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高数A(2)习题课(5-6)微分学1

2012-3-27

1. 2.

A. ,

00lim ()()()M M f M f M f M M .

C. Copyright ? JINHUAZHOU

2012-3-27

5. s

y y u s x x u s u 4. t

y y u t x x u t u 6. ?

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x y F dy dx F

1 F (x,y ) X 0(x 0,y 0) U (X 0) , , F (x,y )=0 X 0(x 0,y 0) ( ) y =y (x ) y 0=y (x 0) ,

0000(,)0,(,)0y F x y F x y Copyright ? JINHUAZHOU

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(,,)F x y z 0000(,,)X x y z 000000(,,)0,(,,)0y F x y z F x y z (,,)0F x y z 0X (,)z z x y 000(,)z z x y ,x z F z x F 0()

U X .y z F z

y F

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3 , (1)(2)(3) X 0 0,

10(,,,),(,,,)(())F x y u v G x y u v C U X 00000000(,,,)(,,,)0F x y u v G x y u v 0

(,)0.

(,)u v u v X

X F F F G G G u v 400000(,,,)X x y u v R F (x,y,u,v )=0

G (x,y,u,v )=0

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F G u x v F G x

u v (,)(,)(,)(,)F G v u x F G x

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000000(,),(,)u u x y v v x y (,),(,)

u u x y v v x y

(,)(,),

(,)(,)F G u y v F G y

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F G v u y F G y

u v

2012-3-279

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12()(,,,)()k

n f X f x x x C k

22.

X X X X z

z x y

y x

2z y x

()(,)z f X f x y 2z x y

000(,)X x y 0()U X 0X Copyright ? JINHUAZHOU

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0()(,)(())n z f X f x y C U X 000(,)X x y ()(,)X x y 0000()(,)()X X x x y y U X 00011

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101()((),01(1)!n n R x y f X X n x y

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k i i k i k i k i i f X x y f X C x y x y x y 8.

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()(,)z f X f x y 000(,)X x y ()z f X (cos ,cos )e 000()()()

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x y f X f X ? ()()((,),(,)),f x y gradf X J X f x y f x y f (X ) X .

e , .

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P51 (2)

)

z z x

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.z C u

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.z D v

z u

A :z z z u z v x

y u x y u x v x z u z

z u z v uv u y v y

10z z uv u v x

2z z y u

u u v x

P 62 r r B A

x y o : AoB=x BoC=y AoC=2 -x-y

2 -x-y S ABC

22tan tan tan 222

x y x y

r r r y 0,0,x

S S 22sec sec 22

x y

22cos cos 22x y

x=y x,y 0.x

S 2221+cos sec sec ,cos 22x x

x x 1cos 1cos 2x x

2(0)3

x x . Copyright ? JINHUAZHOU

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(,)y f x y x y x

+=-, (,)

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y f x y x y x y x y x

+=-=-+ 2

()x y

x y x y

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1()1y x x y y x

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22200

sin()lim x y x y x y 2222200sin()lim x y x y x y

x y x y

2200

sin()lim x y x y x y 0sin lim

u u

1 2220x y x y x 2

1 ,00 x 22200sin()

lim 0.x y x y x y y

x u 2 2

200

sin()

lim x y x y x y Copyright ? JINHUAZHOU

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222

(,)()x y f x y x y x y =

+- : (0,0) , .

k =0,1 0,1; .

22200lim lim ()x y x y x y x y

lim 00x 22222

00lim lim

()y x x y x y x y 0lim 00x y kx =2222200

lim ()x y x y x y x y 42

422200

lim (1)x y x k x k x k Copyright ? JINHUAZHOU

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200

lim x y x y

x y ,

kx y 3

6200

lim x y x y x y 33

6260lim x y kx

x kx x k x 2

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y y f x y A (x,y ) (x,y )

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f (x,y )=

(0,0) x,y , (0,0)

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226

()x

y x x -+0

x y +220x y += 0

0(,0)0lim x f x x

226

00(0)lim x x x x x 2

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(,)f x y y

??0

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y f y y

lim y y 0

2y x = (0,0) , . 0

lim (,)x y f x y 5

6001lim lim x x x x x

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(,),(,),(,).

y x y f x y x f x y f x y (1) 1,

y x f x y yx , (2).,),sin(2

x z y x z

(1)22[cos()]2z

x y x x

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y y f x y x x ,22[cos()](2)z

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x x y 222cos().

y x y Copyright ? JINHUAZHOU

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),(),(y x y x y x f ),(y x

0,0 ),(y x

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x x x x x x x )0,0()0,0( 0)0,0( )0,0(0)0,0(x f .0)0,0( x f , )0,0(0)0,0(y f .

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.,,)(),,(2223y

x z

y z y z f x

xy f x z

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y y x y

3121z x f x f y x

4212x f x f 24211122122211+z x f x f x f x f y x x

53111222

2+x f x x f xf Copyright ? JINHUAZHOU

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z z

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22xf 221

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JINHUAZHOU

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y x y x e y x f y x f (x,y ) (0,0)

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JINHUAZHOU

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x y x y f x y f f x f y

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x y f x y f f x f y

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xy x y

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x y u

u f f du y z y z 1

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x y y y y z z z 11222211()x y

f dx f f dy f dz y y

z z

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12()()x y du f d f y z 122

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y z

122211()()

x y

f dx dy f dy dz y y z z 11222211()x y

f dx f f dy f dz y y z z

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x f f f y z y z z z z

12212222

222110()0()x

y y f f f f f y z z z z

1222

22321x y f f f yz z z

z=xf (x+y ),F (x,y,z )=0 f F

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d d z x

=32(x f F F ￠￠￠+d d z

=1F ￠+32x f F F =

￠￠￠

--231x f F F ￠-￠￠

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￠-+￠￠

-122x F f x F f f F ￠￠￠￠￠

-- , d d d d y z

x f f x f x x

￠

￠-+=+231d d d d y z F F F x x ￠￠￠+=-f +x f ￠×d (1)

d y

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z 2d d y F x ￠+3d 0

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￠= 10 0)

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f y ￠+d 0

z -=d d (d d )

z f x x f x y ￠=+×+123d d d 0

F x F y F z ￠￠￠++=()d f x f x ￠+1d F x ￠

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y +x –e xy

= 0 y =y (x ) .

x y

d (y +x –

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= 0

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+y d x )= 0.

1-x e xy 0 ,

d e 1

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y y x x e 1.1e xy x xy y y x 11

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3224dx dy udu dv dx dy du vdv

1[(112)(42)]181[(23)(14)]18du v dx v dy uv dv u dx u dy uv

121423214,,,.

81818181

u v u v u u u u x uv x uv x uv x uv 22

322x y u v

x y u v

(,)(,)

u u x y v v x y

,,,.u u v v x y x y

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sin z xy x y 2

2(2sin )2sin ,z y x y y x x

2222(cos )sin ,z x x y x y y y

2(2sin )12cos ,z y x y x y x y y

(cos )12cos z x x y x y y x x 22sin ,cos ,z z

y x y x x y x y

z x y

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,1z x y x x y y x

222()z y x y y x y 14222()z x y x x x y 22222()(02)()x y y y x y 22222,()y x x y 222221()(20)()x y x x x y 22

.()y x x y

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,xyz u

yze x 2()()(1),xyz xyz xyz u yze z ye z xyz e x y y y

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(1)(1)xyz xyz xyz xyz e z xye z xyz e xy

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xyz xyz x y z e

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(,)x y f x y e

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f x y e 2R ,(0,0)1

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x y n e x y x y x y n

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n x y x y e n

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l l 17

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(,,)u u u gradu x y z i j k x y z

(1,1,2)5212.gradu i j k 031

(,,0)22P (23)(42)6,

x i y j zk (1,1,2)

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1.xy xy y x 4

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0 (0,0)

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()x y f x y x y x y 1

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2.(,)()sin sin ;

f x y x y x y

z u y u x u z y x u Copyright ? JINHUAZHOU

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u x x y y x y x x y y Copyright ? JINHUAZHOU

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4 .

1 ,

2 F (x ,y ) , ,0),( z

z x F .d z 3 22240x y z z 22

x 22250234

x y z x y z ,.

dy dz dx dx )2sin(y x e z x 5 ,(f ),

(,)y z x f xy x

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(,)f x y x xy y (1,1)x l 7 222

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(2)z x z 12122.

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F dx F dy xF yF

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y z y z

6. 2sin()

000222000

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u x y z x y z .

a b c

高等数学第二章练习及答案

第二章一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处（） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +

7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （） 4. 极值点一定是驻点. （） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （）四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+，（2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ，（3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？

专升本高等数学测试及答案(第二章)

高等数学测试（第二章）一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是（） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是（） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?

高数课后习题及答案第二章 2.3

2．2）1 ()3,0 x f x x ==；解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ；解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ；解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==；

高等数学练习答案1-10

习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

高等数学第二章练习及答案

x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义不连续第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o )

7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种

同济大学版高等数学课后习题答案第2章

习题2-1 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t ]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t ). 如果旋转是匀速的, 那么称t θω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+?t ]内的平均角速度ω为 t t t t t ?-?+=??=) ()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为 )() ()(lim lim lim 000000t t t t t t t t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T (t ), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+?t ]内, 温度的改变量为 ?T =T (t +?t )-T (t ), 平均冷却速度为 t t T t t T t T ?-?+=??) ()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为 )() ()(lim lim 00t T t t T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f (x )元, 此函数f (x )称为成本函数, 成本函数f (x )的导数f '(x )在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x )的实际意义. 解 f (x +?x )-f (x )表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量. x x f x x f ?-?+) ()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0表示当产量为x 时单位产量的成本. 4. 设f (x )=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 x x x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2 200)1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 1002 0-=?+-=??+?-=→?→?x x x x x x .

高等数学习题及解答 (1)

普通班高数作业（上）第一章函数 1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：（第二版P22:4；第三版P8:1）（注：“第二版P22:4”指第二版教材第22页的第4题）（2）)sin(arcsin x y =与x y =；（4）x y = 与2x y =；（6）)arctan(tan x y =与x y =；（8）)(x f y =与)(y f x =。 2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（第二版P22:5；第三版P8:2）（2）x x x y -+=2；（3）x y x -+=1ln arcsin 21；（7）x e y x ln 111 -+ =。 3、设?????<-≥-=0 ,10 ,1)(2 2x x x x x f ，求)()(x f x f -+。（第二版P23:10；第三版无） 4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：（第二版P23:11；第三版P12:1）（2）24x x y -= ；（4）x x y -=。 5、讨论下列函数的奇偶性：（第二版P23:12；第三版P12:2）（2）x x x x f tan 1)(2+-=；（3）)1ln()(2x x x f -+=；（6）x x f ln cos )(=；（7）? ??≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。 6、求下列函数的反函数及反函数的定义域：（第二版P23:16；第三版P14:1）（1）)0,(),21ln(-∞=-=f D x y ；（6）???≤<--≤<-=21,)2(210, 12)(2 x x x x x f 。 7、（1）已知421)1(x x x x f +=-，求)(x f ；（2）已知2 ln )1(222 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?求)(x ?。（第二版P23:19；第三版P16:3） 8、以下各对函数)(u f 与)(x g u =中，哪些可以复合构成复合函数)]([x g f ？哪些不可复合？为什么？（第二版P24:23；第三版P16:7）

高等数学第二章课后习题答案

第二章导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ），其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4 则34x ⑵ ='=y x y ,32 则1 323 x - ⑶ ='=y x y ,1 则3212x -- ⑷ = '=y x x y ,5 3则11 5165x 4．求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)23y x π- =- 2(1)0y +-=

法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-+= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小所以函数在0x =处连续因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠Q '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;

大学高等数学第二章习题及答案

习题2—1（A ） 1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限；（2）求分段函数(),, ()(),x x a f x x x a ?φx )处的导数．解：x x x x x x x y x x x x x x 1 e ln ])1ln[(lim ln )ln(lim 1 100==?+=?-?+='?→?→?． 5．对函数x x x f 2)(2 -=，分别求出满足下列条件的点0x ：（1）0)(0='x f ；（2）2)(0-='x f ．

自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册.

第一章函数与极限一、选择题： 1．函数的定义域是（） (A； (B； (C； (D. 2.函数的定义域是（） (A；(B;(C; (D. 3、函数是（） (A偶函数； (B奇函数； (C非奇非偶函数；(D奇偶函数. 4、函数的最小正周期是（） (A2； (B； (C 4 ； (D . 5、函数在定义域为（） (A有上界无下界； (B有下界无上界； (C有界，且； (D有界，且. 6、与等价的函数是（） (A ； (B ； (C ； (D .

7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）. 8、设则当（）时有 . (A； (B； (C； (D任意取 . 9、设,则( (A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 . 10、（） (A1； (B-1；(C0； (D不存在. 二、求下列函数的定义域： 2、 . 三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 . 四、求的反函数.

五、求极限： 1、； 2、； 3、； 4、； 5、当时，； 6、 . 六、设有函数试确定的值使在连续 . 七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 . 八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 . 第二章导数与微分一、选择题： 1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；

（D）； 2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直： 3、若函数在点不连续，则在 ( （A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义. 4、如果=（），那么. (A ； (B ； (C ； (D . 5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）. 6、已知函数具有任意阶导数，且 ,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；

高等数学习题2-1答案

习题2-1 1.解：当自变量从x 变到1x 时，相应地从y ()=8f x x 1变到1()=8f x x ，所以导数 111111 ()()8()lim lim 8x x x x f x f x x x y x x x x →→??′==??=. 2.解：由导数的定义可知 022020()() ()lim ()()( lim 2 lim 2h h h f x h f x f x h a x h b x h c ax bx c h axh h bh ax b h →→→+?′=++++?++=++==+)。 3．解：0022()22()lim lim x x x x x sin sin cos x x cos x cos x x x Δ→Δ→+ΔΔ??+Δ?′==ΔΔ 0022lim lim 2 2x x x sin x x -sin sin x Δ→Δ→Δ+Δ=?Δx =? 4. 解：（1）不能，（1）与()f x 在0x 的取值无关，当然也就与()f x 在0x 是否连续无关，故是0()f x ′存在的必要条件而非充分条件. （2）可以，与导数的定义等价. （3）可以，与导数的定义等价. 5. 解：（1）4 5x ；（2）3212x ??；（3）157227x ；（4）1 ln 3x ；（5）5 616x ?；（6）. 22x e 6. 解：物体在t 时刻的运动速度为：，故物体在时的速度为：2 ()()3()V t S T t m /s ′==2t =s 22()3212()t m /s ==?=V t . 7．证明：由导数定义，知： 00()(0)()(0)(0)lim lim 0x x f x f f x f f x x →→??′==?? 00()(0)()(0)lim lim (0)0t x t t f t f f t f f t t =?→→??′==?=??? 所以，。 (0)0f ′=

高数上第一章答案

2016～2017 学年第一学期科目: 高等数学(一)第一章单元测试题答案命题教师：使用班级：全校16级理科一．单项选择题（每小题2分，共20分） 1．选B 因为A 、C 、D 中两个函数的定义域不同 2．选C 220ln(1)lim 1tan x x x →+= 3．选C 根据连续的定义. 4．选A 根据连续的定义 5．选D 初等函数在其定义区间是连续的，故只要0)2)(1(≥--x x 即可，由于分母不能取0，故（D ）正确。 6．选Ｄ 00sin sin lim lim 1||x x x x x x ++→→==，00sin sin lim lim 1||x x x x x x --→→=-=- 0sin lim || x x x →∴不存在 7．选Ｄ 11(1)100 lim(1)lim[1()]x x x x x x e ?---→→-=+-=， 8．A 00lim ()1,lim ()1(0)x x f x f x f →-→+===，故是连续点。 9．选Ｃ由函数极限的局部有界性定理知，)(lim 0 x f x x →存在，则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界，而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0 x f x x →存在，例如x x 1sin lim 0→，函数11sin 1≤≤-x 有界，但在0=x 点极限不存在 10．选Ｃ 003sin 3sin 334lim lim ,22229 x x mx m mx m m x mx →→===∴= 二. 填空题(每小题3分，共15分，请把答案填在横线上)

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解.

第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1 ★1．求下列函数的定义域：

知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合；思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥W ④ arcsin W （W []1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11 10010112 2 ?-∈????≤≤-≠????≥-≠?--=x x x x x x x y ；（2） 3112 1 121arcsin ≤≤-?≤-≤-?-=x x x y ；（3） ()()3,00,030031 arctan 3?∞-∈?? ??≠≤????≠≥-?+-=x x x x x x x y ；（4） ()()3,11,1,,13 10301lg 3?-∞-∈????-<<=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2） 12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ； 12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+” 与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数； ★ 3．设??? ??? ? ≥<=3,03 ,sin )(ππ?x x x x ，求)2()4 ()4()6( --?π ?π?π ?，，，，并做出函数 )(x y ?=的图形

高等数学(1)标准化作业题参考答案 2.2

25 第二节函数的求导法则一、填空题 1.(tan )x '= 2sec x ，(cot )x '=2csc x -，(sec )x '=sec tan x x ，(csc )x '=csc cot x x -， (arcsin )x ' (arccot )x '=2 11x -+，()x a '=ln x a a ，(log )a x '=1ln x a . 2.已知1 sin cos 2ρθθθ=+，则4 d d π θρ θ = =π48+. 3.设ln y =y '= 4.设2111f x x x ??=++ ???，则()f x '=32 1x -+. 5.曲线2sin y x x =+在点π π,122?? + ???处的切线方程为1y x =+. 6.设2()y f x =，且()f x 可导，则d d y x =22()xf x '. 二、单项选择题 1.设()sin f x x =，则()πf '= B . A.0 B.1- C.1 D.π 2.设3523e 2x x y x =-++，则0|x y ='= C . A.5ln 2- B.1 3ln 2- C.3ln 2- D. 2 3.设1 arccos y x =，则y ' = C . D. 4.设y =y '= B .

26 A.211x + B.211x - C.211x - D.212(1) x - 5.设g 是f 的反函数，且2(4)5,(4)3 f f '==，则(5) g '= D . A.23 B.1 C.0 D.32 三、求下列函数的导数 1.21arctan 2ln ln 2y x x x =-+- 解：21(arctan )2(ln )(ln 2)y x x x '??''''=-+- ??? 231221x x x =+++. 2.2sin(21)e x y x -=? 解：2sin(21)sin(21)2sin(21)[e ]2e 2e cos(21)x x x y x x x x ---''==+- sin(21)2e [1cos(21)]x x x x -=+-. 3.1,0x y x x ??=> ??? 解：1 ln e x x y =，故1 ln 2211e ln x x y x x x ????=+- ?????????? ??-??? ??=11ln 1x x x . 4.设()f x 可导，计算函数(e )x y f x =+的导数 d d y x . 解：()()d e e d x x y f x x x ''=+?+()()e 1e x x f x '=++ .

高数第一章习题

高等数学第一章习题一、填空 1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=?，则复合函数)]([x f y ?=的定义域为),1[e 2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1 1 ( +x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设?? ?≤<-≤≤=2 11 1 01 )(x x x f ，则)2(x f 的定义域 [0，1] 。 5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+ ∈,)4 ,(π ππ 6. 已知21)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。 7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x f e 的定义域(,0]-∞ 8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22 2k k π πππ?? -+ ??? ? 9. x x sin lim x ∞→＝ 0 10.()()()=+-+∞→176 1125632lim x x x x 176 5 3。 11.x x x )21(lim -∞ →＝ 2e - 12.当∞→x 时， x 1 是比3+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 2 3 - 14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界有界。 15.若A x f x x =→)(lim 0 （A 为有限数），而)(lim 0 x g x x →不存在，则)]()([lim 0 x g x f x x +→ 不存在。 16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。（不一定） 17.函数2 31 22 ++-= x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。 19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的充要条件，是函数连续的必要条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）

高等数学第二章复习题及答案

高等数学习题集及解答第二章一、填空题 1、设()f x 在x a =可导，则0()() lim x f a x f a x x →+--= 。 2、设(3)2f '=，则0 ______________(3)(3) lim 2h f h f h →--= 。 3、设1()x f x e -=，则0_____________(2)(2) lim h f h f h →--= 。 4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2 x f x f x x x π '= =<<-，则0_______________________()f x = 。 5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy dx = 。 6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。 7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。 8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。 9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。 10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。 11、设0()1f x '=-，则0 ___________ 00lim (2)()x x f x x f x x →=---。

12、设tan x y y +=，则_________________________ dy = 。 13 、设ln y =_______________(0)y '''=。 14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是 ______________________ 。 15、1cos 0()0 x x f x x x λ ?≠?=??=?，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是 _______________________ 。 16、知曲线323y x a x b =-+与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为 ____________ 。二、选择题。 17、设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（）。 A 充分了必要条件， B 充分但非必要条件， C 必要条件但非充分条件， D 既非充分条件又非必要条件。 18、函数3 221()3 1 x x f x x x ?≤?=??>?在1x =处（） A 左右导数均存在， B 左导数存在，右导数不存在，

高数课后习题及答案--第二章-2.7

1． ()()()()21 1 1 1 0,11)()21,12 1,2()(),1,122,()12(),:lim ()0,lim ()lim 213lim ()x x x x x f x x x x x f x f x f x x x f x f x f x x f x -++-→→→→?? -∞+∞=-∞+∞====若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间是连续的，因此只要证明出在点处的连续性，便可得出函数在定义域上的连续性，具体如下因为，f(0)=1即0 lim ()lim ()()0x x f x f x f x x -+→→===f(0)=1所以在处连续

新课程标准数学必修1第二章课后习题解答[唐金制]

新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章基本初等函数（I ） 2．1指数函数练习（P54） 1. a 21 =a ,a 43 =4 3 a ,a 5 3- = 5 3 1 a ,a 3 2- = 3 2 1 a . 2. (1)3 2 x =x 32 , (2)43 )(b a +=(a +b )43 , (3)32 n) -(m =(m -n )32 , (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3 q 25 ,(6) m m 3 =m 2 13- =m 25 . 3. (1)( 49 36)23 =［( 7 6)2］23 =( 7 6)3= 343216; (2)23×35.1×6 12=2×321 ×( 2 3)31 ×(3×22)6 1 =2 3 1311--×36 13121++=2×3=6; (3)a 2 1a 4 1a 8 1- =a 8 14 12 1 - +=a 8 5 ; (4)2x 3 1- ( 2 1x 3 1 -2x 3 2- )=x 3 1 31+--4x 3 22 1- -=1-4x -1 =1x 4- . 练习（P58） 1.如图图2-1-2-14 2.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =3 2 -x 的定义域为｛x |x ≥2｝; (2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(2 1)x 1 的定义域是｛x ∣x ≠0｝. 3.y =2x (x ∈N *) 习题2.1 A 组（P59） 1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y . 2解：(1) 6 23 b a a b = 21 2 162122 1 2 3 )( ? ? ?b a a b =2 32 3 2 12 1 - - ?b a =a 0b 0 =1. (2)a a a 21 21=212121 a a a ?=2121a a ?=a 21 .

高数一第二章测试题

第二章测试题一、单项选择题 1.如果数列{x n}无界，则{x n}必（） A．收敛 B．发散 C．为无穷大 D．为无穷小 2. 3.如果，则k=（） A.0 B.1 C.2 D.5 4.=（） A.不存在 B.∞ C.0 D.1 5. 6.当x->0时与sinx2等价的无穷小量是（） A.2x B.x2

C.sin2x+x D.ln（1+x） 7.f（x0+0）与f（x0-0）都存在是函数f（x）在x=x0处有极限的一个（） A.充要条件 B.必要条件 C.无关条件 D.充分条件 8.( ) A.0 B.∞ C.2 D.-2 9. 10. 11.

12. A.x=6、x=-1 B.x=0、x=6 C.x=0、x=6、x=-1 D.x=-1、x=0 13.定义域为（-1，1），值域为（-∞, +∞）的连续函数（） A.存在 B.不存在 C.存在但不惟一 D.在一定条件下存在 14. 15.当x→0时，与e-2x-1等价的无穷小量是（） A.-2x B.x C.e x D.-x 二、计算题（一）。 1. 2. 3. 4. 三、计算题（二）。 1.,求a,b

2. 3.求f(x)=的间断点，说明它的类型。 4.若在x=1连续，求a,b 四、证明题。 1.证明方程x2x-1=0在（0,1）内至少有一根答案部分一、单项选择题 1.【正确答案】 B 2.【正确答案】 A 3.【正确答案】 D 【答案解析】由于这是一个重要极限的形式，所以这个极限式为k，从而k=5。 4.【正确答案】 A 【答案解析】当x趋于+∞时，极限是+∞，当x趋于-∞时，极限是0+1=1。 5.【正确答案】 B 6.【正确答案】 B 【答案解析】 sinx2等价于x2，所以A选项不对，sin2x+x等价于x，ln（1+x）等价于x。 7.【正确答案】 B 【答案解析】x→x0时，f（x）极限存在的充分必要条件为左右极限都存在并且相等，所以若f（x）在x=x0处有极限，则必有f（x0+0）与f（x0-0）都存在；都存在不代表都相等，所以不一定有极限，因此为必要条件，并非充分条件。 8.【正确答案】 C 【答案解析】分子分母同除以x方就可以得到答案了 9.【正确答案】 C 10.【正确答案】 D 【答案解析】 11.【正确答案】 B 12.【正确答案】 C 【答案解析】由于x3-5x2-6x=x（x2-5x-6）=x（x-6）（x+1），所以f（x）的间断点是x=0，x=6，x=-1。

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