2017年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题
面积类
【例1】.如图1,已知抛物线经过点A (﹣1,0)、B (3,0)、C (0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.(2)点M 是线段BC 上的点(不与B ,C 重合),过M 作MN ∥y 轴交抛物线于N ,若点M 的横坐标为m ,请用m 的代数式表示MN 的长.
(3)在(2)的条件下,连接NB 、NC ,是否存在m ,使△BNC 的面积最大?若存在,求m 的值;若不存在,说明理由.【考点:二次函数综合题. 专题:压轴题;数形结合.】
【巩固1】.如图2,抛物线()022
32≠--=a x ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,已知B 点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;(2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点,求△MBC 的面积的最大值,并求出此时M 点的坐标.
【考点:二次函数综合题.专题:压轴题;转化思想.】
图
1 图2
平行四边形类
【例2】.如图3,在平面直角坐标系中,抛物线y =x 2+mx +n 经过点A (3,0)、B (0,﹣3),点P 是直线AB 上的动点,过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ,设点P 的横坐标为t .
(1)分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式.
(2)若点P 在第四象限,连接AM 、BM ,当线段PM 最长时,求△ABM 的面积.
(3)是否存在这样的点P ,使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P 的横坐标;若不存在,请说明理由.
等腰三角形类
【例3】.如图,点A 在x 轴上,OA =4,将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置.
(1)求点B 的坐标;
(2)求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.【考点:二次函数综合题.专题:压轴题;分类讨论.】
图3
【巩固3】.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A (0,2),点C (﹣1,0),如图所示:抛物线y =ax 2+ax ﹣2经过点B .
(1)求点B 的坐标;(2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否还存在点P (点B 除外),使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
规律探索类
【例4】如图,已知点A 1、A 2、A 3、A 4…、A n 在x 轴的正半轴上,且横坐标依次为连续的正整数,过
点A 1、A 2、A 3、A 4…、A n 分别作x 轴的垂线,交抛物线y =x 2+x 于点B 1、B 2、B 3、B 4…、B n ,交过
点B 1的直线y =2x 于点C 2、C 3、C 4…、C n 。若△B 1C 2B 2、△B 2C 3B 3、△B 3C 4B 4…、△B n C 1+n B 1+n 的面积分别为S 1、S 2、S 3、…、S n 。
⑴求S 2-S 1与S 3-S 2的值; ⑵猜想S n -S 1-n 与n 的数量关系,并说明理由;
⑶若将抛物线“y =x 2+x ”改为“y =x 2+bx +c ”, 直线“y =2x ”改为 “y =(b +1)x +c ”
与n 的数量关系(直接写出答案)。
综合类
【例5】.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5).(1)求直线BC与抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.【考点:二次函数综合题.专题:压轴题.】
【巩固6】.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC.(1)求直线CD的解析式;(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:△CEQ∽△CDO;(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题【参考答案】
【例题1】考点:二次函数综合题. 专题:压轴题;数形结合.
分析:(1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
(2)先利用待定系数法求出直线BC 的解析式,已知点M 的横坐标,代入直线BC 、抛物线的解析式中,可得到M 、N 点的坐标,N 、M 纵坐标的差的绝对值即为MN 的长.
(3)设MN 交x 轴于D ,那么△BNC 的面积可表示为:S △BNC =S △MNC +S △MNB =MN (OD +DB )=MN ?OB ,MN 的表达式在(2)中已求得,OB 的长易知,由此列出关于S △BNC 、m 的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC 是否具有最大值.
解答:(1)设抛物线的解析式为:y =a (x +1)(x ﹣3),则:a (0+1)(0﹣3)=3,a =﹣1;
∴抛物线的解析式:y =﹣(x +1)(x ﹣3)=﹣x 2+2x +3.
(2)设直线BC 的解析式为:y =kx +b ,则有:,解得;故直线BC 的解析式:y =﹣x +3. 已知点M 的横坐标为m ,MN ∥y ,则M (m ,﹣m +3)、N (m ,﹣m 2+2m +3);
∴故MN =﹣m 2+2m +3﹣(﹣m +3)=﹣m 2+3m (0<m <3).
(3)如图2;∵S △BNC =S △MNC +S △MNB =MN (OD +DB )=MN ?OB ,
∴S △BNC =(﹣m 2+3m )?3=﹣(m ﹣)2+(0<m <3);
∴当m =时,△BNC 的面积最大,最大值为
. 【巩固1】【考点:二次函数综合题.专题:压轴题;转化思想.】
分析:(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B 点坐标代入解析式中即可.
(2)首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标,然后通过证明△ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的位置,由此确定圆心坐标.
(3)△MBC 的面积可由S △MBC =BC ×h 表示,若要它的面积最大,需要使h 取最大值,即点M 到直线BC 的距离最大,若设一条平行于BC 的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M . 解答:(1)将B (4,0)代入抛物线的解析式中,得:∴抛物线的解析式为:y =x 2﹣x ﹣2.
(2)由(1)的函数解析式可求得:A (﹣1,0)、C (0,﹣2);∴OA =1,OC =2,OB =4,
即:OC 2=OA ?OB ,又:OC ⊥AB ,∴△OAC ∽△OCB ,得:∠OCA =∠OBC ;
∴∠ACB =∠OCA +∠OCB =∠OBC +∠OCB =90°,
∴△ABC 为直角三角形,AB 为△ABC 外接圆的直径;
所以该外接圆的圆心为AB 的中点,且坐标为:(,0).
(3)已求得:B (4,0)、C (0,﹣2),可得直线BC 的解析式为:y =x ﹣2;
设直线l ∥BC ,则该直线的解析式可表示为:y =x +b ,当直线l 与抛物线只有一个交点时,可列方程: x +b =x 2﹣x ﹣2,即: x 2﹣2x ﹣2﹣b =0,且△=0;∴4﹣4×(﹣2﹣b )=0,即b =﹣4;∴直线l :y =x ﹣4. 所以点M 即直线l 和抛物线的唯一交点,有:
,解得:即 M (2,﹣3).
过M 点作MN ⊥x 轴于N , S △BMC =S 梯形OCMN +S △MNB ﹣S △OCB =×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
图2 图
5
图7 【例2】考点:二次函数综合题;解一元二次方程-因式分解法;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;平行四边形的判定..
专题:压轴题;存在型.
分析:(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:把A (3,0)B (0,﹣3)分别代入y =x 2+mx +n 与y =kx +b ,得到关于m 、n 的两个方程组,解方程组即可;
(2)设点P 的坐标是(t ,t ﹣3),则M (t ,t 2﹣2t ﹣3),用P 点的纵坐标减去M 的纵坐标得到PM 的长,即PM =(t ﹣3)﹣(t 2﹣2t ﹣3)=﹣t 2+3t ,然后根据二次函数的最值得到;
当t =﹣=时,PM 最长为=,再利用三角形的面积公式利用S △ABM =S △BPM +S △APM 计算即可;
(3)由PM ∥OB ,根据平行四边形的判定得到当PM =OB 时,点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论:当P 在第四象限:PM =OB =3,PM 最长时只有,所以不可能;当P 在第一象限:PM =OB =3,(t 2﹣2t ﹣3)﹣(t ﹣3)=3;当P 在第三象限:PM =OB =3,t 2﹣3t =3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t 的值.
解答:
解:(1)把A (3,0)B (0,﹣3)代入y =x 2+mx +n ,得
解得,所以抛物线的解析式是y =x 2﹣2x ﹣3.设直线AB 的解析式是y =kx +b ,
把A (3,0)B (0,﹣3)代入y =kx +b ,得,解得,所以直线AB 的解析式是y =x ﹣3;
(2)设点P 的坐标是(t ,t ﹣3),则M (t ,t 2﹣2t ﹣3),因为p 在第四象限,
所以PM =(t ﹣3)﹣(t 2﹣2t ﹣3)=﹣t 2+3t ,
当t =﹣=时,二次函数的最大值,即PM 最长值为
=, 则S △ABM =S △BPM +S △APM
==. (3)存在,理由如下:∵PM ∥OB ,
∴当PM =OB 时,点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,
①当P 在第四象限:PM =OB =3,PM 最长时只有,所以不可能有PM =3.
②当P 在第一象限:PM =OB =3,(t 2﹣2t ﹣3)﹣(t ﹣3)=3,解得t 1=
,t 2=(舍去),所以P 点的横坐标是;
③当P 在第三象限:PM =OB =3,t 2﹣3t =3,解得t 1=
(舍去),t 2=,所以P
点的横坐标是
.所以P 点的横坐标是或. 【例题3】分析:(1)首先根据OA 的旋转条件确定B 点位置,然后过B 做x 轴的垂线,通过构建直角三角形和OB 的长(即OA 长)确定B 点的坐标.
(2)已知O 、A 、B 三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)根据(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P 点的坐标,而O 、B 坐标已知,可先表示出△OPB 三边的边长表达式,然后分①OP =OB 、②OP =BP 、③OB =BP 三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的P 点.
解答:
解:(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°,
∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°,
又∵OA=OB=4,∴OC=OB=×4=2,BC=OB?sin60°=4×=2,∴点B的坐标为(﹣2,﹣2);(2)∵抛物线过原点O和点A、B,∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A(4,0),B(﹣2.﹣2)代入,得,解得,
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x
(3)存在,如图,抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),①若OB=OP,则22+|y|2=42,解得y=±2,
当y=2时,在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD==,∴∠POD=60°,
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,即P、O、B三点在同一直线上,
∴y=2不符合题意,舍去,∴点P的坐标为(2,﹣2)
②若OB=PB,则42+|y+2|2=42,解得y=﹣2,故点P的坐标为(2,﹣2),
③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2|2,解得y=﹣2,故点P的坐标为(2,﹣2),
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣2),
【例题5】【考点:二次函数综合题.专题:压轴题.】
分析:(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,将B(5,0),C(0,5)两点的坐标
代入,运用待定系数法即可求出直线BC的解析式;同理,将B(5,0),C(0,
5)两点∑的坐标代入y=x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于
MN的长和M点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出MN的最大值;
(3)先求出△ABN的面积S2=5,则S1=6S2=30.再设平行四边形CBPQ的边BC
上的高为BD,根据平行四边形的面积公式得出BD=3,过点D作直线BC的
平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形
CBPQ为平行四边形.证明△EBD为等腰直角三角形,则BE=BD=6,求出E
的坐标为(﹣1,0),运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1,然后解
方程组,即可求出点P的坐标.
解答:(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,
得,解得,所以直线BC的解析式为y=﹣x+5;
将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x2+bx+c,
得,解得,所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5;
(2)设M(x,x2﹣6x+5)(1<x<5),则N(x,﹣x+5),
∵MN=(﹣x+5)﹣(x2﹣6x+5)=﹣x2+5x=﹣(x﹣)2+,∴当x=时,MN有最大值;
(3)∵MN取得最大值时,x=2.5,∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5,即N(2.5,2.5).
解方程x2﹣6x+5=0,得x=1或5∴A(1,0),B(5,0),∴AB=5﹣1=4,∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5,
∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30.设平行四边形CBPQ的边BC上的高
为BD,则BC⊥BD.
∵BC=5,∴BC?BD=30,∴BD=3.
过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上
截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.∵BC⊥BD,∠OBC=45°,
∴∠EBD=45°,∴△EBD为等腰直角三角形,BE=BD=6,
∵B(5,0),∴E(﹣1,0),
设直线PQ的解析式为y=﹣x+t,将E(﹣1,0)代入,得1+t=0,解得t=﹣1
∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1.解方程组,得,
,
∴点P的坐标为P1(2,﹣3)(与点D重合)或P2(3,﹣4).
【巩固6】.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC.(1)求直线CD的解析式;(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:△CEQ∽△CDO;(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)利用待定系数法求出直线解析式;
(2)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(3)关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形;
(4)如答图②所示,作点C关于直线QE的对称点C′,作点C关于x轴的对称点C″,
连接C′C″,交OD于点F,交QE于点P,则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形,
由轴对称的性质可知,△PCF的周长等于线段C′C″的长度.
利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小.
如答图③所示,利用勾股定理求出线段C′C″的长度,即△PCF周长的最小值.
解答:解:(1)∵C(0,1),OD=OC,∴D点坐标为(1,0).设直线CD的解析式为
y=kx+b(k≠0),
将C(0,1),D(1,0)代入得:,解得:b=1,k=﹣1,∴直线CD的解析式为:y=﹣x+1.(2)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+3,将C(0,1)代入得:1=a×(﹣2)2+3,解得a=.
∴y=(x﹣2)2+3=x2+2x+1.
(3)证明:由题意可知,∠ECD=45°,
∵OC=OD,且OC⊥OD,∴△OCD为等腰直角三角形,∠ODC=45°,
∴∠ECD=∠ODC,∴CE∥x轴,则点C、E关于对称轴(直线x=2)对称,∴点E的坐标为(4,1).
如答图①所示,设对称轴(直线x=2)与CE交于点M,则M(2,1),∴ME=CM=QM=2,∴△QME与△QMC 均为等腰直角三角形,∴∠QEC=∠QCE=45°.又∵△OCD为等腰直角三角形,∴∠ODC=∠OCD=45°,∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°,∴△CEQ∽△CDO.
(4)存在.如答图②所示,作点C关于直线QE的对称点C′,作点C关于x轴的对称点C″,连接C′C″,交OD于点F,交QE于点P,则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,△PCF 的周长等于线段C′C″的长度.
(证明如下:不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F ′,在线段QE 上取异于点P 的任一点P ′,连接F ′C ″,F ′P ′,P ′C ′.由轴对称的性质可知,△P ′CF ′的周长=F ′C ″+F ′P ′+P ′C ′;
而F ′C ″+F ′P ′+P ′C ′是点C ′,C ″之间的折线段,
由两点之间线段最短可知:F ′C ″+F ′P ′+P ′C ′>C ′C ″,即△P ′CF ′的周长大于△PCE 的周长.)
如答图③所示,连接C ′E ,∵C ,C ′关于直线QE 对称,△QCE 为等腰直角三角形,
∴△QC ′E 为等腰直角三角形,∴△CEC ′为等腰直角三角形,∴点C ′的坐标为(4,5);
∵C ,C ″关于x 轴对称,∴点C ″的坐标为(0,﹣1).过点C ′作C ′N ⊥y 轴于点N ,则NC ′=4,NC ″=4+1+1=6,在Rt △C ′NC ″中,由勾股定理得:C ′C ″===.
综上所述,在P 点和F 点移动过程中,△PCF 的周长存在最小值,最小值为
.
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OA<OB),与y轴交于点C,且满足x12+x22﹣x1x2=13. (1)求抛物线的解析式; (2)以点B为直角顶点,BC为直角边作Rt△BCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC =ED,求点E的坐标; (3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E 113 +113 + 3)点Q的坐 标为(﹣3,12)或(2,﹣3).理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1),代入x12+x22﹣x1x2=13,求出m1=2,m2=﹣5.根据OA<OB,得出抛物线的对称轴在y轴右侧,那么m=2,即可确定抛物线的解析式; (2)连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=1 2 CD=CE.利 用SSS证明△OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,﹣m),代入y=x2﹣2x﹣3,求出m的值,即可得到E点坐标; (3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得S△ACQ=S△ACF.由S△ACQ=2S△AOC,得出S△ACF=2S△AOC,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣3x﹣3.根据AC∥FQ,可设直线FQ的解析式为y=﹣3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=﹣3x+3,把它与抛 物线的解析式联立,得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ,求解即可得出点Q的坐标. 【详解】 (1)∵抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0), ∴x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1),
初中总复习考试数学试题及答案 一、选择题,每小题4分,共40分 1.﹣2的相反数是() A.﹣ B.C.﹣2 D.2 2.下列计算正确的是() A.a4+a4=2a4B.a2?a3=a6C.(a4)3=a7D.a6÷a2=a3 3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A.B.C.D. 4.在英文单词“parallcl“(平行)中任意选择一个字母是“a“的概率为()A.B.C.D. 5.某个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图,则该解集是() A.﹣2<x<3 B.﹣2<x≤3 C.﹣2≤x<3 D.﹣2≤x≤3 6.如图,∠1=65°,CD∥EB,则∠B的度数为() A.65° B.105°C.110°D.115° 7.如图,点A(2,t)在第一象限,OA与x轴所夹锐角为α,tanα=2,则t值为() A.4 B.3 C.3 D.1 8.下列命题为真命题的是() A.若a2=b2,则a=b B.等角的补角相等 C.n边形的外角和为(n﹣2)?180° D.若x甲=x乙,S2甲>S2乙,则甲数据更稳定 9.甲、乙二人做某种零件,已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等,若设乙每小时做x个,则可列方程()
A.B.C.D. 10.若,则在同一直角坐标系中,直线y=与双曲线y=的交点个 数为() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题,每小题3分,共18分 11.分解因式:x2﹣6x= . 12.2015年我国农村义务教育营养改善计划惠及学生人数达32090000人,将32090000用科学记数法表示为. 13.已知一个圆锥的底面半径为2,母线长为5,则这个圆锥的侧面积为(结果保留π).14.如图,将正方形纸片按如图折叠,AM为折痕,点B落在对角线AC上的点E处,则∠CME= . 15.如图,Rt△ABC,∠C=90°,BC=3,点O在AB上,OB=2,以OB长为半径的⊙O与AC相切于点D,交BC于点F,OE⊥BC于点E,则弦BF的长为. 16.棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律,逐个排成若干个无缝隙的几何体,图(1)几何体表面积为6,图(2)几何体表面积为18,则图(3)中所示几何体的表面积为. 三、解答题 17.计算: +(3﹣π)0﹣2sin60°+(﹣1)2016+||. 18.先化简,再求值:﹣,其中x=. 19.解方程组:.
初三数学解答题专项训练 2015.5.22 19.化简求值:5 3 3 2 (3)(1)x x x x +÷-+, 20.解方程: 33201x x x x +--=+ 其中1 2 x =- . 21.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,M 为AB 边上中点, 将Rt △ABC 绕点M 旋转,使点C 与点A 重合得到△DEA , 设AE 交CB 于点N . (1) 若∠B =25°,求∠BAE 的度数;(2)若AC =2,BC =3,求CN 的长. 23.已知一次函数m x y +=43 的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点(如图),且与反比例函数 x y 24= 的图像在第一象限交于点C (4,n ),CD ⊥x 轴于D 。 (1)求m 、n 的值; (2)如果点P 在x 轴上,并在点A 与点D 之间,点Q 在线段且AP =CQ ,那么当△APQ 与△ADC 相似时,求点Q 的坐标. x
24.如图,梯形ABCD 中,AD //BC ,CD ⊥BC ,已知AB =5,BC =6,cos B = 3 5 .点O 为BC 边上的动点,联结OD ,以O 为圆心,BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ,交线段OD 于点M ,交射线BC 于点N ,联结MN . (1) 当BO =AD 时,求BP 的长; (2) 点O 运动的过程中,是否存在BP =MN 的情况?若存在,请求出当BO 为多长时BP =MN ;若 不存在,请说明理由; A B C D O P M N
初三数学解答题专项训练 2015.5.23 19.解不等式组:?????≥-+->-x x x 3)1(3141 ;并将解集在数轴上表示出来. 20.1995年联合国教科文组织把每年4月23日确定为“世界读书日”.某中学为了解全校1000名学生平均每天阅读课外书报的时间,随机调查了该校50名学生一周内平均每天阅读课外书报的时间,结果如下表: 根据上述信息完成下列各题: (1)在统计表(上表)中,众数是 分,中位数是 分; (2)请估计该学校平均每天阅读课外书报的时间不少于35分钟的学生大约有 人;( 小明同学根据上述信息制作了如下频数分布表和频数分布直方图,请你完成下列问题: (3)频数分布表中=m ,=n ;(4)补全频数分布直方图. 21.迎接“2010年上海世博会”,甲、乙两个施工队共同完成“阳光”小区绿化改造工程,乙队先单独做2天后,再由两队合作10天就能完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程比甲队单独完成此项工程少用5天,求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天? 22.如图,在△ABC 中,BC AD ⊥,垂足为D ,4==DC AD , 3 4tan =B . 求:(1) ABC ?的面积; (2) BAC ∠sin 的值. A B C D 频数分布表 分)
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-
一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:??? ??++22 B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ;∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 小结.. :关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a
y x O 课时17.二次函数及其图象 【课前热身】 1.将抛物线y =-3x 2向上平移一个单位后,得到的抛物线解析式是___________. 2.如图所示的抛物线是二次函数y =ax 2-3x +a 2-1的 图象, 那么a 的值是______. 3.二次函数y =(x -1)2+2的最小值是() A.-2B.2C.-1D.1 4.二次函数y =2(x -5)2+3的图象的顶点坐标是() A.(5,3) B.(-5,3) C.(5,-3) D.(-5,-3) 5.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,则下列结论正确的是() A.a >0,b <0,c >0B.a <0,b <0,c >0 C.a <0,b >0,c <0D.a <0,b >0,c >0 【知识整理】 1.解析式: (1)一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0) (2)顶点式:y =a (x -h )2+k (a ≠0),其图象顶点坐标(h ,k ). (3)两根式:y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0),其图象与x 轴的两交点分别为(x 1,0),(x 2,0). 注意:①一般式可通过配方法化为顶点式.②求二次函数解析式通常由图象上三个点的坐标,用待定系数法求得.若已知抛物线的顶点和
y x O 对称轴,可用顶点式;若已知抛物线与x 轴的两个交点,可用两根式;若已知三个非特殊点,通常用一般式. 2.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和性质 a >0 a <0 图象 开口 对称轴 顶点坐标 最值 当x =_______时,y 有最 _____值为________. 当x =_______时,y 有最 _____值________. 增 减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而______ y 随x 的增大而 ______ 在对称轴右侧 y 随x 的增大而______ y 随x 的增大而 ______ 3.二次函数y =a (x -h )2+k (a ≠0)的对称轴是______________,顶点坐标是___________. 4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成y =a (x -h )2+k 的形式,其中 h =____,k =________. 5.二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和y =ax 2图象的关系.
2018年初中数学中考大题 一.解答题(共25小题) 1.目前,崇明县正在积极创建全国县级文明城市,交通部门一再提醒司机:为了安全,请勿超速,并在进一步完善各类监测系统,如图,在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此车超速了吗?请说明理由. (参考数据:,) 2.2014年3月,某海域发生航班失联事件,我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救,分别在A、B两个探测点探测到C处是信号发射点,已知A、B两点相距400m,探测线与海平面的夹角分别是30°和60°,若CD的长是点C到海平面的最短距离.(1)问BD与AB有什么数量关系,试说明理由; (2)求信号发射点的深度.(结果精确到1m,参考数据:≈1.414,≈1.732)
3.如图,某生在旗杆EF与实验楼CD之间的A处,测得∠EAF=60°,然后向左移动12米到B处,测得∠EBF=30°,∠CBD=45°,sin∠CAD=. (1)求旗杆EF的高; (2)求旗杆EF与实验楼CD之间的水平距离DF的长. 4.已知:如图,斜坡AP的坡度为1:2.4,坡长AP为26米,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求: (1)坡顶A到地面PQ的距离; (2)古塔BC的高度(结果精确到1米).(参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)
2019 初三数学中考复习统计专题复习练习 1.要调查河池市中学生了解禁毒知识的情况,下列调查方式最合适的是( ) A.在某中学抽取200名女生 B.在某中学抽取200名男生 C.在某中学抽取200名学生 D.在河池市中学生中随机抽取200名学生 2.一组数据7,8,10,12,13的平均数是( ) A.7 B.9 C.10 D.12 3.某校规定学生的学期数学成绩满分为100分,其中研究性学习成绩占40%,期末卷面成绩占60%,小明的两项成绩(百分制)依次是80分,90分,则小明这学期的数学成绩是( ) A.80分 B.82分 C.84分 D.86分 4. 以下问题不适合全面调查的是( ) A.调查某班学生每周课前预习的时间 B.调查某中学在职教师的身体健康状况 C.调查全国中小学生课外阅读情况 D.调查某校篮球队员的身高 5. 电视剧《铁血将军》在我市拍摄,该剧展示了抗日英雄范筑先的光辉形象.某校为了了解学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况,从全校2 400名学生中随机抽取了100名学生进行调查.在这次调查中,样本是( ) A.2 400名学生 B.100名学生 C.所抽取的100名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况 D.每一名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况
6. 下列调查中,最适合采用全面调查(普查)方式的是( ) A.对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查 B.对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查 C.对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查 D.对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查 7. 今年我市有4万名考生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取2 000名考生的数学成绩进行统计分析,在这个问题中,下列说法:①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;②每个考生是个体;③2 000名考生是总体的一个样本;④样本容量是2 000,其中说法正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 为了了解某班同学一周的课外阅读量,任选班上15名同学进行调查,统计如表,则下列说法错误的是( ) A.中位数是2 B.平均数是2 C.众数是2 D.方差是2 9. 某校有25名同学参加某比赛,预赛成绩各不相同,取前13名参加决赛,其中一名同学已经知道自己的成绩,能否进入决赛,只需要再知道这25名同学成绩的( ) A.最高分 B.中位数 C.方差 D.平均数 10. 小黄同学在参加今年体育中考前进行了针对性训练,最近7次训练成绩依次为:41,43,43,44,45,45,45,那么这组数据的中位数是( ) A.41 B.43 C.44 D.45 11. 一组数:8,9,7,10,6,9,9,6,则这组数的中位数与众数的和是( ) A.16.5 B.17 C.17.5 D.18 12. 学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数,并根据数据绘制成了条形统计图,则30名学生参加活动的平均次数是( )
九年级利润问题专题训练 1、某商场以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与 每件的销售价x(元)满足关系:m=140-2x。 (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利 润为多少? 2、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若设降价价格为x元: (1)设平均每天销售量为y件,请写出y与x的函数关系式. (2)设平均每天获利为Q元,请写出Q与x的函数关系式. (3)若想商场的盈利最多,则每件衬衫应降价多少元? (4)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天的盈利在1200元以上?
3、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场 调查发现,若每箱以50元的价格调查,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱. (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式. (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 4、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家 电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台. (1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围) (2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?
二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0