任自流。对学生的论文教师要认真批改,写出评语,给出成绩。论文可从纵横两方面批改,纵方面看文章内容的份量、条理；横方面看研究的思路、过程、结果。对论文的更高的标准是创造性。对于有创造性的论文,要给以高分作为鼓励。教师批改论文之后,要安排时间,对课题研究中出现的问题,包括优点和缺点,进行评讲。同时让学生们参加讨论,找出研究性学习成功的经验,分析研究性学习不足的原因。必要时让成功小组的学生们介绍经验,汇报研究性学习。总之,对研究性学习如何教学、如何指导进行研究与教学实践,必将推动中学数学新课程的教学指导思想、教材建设和教学方法等工作的深入开展,为全面提高中等数学教育质量打下良好的基础。12Chi na E ducat i on nnovat i on H e r al d