圆的垂径定理中考分类汇编

2013中考全国100份试卷分类汇编

圆的垂径定理

1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）.

A.24

B.28

C.52

D.54

答案：D ．

考点:垂径定理与勾股定理.

点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.

2、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，3AC =，4BC =，以点C 为

圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A.

95 B. 245 C. 185 D. 52

答案：C

解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝4

5

，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝CE AC ，即453

CE

=，所以，

CE ＝125

，AE ＝95，所以，AD ＝185

3、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】

（A ）AG BG = （B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠

【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。由题可知：EF CD ⊥，

又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。因为

ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧 AC ，根据同弧所对的圆周角相等

可知（D ）一定正确。

【答案】C 4、（2013?泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）

C

A D

B

A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm

考点：垂径定理；勾股定理．

专题：分类讨论．

分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．

解答：解：连接AC，AO，

∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，

∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，

当C点位置如图1所示时，

∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，

∴OM===3cm，

∴CM=OC+OM=5+3=8cm，

∴AC===4cm；

当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，

∵OC=5cm，

∴MC=5﹣3=2cm，

在Rt△AMC中，AC===2cm．

故选C．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

5、（2013?广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）

A．

cm B．5cm C．4cm D．

cm

考点：垂径定理；勾股定理．

分析：

连接AO，根据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，根据勾股定

理即可求得x的值．

解答：解：连接AO，

∵半径OD与弦AB互相垂直，

∴AC=AB=4cm，

设半径为x，则OC=x﹣3，

在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，

即x2=42+（x﹣3）2，

解得：x=，

故半径为cm．

故选A．

点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般．

6、（2013?绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）

A．4m B．5m C．6m D．8m

考点：垂径定理的应用；勾股定理．

分析：连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA=5m，根据CD=8m，求出OD=3m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．

解答：解：连接OA，

∵桥拱半径OC为5m，

∴OA=5m，

∵CD=8m，

∴OD=8﹣5=3m，

∴AD===4m，

∴AB=2AD=2×4=8（m）；

故选；D．

点评：此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．

7、（2013?温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）

A．B．C．D．

考点：垂径定理；勾股定理

分析：

根据垂径定理可得AC=BC=AB，在Rt△OBC中可求出OB．

解答：解：∵OC⊥弦AB于点C，

∴AC=BC=AB，

在Rt△OBC中，OB==．

故选B．

点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．

8、（2013?嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）

A．2B．8C．2D．2

考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．

专题：探究型．

分析：先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE 中，根据勾股定理即可求出CE的长．

解答：解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，

∴AC=AB=4，

设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，

在Rt△AOC中，

∵AC=4，OC=r﹣2，

∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，

∴AE=2r=10，

连接BE，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ABE=90°，

在Rt△ABE中，

∵AE=10，AB=8，

∴BE===6，

在Rt△BCE中，

∵BE=6，BC=4，

∴CE===2．

故选D．

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

9、（2013?莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）

A．B．C．D．3

2

考点：圆锥的计算．

分析：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．

解答：解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，

由折叠的性质可知，OD=OC=OA，

由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，

同理可得∠B=30°，

在△AOB中，由内角和定理，

得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°

∴弧AB的长为=2π

设围成的圆锥的底面半径为r，

则2πr=2π

∴r=1cm

∴圆锥的高为=2

故选A．

点评：本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．

10、（2013?徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）

A．10 B．8C．5D．3

考点：垂径定理；勾股定理．

专题：探究型．

分析：连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．

解答：解：连接OC，

∵CD⊥AB，CD=8，

∴PC=CD=×8=4，

在Rt△OCP中，

∵PC=4，OP=3，

∴OC===5．

故选C．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径

OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是

A. 4

B. 5

C. 6

D. 8

12、（2013?宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）

A．B．A F=BF C．O F=CF D．∠DBC=90°

考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．

分析：根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．

解答：解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，

∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，

A、=，正确，故本选项错误；

B、AF=BF，正确，故本选项错误；

C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；X Kb1. Co m

D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；

故选C．

点评：本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般．

13、（2013?毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O 的半径（）

A．5B．10 C．8D．6

考点：垂径定理；勾股定理．

专题：探究型．

分析：连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度．

解答：解：连接OB，

∵OC⊥AB，AB=8，

∴BC=AB=×8=4，

在Rt△OBC中，OB===．

故选A．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

14、（2013?南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，

∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（）

A．4B．5C．4D．3

考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．

专题：探究型．

分析：

先根据∠BAC=∠BOD可得出=，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出

DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．

解答：

解：∵∠BAC=∠BOD，

∴=，

∴AB⊥CD，

∵AE=CD=8，

∴DE=CD=4，

设OD=r，则OE=AE﹣r=8﹣r，

在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r，

∵OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8﹣r）2，解得r=5．

故选B．

点评：本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

15、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）

A.3

B.4

C.5

D.7

分析：过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长．

解：如图所示：

过点O作OD⊥AB于点D，

∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，

∴BD=AB=×4=2，

在Rt△BOD中，OD===．

故选C．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键

16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

考点：垂径定理的应用；勾股定理．

分析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r

﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．

解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，

∵OD⊥AB，

∴AD=AB=×8=4cm，

设OA=r，则OD=r﹣2，

在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，

解得r=5cm．

故选C．

点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

17、（2013?内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为24．

考点：一次函数综合题．

分析：根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．

解答：解：∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），

∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，

∵点D的坐标是（3，4），

∴OD=5，

∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），

∴圆的半径为13，

∴OB=13，

∴BD=12，

∴BC的长的最小值为24；

故答案为：24．

点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．

18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的

点，在以下判断中，不正确

．．．的是（）

A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。

B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。

C、当PO⊥AC时，∠ACP=300.

D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形。

19、（2013?宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为10π．

考点：扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．

专题：综合题．

分析：根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．解答：解：

∵弦AB=BC，弦CD=DE，

∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，

∴∠BOD=90°，

过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，

则BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°，

在四边形OFCG中，∠FCD=135°，

过点C作CN∥OF，交OG于点N，

则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，

∴△CNG为等腰三角形，

∴CG=NG=2，

过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2，

在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，

∴OG=ON+NG=6，

在Rt△OGD中，OD===2，

即圆O的半径为2，

故S阴影=S扇形OBD==10π．

故答案为：10π．

点评：本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．

20、（2013?宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2cm．

考点：垂径定理；勾股定理．

分析：通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．

解答：解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，

∵OA=2OD=2cm，

∴AD===cm，

∵OD⊥AB，

∴AB=2AD=cm．

点评：本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．

21、（2013?包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB= 28度．

考点：圆周角定理；垂径定理．

分析：

根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC，继而得出答案．

解答：解：∵OB⊥AC，

∴=，

∴∠ADB=∠BOC=28°．

故答案为：28．

点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．

22、（2013?株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC 的度数是48度．

考点：垂径定理．

分析：根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案．解答：解：∵AB是⊙O的直径，

∴OA=OC

∵∠A=42°

∴∠ACO=∠A=42°

∵D为AC的中点，

∴OD⊥AC，

∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．

故答案为：48．

点评：本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线．

23、（2013?黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半

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考点：垂径定理；勾股定理．

专题：探究型．

分析：首先连接OC，由M是CD的中点，EM⊥CD，可得EM过⊙O的圆心点O，然后设半径为x，由勾股定理即可求得：（8﹣x）2+22=x2，解此方程即可求得答案．

解答：解：连接OC，

∵M是CD的中点，EM⊥CD，

∴EM过⊙O的圆心点O，

设半径为x，

∵CD=4，EM=8，

∴CM=CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x，

在Rt△OEM中，OM2+CM2=OC2，

即（8﹣x）2+22=x2，

解得：x=．

∴所在圆的半径为：．

故答案为：．

点评：此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

24、（2013?绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为2．

考点：垂径定理；勾股定理．

专题：计算题．

分析：连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．

解答：

解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=1，

∵OC⊥AB，

∴D为AB的中点，

则AB=2AD=2=2=2．

故答案为：2．

点评：此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．

25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，

若⊙O 的半径为5

2

，CD=4，则弦AC的长为．

考点：垂径定理；勾股定理。切线的性质。

分析：：本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。

解答：连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2，由于CD∥AB得EOA三点共线，连OC,

在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=3

2

,从而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股

定理得AC=25

26、（2013?张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=80°．

考点：圆周角定理；垂径定理．

分析：

根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC，继而得出答案．

解答：解：∵，⊙O的直径AB与弦CD垂直，

∴=，

∴∠BOD=2∠BAC=80°．

故答案为：80°．

点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．

27、（2013?遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=52°度．

考点：圆周角定理；垂径定理．

分析：

由OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，根据垂径定理的即可求得：=，又由圆周角定理，即可求得答案．

解答：解：∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，

∴=，

∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°．

故答案为：52°．

点评：此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

28、（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，

且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，

直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，

则GE+FH的最大值为．

考点：此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。

解析：本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接OA，OB，

因为∠ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以OA=OB=AB=7，因为E、F中AC、BC的中点，

所以EF=

AB

2

1=3.5，因为GE+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值，所以当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.5

29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P

Θ与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），P

Θ的半径为

13，则点P的坐标为____________.

分析：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出

OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．

解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，

∵A（6，0），PD⊥OA，

∴OD=OA=3，

在Rt△OPD中，

∵OP=，OD=3，

C

A B

C

G

H

E F

第16题图

∴PD===2，

∴P（3，2）．

故答案为：（3，2）．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键

30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。

解析：

（2013?白银）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．

（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；

（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．

考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理．

专题：计算题．

分析：（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值；

（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，

由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到

∠BAD+∠OAE=90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线．

解答：解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，

∴AE=BE=AB=4，

在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，

∴OE==3，

∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2，

在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，

∴tan∠BAC===；

（2）AD与⊙O相切．理由如下：

∵半径OC垂直于弦AB，

∵AC弧=BC弧，

∴∠AOC=2∠BAC，

∵∠DAC=∠BAC，

∴∠AOC=∠BAD，

∵∠AOC+∠OAE=90°，

∴∠BAD+∠OAE=90°，

∴OA⊥AD，

∴AD为⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理．

31、（2013?黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠P=3

5

，求⊙O的直径．

考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．

专题：几何综合题．

分析：

（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；

（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=3

5

，所以可以求得圆的直径．

解答：（1）证明：∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C

∴∠1=∠P

∴CB∥PD；

（2）解：连接AC

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

又∵CD⊥AB，

∴=，

∴∠P=∠CAB，

∴sin∠CAB=3

5

，

即=3

5

，

又知，BC=3，

∴AB=5，

∴直径为5．

点评：本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．

32、（2013?恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C 作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．

（1）求证：CG是⊙O的切线．

（2）求证：AF=CF．

（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．

考点：切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

垂径定理最新中考试题讲解

垂径定理最新中考试题讲解 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例 1 （2015?衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m ，水面宽AB=1.2m ，某天下雨后，水管水面上升了0.2m ，则此时排水管水面宽CD 等于 m ． 考点 垂径定理的应用；勾股定理 分析 先根据勾股定理求出OE 的长，再根据垂径定理求出CF 的长，即可得出结论 解：如图： ∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m ，∴AE=0.8m，∵水管水面上升了0.2m ，∴AF=0.8﹣0.2=0.6m ， ∴CF= m ，∴CD=1.6m．故答案为：1.6． B D

点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键 例2 （2015?遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 考点：垂径定理；勾股定理．. 分析：连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．解：连接OA， ∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm， ∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B． 点评：本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键． 例3 (2015·贵州六盘水，第18题4分)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝米． 考点：垂径定理的应用；勾股定理．.分析：根据垂径定理和勾股定理求解即可．

中考数学分类汇编圆pdf含解析

2008～2019 北京中考数学分类(圆) 一．解答题（共12 小题） 1.在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O 到点A，B，C 的距 离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G 于点D，连接AD，CD． （1）求证：AD＝CD； （2）过点D 作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF 交图形G 于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE 与图形G 的公共点个数． 2.如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC，PD，切点分别为C， D，连接OP，CD． （1）求证：OP⊥CD； （2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP 的长．

3.如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC⊥OA 于点C，过点B 作⊙O 的切线交CE 的延长线于点D． （1）求证：DB＝DE； （2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O 的半径． 4.如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦AC 的中点，连接OF 并延长交于点D，过点D 作 ⊙O 的切线，交BA 的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE 面积的思路． 5.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM，弦CD∥BM，交AB 于点F，且 ＝，连接AC，AD，延长AD 交BM 于点E． （1）求证：△ACD 是等边三角形； （2）连接OE，若DE＝2，求OE 的长． 6.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，⊙O 的切线BD 交AC 的延长线于点D，E 是

垂径定理及推论(各省市中考题)

E A B C O 1. (2013 浙江省舟山市) 如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连 结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ▲ ） （A ）215 （B ）8 （C ）210 （D ）213 答案：D 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-29 2. (2013 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是 （A ） 3 （B ） 5 （C ）15 （D ） 17 答案：B 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-24 3. (2013 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．则 下列结论错误．． 的是（ ）． （A ）? ?AD BD = （B ）AF BF = （C ）OF CF = （D ）90DBC ∠=°

答案：C 4.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 2013-09-22 4. (2013 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m. 答案：0.2 4.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013-09-22 5. (2013 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点 D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 C A D B

人教版_2021年中考数学试卷分类汇编解析：圆的有关性质

圆的有关性质 一、选择题 1. (2021兰州，7,4分)如图，在⊙O中，点C 是的中点，∠A＝50o，则∠BOC＝（）。（A）40o（B）45o（C）50o（D）60o 【答案】A 【解析】在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50o。根据垂径定理的推论，OC 平分弦AB 所对的弧，所以OC 垂直平分弦AB，即∠BOC＝90o? ∠B＝40o ，所以答案选A。 【考点】垂径定理及其推论 2. (2021兰州，10,4分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O, 四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC= （） （A）45o（B) 50o (C) 60o (D) 75o 【答案】：C 【解析】：连接OB,则∠OAB＝∠OBA, ∠OCB＝∠OBC ∵四边形ABCO 是平行四边形，则∠OAB＝∠OBC ∴∠ABC＝∠OAB＋∠OBC＝∠AOC ∴∠ABC＝∠AOC＝120o ∴∠OAB＝∠OCB＝60o 连接OD，则∠OAD＝∠ODC，∠OCD＝∠ODC

由四边形的内角和等于360o可知， ∠ADC＝360o－∠OAB－∠ABC－∠OCB－∠OAD－∠OCD ∴∠ADC＝60o 【考点】：圆内接四边形 3. (2021·四川自贡)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（） A．15°B．25°C．30°D．75° 【考点】圆周角定理；三角形的外角性质． 【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数． 【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°， ∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°， ∴∠B=∠C=30°， 故选C． 【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键4. （2021·四川成都·3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（） A．πB．πC．πD．π 【考点】弧长的计算；圆周角定理． 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案． 【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC， ∴∠A=50°，

垂径定理练习题及答案

垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 答案：D ★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：B ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 答案：B ★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ． B ． C ． D ．

答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米 答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D ★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3 答案：C 二.填空题 ★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm 答案：3 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6 ★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米

中考数学试题分类汇编圆

中考数学试题分类汇编 圆 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】

中考数学试题及答案分类汇编圆 一、选择题 1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75° 2．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（） A．50°B．40°C．30°D．25° 3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（） A．55°B．60°C．65°D．70° 4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（） A．∠A=∠D B． =C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D 5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（） A．50°B．20°C．60°D．70° 6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（） A．32°B．38°C．52°D．66° 7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50° 8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（） A．15°B．18°C．20°D．28° 9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（） A．30°B．45°C．60°D．70° 10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（） A．80°B．90°C．100°D．无法确定 11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°

初中数学垂径定理中考题精选

初中数学垂径定理练习 一．选择题（共13小题） 1．（2015?大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（） A．cm B．9 cm C．cm D．cm 2．（2015?东河区一模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形的ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（） A．6B．13 C．D．2 3．（2015?上城区一模）一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相同的长方形，若长方形长和宽的比值为2：1，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（） A．2：1 B．：1 C．2：1 D．：1 4．（2014?乌鲁木齐）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA 最大时，PA的长等于（） A．B．C．3D．2 5．（2014?安溪县校级二模）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）

A．点P B．点Q C．点R D．点M 6．（2014?简阳市模拟）如图，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是（） A．3B．6C．9D．12 7．（2014?宝安区二模）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（） A．B．C．6D． 8．（2014?河北区三模）如图，以（3，0）为圆心作⊙A，⊙A与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C、D，P为⊙A上不同于C、D的任意一点，连接PC、PD，过A点分别作AE⊥PC 于E，AF⊥PD于F．设点P的横坐标为x，AE2+AF2=y．当P点在⊙A上顺时针从点C运到点D的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象是（）

中考数学试题分类汇编圆[1]

中考数学试题分类汇编 圆 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

中考数学试题及答案分类汇编圆 一、选择题 1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75° 2．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（） A．50°B．40°C．30°D．25° 3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（） A．55°B．60°C．65°D．70° 4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（） A．∠A=∠D B． =C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D 5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（） A．50°B．20°C．60°D．70° 6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（） A．32°B．38°C．52°D．66° 7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50° 8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（） A．15°B．18°C．20°D．28° 9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（） A．30°B．45°C．60°D．70° 10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（） A．80°B．90°C．100°D．无法确定 11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°

垂径定理及推论(2020年各省市中考题)

1. (2013 浙江省舟山市) 如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ▲ ） （A ）2 （B ）8 （C ）2 （D ）答案：D 07539 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-29 2. (2013 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是 （A ） 3 （B ） 5 （C ）15 （D ） 17 答案：B 6232 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-24 3. (2013 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．则下列结论错误．． 的是（ ）． （A ）??AD BD = （B ）AF BF = （C ）OF CF = （D ）90DBC ∠=° 答案：C 7704 4.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 2013-09-22 4. (2013 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m. 答案：0.2 59477 4.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013-09-22 5. (2013 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 9 B. 24 C. 185 D. 52 答案：C 84700 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-22 6. (2013 湖北省黄冈市) 如图，M 是CD 的中点，EM CD ⊥， 若48CD EM ==，，则?CED 所在圆的半径为 ． 答案：174 B

2019年中考数学试题分类汇编28：圆的基本性质

一、选择题 1. （2019滨州，6，3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的 大小为（） A．60°B．50°C．40°D．20° 【答案】B 【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B． 【知识点】圆周角定理及其推论 2. (2019聊城,8,3分)如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE, 如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为 A.35° B.38° C.40° D.42° 第8题图 【答案】C 【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C. 【知识点】三角形角和定理,圆周角定理 3. （2019省潍坊市，11，3分）如图，四边形ABCD接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB

于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=3 5 ，DF=5，则BC的长为（） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【思路分析】连接BD，先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE，从而可得AF=DF=5，根据sin∠CAB=3 5 ，求 得EF和AE的长度，再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB，根据sin∠CAB=3 5 求得BC的长度． 【解题过程】连接BD． ∵AD=CD， ∴∠DAC=∠ACD． ∵AB为直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB， ∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD． ∵∠ABD=∠ACD， ∴∠DAC=∠ADE． ∴AF=DF=5． 在Rt△AEF中， sin∠CAB= 3 5 EF AF ∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．

九年级数学上垂径定理练习题

B F E O D C A 垂径定理综合训练习题 一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。 （1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点， AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. A B C D O A B C D O O A E F

变式 2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 （二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径。. A C B D O C A D E

2020中考数学圆试题分类汇编

一、选择题 1、（2020最新模拟山东淄博）一个圆锥的高为33，侧面展开图是 半圆，则圆锥的侧面积是（ ）B （A ）9π （B ）18π （C ）27π （D ）39π 2、（2020最新模拟四川内江）如图（5），这 是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB ∠为120o ，OC 长为8cm ，CA 长为12cm ，则阴影部分的面积为（ ） A ．264πcm B ．2112πcm C ．2144πcm D ．2152πcm 解：S ＝ 212020360 π?－ 21208360 π?＝2112πcm 选（B ）。 3、（2020最新模拟山东临沂）如图，在△ABC 中， AB ＝2，AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与 边 BC 交于点D ，则AD 的长为（ ）。A A 、55 2 B 、 554 C 、35 2 D 、354 4、（2020最新模拟浙江温州）如图，已知ACB ∠是O e 的圆周角，50ACB ∠=?，则圆心角AOB ∠是（ ）D A ．40? B. 50? C. 80? D. 100? 5、（2020最新模拟重庆市）已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是（ ）C （A ）相交 （B ）内含 （C ）内切 （D ）外切 A C O B 图（5）

6、（2020最新模拟山东青岛）⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）．C A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含 7、（2020最新模拟浙江金华）如图，点A B C ，，都在 O e 上，若34 C o ∠，则AOB ∠的度数为（ ）D A ．34o B ．56o C ．60o D ．68o 8、（2020最新模拟山东济宁）已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其全面积为（ ）。C A 、π B 、3π C 、4π D 、7π 9、（2020最新模拟山东济宁）如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向 行 走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（ ）。A A 、52° B 、60° C 、72° D 、76° 10、（2020最新模拟福建福州）如图2，O e 中，弦 AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则O e 的半径长 为（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm C 11、（2020最新模拟双柏县）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，PB ＝2 cm ，BC ＝8 cm ，则PA 的长等于（ ） A ．4 cm B ．16 cm O C B A O B A 图2 A ·O P C B

(完整word版)垂径定理典型例题及练习

典型例题分析： 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的 最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF. O A E F

例题3、度数问题 1、已知：在⊙O中，弦cm 12 = AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径. 2、已知：⊙O的半径1 = OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。 例题4、相交问题 如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长. 例题5、平行问题 在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离. 例题6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的 半径分别为b a,.求证：2 2b a BD AD- = ?. 例题7、平行与相似 已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于 CD AE⊥E，CD BF⊥于F.求证：FD EC=. A B D C E O

2013年中考数学100份试卷分类汇编：圆的综合题

2013中考全国100份试卷分类汇编 圆的综合题 1、（2013?温州）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2=，则S3﹣S4的值是（） B ， ， π π

3、（2013?温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm），从点N沿折线NF﹣FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则CN，AM的长分别是18cm、31cm． CB=65cm AB=42cm+r=CB=65cm

4、（2013四川宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4． 其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）． 考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理． 分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED； ②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2； ③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=； ④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积， 继而求得S△DEF=4． 解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴=，DG=CG， ∴∠ADF=∠AED， ∵∠F AD=∠DAE（公共角）， ∴△ADF∽△AED； 故①正确； ②∵=，CF=2， ∴FD=6， ∴CD=DF+CF=8，

垂径定理,圆周角定理练习题

C A P O D C E O A D B 九年级 垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 一，填空题 1. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 2.. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。 3. 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。 （2题图 ） （ 1题图 ） （3题图） 4. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。 5. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 6. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） （4题图） (5题图) （6题图） （9题图） 7. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ） 8. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） 9. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 10. 圆的半径等于cm 2，圆内一条弦长 23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________； 11. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm ，D 是AB 边的中点，以点C 为圆心，4cm 为半径作圆。则A 、B 、C 、D 四点在圆内有_____________。

2014年中考数学压轴题分类汇编：与圆有关【含答案】

2014年中考数学分类汇编——与圆有关的压轴题 2014年与圆有关的压轴题，考点涉及：垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理；特殊四边形性质；等.数学思想涉及：数形结合；分类讨论；化归；方程.现选取部分省市的2014年中考题展示，以飨读者. 【题1】（2014年江苏南京,26题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆． （1）求⊙O的半径； （2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值． 【分析】：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径． （2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得t的值．【解】：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CF． ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°． ∵∠C=90°， ∴四边形CEOF是矩形， ∵OE=OF， ∴四边形CEOF是正方形． 设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm， ∴AB==5cm． ∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r， ∴4﹣r+3﹣r=5，

垂径定理经典练习题

垂径定理经典练习题

圆 垂径定理 专题练习题 4.如图，AB 是。O 的弦，AB 长为8, P 是。O 上一个动点(不与A , B 重合)，过点0作0C 丄AP 于 点C , 0D 丄PB 于点D ,则CD 的长为___. (1) 请写出四个不同类型的正确结论； (2) 若 BE = 4, AC = 6,求 DE 的长. 6. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 0B = 10,垂径定理：垂直于弦的直径 _____ 这条弦，并且 ____ 弦所对的两条弧. 5 cm 的OO 中，弦 AB = 6 cm , OC 丄AB 于点 C ,贝U OC =( ) 4 cm C . 5 cm D . 6 cm 已知。O 的半径为5,弦AB = 6, M 是AB 上任意一点，则线段 0M 的长可能是( ) B . 3.5 C . 4.5 D . 5.5 5.如图，圆内接四边形 于点E. ABDC , AB 是O O 的直径，OD 丄BC 1如图, 3.

水面宽AB= 16,则截面圆心O到水面的距离0C是（） A. 4 B. 5 C . 6 D . 8 7.为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm）,则该铁球的直径为 & H5N1亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的传染病，为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫； 同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理.现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，0为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在免疫区内有多少千米？ 10.如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的。O 交于点G, B, F, E，GB = 8 cm，AG= 1 cm，DE = 2 cm，贝U EF = __ cm. MN = 10，PR= 6,贝U MP =

2020年部编人教版中考数学试题分类汇编：圆

2020中考分类圆 一．选择题 （2020?嘉兴）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 考点：中心对称图形． 分析：根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解． 解答：解：第一个图形是中心对称图形， 第二个图形不是中心对称图形， 第三个图形是中心对称图形， 第四个图形不是中心对称图形， 所以，中心对称图有2个． 故选：B ． 点评：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 1.（菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=3x 经过点A,作AB ⊥x 轴于点B ，将⊿ABO 绕点B 逆时针旋转60°得到⊿CBD ，若点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标为A )2,3.(D ) 1,3.(C )3,2.(B ) 3,1.(A ---- 1.（福建龙岩）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了（ ） A ．2周 B ．3周 C ．4周 D ．5周 2.（兰州）如图，经过原点O 的⊙P 与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 是劣弧

上一点，则∠ACB= A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定 3.（兰州）如图，⊙O 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点（P 与A ，B ，C ，D 不重合），过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径长为 A. 4π B. 2π C. 6π D. 3 π 4.(广东) 如题9图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D. 【解析】显然弧长为BC ＋CD 的长，即为6，半径为3，则16392 S =??=扇形. 5.（广东梅州）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙Or 切线，A 为切点，BC 经过圆心.若∠B=20°，则∠C 的大小等于（ ） A ．20° B ．25° C ． 40° D ．50° 考点：切线的性质．. 分析：连接OA ，根据切线的性质，即可求得∠C 的度数．

中考数学试卷分类汇编圆

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2015中考数学真题分类汇编：圆（2） 一．选择题（共30小题） 1．（2015宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（） A．88°B．92°C．106°D．136° 2．（2015贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B． 1 C． 2 D．3 3．（2015河北）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（） A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE 4．（2015台湾）如图，坐标平面上有A（0，a）、B（﹣9，0）、C（10，0）三点，其中a＞0．若∠BAC=95°，则△ABC的外心在第几象限（） A．一B．二C．三D．四 5．（2015湖北）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为 （） A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°

6．（2015张家界）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（） A．相离B．相交 C．相切D．以上三种情况均有可能 7．（2015齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（） A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5 8．（2015梅州）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（） A．20°B．25°C．40°D．50° 9．（2015嘉兴）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（） A．B． 2.4 C．D． 10．（2015黔西南州）如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（） A．150°B．130°C．155°D．135°

中考数学专题复习及练习：圆-垂径定理

1.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5 cm,CD=8 cm,则AE=( ) A.8 cm B.5 cm C.3 cm D.2 cm 2.如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为点E,∠A=15°,半径为2,则弦CD的长为( ) A.2 B.-1 C.√2 D.4 3.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( ) A.√15 B.2√5 C.2√15 D.8 4.如图,已知☉O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的长为( ) A.6 B.8 C.5√2 D.5√3 5.如图,在☉O中,弦AB=8 cm,OC⊥AB,垂足为C,OC=3 cm,则☉O的半径 为__ __cm.

6.已知:如图,AB是☉O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且OE=OF. 7. 如图,☉O的半径为5,AB为弦,OC⊥AB,交AB于点D,交☉O于点C,CD=2,求弦AB的长. 8. 如图,☉O的直径CD=20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为点M,OM∶OC= 3∶5.求AB的长度. 1.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,锯口深一寸,锯道长一尺.问径几何?” 译为:“今有一圆柱形木材埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯木料,锯口深一寸(ED=1寸),锯道长一尺(AB=1尺=10寸).问这块圆形木材的直径是多少?” 如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的直径是( )

中考数学试题分类汇编 圆中的计算(含答案)

x x x （哈尔滨）１．将一个底面半径为5cm ，母线长为12cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 度．150 （2010红河自治州）14. 已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为 120° . （2010红河自治州）23.（本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy 中，O 是坐标原点，点A 在x 正半轴上，OA=312cm ，点B 在y 轴的正半轴上，OB=12cm ，动点P 从点O 开始沿OA 以32cm/s 的速度向点A 移动，动点Q 从点A 开始沿AB 以4cm/s 的速度向点B 移动，动点R 从点B 开始沿BO 以2cm/s 的速度向点O 移动.如果P 、Q 、R 分别从O 、A 、B 同时移动，移动时间为t （0＜t ＜6）s. （1）求∠OAB 的度数. （2）以OB 为直径的⊙O ‘与AB 交于点M ，当t 为何值时，PM 与⊙O ‘ 相切？ （3）写出△PQR 的面积S 随动点移动时间t 的函数关系式，并求s 的最小值及相应的t 值. （4）是否存在△APQ 为等腰三角形，若存在，求出相应的t 值，若不存在请说明理由. 解：（1）在Rt △AOB 中： tan ∠OAB= 3 3 31212= =OA OB ∴∠OAB=30° （2）如图10，连接O ‘P ，O ‘M. 当PM 与⊙O ‘相切时，有∠PM O ‘=∠PO O ‘ =90°， △PM O ‘≌△PO O ‘ 由（1）知∠OBA=60° ∵O ‘M= O ‘ B ∴△O ‘ BM 是等边三角形 ∴∠B O ‘M=60° 可得∠O O ‘P=∠M O ‘ P=60° ∴OP= O O ‘·tan ∠O O ‘ P =6×tan60°=36 又∵OP=32t