2013年河南专升本高数

第一章函数极限连续

----资料来源于豫升教育学校

一、本章考试要求

（一）函数

1、了解函数的概念、各种表达方式以及函数的三要素。

2、理解基本初等函数、初等函数，掌握复合函数。

3、会求函数的定义域。

4、理解并掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。了解反函数的求法。

（二）极限

1

2.

3.会

4.

1.掌

2.

3.

4.

I

（

（

（

x→

当

II 难点：

利用零点定理证明方程根的存在性，特别与第三章的知识结合之后的综合性问题，例如证明方程根的唯一性。

三、常考知识点

I、求函数的定义域（选择题）。

II、函数之间的运算和函数性质的题目（选择题或填空题）。

III、无穷小量阶的比较（选择题）。

IV、求各种形式的极限（选择题或填空题或计算题）。

V 、函数连续性的问题（选择题或填空题）。 VI 、函数间断点的类型（选择题）。

VII 、零点定理证明方程根的存在性或者含有ξ的等式（选择题或证明题）。

四、知识点讲解资料来源于豫升教育学校

I 、求函数的定义域。

函数的定义域是自变量的取值范围，故求定义域时常常排除那些使函数没有意义的点。 每个函数都有其定义域，定义域不同，即使对应法则一样，两个函数也不是相等的。如一些基本初等函数，观察其定义域：

根式0)y x =

≥，分式1(0)y x

=

≠，三角函数

y 数例

（??

????+∞-,34． （2）由1010

10

11

-??????≠->-x x x x

．即它的定义域为)1,(-∞． （3）由

121≤x

及0≠x 得，2

112≥

?≥x x ，即它的定义域为),2

1[

]2

1,(+∞-

-∞ ．

（4）由

13

14≤-x 得121

314≤≤-

?≤-x x ．即它的定义域为??

?

???-1,21．

（5）由1lg ≤x 得101.0≤≤x ．所以它的定义域为[]10,1.0． （6）由0ln >x 得，1>x ．即定义域为),1(+∞．

例2 （1）设)(x f 的定义域为[]4,4-，求)(2x f 的定义域．

例A 例0(例A （+∞-,1) B （+∞,1） C ),3()3,1(+∞?- D ),3()3,1(+∞?

解：选D .由题意： 03≠-x ，01>-x ，01>+x ，所以得到函数 1

)1ln(3

1+-+

-=

x x x y 的定义域为),3()3,1(+∞?．

例6 下列各对函数哪些是同一函数？ （1）2

x x 与 （2） 2）与（

x x （3） 2

ln 2ln x x 与 （4） 1

112

+--x x x 与

解：两个函数相同，必须是定义域相同且对应关系一致．只有（1）中的两个函数才是相同的，其余各对均不是相同的函数．这是因为：

（1）两个函数的定义域都是R ，对应关系也完全相同，即2

x

x =．

（2）定义域不同． x y =的定义域为R ，2)(x y =

2

的定义域为[)+∞,0．

（3）定义域不同． 2ln x y =的定义域为()()+∞?∞-,00,，y= 2ln x 的定义域为()+∞,0．

（4）定义域不同． 1-=x y 的定义域为R ， 12

-=

x y 的定义域为{}1,-≠∈x R x x ．

例II （1x ） （总存在X x ∈1，使M x f >)(1，那么就称函数)(x f 在X 上无界． ①有界性与区间I 有关，如x

y 1=

在[]2,1上有界，但在(]1,0上无界．

②若函数)(x f 在I 上有一个界M ，则比M 大的数都可以作为它的界，即界不唯一． ③在现阶段我们将会学到三个有界函数，在定义域是),(+∞-∞情况下，分别是

x y x y x y arctan ,cos ,sin ===．

④在极限计算中，当有界函数与其他函数相乘时，我们接触到的一般都是“有界函数乘无穷小等于零”． （3）奇偶性

设函数)(x f 的定义域D 关于坐标原点对称．如果对任一D x ∈，)()(x f x f =-恒成立，则称)(x f 为偶函数；如果对任一D x ∈，)()(x f x f -=-恒成立，则称)(x f 为奇函数．

函数奇偶性判断方法：

①根据奇偶性定义：如证得，那么此函数为偶函数，如证得

f （ D 且 这里我们总结一个正弦函数的周期公式：)sin(l wx B A y ++=

A 表示的是上下移动，

B 表示的是振幅，l 表示的水平移动．，w 与三角函数周期有关

w

T π2=．

一般的，对周期函数进行有限次的四则运算仍就是周期函数；公式中常量变成变量的均不是周期函数．

周期函数在每一个周期上的图形是相同的． 例如：2

4

sin ,sin 1,cos y x y x y x ==+=是周期函数．

x

y x x y x x y x y 1sin

,cos ,cos ,sin 2

=+===不是周期函数．

（5）反函数

设函数)(:D f D f →是单射，则它存在映射D D f f

→-)(:1

，称此映射1

-f

为函数

f 的反函数．例如：x y 2=与2

y x =

互为反函数；x a y =与x y a

log

=互为反函数．

例1 设2cos )(sin 2+==x x f y ，求)(x f ． 2

2

2

例 =.

例A C 即例4 设x f 在区间),(∞-∞内是奇函数，并且在区间),0(+∞内严格单调增，那么函数()x f 在区间),(∞-∞内（ ）

A 严格单调减

B 严格单调增

C 既不严格单调增，也不严格单调减

D 可能严格单调增，也可能严格单调减

解：设任意21,x x [)+∞∈,0，且21x x <，则f(x)由在[)+∞,0内严格单调增得)()(21x f x f <，于是再有)(x f 是()+∞∞-,上的奇函数，得12x x -<-，且

)()(12x f x f ---=0)()(12<+-x f x f ，

即)(x f 在[)+∞,0上严格单增，故)(x f 在()+∞∞-,内严格单调增．

说明：原题为“)(x f 在[)+∞,0内严格单调增”．如果不将左端点取成闭的，则本题无可选答案．

III 、无穷小量阶的比较。

（1）定义：①设函数)(x f 在0x 的某一去心邻域内有定义，如果对0,0>?>?δM ，

当作→x ∞

= （4）无穷小的比较

设函数)(x α和)(x β，当0x x →时都是无穷小； ①若0)

()(lim

=→x x x x βα，则称当0x x →时，)(x α是比)(x β较高阶的无穷小，记作

)(x α))((x o β= (此时也称)(x β是比)(x α较低阶的无穷小）

；

②若)0()

()(lim

≠=→k k x x x x βα，则称当0x x →时，)(x α和)(x β是同阶无穷小；

特别，若1)

()(lim

=→x x x x βα，则称0x x →时，)(x α和)(x β是等价无穷小，记作)(x α～

)(x β．

（5）等价无穷小替换（常应用于求极限的题目中）

设

x x →时，)(x α与)(x β是等价无穷小，则)()(lim )()(lim x g x x g x βα=；

例A IV →x x → ①换元法，令2,2t

x t x ==，所以原式化为32

3

2

1

0)1(lim e t t t =??

????+→

②凑形式，32

3

2

21

0)21(lim e x x

x =??

????+→;

③零位乘无穷，在该极限题中，x 2所在的位置为零位，x

31所在的位置为无穷大，

无穷零位?→=∞

lim 1

x e

．

（2）在下列一般形式的特例中0,000≠≠b a ，m 和n 为非负整数时，有

???

????<∞>==++++++++----∞

→m

n m n m n b a b x

b x

b x b a x a x

a x

a n

n n n

m m m m n ,,0, (i)

002

01

1022110.也即多项式的

∞∞

型求极限等于

。

例∴例 （4） x x x -→12

1

lim ； （5）x

x

x sin lim

→； （6）x

x

x x sin lim

+∞

→．

解：（1）3ln 3ln lim

1

lim

13lim

3

ln 0

==-=-→→→x

x x

e

x

x x x x

x （这里利用了0→x 时，

3ln ~1ln x e

x

-）;

（2）2

2

211lim 11lim ---∞→∞→=???????

???? ??-=?

?? ?

?

-e

x x x

x x

x ;

（3）括号内分子、分母同除以x ，再用第二重要极限：

a

a

a

x

x

x x

x x x e

e

e x a x a x a x a a x a x 211lim 11lim lim ==

??

? ?

?

-

???

??+=????

?? ??

-+=??? ??-+-∞→∞→∞→;

∞ ∴例A

→x V 、函数连续性的问题。

（1）我们把函数)(x f y =在点0x 连续的定义用不同的方法来叙述：

①设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，如果()0)(lim 0

x f x f x x =→，则称)(x f y =在

0x 处连续．

②设函数)(x f y =在0x 及0x 的左侧有定义，如果()0)(lim 0

x f x f x x =-

→，则称)

(x f y =

在0x 处左连续．

③设函数)(x f y =在0x 及0x 的右侧有定义，如果()0)(lim \0

x f x f x x =+

→，

则称)(x f y =在0x 处右连续．

④若函数)(x f y =在区间I 上每点都连续，则称)(x f y =在区间I 上连续． 规定：函数在区间端点处的连续性，左端点只要求右连续，右端点只要求左连续．

)0.

例 例解：??

?

?

?>=<-=1

111)2()(2x x x x x x x f ，显然)(x f 在1x 时是连续的．

又)1(1)1()1(f f f ===+

-

，所以)(x f 在R 上连续． VI 、函数间断点的类型。

若函数)(x f 在0x 处不连续，则称)(x f 在0x 处间断．

间断点的分类

()???

???

?????????≠≠≠≠→→→+-

)(lim )(lim )(lim 00

0震荡型无穷型

）（特点是：极限不存在第二类：非第一类

函数值可去型：极限值右极限跳跃型：左极限

第一类：x f x f x f x f x x x x x x 例1 设2lg 1sin

1

1)(2

+++--=

x x

x x x x f ，求)(x f 的间断点并指出其类别．

例1，

（振

（ （（ 推论：在闭区间上连续的单调函数，且两端点的函数值异号，则它在该区间内有唯一的一个零点．

（4）介值定理：在闭区间上连续的函数必取得介于两端点的函数值之间的任何值． 推论： 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值． 例1 证明方程1232

6=+-x x x 至少有一个正根．

解析：要证明上述方程至少有一个正根，需作一个辅助函数，并证明它在某个正的区间上连续且在两端点上的函数值异号．

证 令123)(2

6

-+-=x x x x f ，则05514122)2(,01)0(6

>=-+-=<-=f f ，

又)(x f 在

[]2,0上连续．由零点存在定理知，至少有一点)2,0(∈ξ使得

0)(=ξf ．即方程

1232

6

=+-x x x 至少有一个正根．

例2 证明方程b x a x +=sin （其中0,0>>b a ），在(]b a +,0上至少有一个根． 证明： 令b x a x x f --=sin )(，)(x f 显然在[]b a +,0上连续，且

f 点

ξf 1 解2.A 解3．设()f x 在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（ ）

()().A y f x f x =+-()().B y x f x f x =--????

()32

.C y x f x =()().D y f x f x =-? 解：()32y x f x = 的定义域(),-∞+∞且()()()()()3

2

3

2

y x x f x x f x y x -=-=-=-∴

选C

4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（ ）

2

1.1A y x

=

+ .a r c t a n B y x = .s i n c o s C y x x =+

.s i n D y x x

= 解: 排除法：A 2

1122

x x x

x

≤

=

+有界，B arctan 2

x π

<

有界，

C sin cos x x +≤ ，

故选D

5．数列{}n x 有界是lim n n x →∞

存在的（ ）

A 必要条件

B 充分条件

C 充分必要条件

D 无关条件 解

6

7

∴8解（9．函数44log log 2y =的反函数是

解：（1）4log y =，反解出x ：21

4y x -=；（2）互换,x y 位置，得反函数21

4

x y -=.

10．lim

n →∞

=

解：原式

3lim

2

n →∞

=

有理化

.

11．若10

5lim 1,kn

n e

n --→∞?

?+= ?

?

?则k = .

解：左式=5

lim

()510n kn k n e e e →∞---== 故2k =.

12．2

352lim

sin

53

n n n n

→∞

++=

13)2x .

14解152.

16．求()111

lim 12231n n n →∞??++?+ ? ???+??

解：（1）拆项，

11(1)

(1)k k k k k k

+-=

++111,2,,1

k n k

k =

-

=?+

()111

12

23

1n n +

+?+

??+1111

112231n n ??????=-+-+?- ? ? ?

+??????

111n =-+

（2）原式=lim 11

111lim n n

n

n n e e n →∞--+→∞??-== ?+?

? ＊选做题

1已知2

2

2

(1)(21)

126

n n n n ++++?+=

，求222

333

12lim 12

n n

n n n n →∞??++?+ ?+++?? 解: 222

3

12n

n n

++?++

≤

=n 2 x ∴1． 下列极限正确的（ ） A ． sin lim

1x x x

→∞

= B ． sin lim

sin x x x x x

→∞

-+不存在 C ． 1lim sin

1x x x

→∞

= D ． lim arctan 2

x x π

→∞

=

解：0

1

1sin lim sin

lim

x t t

x t x x

t

→∞

→= ∴选C

注：sin 1sin 10lim

0;lim

1sin 101x x x

x

x A B x x

x

→∞→∞-

-===++

2． 下列极限正确的是（ ）

A ． 10

lim 0x

x e -

→= B ． 10

lim 0x

x e +

→= C ． sec 0

lim (1cos )

x

x x e →+= D ． 1

l i m (1)x

x x e →∞

+

=

解：1

1lim 0x x e e e

--∞∞

→==

= ∴选A

注

3A C

4A 5．设()0(0)

1sin (0)x f x x a x x =?=??+>???

且()0

lim x f x →存在，则a = （ ）

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．2 解：0

sin lim 1,x x x

→=

= 01lim sin x x a o a x +→??

??+=+ ???????

1a ∴= 选C .

6．当0x +

→时，()1f x =

是比x 高阶无穷小，则 （ ）

A ．1a >

B ．0a >

C ．a 为任意实数

D ．1a <

解：0

1

11

2

lim

lim 01a

x x x a a x

x

+

+→→>=∴>.故选A

7．lim 1x

x x x →∞??

= ?+??

解：原式

lim 111

1lim 11x x

x

x

x e e x →∞-∞

-+→∞??-== ?+?

? 8

9101112．若2

2

ln 1lim

0sin n

x x x

x

→+=且0

sin lim

01cos n

x x x

→=-,则正整数n =

解：()

2

2

2

2

ln 1lim

lim

sin n

n

x x x x

x x x

x

→→+?=

2

4

2

0,lim

02

n x n x n x

→<>2,4,n n ∴>< 故3n =.

13．求sin 32lim

sin 23x x x x x

→∞

+-

解：sin 31lim

0sin 31,lim 0x x x x x

x →∞

→∞??=≤= ??? sin 21lim 0sin 21,lim 0x x x x x x →∞→∞??

=≤= ???

∴原式02203

3

+=

=--

14

．求()0

lim

1cos x x x →-

=

1516注17 解： 原式

20lim

1cos x

x

x e e

x

-→+--0

00

lim

lim

2sin cos x

x

x x

x x e e

e e

x

x

--→→++=

18．设()f x 1

,00x e a x x x -?+>?=

且()0lim x f

x →存在，求a 的值。

解：10

lim 0x

x e a e a a a +--∞→??+=+=+= ???

lim lim x x x x

-

-

→→=

lim 2

x x

-

→==-

2

a ∴=-

19

20=21=22． 已知()22

2

81lim

225

x x m x x n x n

→-+=

-++，求常数,m n 的值。

解：（1）∵原极限存在且()22lim 220x x n x n →??-++=?

? ()2

2

lim 80,4280x x m x m →∴-+=-+=，212,6m m ==