等边三角形培优练习1

三角形（等边三角形）培优卷

双基训练

*1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。【2】

**2.如图14-46，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD= ，ΔEFC的周长= 。【2】

**3.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BGAD，求证：BP=2PG。【3】

纵向应用

**1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。【4】

***2. 如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GH∥AB。【6】

***3. 如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ΔCMN是等边三角形。

（1998年第13届江苏省初中数学竞赛试题）【8】

***4. 如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：ΔCMN为等边三角形。【6】

***5. 如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：ΔABE为等边三角形。【5】

***6. 如图14-53，已知ΔABC是等边三角形，D为AC上一点，∠

1=∠2，BD=CE，求证：ΔADE是等边三角形。【4】

***7. 如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，

M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。求证：ΔMNP是等边

三角形。【6】

***8. 如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：ΔEFM是等边三角形。p.117【6】

***9. 如图14-56，在 ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：ΔDEF是等边三角形。***10.如图14-57，已知D为等边ΔABC内一点，DA=DC，P点在ΔABC外，且CP=CA，CD平分∠PCB，求∠P。【5】

横向拓展

***1. 如图14-58，已知P是等边三角形ABC内一点，APB:CPA=5:6:7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比。【8】

***2. 如图14-59，点O为等边ΔABC内一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问：（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由；

（2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？【10】

****3.如图14-60，已知ΔABC是边长为1的等边三角形，ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形，以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。求证：AMN的周长等于2。【10】

****4.如图14-61，在ΔABC中，∠A=600，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC 的中点，BE、CF交于点M。

（1）如果AB=AC ，求证：ΔDEF 是

等边三角形；

（2）如果AB ≠AC ，试猜想ΔDEF

是不是等边三角形？如果ΔDEF 是等边三角形，请加以证明；如果ΔDEF 不是等边三角形，请说明理由；

（3）如果CM=4cm ，FM=5cm ，求BE

的长度。【10】

****5.如图14-62，已知AO=10，P 是射线ON 上一

动点（即P 点可在射线ON 上运动），∠

AON=600

。

（1）OP 为多少时，ΔAOP 为等边三角形？ （2）OP 为多少时，ΔAOP 为直角三角形？ （3）OP 为多少时，ΔAOP 为锐角三角形？ （4）OP 满足什么条件时，ΔAOP 为钝角三

角形？【10】 ****6.（1）如图14-63，下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，

它们的边长分别为1,2,3,…，设边长为n 的等边三角形由s 个小等边三角形组成，按此规律推断s 与n 有怎样的关系；

（2）现有一个等角六边形ABCDEF （六个内角都相等的六边形，

如图14-64），它的四条边长分别是2、5、3、1，求这个等角六边形的周长； （3）（2）中的等角六边形能否用（1）中最小的等边三

角形无空隙拼合而成？如果能，请求出需要这种小等边三角形的个数。【15】 参考答案 等边三角形 双基训练

1.7个

2.2 9

3.提示：证ΔABD ≌ΔBCE ，证∠BPG=600

纵向应用 1.EF=

1

3

2.提示：证ΔGCH 为等边三角形

3.提示：ΔECB ≌ΔDCA ，ΔECN ≌ΔDCM

4.略

5.提示：证ΔADE ≌ΔBCE

6.提示：证ΔABD ≌ΔACE

7.略

8.略

9.提示：证ΔADE ≌ΔEBF

10.300

。提示：连结BD ，易证ΔABD ≌ΔCBD ，再证ΔCDP ≌ΔADB

横向拓展

1.2:3:4. 提示：将ΔAPC绕顶点C逆时针方向转600，点P转到点P′的位置，连结PP′

2.(1)能，500，550，750（2）1500或1000

3.提示：延长AC至点E，使CE=BM，连结DE。证ΔMDB≌ΔEDC，ΔMDN≌ΔEDN

4.(1)略 (2)提示：证∠EDF=600（3）12cm

5.(1)10 (2)5或20 (3)520

6.(1)s=n2 (2)19. 提示：延长FA、CB交于点P，延长AF、DE交于点Q，延长ED、BC交于点R，可证ΔPAB、ΔQEF、ΔRCD、ΔPQR 为等边三角形 (3)能，s=102-22-32-62=51(个)