数学必修3和选修2-1综合试题
2011年高二数学知识竞赛试题（理科）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知,,,a b c d 为实数，且c d >。则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为( )
65
3.正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，则1D 到平面BD A 1的距离为（ ）
A 、2
3 B 、2
2 C 、3
22 D 、3
32
4.已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为( )
(A)
2
2
(C)
(D)
5.已知双曲线
2
22
1(0)2
x
y b b
-
=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点
0)P y 在该双曲线上，则12PF PF ?
=( )
A. 12-
B. 2- C .0 D. 4
6.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取50名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为1m ，众数为2m ，平均值为x ,则( ) A ． 12m m x == B ．12m m x = 7.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) （A ）-3 （B ）-12 （C ） 13 （D ）2 8.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.115 D. 3716 9.．若直线 t x y +=与曲线 3y =- 有公共点，则t 的取值范围是（ ） A ．[1-．[1-1+．[1- D ．[-1,1+ 10． 一个总体分为A ，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B 层中每个个体被抽到的概率都为 112 ，则总体中的个体数为（ ） A. 100 B.120 C .200 D. 240 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置. 11．命题“对任何x∈R ，()2 240x a x --+>”为假命题则a 的范围___ 12.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为 “抽得为黑桃”，则概率=)(B A P （结果用最简分数表示）。 13.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a ＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则 从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。 14．若对任意0x ＞，2 31 x a x x ≤++恒成立，则a 的取值 范围是 ． 15.曲线C 是平面内与两个定点F 1（-1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数 a 2 (a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的 面积大于 2 1a 2。其中，所 有正确结论的序号是 ．16.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是___ 。 三．解答题：（共六题，写出必要的推理计算与证明过程） 17.（本题10分）已知c ＞0，设p ：函数x y c =在R 上单调递减； q ：不等式2x x c +-＞1的解集为R ，如果“p 或q”为真，且“p 且q”为假，求c 的取值范围。 18.（本小题满分12分） 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A 饮料，另外的2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料。若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格。假设此人对A 和B 饮料没有鉴别能力 （1）求此人被评为优秀的概率 （2）求此人被评为良好及以上的概率。 19．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111 A B C A B C -中，AB =4, 1AA =点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E.（Ⅰ）证明：平面1A D E ⊥平面11AC C A ; （Ⅱ）求直线AD 和平面1A D E 所成角的正弦值。20. （本小题满分12分） 设计算法求 100 9914 313 212 11?+ ???+?+ ?+ ?的值.把程序框图补充 完整，并写出用基本语句编写的程序. 21.（本小题满分12分） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 22．（本小题满分12分） 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点 和短轴的两个端点为顶点的四边 形是一个面积为8 B A B 1 的正方形（记为Q）. （Ⅰ）求椭圆C的方程; （Ⅱ）设过点P(4,0) 的直线l与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。