高考数学模拟试卷数学卷01(理科) 考试时间:120分钟 分值:150分
选择题部分(共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.函数2lg
)(-=x x f 的定义域为 ( )
A .()0-,
∞ B .()2-,∞ C .[)∞+,2 D . ()∞+,2 【根据《10月普通高中学业水平考试》第1题改编】
2.在ABC ?中,“0AB BC ?>”是“ABC ?是钝角三角形”的 ( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 【根据《第一学期联谊学校期中考试高三数学(理科)试卷》(设计人:夏国良)第2
题改编】
3.若对任意()+∞∈,1x ,不等式0)1)(1(≥+-ax x 恒成立,则a 的取值范围为 ( ) A .0>a B .0≥a C. 1->a D.1-≥a 【原创】
4.已知函数)0(),cos()(πθθ<<+=x x f 在3
π
=
x 时取得最小值,则)(x f 在[]π,0上
的单调增区间是 ( ) A .[
ππ
,3
]
B .[
323π
π,] C .??
????320π, D .???
???ππ,32 【根据《第一学期联谊学校期中考试高三数学(理科)试题卷》第8题改编】
5.设等差数列{an}的前n 项和为Sn ,若S6>S7>S5,则满足Sn ?Sn+1<0的正整数n 的
值为()
A .10
B .11
C .12
D .13 【原创】 6.已知二面角βα--l 的大小为o
60,b 和c 是两条异面直线,且b ⊥α,c ⊥β,则b 与c 所成的角为( )
A .300
B .600
C .900
D .1200 【原创】 7.已知O 为△ABC 的外心,|
|=16,|
|=10
,若
=x
+y
,且32x+25y=25,则
∠B=( ) 【原创】 A . 3
π
B .
4πC .6
π D .
12
π
8.已知实数a
01
11=-+-+-c
x b x a x 的两个实根分别为)
(,2121x x x x <,则下列关
系
中
恒
成
立
的
是
(
)
【原创】
A .c x b x a <<<<21
B .c x b a x <<<<21
C .c b x x a <<<<21
D .21x c b x a <<<<
非选择题部分(共110分)
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
9.双曲线12
22
=-x y 的焦距是_______,渐近线方程是_______. 【根据高考理科卷第9题改编】
10.设e1,e2为单位向量, 且e1,e2的夹角为π
3,若a =e1+3e2,b =2e1,则e1·e2=,
向量a 在b 方向上的投影为________.
【根据《第一学期期中考试题卷(高三理科)》第11题改编】 11.一个棱锥的三视图如图, 则该棱锥的各棱长之和等于______,棱锥的的体积等于______. 【原创】
12.已知函数)
2
2
)(2cos()2sin()(π
?π
??<
<-
+++=x x x f 的图像经过点)2
2
,
(π, 则?的值为.【原创】
13.已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为1,过正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S , S 的取值范围是______.【原创】
14.已知函数2
2
1)(m mx x x f -+-=,若)(x f 在]1,0[上单调递增,则实数m 的取值范围_______ .【原创】
15.已知kx x x f +=2
)(,f(x)的值域为__________ (用含k 的字母表示);记
)]([)(x f f x F =,若)()(x f x F 与有相同的值域,则k 范围为__________;
1)()(2-+=x x f x g 记,若)(x g 在(0,2)上有两个不同的零点x1,x2,则k 的取值范围是
__________.【原创】
俯视图
侧视图
正视图1
1
1
1
1
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分14分)在△ABC 中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,满足
sin sin sin B A a c
C a b
-+=
+ (Ⅰ)求角B ;(Ⅱ
)若sin cos A C =
C .【原创】
17. (本题满分15分)如图ABCD 为梯形,CD AB //,?=∠60C ,点E 在CD 上,22
1
==
=DE EC AB ,BC BD ⊥.现将ADE ?沿AE 折起,使得平面⊥DBC 平面ABCE 。
(1)求证:⊥BD 平面BCEF ;
(2)求直线CE 与平面ADE 所成角的正弦值. 【原创】
18. (本题满分15分)已知函数()2
f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意
x ∈R 都有()f x x ≥,且 1122f x f x ????
-+=-- ? ?????
,令()()()10g x f x x λλ=-->.
(1) 求函数()f x 的表达式;(2)函数()g x 在区间()0,1上有两个零点,求λ的取值范围. 【原创】
A
B
C
D E
F
A
B
C
D
E
F
19. (本题满分15分)已知),0,1(),0,2(N M 若动点P 满足||2→
→
→
=
?NP MP MN ,且动点
P 的轨迹为C
(1)求轨迹C 的方程;
(2)若A ,B 是轨迹C 上两点,且满足3||||2
2
=+OB OA (O 是坐标原点) ①若直线OB OA ,的斜率分别为OB OA k k ,,求证:||OB OA k k ?
②求△AOB 面积的最大值.【改编自高考样卷】
20.(本题满分15分)已知数列{}n a 的首项1
a a =,其前n 和为n S ,且满足
21)1(3+=++n S S n n (n ∈N*).
(1)用a 表示
2a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;
(3)当2
3=a 时,证明:对任意*N n ∈,都有12111
112
22
1
22
3
22<+
+++-n
n a a a a .【原创】
高考模拟试卷数学卷参考答案 选择题部分(共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.函数2lg
)(-=x x f 的定义域为 ( )
A .()0-,
∞ B .()2-,∞ C .[)∞+,2 D . ()∞+,2 【解析】考虑到真数大于零,故选D
【设计意图】学考改编题,考察函数的定义域求法,除了检验双基外,还需考生对真数大于零进行辨析,考察学生数学思维的严谨性,基础题.
2.在ABC ?中,“0AB BC ?>”是“ABC ?是钝角三角形”的 ( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【解析】 0AB BC ?>,即0cos >?θC B B A
,()πθθ,0,0cos ,
且∈>∴,所有两个向量的夹角为锐角,又两个向量夹角为三角形内角的补角,所以B 为钝角.反过来,三
角形为钝角三角形不一定B 为钝角,所以反推不成立,故选A.
【设计意图】改编题,考察充要条件的判断,涉及三角形形状的判断和向量数量积问题,考察学生罗辑思维的严谨性,较基础.
3.若对任意()+∞∈,1x ,不等式0)1)(1(≥+-ax x 恒成立,则a 的取值范围为 ( ) A .0>a B .0≥a C. 1->a D.1-≥a
【解析】因为()+∞∈,1x ,所以01,01≥+∴>-ax x 恒成立,即()0,11
-∈-
≥x
a ,所有 0≥a ,故选B.
【设计意图】本题原创,主要考察变量分离这一个基本方法,之前需要学生利用条件把二次不等式转化为一次不等式,是基础题. 4.已知函数)0(),cos()(πθθ<<+=x x f 在3
π
=x 时取得最小值,则)(x f 在[]π,0上
的单调增区间是( )
A .[
ππ
,3
]
B .[
323π
π,] C .??
????320π, D .???
???ππ,32 【解析】由题意
ππθπ
k 23
+=+,且πθ<<0,3
2π
θ=
∴.增区间为πππππk x k 22322+<+
<+(Z k ∈)ππππk x k 23
423+<<+∴(Z k ∈),又[]π,0∈x ,故选A.
【设计意图】改编题,考察学生三角函数固定区间上单调性的求解,基础题.
5.设等差数列{an}的前n 项和为Sn ,若S6>S7>S5,则满足Sn ?Sn+1<0的正整数n 的值为() A . 10 B . 11 C . 12 D .13 【解析】∵S6>S7>S5,得 S6S7>0,S7S5>0,,∴a7<0,a6+a7>0. ∴
,
=6(a6+a7)>0.
∴满足Sn ?Sn+1<0的正整数n 的值为12.故选C ,基础题.
【设计意图】原创题,学生熟练掌握等差数列的前n 项和公式和基本性质是解题的关键.由S6>S7>S5,利用等差数列的前n 项和公式可得a7<0,a6+a7>0.进而得到足Sn ?Sn+1<0的正整数n 的值为12.
6.已知二面角βα--l 的大小为o
60,b 和c 是两条异面直线,且b ⊥α,c ⊥β,则b 与c 所成的角为( ) A .300B .600 C .900 D .1200 【解析】选B ,基础题.
【设计意图】原创题,本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理能力. 7.已知O 为△ABC 的外心,||=16,|
|=10
,若
=x
+y
,且32x+25y=25,则
∠B=( ) A . 3
π
B .
4πC .6
π D .
12
π
【解析】解:如图.若=x +y
,
则
=x
+y
,
由于O 为外心,D ,E 为中点,OD ,OE 分别为两中垂线.
=|
|(|
|cos ∠DAO )=|
|?|
|
=|
|××|
|=16×8=128,
同样地,=|
|2=100,
所以
2=128x+100y=4(32x+25y )=100,∴|
|=10.
由
220sin AC R B
==得2sin 2B =故B=4π
,故选B .
【设计意图】原创题,本题考查三角形外心的性质、向量数量积的运算、向量模的求解,及正弦定理的应用.本题中进行了合理的转化
=x
+y
,根据向量数量积
的几何意义分别求出,后,得出关于x ,y 的代数式,利用32x+25y=25整
体求解,属较难题. 8.已知实数a
01
11=-+-+-c
x b x a x 的两个实根分别为)(,2121x x x x <,则下列关系中恒成立的是()
A .c x b x a <<<<21
B .c x b a x <<<<21
C .c b x x a <<<<21
D .21x c b x a <<<< 【解析】
0)
)()(()
)(())(())((111=-----+--+--=-+-+-c x b x a x a x b x c x a x c x b x c x b x a x 令))(())(())(()(a x b x c x a x c x b x x f --+--+--=
由0))(()(,0))(()(,0))(()(>--=<--=>--=a c b c c f c b a b b f c a b a a f 所以c x b x a <<<<21,故选A.
【设计意图】原创题.能力方面,考查了学生思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;方法方面,考查了学生函数思想、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.学生需根据条件特征构造函数,转化方程根的分布问题为函数零点问题,利用函数方程思想或数形结合思想解决本题,难度大.
非选择题部分(共110分)
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
9.双曲线12
22
=-x y 的焦距是_______,渐近线方程是_______. 【解析】.2,02
;322,3122
x y x y c c ±==±=∴=+=即渐近线方程为
【设计意图】改编自高考理科卷第9题,考察学生解析几何中的基本概念.对于这一类送分题,考生除了有扎实的基本功,还需仔细审题:第一空需辨析焦距是c 还是2c ;第二空需注意双曲线的焦点是在x 轴上还是在y 轴上.
10.设e1,e2为单位向量, 且e1,e2的夹角为π
3,若a =e1+3e2,b =2e1,则e1·e2=,
向量a 在b 方向上的投影为________. 【解析】2
13
cos
21=
=?π
e e ,
.25231322)3(cos 2121121=+=?+=?+=?=e e e e e e b
b a a
θ
【设计意图】本题改编自《第一学期期中考试题卷(高三理科)》(设计人:冯科),考察学生向量数量积和向量投影的关系,基础题.
11. 一个棱锥的三视图如图, 则该棱锥的各棱长之和等于______,棱锥的的体积等于______
【解析】三视图复原的几何体是中间横竖均为等腰直角三角形的四面体,可求得棱锥的各棱长之和等于434+,棱锥的的体积等于
23
【设计意图】原创题,本题考查由三视图求几何体的棱长和体积,先判断三视图复原的几何体的形状,结合三视图的数据,确定中间横竖均为等腰直角三角形,考查空间想象能力,是基础题.
12. 设△ABC 的三边a ,b ,c 所对的角分别为A ,B ,C ,
C
A C A c b c a sin sin )
sin(++=
--,则角A 为_______. 【解析】
3
sin sin sin 222222π
=?=-+?-=-?+=+=--A bc a c b bc b c a c a b C A B c b c a 【设计意图】原创题,本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理,考查转化能力和运算求解能力,基础题.一般的,在已知关系式中,若既含有边又含有角,通常的思路是将角都化成边或将边都化成角,再结合正、余弦定理即可求角.
13.已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为1,过正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S , S 的取值范围是______. 【解析】6,22??
?
?? 【设计意图】原创题,本题主要考查空间点、线、面位置关系等基础知识,同时考查空间
想象能力和运算求解能力.
14. 已知函数2
2
1)(m mx x x f -+-=,若)(x f 在]1,0[上单调递增,则实数m 的取值范围_______.
俯视图
侧视图
正视图1
1
1
1
1
【解析】01≤≤-m 或2≥m
【设计意图】原创题,本题主要考查函数的图象与性质、方程与函数的关系等基础知识,以及综合运用所学知识、分类讨论、数形结合等思想方法分析和解决问题的能力.
15.已知kx x x f +=2
)(,f(x)的值域为__________ (用含k 的字母表示);记
)]([)(x f f x F =,若)()(x f x F 与有相同的值域,则k 范围为__________;
1)()(2-+=x x f x g 记,若)(x g 在(0,2)上有两个不同的零点x1,x2,则k 的取值范围是
__________.
【解析】???
?
???+∞-∈,4)(2k x f ;)]([)(x f f x F =看做以)(x f 为自变量的二次函数,值域相同,只需抛物线取到顶点,所以20,2
42≥≤∴-≤-k k k
k 或;???<<-+≤<+=-+=2
1,121
0,11)()(2
2
x kx x x kx x x f x g 有两个不同的零点.因为一次函数至多一个零点,所以有两种情况:①一次函数上面没有零点,两个零点都子啊二次函数上;②分段函数的两段各有一个零点,下面讨论. ①0122
=-+kx x 在(1,2)上有两个零点,这于
2
121-=x x 矛盾,不符合题意. ②21,10,012,012122
2
1<<≤<=-+=+x x kx x kx 其中, 所以(]1,01
1∈-
=k
x ,1-≤∴k ,又单调递减,关于22221x x x k -=又212< 7 (--∈k . 【设计意图】根据《普高学业水平测试模拟卷(一)》第25题改编,考察学生函数综合能 力,既要熟练掌握换元法、复合函数相关知识,又要能够数形结合考虑问题;第三空考察分段函数知识点,需要分类讨论思想解决,属较难题. 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分14分)在△ABC 中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,满足 sin sin sin B A a c C a b -+=+ (Ⅰ)求角B ;(Ⅱ )若sin cos A C =C . 【解析】(Ⅰ) sin sin sin B A b a C c --=a c a b +=+,化简得222 a c b a c +-=-, 所以2221cos 22a c b B ac +-==-,23 B π =. (Ⅱ ) 1 ,sin()cos 334 A C C C ππ +=∴-=, 即2 11 sin cos 224 C C C -= 即 11 cos2)sin2 444 C C +-=, 11 2sin2 44 C C -=- 1 sin(2),2,2 32333364 C C C C πππππππ ∴-=-<-<∴-=∴= 【设计意图】原创题,考察正弦定理、余弦定理和三角恒等变换,属基础题. 17. (本题满分15分)如图ABCD为梯形,CD AB//,? = ∠60 C,点E在CD 上,2 2 1 = = =DE EC AB,BC BD⊥.现将ADE ?沿AE折起,使得平面⊥ DBC平面ABCE。 (1)求证:⊥ BD平面BCEF; (2)求直线CE与平面ADE 所成角的正弦值. 【解析】 解法一:(Ⅰ)证明:∵ 111 90 AC B ACB ∠=∠= ∴ 1111 B C A C ⊥又由直三棱柱性质知 111 B C CC ⊥ ∴ 11 B C⊥平面 11 ACC A.∴ 11 B C CD ⊥ 由 1 22 AA BC AC ===,D为 1 AA中点,可知 1 DC DC ==∴222 11 4 DC DC CC +== B A C D A1 E B1 C1 (第17题图)A B C D E F A B C D E F 即1CD DC ⊥ 又11B C CD ⊥∴CD ⊥平面11B C D 又CD ?平面1B CD 故平面1B CD ⊥平面11B C D (Ⅱ )解:当1AD AA = 时二面角11B CD C --的大小为60°. 假设在1AA 上存在一点D 满足题意, 由(Ⅰ)可知11B C ⊥平面11ACC A .如图,在平面11ACC A 内过1C 作1C E CD ⊥,交 CD 或延长线或于E ,连1EB ,则CD EB ⊥1 所以11B EC ∠为二面角11B CD C --的平面角∴1160B EC ∠ = 由112B C = 知,1C E = 设AD x = ,则DC = 1DCC ?的面积为1 ∴ 13 = 解得x = 12 AD AA == ∴在1AA 上存在一点D 满足题意 解法二: (Ⅰ)如图,以C 为原点,1CA CB CC 、、所在直线为x y z 、、轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,2),(0,0,2),(1,0,1)C A B C D . 即)1,0,1(),01,1(),0,2,0(111=-==DC B C 由0000)1,0,1()0,2,0(11=++=?=?B C 得B C ⊥11 由0000)1,0,1()1,0,1(1=++=?-=?CD DC 得CD DC ⊥1 又1 11DC C B C = ∴CD ⊥平面11B C D 又CD ?平面1B CD ∴平面1B CD ⊥平面11B C D (第17题图) (Ⅱ )当12 AD AA = 时二面角11B CD C --的大小为60°. 设AD a =,则D 点坐标为(1,0,)a ,1(1,0,),(0,2,2)CD a CB == 设平面1B CD 的法向量为(,,)m x y z = 则由10220 00 m CB y z x az m CD ??=+=?????+=?=??? 令1z =-,得(,1,1)m a =- 又∵(0,2,0)CB =为平面1C CD 的法向量 则由1 cos 602 m CB m CB a ?= ? = ? 解得a =12 AD AA == . ∴在1AA 上存在一点D 满足题意. 【设计意图】原创题,主要考查空间面面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力.利用垂面找垂线是本题的关键,搞清楚面与面的关系,线与面的关系式立体几何试题考查的本质,本题是动态角度出发设计,存在性问题是高考的热点和难点,利用空间坐标系解题较为简单. 18. (本题满分15分)已知函数()2 f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意 x ∈R 都有()f x x ≥,且 1122f x f x ???? -+=-- ? ????? ,令()()()10g x f x x λλ=-->. 求函数()f x 的表达式;(2)函数()g x 在区间()0,1上有两个零点,求λ的取值范围. 【解析】(1)∵()00f =,∴0c =.∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ???? -+=-- ? ????? , ∴函数()f x 的对称轴为12x =- ,即1 22 b a - =-,得a b =. 又()f x x ≥,即()2 10ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立, ∴0a >,且?()2 10b =-≤.∵()2 10b -≥, ∴1,1b a ==. ∴()2 f x x x =+. (2)①当02λ<≤时,由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增, 又()()010,1210g g λ=-<=- ->, 故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点. ② 当2λ>时,则 1 112λ < <,而()010,g =-<2111 0g λλ λ??=+> ???, ()121g λ=--, (ⅰ)若23λ<≤,由于 1 1 12 λλ -< ≤, 且()2 11111222g λλλλ---???? =+-+ ? ? ???? ()2 1104λ-=-+≥, 此时,函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点; (ⅱ)若 3λ>,由于 112 λ->且()121g λ=--0<,此时,函数()g x 在区间()0,1 上有两个不同的零点. 综上所述,当3λ>时,函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点. 【设计意图】原创题,本题综合考查了二次函数的解析式,单调性,绝对值的意义和函数 零点个数问题,同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法,对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高,是高考的热点问题,属较难题. 20.(本题满分15分)已知数列{}n a 的首项1 a a =,其前n 和为n S ,且满足 21)1(3+=++n S S n n (n ∈N*). (1)用a 表示 2a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)当2 3=a 时,证明:对任意*N n ∈,都有12111 112 22 1 22 3 22<+ +++-n n a a a a . 【解析】 (1)由条件1=n 得12121=++a a a , a a 2122 -=. (2)由条件21 )1(3+=++n S S n n 得,21 3(2)n n S S n n -+=≥ 两式相减得361 +=++n a a n n (2)n ≥, 故9612 +=+++n a a n n , 两式再相减得62 =-+n n a a (2)n ≥, ,,,642a a a ∴构成以2a 为首项,公差为6的等差数列; ,,,753a a a 构成以3a 为首项,公差为6的等差数列; 由(1)得a n a n 2662-+=; 由条件2=n 得2721321=++++a a a a a ,得a a 233 +=, 从而a n a n 2361 2+-=+, ∴, 13(62)(1)2n n a n a n a n =?=?+--≥? , 解法2: 设1 (1)()n n a x n y a xn y ++++=-++,即122n n a a xn y x +=---- 则26 3230x x y x y -==-???? ?--==?? ∴有13(1)(3)n n a n a n +-+=-- ∴2n ≥时,223(6)(1)n n a n a --=-?-,即23(62)(1)n n a n a -=+-?- ∴2 , 13(62)(1)2 n n a n a n a n -=?=?+--≥?, (3) 证明:当2 3=a 时,且 2≥n ,由(2)可知])1([3n n n a -+= ① 当1=n 时,12 191122 2<=a ②当2≥n 时, ∵)1(612-=-n a n ,)12(32+=n a n ∴ 2221223221111n n a a a a ++++- )1 11()111( 21 22523222422-+++++++=n n a a a a a a ])1(1 2111[361])12(15131[912 22222-+++?+++++?= n n ]) 1(1 2111[361])12(15131[91222222-+++?+++++?= n n ]) 1)(2(1 2111[361])1(1321211[361--++?+?++++?+??< n n n n )]11213121211(1[361)1113121211(361---++-+-+?++-++-+-?= n n n n )112(361)111(361--?++-?=n n 121)1111(361121<--+-=n n . 【设计意图】原创题,数列综合题目,用到了构造新数列、放缩法证明数列求和问题等方法,属较难题. 19. (本题满分15分)已知),0,1(),0,2(N M 若动点P 满足||2→ → →= ?NP MP MN ,且动点 P 的轨迹为C (1)求轨迹C 的方程; (2)若A ,B 是轨迹C 上两点,且满足3||||2 2 =+OB OA (O 是坐标原点) ①若直线OB OA ,的斜率分别为OB OA k k ,,求证:||OB OA k k ?是定值 ②求△AOB 面积的最大值. 【解析】 (1)设),(y x P ,得22)1(2),2()0,1(y x y x +-= -?- 轨迹C 的方程:12 22 =+y x (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 22 22 2 1 2 12 2 ||||y x y x OB OA +++=+32 221212 221222 2212 1=++=-++-+=x x x x x x 22 22 1=+∴x x ①===?2 2 2122 212 121||x x y y x x y y k k OB OA 22212221)21)(21(x x x x --=214)22(12 2 212 2212221=+ +-=x x x x x x ②设直线AB 的方程为y =kx +m ,代入得x2+2(kx +m) 2=2, 即(1+2k2)x2+4kmx +2m2-2=0 x1+x2=-2 214k km +, x1x2=222122k m +-, =+∴22 2 1x x (x1+x2)2-2 x1x2=2)21(4 4882 22222=++--k m k m k , 得0))12(2)(12(222=+--k m k 故0)12(20122 22=+-=-k m k 或 | AB |=2212(1)()k x x +- 原点O 到直线AB 的距离为 21k +21222 | |x x m S AOB -= ?,然后可以求解. 【设计意图】本题改编自高考样卷,主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力,难度较大.本题综合了平面 O y A B 向量及椭圆的基本性质,和直线与椭圆的位置关系及三角形面积等关键性知识,有方程思想及分类讨论思想等,运算较为复杂. 高考数学高三模拟试卷试题压轴押题重庆市高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)=() A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 2.(5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为() A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,都有x2<0 C.存在x0∈R,使得x02≥0D.存在x0∈R,使得x02<0 3.(5分)(﹣6≤a≤3)的最大值为() A.9 B.C.3 D. 4.(5分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为() A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8 5.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.B.C.200 D.240 6.(5分)若a<b<c,则函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)+(x﹣b)(x﹣c)+(x﹣c)(x ﹣a)的两个零点分别位于区间() A.(a,b)和(b,c)内B.(﹣∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(﹣∞,a)和(c,+∞)内 7.(5分)已知圆C1:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,圆C2:(x﹣3)2+(y﹣4)2=9,M,N 分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为() A.﹣1 B.5﹣4 C.6﹣2D. 8.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输出S=3,那么判断框内应填入的条件是() A.k≤6B.k≤7C.k≤8D.k≤9 9.(5分)4cos50°﹣tan40°=() A.B.C.D.2﹣1 10.(5分)在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是() A.(0,] B.(,] C.(,] D.(,] 二、填空题:本大题共3小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡相应位置上. 11.(5分)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|=. 12.(5分)已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=. 13.(5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答). 14,15,16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分:14.(5分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为. 15.(5分)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则 |AB|=. 16.若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(13分)设f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6). (1)确定a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 18.(13分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖3红1蓝200元 二等奖3红0蓝50元 三等奖2红1蓝10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E(x). 19.(13分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB. (1)求PA的长; (2)求二面角B﹣AF﹣D的正弦值. 20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.(1)求C; (2)设cosAcosB=,=,求tanα的值. 21.(12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,|AA′|=4. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P'Q,求圆Q的标准方程. 22.(12分)对正整数n,记In={1,2,3…,n},Pn={|m∈In,k∈In}. (1)求集合P7中元素的个数; 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图 高考模拟试卷(四) 一、填空题 1. 已知集合M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },则集合M ∩N =( ) A. B. C. D. 2. 复数 在复平面上对应的点位于第( )象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3.已知在等比数列中,,9,则 ( ) A . B .5 C . D .3 4. 若对任意实数,不等式成立,则实 数的取值范围为( ) A. B. C. D. 5. 在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列,已知,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( ) A. 80 B. 120 C. 160 D. 200 6. 已知公差不为的正项等差数列中,为其前项和,若, ,也成等差数列,,则等于( ) A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 7. 一个算法的流程图如图所示.若输入的n 是100,则输出值S 是( ) A. 196 B. 198 C. 200 D. 202 8. 已知周期函数是定义在R 上的奇函数,且的最小正周 期为3, 的取值范围为( ) A. B. C. D. {}0,1{}0,2{}1,2{}2,4i i 4321+-{}n a 11=a =5a =3a 5±3±[] 1,1p ∈-()2 330px p x +-->x ()1,1-(),1-∞-()3,+∞() (),13,-∞-+∞}{n a 122a a =0{}n a n S n 1lg a 2lg a 4lg a 510a =5S )(x f )(x f ,2)1( 高考模拟复习试卷试题模拟卷 【高频考点解读】 1.能画出y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的图象,了解三角函数的周期性; 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点 等),理解正切函数在区间??? ?-π2,π2内的单调性. 【热点题型】 题型一 三角函数的定义域、值域 【例1】 (1)函数y =1 tan x -1 的定义域为____________. (2)函数y =2sin ??? ?πx 6-π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A .2- 3 B .0 C .-1 D .-1-3 解析 (1)要使函数有意义,必须有???? ?tan x -1≠0,x ≠π2+kπ,k ∈Z , 即? ??x ≠π 4+kπ,k ∈Z ,x ≠π 2+kπ,k ∈Z. 故函数的定义域为{x|x≠π4+kπ且x≠π 2+kπ,k ∈Z}. (2)∵0≤x≤9,∴-π3≤π6x -π3≤7π 6, ∴sin ????π6x -π3∈???? ??-32,1. ∴y ∈[]-3,2,∴ymax +ymin =2- 3. 答案 (1){x|x≠π4+kπ且x≠π 2+kπ,k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型: ①形如y =asin x +bcos x +c 的三角函数化为y =Asin(ωx +φ)+k 的形式,再求最值(值域);②形如y =asin2x +bsin x +c 的三角函数,可先设sin x =t ,化为关于t 的二次函数求值域(最值);③形如y =asin xcos x +b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设t =sinx±cos x ,化为关于t 的二次函数求值域(最值 2018技能高考模拟题(数学部分) ―、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1. 下列四个命题:(1)空集没有子集.(2)空集是任何集合的真子集(3)}0{=? (4)任何集合必有两个或两个以上的子集.其中正确的有( )个 A.0 B. 1 C.2 D.3 2.下列函数:(l )2x y =,(2)3x y =,(3)x x y -+=11lg ,(4)2 1131--=x y 其中奇函数有( )个 A.3 B.2 C.1 D.0 3.下列命题:(l )02sin 2cos >-,(2)若54sin =a ,则53cos =a . (3)在三角形ABC 中,若A A cos 3sin 2=,则角A 为30度角.其中正确的有()个 A.3 B. 2 C.1 D.0 4.下列说法:(1)两个相等的向量起点相同,则终点相同.(2)共线的单位向量相等.(3)不相等的向量一定不平行.(4)与零向量相等的向量一定是零向量. (5)共线向量一定在一条直线上.其 中正确的有( )个 A.2 B.3 C.4 D.5 5. 有点(3,4),(3-,4-),(1,1+3)(1-,31-),其中在直线013=+-y x 上的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 6.下列说法中:⑴数列{112-n }中负项有6项.(2)73为数列{12-n }中的项. (3)数列2.4.6.8可表示为{2. 4. 6.8}.其中正确的有()个 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分) 1.若数列{n a }中,11++= n n n a a a 对任意正整数都成立,且216=a ,则5a = 。 n a = 。 2. 若a =(3,4),b =(2,1),且(a +xb ))(b a -⊥ = 。 3. 满足2 1sin ≥ a 的角a 的集合为 。 4. 4.函数|3|log 2 1-=x y 的单调减区间为 。 三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分) 1.(1)角a 的终边上一点P 的坐标为(t t 3,4-)(t 不为0),求a a cos sin 2+. (2)设2e ,2e 是两不共线的向量,若涵212ke +=,113e e +=,212e e -= 若三点A 、B 、D 共线,求k 的值. 2.(1)求函数)6 2sin(3π-=x y 的单增区间. (2)说出函数)3tan(π-=x y 的周期和单调区间. 3.(1)过点P (1-,1-)的直线与两坐标轴分别相交于A 、B 两点,若P 点为线段AB 的中点,求该直线的方程和倾斜角. (2)已知数列{n a }为等差数列,n S 为其前n 项和,且77=S ,1515=S . ①求n S .②若为数列的{n S n }前n 项和,求n T . 2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何(含答案解析) 1.(2020·河南省实验中学高三二测(理))现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合,其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -,如图所示,已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=,三棱锥的外接球的表面积为4π,该三棱锥的体积的最大值为 ( ) A 3 B .36 C 3 D 3 2.(2020·湖南省长沙市明达中学高三二模(理)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( ) A .16 B .163 C .163 D .1283 3.(2020·湖南省长沙市明达中学高三二模(理)关于三个不同平面,,αβγ与直线l ,下列命题中的假命题是( ) A .若αβ⊥,则α内一定存在直线平行于β B .若α与β不垂直,则α内一定不存在直线垂直于β C .若αγ⊥,βγ⊥,l αβ=I ,则l γ⊥ D .若αβ⊥,则α内所有直线垂直于β 4.(2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟(理))榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明, 它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑,同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构,榫卯结构 中凸出部分叫榫(或叫榫头),已知某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是( ) A .36 B .45 C .54 D .63 5.(2020·江西省名高三第二次大联考(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .83π3 B .4π1633 C 16343π+ D .43π1636.(2020·江西省名高三第二次大联考(理))在平面五边形ABCD E 中,60A ∠=?,63AB AE ==BC CD ⊥,DE CD ⊥,且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起,使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?,则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为( ) A .63π B .84π C .252π D .126π 7.(2020·陕西省西安中学高三三模(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) 高三上期第二次周练 数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}=0123A ,,,, {}=21B x x a a A =-∈,,则=( )A B ? A. {}12, B. {}13, C. {}01 , D. {}13-, 2.已知i 是虚数单位,复数z 满足()12i z i +=,则z 的虚部是( ) A. i - B. i C. 1- D. 1 3.在等比数列{}n a 中, 13521a a a ++=, 24642a a a ++=, 则数列{}n a 的前9项的和9S =( ) A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4.如图所示的阴影部分是由x 轴,直线1x =以及曲线1x y e =-围成, 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点,则该点落在阴影区域的概率是( ) A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5.在 52)(y x x ++ 的展开式中,含 2 5y x 的项的系数是( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6.已知一个简单几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7.已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减,则a 的取值范围是( ) A. 11<< F D C B A 2019年高考数学模拟试题(理科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。 一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.已知集合}032{2>--=x x x A ,}4,3,2{=B ,则B A C R ?)(= A .}3,2{ B .}4,3,2{ C .}2{ D .φ 2.已知i 是虚数单位,i z += 31 ,则z z ?= A .5 B .10 C . 10 1 D . 5 1 3.执行如图所示的程序框图,若输入的点为(1,1)P ,则输出的n 值为 A .3 B .4 C .5 D .6 (第3题) (第4题) 4.如图,ABCD 是边长为8的正方形,若1 3 DE EC =,且F 为BC 的中点,则EA EF ?= A .10 B .12 C .16 D .20 5.若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ,则y x z 82?=的最大值是 A .4 B .8 C .16 D .32 6.一个棱锥的三视图如右图,则该棱锥的表面积为 A .3228516++ B .32532+ C .32216+ D .32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0,1,2,3,4,若从这5张卡片中随机取出2张,则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A . 101 B .51 C .103 D .5 4 8.设n S 是数列}{n a 的前n 项和,且11-=a ,11++?=n n n S S a ,则5a = A . 301 B .031- C .021 D .20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8,若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ,则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 一、选择题(5分×6=30分) 19. 下列命题中错误的个数是( ) ①若A B =?I ,则,A B 中至少一个是空集 ②若A B S =I ,S 为全集,则A B S == ③()()A B A A B ≠≠ ??I U ④22 (2)0(2)0x y x y +-=-=是的必要不充分条件 A.0 B.1 C.2 D.3 20. 不等式(5)(4)14x x -+-≥的解集是( ) A. 32x -≤≤ B. {}|32x x x ≤-≥或 C. {}|32x x -≤≤ D. {}|32x x -<< 21. 下列说法正确个数的是( ) ①1,(,)y x =+∈-∞+∞表示一个函数 ②22()1()sin cos f x t t t ==+和g 表示同一函数 ③设函数()y f x =在区间(,)a b 上有意义.如果有12,(,)x x a b ∈,当12x x <时,12()()f x f x <成立,那么函数()f x 叫作区间(,)a b 上的增函数 ④如果函数2()2(1)31+)f x x a x =-++∞在区间[,是增函数,则a 的取值范围是[3,)+∞ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 22. 下列函数在定义域内为减函数且为奇函数的是( ) A. ()3x f x -= B. 3 ()f x x =- C. ()sin f x x = D. ()cos f x x = 23. 已知向量,a b r r ,且22,56,92,AB a b BC a b CD a b =+=-+=-u u u r r r u u u r r r u u u r r r 则一定三点共线的是() A. A,B,D B. A,B,C C. B,C,D D. A,C,D 24. 小明抛一块质地均匀的硬币两次,出现正反各一次的概率是( ) A 14 B 12 C 34 D 1 二、填空(5分×4=20分) 25. 计算( 34 1 log 50.5330.125+29--+= 26. 函数()f x =的定义域是 27. 在等差数列{}n a 中,已知1110a =,则21S = 28. 已知正四棱柱底面边长为4cm ,侧面积为80cm 2,则它的体积是 xx 北技能高考数学模拟试题(一) 2020全国各地模拟分类汇编(文):集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1.“lg lg x y >”是“1010x y >”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M , )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I ( ) A .}21||{<≤x x B .}20||{<2018年高三数学模拟试题理科
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