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§3.2 均值不等式(一)

§3.2  均值不等式(一)
§3.2  均值不等式(一)

1 §3.

2 均值不等式(一)

【学习目标】

1.掌握均值定理的内容及推导;

2.掌握均值不等式的变形,能应用不等式解决简单问题。

【学习重点】:均值定理的推导极其应用

【学习难点】:均值定理的应用

预习案

Ⅰ.自主学习:

认真研读教材P69-71,进行基础知识梳理.

1.均值定理:如果a 、b ∈R+,那么_____________.当且仅当__________时,等号成立.

2. 正数a 、b 的算术平均数为 ;几何平均数为 .

3. 在均值不等式中a 、b 既可以表示数,又可以表示代数式,但都必须保证 ;另外等号成立的条件是 . Ⅱ.预习自测

1.已知x>0,求证:21

≥+x x ,并说明式中等号成立时x 的值.

2.已知ab>0,求证:b a

a b

+有最小值2,并推导出式子取最小值时a 、b 满足的条件.

【问题1】试根据均值不等式写出下列变形形式,并注明所需条件:

(1)a+b ≥ ( );(2)ab ≤ ( );

(3)a 2+b 2 ( ); (4)a b

+b a

( );

(5)x +x 1

( x>0 ); (6)x +x 1

( x<0 )

【问题2】在用均值不等式求最大值和最小值时,必须注意a+b 或ab 是否为 值,并且还需要注意等号是否成立.

3.均值不等式(全国卷1)

第三节:均值不等式 1.★★若正数a b c ,,满足24288c bc ac ab +++=,则2a b c ++的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案:D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ,,满足2228a b c ++=,则a b c + +的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案:D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案:](32, 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数,222a c bc +=,则下列关系中可能成立的是( ) A .a b c >> B .b c a >> C .b a c >> D .a c b >> 答案:C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 ( ) A . B . C . D .9 答案:A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=,则113x y +的最小值是. 答案:4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4

(),()b f b 处的切线斜率的最小值 是( ) A.2 1 答案:A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立,则 的最大值为. 答案:1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件,若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中,的最大值为3,则+的最小值为 A .3 B .1 C .2 D .4 答案:A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量,且1c a c b ?=?= ,则对任意的正实数t ,1||c ta b t ++ 的最小值是( ) A .2 B ..4 D .答案:B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y >,>,若222y x m m x y 8+>+恒成立,则实数m 的取值范围是 A .42m m ≥≤或- B .24m m ≥≤或- C .24m -<< D .42m -<< 答案:D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ,满足221x y xy ++=,则x y +的最大值是 . 答案: ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b

(完整版)均值不等式及其证明

1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一,在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法,这里,我们选了部分具有代表意义的证明方法,其中用来证明平均值不等式的许多结论,其本身又具有重要的意义,特别是,在许多竞赛的书籍中,都有专门的章节介绍和讨论,如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等,这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地,假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数,它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥, 当且仅当12...n a a a ===时,等号成立。 上述不等式称为平均值不等式,或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单,容易记住,但它的证明和应用非常灵活、广泛,有多种不同的方法。为使大家理解和掌握,这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一(归纳法) (1) 当2n =时,已知结论成立。 (2) 假设对n k =(正整数2k ≥)时命题成立,即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么,当1n k =+时,由于

121 1 (1) k k a a a A k +++++= +,1k G +=, 关于121,,...,k a a a +是对称的,任意对调i a 与j a ()i j ≠,1k A +和1k G +的值不改变,因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=,{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤,以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +,得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而,有11k k A G ++≥ 证法二(归纳法) (1) 当2n =时,已知结论成立。 (2) 假设对n k =(正整数2k ≥)时命题成立,即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么,当1n k =+时,由于

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证: a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ,0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证: 31222≥ ++c b a 证:2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 : ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明:∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

高中数学竞赛均值不等式讲义

均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元,即: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数,则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =). 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=,1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=,则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.

均值不等式八法

运用均值不等式的八类拼凑方法 利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式,或者不便于利用题设条件,此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。 一、 拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。 例1 已知01x <<,求函数321y x x x =--++的最大值。 解:()()()()()()2 2 2111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327x x x x x x ++?? ++- ?++=???-≤= ? ? ?? 。 当且仅当 112x x +=-,即13x =时,上式取“=”。故max 32 27 y =。 评注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系, 求“积”的最大值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解: y == 因()()3 2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤= ? ? ? ?? , 当且仅当()2212x x =-,即3 x =时,上式取“= ”。故max 9y =。 评注:将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元,为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知02x <<,求函数()264y x x =-的最大值。 解:() ()()2 2 2 222236418244y x x x x x =-=?-- ()()3 2223 24418818327x x x ??+-+-???≤=???? 。

高等数学中不等式的证明方法

高等数学中不等式的证明方法 摘要:各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系,因此, 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具,而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明,本文主要介绍不等式证明的几种 方法,运用四种通法,利用导数研究函数的单调性,极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题,培养我们的创新精神, 创新思维,使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词:高等数学;不等式;极值;单调性;积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran(https://www.wendangku.net/doc/bc10996103.html, 毕业论文参考网原创论文)ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自:全刊杂志赏析网(https://www.wendangku.net/doc/bc10996103.html,) 原文地址: https://www.wendangku.net/doc/bc10996103.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容,通过解答考研数学中出现的 不等式试题,对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式;中值定理;泰勒公式;辅助函数;柯西 施瓦茨;凹凸性 在高等数学的学习过程当中,一个重点和难点就是不等式的证明,大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手,实际上在许多不等式问题都存在一题多解,针对不等式的证 明,以考研试题为例,总结了几种证明不等式的方法,即中值定理法、辅助函数法、泰勒公

【高中数学】公式总结(均值不等式)

均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 『ps.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和 为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 1 2x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4 x <,求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

第二章 2.2 2.2.4 第一课时 均值不等式

2.2.4 均值不等式及其应用 第一课时 均值不等式 课标要求 素养要求 掌握均值不等式a +b 2≥ ab (a ,b 都是正数).能用均值不等式解决问题. 通过学习均值不等式及其简单应用,重点培养数学运算、逻辑推理素养. 教材知识探究 如图,是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的 “弦图 ”进行设计,颜色的明暗使其看起来像一个风车. 问题 依据会标,你能找到一些相等或不等关系吗? 提示 由图可知 ①a 2+b 2=(a -b )2+2ab ; ②a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,取“=”. 1.算术平均值与几何平均值 (1)两个正数的算术平均值、几何平均值定义

给定两个正数a ,b ,数a +b 2称为a ,b a ,b 的几何平均值. (2)均值不等式 如果条件改为a ≥0,b ≥0,均值不等式仍成立 如果a ,b a =b 时,等号成立. 2.重要不等式 已知a ,b ∈R ,则有 (1)a 2+b 2≥2ab ; (2)(a +b )2≥4ab ; (3)2(a 2+b 2)≥(a +b )2; 当且仅当a =b 时,等号成立. 教材拓展补遗 [微判断] 1.a +b 2≥ab 对任意实数a ,b 都成立.(×) 提示 只有当a ≥0且b ≥0时,a +b 2≥ab 才能成立. 2.若a >0,b >0且a ≠b ,则a +b >2ab .(√) 3.若a >0,b >0,则ab ≤? ????a +b 22 .(√) [微训练] 1.不等式a 2+1≥2a 中等号成立的条件是________. 解析 当a 2+1=2a ,即(a -1)2=0, 即a =1时,等号成立. 答案 a =1 2.当a ,b ∈R 时,下列不等关系成立的是________(填序号). ①b a +a b ≥2;②a -b ≥2ab ; ③a 2+b 2≥2ab ;④a 2-b 2≥2ab . 解析 根据a 2+b 22≥ab ,a +b 2≥ab 成立的条件判断,知①②④错,只有③正确.

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

3.2均值不等式

3.2均值不等式 学习目标 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。 学习过程 一、新课导学 ※ 探索新知 如图,这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。 探究: 1、正方形ABCD 的面积S=__________ 2、四个直角三角形的面积和S ’=______ 3、S 与S ’有什么样的不等关系? 若a,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab ,(当且仅当a=b 时,取“=”号) 思考: (1)该结论成立的条件是什么 ? (2)公式中等号成立的条件是什么? (3)不等式左右两边有何种运算结构? 由此公式,我们可以变形为:22 ,,2 a b a b R ab +∈≤若则 以下不等式成立吗? ,,a b a b a b 如果用、分别代替,又能得到什么结论呢? 此时的需要满足什么条件呢? 均值定理:若a>0 b>0,,(当且仅当a=b 时,等号成立)

2a b ab 我们习惯上,把上述公式写成 +≥ 1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 作用: 当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值;(积定和最小) 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值;(和定积最大) 注意: 在运用均值不等式求最值时,要注意使用条件,即一正,二定,三相等,而在寻找定值时,有时条件不够明显,常通过恰当的拆项,添项,变形等配凑的技巧,化隐为显,使问题快速解决, 常见变形应用: 以下不等式中的,,a b c 均是正实数 1、2()2 a b ab +≤ 2、2222()()a b a b ++≥ 3、2 2 112a a b a a b ++2+b b 24、33 a b c abc ++请熟记以上公式,以后经常用到。 均值不等式的应用 1. 凑系数 例2. 当04<

高中数学讲义 均值不等式

微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识: 1、高中阶段涉及的几个平均数:设()01,2,,i a i n >=L (1)调和平均数:12111n n n H a a a = +++L (2)几何平均数:12n n n G a a a =L (3)代数平均数:12n n a a a A n +++= L (4)平方平均数:222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式:n n n n H G A Q ≤≤≤,等号成立的条件均为:12n a a a ===L 特别的,当2n =时,22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形: (1))2,0a b ab a b +≥>:多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 (2)2 2a b ab +?? ≤ ??? :多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 (3)2 2 2a b ab +≥,本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全平方式也可证明,要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则:“一正二定三等” (1)正:使用均值不等式所涉及的项必须为正数,如果有负数则考虑变形或使用其它方法 (2)定:使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量,例如:当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式,则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ,则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如:上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ,则要将3 x 拆为两个2x ,则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??=

人教版数学高二B版必修53.2均值不等式

课后训练 1.若-4<x <1,则()22222 x x f x x -+=-( ). A .有最小值1 B .有最大值1 C .有最小值-1 D .有最大值-1 2.已知a >b >0,全集I =R ,2a b M x b x ? +?<. 证明:证法一:∵abc =1,且a ,b ,c 为互不相等的正数, 求下列各式的最值: (1)已知x >y >0,且xy =1,求22 x y x y +-的最小值及此时x ,y 的值; (2)设a ,b ∈R ,且a +b =5,求2a +2b 的最小值. 参考答案 1. 答案:D

均值不等式求最值的十种方法

用均值不等式求最值的方法和技巧 一、几个重要的均值不等式 ①,、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②, 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③, 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链: b a 112 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 一、拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。 例1 (1) 当 时,求(82)y x x =-的最大值。 (2) 已知01x <<,求函数321y x x x =--++的最大值。 解:()()()()()()2 2 2111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327x x x x x x ++?? ++- ?++=???-≤= ? ? ?? 。 当且仅当 112x x +=-,即13x =时,上式取“=”。故max 32 27 y =。 评注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系, 求“积”的最大值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解: y ==。 因()()3 2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤= ? ? ? ?? , 当且仅当()2212x x =- ,即x =时,上式取“= ”。故max y =。

不等式的证明方法习题精选精讲

不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质,由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的,对此,不仅要掌握性质的内容,还要掌握性质的证明方法,理解掌握性质成立的条件,把握性质之间的关联。只有理解好,才能牢固记忆及正确运用。 1.不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题,要注意不等式成立的条件,否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1:若0< B .a b a 11>- C .||||b a > D .22b a > 解:∵0<->-b a 。 由b a -< -11,b a 11>,∴(A )成立。 由0<< b a ,||||b a >,∴(C )成立。 由0>->-b a ,2 2 )()(b a ->-,2 2b a >,∴(D )成立。 ∵0<->-a b a , )(11b a a --<-,b a a ->11,∴(B )不成立。 故应选B 。 例2:判断下列命题是否正确,并说明理由。 (1)若0<c ,在2 2c b c a >两边同乘以2 c ,不等式方向不变。∴b a >。 (3)错误。b a b a 1 1,成立条件是0>ab 。 (4)错误。b a >,bd ac d c >?>,当a ,b ,c ,d 均为正数时成立。 2.不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3:下列不等式中不等价的是( ) (1)2232 >-+x x 与0432 >-+x x (2)13 8112++ >++ x x x 与82>x (3)35 7354-+>-+x x x 与74>x (4) 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A .(2) B .(3) C .(4) D .(2)(3) 解:(1)0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 (2)482>?>x x ,44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。

高一数学必修一均值不等式题型归纳

均值不等式题型归纳 一、拼凑求最值 1.函数y =x ·(3-2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________. 2.已知x ≥52,则f (x )=x 2-4x +52x -4 有( ) A .最大值54 B .最小值54 C .最大值1 D .最小值1 3.当x >1时,不等式x +1x -1 ≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,2] B .[2,+∞) C .[3,+∞) D .(-∞,3] 二、“1”的代换 1.若正数x 、y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( ) A .245 B .285 C .5 D .6 三、实际应用 1.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓 储时间为x 8 天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A .60件 B .80件 C .100件 D .120件 2.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元,那么水池的最低总造价为__________元. 3.一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400km 以外的灾区,为了安全起见, 两列火车的间距不得小于(v 20 )2km ,则这批物资全部运送到灾区最少需__________h. 4.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.试求: (1)仓库面积S 的取值范围是多少? (2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长?

(完整版)均值不等式常考题型

均值不等式及其应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。