高中数学恒成立问题解题思路
在不等式中,有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题,涉及的知识面广,综合性强,同时数学语言抽象,如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定,难以寻觅,是同学们学习的一个难点,同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有:
1,一元二次方程根的判别式;
2,参数大于最大值或小于最小值;
3,变更主元利用函数与方程的思想求解。
一、 用一元二次方程根的判别式
1, 根的判别式
2, 对称轴
3, 特殊值
有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。
例1 对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。
练习:若对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。
例
2已知函数
,在时恒有,求实数k 的取值范围。
0m 3x 2x
2≥-+-03mx 2mx 2>++2kx 2x )x (f 2+-=1x -≥k )x (f ≥
二、参数大于最大值或小于最小值
如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量x 的关系,则可以利用函数的单调性求解。恒成立,即大于时大于函数值域的上界。恒成立,即小于时小于函数值域的下界。
例1
若不等式在x ∈[1,2]时恒成立,试求a 的取值范围。
练1:(2007年 福建22)已知函数,)(kx e x f x -=)(R x ∈:
(1)、若e k =,试确定函数)(x f 的单调区间;
(2)、若0>k ,且对于任意R x ∈,0)(>x f 恒成立,试确定实数k 的取值范围;
练2:设函数2)1()1ln()(-+-=x x a x f 且)(x f 在2=x 处有极值。
(1)、求a ;
(2)、当??
????++
∈e e x 1,11时,不等式k x f <)(恒成立,求实数k 的取值范围。
)x (f a >max )x (f a >?)x (f )x (f a 三、变更主元(换位思考) 在解含参不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,可以得到意想不到的效果,使问题能更迅速地得到解决。 例6 若不等式,对满足所有的x 都成立,求x 的取值范围。 练:已知是定义在[-1,1]上的奇函数且,若a 、b ∈[-1,1],a+b ≠0,有。 (1)判断函数在[-1,1]上是增函数还是减函数。 (2)解不等式。 (3)若对所有、a ∈[-1,1]恒成立,求实数m 的取值范围。 )1x (m 1x 22->-2m 2≤≤-)x (f 1)1(f =0b a )b (f )a (f >++)x (f ??? ??->??? ? ?+21x 2f 21x f 1am 2m )x (f 2+-≤]1,1 [x -∈ 第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 1. 2.集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 1.3.元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2. 集合间的基本关系 2.1.子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B(或B ?A). 2.2.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ,A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B. 两集合相等:A =B ?? ??? ? A ? B ,A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性. 2.4.空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}. 3. 集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A∩B ,即A∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B}. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x|x ∈A ,或x ∈B}. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 2. 已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中元素的互异性可 知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. [题组训练] 高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,,对任意的,存在,使得,则 ; 设函数,,对任意的,存在,使得,则 ; 设函数,,存在,存在,使得,则 ; 设函数,,存在,存在,使得,则; 5.若不等式在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数(或)在R 上恒成立,则有(或); ②.若二次函数(或)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???00 a ??2 ()(0)0f x ax bx c a =++≠>0< 1.集合基本运算,数轴应用 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A B = A .{|0}x x ≥ B .{|1}x x ≤ C .{|01}x x ≤≤ D .{|01}x x << 2.集合基本运算,二次函数应用 已知集合{} {}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ,则=B A ( ) A .]1,2[-- B . )2,1[- C..]1,1[- D .)2,1[ 3.集合基本运算,绝对值运算,指数运算 设集合{}{} ]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x ,则=B A ( ) A.]2,0[ B. )3,1( C. )3,1[ D. )4,1( 4.集合基本性质,分类讨论法 已知集合A= {} 22,25,12a a a -+,且-3 ∈A ,求a 的值 5.集合基本性质,数组,子集数量公式n 2 .集合A={(x,y)|2x+y=5,x ∈N,y ∈N },则A 的非空真子集的个数为( ) A 4 B 5 C 6 D 7 6.集合基本性质,空集意识 已知集合A={x|2a-1≤x≤a+2},集合B={x|1≤x≤5},若A∩B=A,求实数a 的取值范围. 7.函数解析式,定义域,换元法,复合函数,单调性,根式和二次函数应用,数形结合法 已知x x x f 2)1(+=+,定义域为:x>0 (1)求f(x)的解析式,定义域及单调递增区间 (2)求(-1)f x 解析式,定义域及最小值 8.函数基本性质,整体思想,解方程组 设1()满足2()()2,f x f x f x x -=求)(x f 9.函数基本性质,一次函数,多层函数,对应系数法 若f [ f (x )]=2x +3,求一次函数f (x )的解析式 10.不等式计算,穿针引线法 (1-x)(21)0(1)x x x +≥- 求x 取值范围 11.函数值域,反表示法,判别式法,二次函数应用,换元法,不等式法 求函数2241x y x +=-的值域 求函数2122 x y x x +=++的值域 求函数x x y 41332-+-=的值域 93(0)4y x x x =+> 12.函数值域,分类讨论,分段函数,数形结合,数轴应用 若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3,则实数a 的值为 (A )5或8 (B )1-或5 (C )1-或4- (D )4-或8 13.函数单调性,对数函数性质,复合函数单调性(同增异减) 函数212 ()log (4)f x x =-的单调递增区间为 A.(0,)+∞ B.(-∞,0) C.(2,)+∞ D.(-∞,2)- 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 高一数学中的恒成立问题 班级 姓名 学号 1.任意x R ∈,不等式()()222240a x a x ----<恒成立,则a 的范围是____(]2,2-___. 2.若不等式x +2xy ≤a (x +y )对一切正数x ,y 恒成立,则正数a 的最小值为 ( B ) A.1 B.2 C.2 1 2+ D.22+1 . B 由条件:2xy ≤(a -1)x +ay 恒成立,而(a -1)x +ay ≥2xy a a )1(-, 令2xy =2xy a a )1(- ,a (a -1)=2, ∴a =2. 3.不等式() ()2212130m x m x ---+>对一切实数x 恒成立,则实数m 的范围为______. 【解】当2 10m -≠时不等式恒成立的充要条件是2 10m ->且()()22411210m m ---<, 即m>1或m<-2;当m-1=0时不等式化为3>0,恒成立.综上m 范围是[)21-∞+∞U (,),+. 4、已知两个正变量y x ,满足4=+y x ,则使不等式 m y x ≥+4 1恒成立的实数m 的取值 范围是 ]4 9,(-∞ 5.已知不等式(x+y)(1x + a y )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 6、若对于一切正实数x 不等式x x 2 24+>a 恒成立,则实数a 的取值范围是 a<24 7.若不等式.2 log 0m x x -<在(0, 1 2 )的范围内恒成立,则实数m 的取值范围是____. 【解】 1 116 m ≤< 提示:利用数形结合讨论0 数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么? 答:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么? 答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么? 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些? 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >,?() f x 的 下界大于A (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界 小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围。 例恒成立,试求实数a 的取值范围; 例数,且当 ? ?? ? ?∈2,0πθ时,有 f . 例4、已知函数 )0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a 、b 为常数.(1)试确定a 、b 的值; (2)讨论函数)(x f 的单调区间; (3)若对任意0>x ,不等式2 2)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。 2例 例恒成立,求实数x 的取值范围 例若不等式2 ()1 f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞, 都成立,求实数x 的取值范围.1.高考数学考点与题型全归纳——集合
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