量子力学导论答案下(7-12)

第七章 粒子在电磁场中的运动

7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征。 （参《导论》225P ）

解：以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则

()0,0,εε=， ()B ,0,0= （1）

去电磁场的标势和矢势为

x εφ-=， ()0,,0Bx = （2）

满足关系

φε-?=， ??=

粒子的Hamiton 量为 x q p x C qB p p u H z y x ε-???

?????+??? ??-

+=2

2

221 （3） 取守恒量完全集为()

z y p p H ,,，它们的共同本征函数可写成

()()()

z p y p i z y e

x z y x +=ψψ,, （4）

其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。

()z y x ,,ψ满足能量本证方程： ()()z y x E z y x H ,,,,ψψ=

因此()x ψ满足方程

()()()x E x x q x p x C qB p p u z y x ψψεψ=-???

?????+??? ??-

+2

2

221 （5） 亦即，对于()x ψ来说，H 和F 式等价：

()

2

222

222222122z y y p p u x p uC qB q x uC B q x u H ++??? ?

?+-+??-?ε ()()

2

2202

222022222221222z y p p u x uC

B q x x u

C B q x u ++--+??-= （6） 其中 ????

??+=??? ?

?+=u p B C qB uC p uC qB q B q uC x y y εε2220 （7） 式（6）相当于一维谐振子能量算符

()uC

B q x x u x u =-+??-ωω ,212202

2

22 再加上两项函数，因此本题能级为

()

2

2202

2221221z y p p u x uC B q n E ++-??? ?

?+=ω

22

2221221z y p u p B C B u C uC q B n +--??

? ??

+=εε （8） 其中y P 和z P 为任意实数， ,2,1,0=n

式（4）中 为以()x ψ为()0x x -变量的一维谐振子能量本征函数，即

()()()202

ξξψψ-=-=e H x x x n n （9）

()ξn H 为厄密多项式，()()00x x C B q x x u -=-=

ω

ξ 。 7.2）设带电粒子在均匀磁场B 和各向同性谐振子势()2

22

1r r V μω=中运动，求能量本征值。

第八章 自旋

8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。

解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：x σ???

?

??=0110

设x σ的本征矢（在z σ表象中）为????

??b a ，则有???

?

??=???? ??????

??b a b a λ0110 可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。

,1=λ 则;b a = ,1-=λ 则b a -=

利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为

,1=λ

;1121???? ?? ,1-=λ ???

?

??-1121 。

8.2) 在z σ表象中，求?的本征态，()??θ?θcos ,sin sin ,cos sin n

是()?θ,方向的单位矢. 解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为

x σ???? ??=0110， y σ???? ??-=00i i ， z σ???

?

??-=1001 （1）

因此， z z y y x x n n n n n σσσσ++=?=

???

?

??-=???? ??-+-=-θθθθ

??cos sin sin cos i i z y x y x z e e n in

n in n n （2）

设n σ的本征函数表示为Φ???

?

??=b a ，本征值为λ，则本征方程为

()0=-φλσn ，即 0cos sin sin cos =???

?

?????? ??----b a e e i i λθθθλθ?? （3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。

对于1=λ，代回（3）式，可得

x y x y x x i i n in n in n n e e b a --=

++==-=--112

sin 2cos cos 1sin ?

?θθθθ 归一化本征函数用()?θ,表示，通常取为

()???? ??=?θθ?θφi e 2sin 2cos ,1或???

?

? ??-222sin 2cos ??

θθi i e

e （4） 后者形式上更加对称，它和前者相差因子?i e -，并无实质差别。若用n

的直角坐标分量来表示，可以取为

()

()???? ??+++=

y x z z in n n n 1121

1φ或()???? ??---z y x z n in n n 1121 （4’） 如1±≠z n ，二者等价（仅有相因子的差别）。若()1,0,0=n ，应取前者；若()1,0,0-=n

，应取后者。

对于,1-=λ类似地可以求得

x y x y x x i i n in n in n n e e b a +--

=+--=-=--=--112

cos 2sin sin cos 1??θθθθ ()???? ??-=-?θθ?θφi e 2cos 2sin ,1或???

?

?

??--222cos 2sin ??

θθi i e

e （5） 或 ()

()()???? ??+--+=

-z y x z n in n n n 1121

1φ或()()???? ??+---y x z z in n n n 1121

（5’） 若()1,0,0=n

，取????

??=-101φ; 若()1,0,0-=n

，取????

??=-011φ。

8.3) 在z s 本征态()???

? ??=012

1z s χ下，求()2

x s ?和()

2

y

s ?。

解：()2x s ?()

2

2

2

x x x

x s s s s -=-=

但 42

2

=x s （常数矩阵），

()0010110012=???

? ?????? ??=

x s ， ∴ ()2

x s ?2 =，类似有()2

y s ?42 =。

8.4) （a ）在z s 本征态2

1χ下，求n ?的可能测值及相应的几率。（b ）同第2题，若电子处

于1+=?n 的自旋态下，求σ的各分量的可能测值及相应的几率以及σ的平均值。

解：（a ）利用8.2）题求得n σ的本征函数，容易求出：在自旋态???

?

??=012

1χ中，1=n σ的几率为 ()z n +=

=12

1

2

cos 2

2

2

1

1θ

χφ （1） 1-=n σ的几率为

()z n -=

=-12

1

2

s i n

2

2

2

1

1θ

χφ （2） （b ）在自旋态1φ()1=n σ态，1=z σ的几率为

()z n +=

=12

1

2

cos 2

2

1

2

1θ

φχ （3） 1-=z σ的几率为： ()z n -=

=--12

1

2

s i n

2

2

1

2

1θ

φχ （4） z σ()()()z z z n n n =-?-+?+=112

11121

[或

z σ()z n ==-=-?+?=θθ

θ

θ

θ

c o s 2

s i n

2

c o s

12

s i n

12

c o s

2

2

2

2

（5’）]

考虑到

z z y y x x n n n n σσσσ++=，

σ各分量以及n

各分量在n σ的构造中地位对称，所以利用式（3）、（4）、（5），作z y x ,,轮换，就可推论出以下各点：

1±=x σ的几率为

()x n ±12

1

， （6）

x x n =σ （7）

1±=y σ的几率为

()y n ±12

1

（8）

y y n =σ （9） 将式（5）、（7）、（9）合并写成矢量形式如下：

自旋态1φ()1=n σ中，

n = （10）

类似地，容易算出：自旋态1-φ()1-=n σ中，

n -= （11）

解二：（a ）在1=z σ自旋态2

1χ中，n σ的可能测值为本征值;1±设相应的几率为+w 及-w ，则

()

-+-+-=-?+?=w w w w n 11σ （12）

由于

z z y y x x n n n n σσσσ++= （13）

考虑到在z σ的本征态中x σ和y σ的平均值为0，z σ的平均值即为其本征值，因此在2

1χ态下，

θσσcos 1==?==z z z z n n n n （14）

由式（12）、（14），并利用1=+-+w w ，就可求出

()z n w +=

+121

， ()z n w -=-12

1 （15） 此即解一中的式（1）、（2）。

（b ）在式（14）中，θ是z 轴和n

的夹角。 z 轴和n

的选取是任意的。完全可以将原来的z 轴作为新的n

轴，而原来的n

取作新的z 轴。由此可知：在1=n σ的自旋态中，z σ的平均值仍为θcos ，即z n 。再令z y x ,,轮换，

即得自旋态1φ()1=n σn = （10）

在1φ态下各分量的取值大部分当然均为1±，其几率也可估照（a ）中计算而写出，即

1±=x σ的几率为

()x n ±121

（6） 1±=y σ的几率为()y n ±121

（8）

1±=z σ的几率为()z n ±12

1

（3，4）

8.5) 证明y x i x i z

z

e e σλσλσλσλσ?-?=-2sin 2cos （λ为常数）[量Ⅱ]

8.7）由两个非全同粒子（自旋均为2

）组成的体系，设粒子间相互作用表为21s s A H ?= （不考虑轨迹运动）。

设初始时刻（0=t ）粒子1自旋“向上”()211=z s ，粒子2自旋“向下”()212-=z s 。求时刻()0>t 时，

(a) 粒子1自旋向上的几率（答：()2cos 2

At ，取1= ）

(b) 粒子1和2的自旋向上的几率（答：0） (c) 总自旋s=0和1的几率（答：都是21）

(d) 求和的平均值（答：02211====y x y x s s s s ，At s z cos 211=，At s z cos 2

1

2-=）。 解：从求体系的自旋波函数入手，由于

??

?

??-=

?=232221s A s s A H （1） 易见总自旋是守恒量，所以定态波函数可以选为2

s 、z s 的共同本征函数，按照总自旋量子数s 的不同取值，本征函数和能级为

?

??

-====43,,0,4,,

100011A E s A E s s

M χχ （2）

0=t 时，体系的自旋态为

()()()()00102

1210χχβαχ+=

= （3）

因此，0>t 时波函数为

()t iE t iE e e t 0

1

00102

12

1--+

=

χχχ （4）

即 ()()()()()[]()()()()[]43421212

1212121

i A t i A t e e t αββααββαχ-++=

- ()()()()42sin 212cos 21iAt e At i At ?????

?

-=αββα （4’）

(a ）由式（4’）可知，在时刻t ，粒子1自旋“向上”［同时粒子2自旋“向下”，相当于()()21βα项］的几率为??

?

??2cos 2At 。

(b)粒子1和2自旋均“向上”［相应于()()21αα，式（4’）中没有这种项］的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋z s 为守恒量，而体系初态0=z s ，所以任何时刻z s 必为0，不可能出现两个粒子均“向上”()1=z s 的情形。

(c)由式（4）可知，总自旋量子数s 取1和0的几率相等，各为21。由于2

s 守恒，这个几率不随时间改变 (d)利用式（4’）容易算出1s 和2s 的平均值为

???

??????

-=-==??????-===== cos 21

,cos 212sin 2cos 21 ,0122212211。At s s At At At s s s s s t z t z t z t

y

t x

t y

t x

（5） 第九章 力学量本征值问题的代数解法

9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2

1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于

2

1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数

jm m m j 21

12

1

解：8.2节式（21a ）（21b ）:

()21),0( 21+=≠-=m m

l l j j

j

ljm φ???? ??-+++=

+11121

lm lm Y m l Y m l l ()

?????

?

?-++

---+=+=21,212

1,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ）

()21-=

j l

j

ljm φ????

??++---=

+11121

lm lm Y m l Y m l l ()

?

????

?

?+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ）

()21++j l

此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2

12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。

因此，（21a ）式可重写为

jm ∑=2

22112

211m jm m j m j m j m j

2

1

212121212121211111111

1-

-+=m j jm m j m j jm m j ?????

??

?

??-???? ??++-???? ??++++=+=2121122121211221112111112

111

21

121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ，

21

1111122121

21???

? ??++=＋j m j jm m j 而2

12-=m 时，

21

1111122121

21???

? ??+-=-＋j m j jm m j 对于21211-=-=j l j 的（21b ）式，有

21

111111221,21

2121???

? ??+--=-＋j m j m j m j

21

111111221,21

2121???

? ??++=--＋j m j m j m j

9－2）设两个全同粒子角动量21j j j ==，耦合成总角动量J ，

JM j 2

ψ()()21212

121jm jm m m JM m j jm ψψ∑=

（1）

利用CG 系数的对称性，证明

()

JM

j

J

j JM j p 2

2212ψψ--=

由此证明，无论是Bose 子或Fermi 子，J 都必须取偶数

证：由式（1），

JM j p 212ψ()()12212

121jm jm m m JM jm jm ψψ∑=

把21m m ?, ()()12122

112jm jm m m JM jm jm ψψ∑

=

利用CG 系数的对称性 ()

()()21212

112212jm jm m m J

j JM m j m j ψψ∑--=

()

JM

j

J

j 2

2ψ--= (2)

对于Fermi 子，=j 半奇数，=j 2奇数，但要求ψψ-=12p ， 即要求()

12-=--J

j ，所以J 必须为偶数。

12max -=j J ，（j J 2m a

x =情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此 ()()0,2,32,12 --=j j J

可验证：态JM j 2ψ的总数为()12+j j 。 [()()12121

20+=+∑-=j j J j J ]。

对于Bose 子，=j 整数，=j 2偶数，但要求ψψ=12p 即()

12=--J

j ，故J 也必须为偶数

0,2,22,2 -=j j J

9－3）设原子中有两个价电子，处于nl E 能级上，按LS 耦合方案，L L =+21，s s =+21，J s L =+（总角动量）

证明： （a ）s L +必为偶数；

（b ）s L s L J -+=,, 。当0=s 时，L J =（偶）； 1=s 时，1,,1-+=L L L J ，J 可以为奇，

也可以为偶。

证： 自旋的耦合：2121==s s ，?

??=)

.(0).(1反对称，单态对称，三重态s

轨迹角动量的耦合：l l l ==21，.0,1,,12,2 -=l l L

其中=L 偶是对称态，=L 奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以

0=s 时，.0,,22,2 -=l l L 1=s 时，.1,,12,2 -=l l L

在两种情况下，s L +都为偶数，但

s L s L J -+=,,

对于0=s ，==L J 偶；

1=s ，1,,1-+=L L L J 。

J 可以为奇，也可以为偶

［讨论本题结论与题9－2有无矛盾？（按jj 耦合方案，似乎J 必为偶数）。提示：在本题中，若用jj 耦合来分析，=j ？是否只有一个j 值？两种耦合方案得出的态数是否相等？］

9－4）大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态00jj ψ， 证明z z j j 21-=j j j --=,,1, 的几率却相等，即()121+j 。

提示：利用

()

1200+-=--j m jmj m

j （P235，式（23））

证：Dirac 符号表示，有 00jj ψJM j j 21=00jj =，

JM JM j j =21∑=1

22112

211m JM m j m j m j m j （1）

在本题的情况下，j j j ==21，0==M J ，m m m 令

21-=。 则（1）成为 00jj ∑

--=

m

m jmj m jmj 00 （2）

其中00m jmj -即为耦合表象中的态00jj 用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG 系数，其模即表示体系处于00jj 态时，测得z j 1取值m （同时z J 2取值m -，m 取j j j --,,1, 各可能值）的几率。 由提示，()

1200+-=--j m jmj m

j （3）

1

21

00

2

+=

-∴j m jmj （4） 即，对于给定的j j j ==21所合成的态00jj ψ，z z j j 21-=j j j --=,,1, 的几率与m 的具体取值无关，皆为

()121+j 。

9－5）设J J J =+21，在jm j j 21态下，证明（取1= ）

2

2

1

1

=

=

=

=

y

x

y

x

j

j

j

j，

()()()

()1

2

1

1

1

2

2

1

1

1+

+

-

+

+

+

=

j

j

j

j

j

j

j

j

m

j

z

()()()

()1

2

1

1

1

1

1

2

2

2+

+

-

+

+

+

=

j

j

j

j

j

j

j

j

m

j

z z

j

m

1

-

=

证：（参剖析，8.68等）

9－6）在()z L

L,2表象(以为lm基矢)中，1

=

l的子空间的维数为3，求

x

L在此三维空间中的矩阵表示，再利用

矩阵方法求出

x

L的本征值和本征态

解：在()z L

L,2表象中，1

=

l的子空间中的基矢为lm m

1

=，1

,0

,1-

=

m。由于

()()1

1±

+

±

=

±

m

j

m

j

m

j

jm

J

()()m

j

m

j

jm

J

m

j

x

-

+

+

=

+1

2

1

1

()()m

j

m

j

jm

J

m

j

x

+

+

-

=

-1

2

1

1

()

1

2

1

-

+

+

=J

J

J

x

。

对于本题，以上方式中l

j→，

x

x

L

J→，

±

±

→L

J，()z

z

L

J→

不难求得

()()()()()()0

1

1

11

11

00

1

1

'=

=

=

=

=

=

-

-

-

-x

x

x

x

x

m m

x

L

L

L

L

L

L

()()()()

2

2

10

01

1

10

=

=

=

=

-

-x

x

x

x

L

L

L

L。

∴

x

L在此三维空间中的矩阵表示为［()z L

L,2表象］

?

?

?

?

?

?

?

=

1

1

1

1

2

2

x

L（1）

设

x

L的本征值为λ()1= ，本征矢为

?

?

?

?

?

?

?

=

c

b

a

φ，则本征方程为

02

102121021=?????

??? ??????????

? ?

?---c b a λλλ （2） 此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值：()

,012

=-λ

λ

1,0,1-=λ. （3）

将1=λ代入（2），可得

02

=+-b

a ， 02

2

=+-c

b a

， 02

=-c b

。

由此得 2b c a ==，????

?

??=?

???? ??∴1212 b c b a

归一化

()11212

2

=++b ，取 21=b 。 ???

?

?

??=∴12121 1φ 1~+=λ （4）

同理，将1,0-=λ分别代入（2），可求得

????? ??-=∴12121 2φ 0~=λ ；????

?

??-=121213

φ 1~-=λ 。 第十章 定态问题的常用近似方法

10－1) 设非简谐振子的Hamilton 量表为'0H H H +=

222

2202

12x u dx d u H ω+-= 3'x H β=（β为实常数）

用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）。

解：已知)

0()0(0n n n E H ψψ=，()x H e N n x n n αψα

2

)0(2

2-=，

()

ω 21)

0(+=n E n ，

ωαu =

()[]

11121

+-++=

n n n n n x x ψψα

ψ

()()()()()[

]222

22112121+-+++

+++=

n n n n n n n n n x x ψψψαψ

()()()()()()()[

]31133

3321113321221++--++++

++++--=

n n n n n n n n n n n n n n n x x ψψψψα

ψ计算一

级微扰：n n n H E ψψ'

)

1(=03

==n n x ψψβ。

（也可由()?+∞

∞

-?=

=dx x x H E n nn n 3

2

'

)

1(βψ0＝（奇）直接得出）

计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为0：

()()'

,33

332122n n n n H n n n x --=--=α

βψ

βψ '

,13

31322n n n n H n n x --=?=α

βψβψ ()'

,13

3111322n n n n H n n x ++=++?=αβψβψ ()()()',33

3332122n n n n H n n n x ++=+++?=

α

β

ψβψ

计算2'

kn

H

：()()6

22'

,3821αβ--=-n n n H

n

n 6232

',19αβn H n n =- 6232

',189αβn H n

n =+

()()()622'

,38321αβ+++=+n n n H

n

n

又ω 3)

0(3)0(=--n n E E ，ω =--)0(1)0(n n E E ， ω -=-+)0(1)0(n n E E ，ω 3)

0(3)0(-=-+n n E E ，

∑-++=++=∴k

k

n

kn

nn n n n n n E

E

H H E E E E E )0()

0(2'

'

'

)0()2()1()0(

43222811303021ωβωu n n n ?++-??

? ??

+=

)

0()

0()

0(''

)0()1()

0(k k

k n kn n

n

n

n E E H ψψ

ψ

ψψ∑

-+=+=

()()()()()()??

????+++-+--+---

=++--)0(3)

0(1

)0(1)0(33)

0(321311133213

122n n n n n n n n n n n n n n n ψψψψωαβψ

10－2) 考虑耦合振子，'0H H H += 参 书.下册§9.2

()

2

2212222212202

12x x u x x u H ++???? ????+??-=ω 21'x x H λ-=（λ为实常数，刻画耦合强度） （a ）求出0H 的本征值及能级简并度。

（b ）以第一激发态为例，用简并微扰论计算'

H 对能级的影响（一级近似）。 （c ）严格求解H 的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论。 提示：作坐标变换，令()ηξ+=

21

1x ，()ηξ-=2

12x ，则H 可化为两个独立的谐振子，ηξ,称为简正坐标。 解：（a ）0H 的本征函数和本征值可分别表为

()()()21212

1

2

1,x x x x n n n n ψψψ= （1）

ωω ??? ?

?

++??? ??+=21212121n n E n n

()ω 121++=n n ， ,2,1,0,21=n n （2）

令 21n n N += （3） 则能量表示式可改为 ()ω 1+=N E N ， ,2,1,0=N （4） 由式（3）可以看出，对于0≠N 情况。能级是简并的，简并度为()1+N 。 （b ）1=N 为第一激态（基态0=N ），能级为二重简并， 能量本征值为 ω 21=E

相应的本征函数为()()2110x x ψψ与()()2011x x ψψ（或考虑它们的线形迭加），分别记为()211,x x f 和()211,x x f 。利用

[]

11121

+-++=

n n n n n x ψψα

ψ

不难得出：02211==W W

2112W W =()2211,f x x f -=()()()()()()2022111110,,x x x x x x ψψψψ-=

ω

αu 2212

-

=-

= （实） （5） 代入方程 0det )

1(=-uv uv E W δ

得

022)

1()1(=----E u u E ω

ω

解之，得 ω

u E 2)

1(

±=±

因此，原来二重简并的能级1E 变成两条，能量分别为

ω

λωu E 22

±=± （6）

能级简并被解除，类似还可求出其他能级的分裂，如图所示。 （c ）严格求解如下： 令 ()ηξ+=

21

1x ， ()ηξ-=2

12x （7） 其逆变换为 ()212

1x x ＋=ξ，()212

1x x －=

η （7’）

易证：

()

??

?

?

?

????+??=??+??-=222222*********

2

21

21

2 ηξηξηξx x x x x x ＋＝＋ （8） 因此，S.eq: ()

ψψλωψE x x x x u x x u =??

????-++???? ????+??-212

22122222122212 （9） 变为 ()

(

)ψψηξληξωηξ

E u u =??

????--++???

? ????+??-2222222

2222212 （10）

令

22122221221ξωξλξωu u =-，2

222222

1221ηωηληωu u =+ 即

()()

2

2

2

2

2

2222111ω

λωλωωωλωλωωu u u u +=+=-=-= （11）

于是方程（10）变为

ψψηωηξωξE u u u u =?????????? ??+??-+???? ?

?+??-222222222122212212 （12）

是二彼此独立的谐振子，所以可以取

()()ηψξψψ2

1

n n =

()()2121

11221111!2ξαξαπαξψ-???? ?

???=e H n n n n ， 11ωαu = ()()222

1

22222212!2ηαηαπαξψ-???? ?

???=e H n n n n ， 22ωαu = （13）

相应的能量为

2211212121ωω ??? ?

?

++??? ??+=n n E n n

,2,1,0,21=n n （13）

当

2ωλu <<时，由（11）式，得

()()()

()

2

2

1

2

2

2

21

21211211ωλωωλωωωλωωλωωu u u +≈+=-≈-= 此时 ()

ω

λωu n n n n E n n 22121122121

-+??? ?

?+++

≈ ()()

ω

λωu n n N 2112

-++= （14） 1=N （第一激发态）的情况下，可有()()0,1,21=n n 与()1,0两种情况（二简并态），相应的能量分别为 ωλωu E 2210 -

=，ω

λωu E 2201

+= 能级分裂 ω

λu E E E

=-=?1001 与微扰论计算结果一致。

10－3) 一维无限深势阱()a x <<0中的粒子，受到微扰'

H 作用

()()??

?<<-<<=a

x a a x a x a x x H 2 ,1220

,2'λλ 求基态能量的一级修正。

解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为

2

2

22)0(2ua n E

n

π=

，a x n a n

πψsin 2)

0(=

， ,3,2,1=n 基态 2

2

2)

0(1

2ua E

π=

， a

x a πψs i n 2)

0(1

=

， 基态能量的一级修正为

()()??==a

dx x H x H E 0

'2

1'

11)

1(1

ψ

????

? ??-?+?=

a a a dx a x a x a dx a x a x a 2220212sin 22sin 2λπλπ 作变换a

x

u π=

，π

au

x =

，du a

dx π

=

；

a

x

v ππ-

=，π

av

a x -

=，dv a

dx π

-=

。

代入上式完成积分，

()???--

?=

022

22

)1(1sin 4sin 4π

πππλ

πλ

vdv v udu u E

?

?=

22

sin 8ππλ

udu u λπ??

?

??+=2221。

10－4) 实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为R 的均匀分 球体它产生的电势为

()???????>

??-=a r r

Ze R r R r R Ze r ,,212322φ

Ze 为核电荷，试把非点电荷效应看成微扰，

??

???><+???

? ??--=a

r R r R Ze R r R

Ze H , 0,21232222' 计算原子的s 1能级的一级微扰修正。

解：.类氢离子中s 1轨迹电子波函数为

a Zr s

e a Z -???

? ??=21

33

1πψ a 为波尔半径，s 1能级的微扰论一级修正为

s s s H E 1'1)

1(1ψψ=??=R

s dr r H 0

2'214πψ

由于核半径R 远小于原子半径Z a ，积分时可取

12≈-a Zr e

从而求出 )

1(1s E ?

???

? ??-+≈

R

dr R r R r r a e Z 0

2343

2423242)0(12

3

2245452s E a ZR a R e Z ??? ??== 其中 a

e Z E

s

22

2)0(1-=

为类氢离子的基态能级。

10－5) 设氢原子处3=n 能级，求它的Stark 分裂。

提示：参阅10.2节中例1。注意3=n 能级简并度为9，考虑到微扰Z e H ε='

相应的选择定则，此9维空间可以

分解为若干个不变子空间。

解：加电场前，能级共对应有9个状态。零级波函数形式为

()()?θψ,lm nl nlm Y r R = （1）

3=n 的9个态分别记为：

300,310,320321===ψψψ()0=m ；31132154==ψψ，()1=m ；

,13113276-=-=ψψ()1-=m ；,3228=ψ()2=m ；3229=ψ()2-=m ； （2）

视外电场为微扰，微扰作用势

θεεcos 'r e Z e r e H ==?= （3）

????

?

??

??????????

????? ??+-?=??? ??

-???? ????=??

?

???=---a r a r a

r e a r a r a R e a r a r a R e a r a R 32

23303223

31322332272321332

616278 30814

（4） 将'

H 写成 W a r a e H λθε=?

=c o s '

，θcos a

r W =。 （5） 由于[

]

0,'

=z L H ，所以'

H 作用于nlm ψ的结果，磁量子数m 不变。又因为

m l m l m l lm lm Y a Y a Y ,1,1,1cos --++=θ （6）

()()()2

1

2

2

32121??

????++-+=l l m l a lm （6’）

'H 作用于nlm ψ，量子数l 将改变1±。因此在计算微扰矩阵元uv W 中，只有2112W W =，3223W W =，5445W W =，

7667W W =不为零。

先算径向积分：

5290

23132-=??

?

∞

dr r R a r R ，29023031-=???∞dr r R a

r

R

再求出： 332112-==W W ，633223-==W W ，

295445-

==W W ， 2

9

7667-==W W 。 再代入方程 0det )

1(=-uv uv E W δ，得

000000000029000000029000000000290000000290000000006300000006333000000033{

2{

21

1

)

1()

1()

1()1()

1()1()

1()1()1({

{{

=------------------==-===E E E E E E E E E m m m m m 即

()()

[]()()[]

0299

2

22

)1(2

2

)1(3

)1(=--E

E E

a e a e a e E εεε9,2

9

,29,0,0,0 )

1(3±±±

=∴。 （由06

30

633

30

33)

1()

1()

1(=-------E E E ，解得9,9,0)1(-=E ） （由

02

929)

1()

1(=----E

E ，解得29,29)

1(-=E ） 结果，3=n 的能级分裂成五条：

a e E E ε9)

0(331-=，a e E E ε29)0(332-=，)0(3

33E E =，a e E E ε2

9)0(334+=，a e E E ε9)0(335+=。

10－6) 设'0H H H +=，

???? ?

?=)0(2)

0(100

0E E H ，???

? ??=a b b a H '

（b a ,为实数） 用微扰论求解能级修正（准到二级近似），并与严格解（把H 矩阵对角化）比较。 解：（1）由'

H 表达式可见，微扰哈密顿的矩阵元为

a H H =='22'11，

b H H =='

21'12

代入能量的微扰论二级近似公式

∑-++=k

k n kn

nn n n E E H H E E )

0()0(2

'

'

')0(

得 )0(1)

0(22)

0(1

1E E b a E

E --+=，)

0(1

)0(22)

0(22E E b a E E -++= （2）直接求能量。设H 的本征矢为???

? ??βα，对应的本征值为E ，则本征方程为

???? ??=???? ?????? ?

?++βαβαE a E b b a E )0(2)0(1 即 0)0(2)0(1=???? ?????? ?

?-+-+βαE a E b b

E a E βα,有非零解的条件为

0)

0(2)0(1=-+-+E

a E

b b

E a E 即 ()()

02)

0(2)0(1=--+-+b E a E E a E

这是关于()E a -的二次方程，其解为

()()??

???

?+-±+-=

-22

)

0(2)

0(1

)

0(2)0(1421b E E E E E a

()(

)

21

2

)0(1)0(2

)0(1)0(2)

0(2)0(1212

121???

????????

?

??-+-±+-

=E E b

E E E E ()()

()

???

?

???

?--+

-±+-= 2

)0(1)0(22

)

0(1)0(2)

0(2)0(1212

121E E b E E E E

()()

?????

?-+-±+-=?

)0(1)

0(22)

0(1)0(2)0(2)0(12121E E b E E E E 以上的近似符合定态微扰论的要求，

1)

0(1)

0(2

<-E E b

，

即微扰矩阵元小于能级差。上式分开±号再写一步，得能级的二级近似

)0(1)

0(22)0(1

1E E b a E

E --+=， )

0(1)0(22)

0(22E E b a E E -++= 这与（1）中用微扰论公式求得的结果完全一致。

10－7) 对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为2

x e λ-，λ为参数，用变分法求基态能量，并与严格解比较。

解：设基态波函数2

x Ce

λψ-= ，归一化，得

122

1

2

22

2

2

2

=?

?

?

??==?

?

∞

∞

--∞

∞

--λπλλC dx e

C

dx Ce

x

x

，

取 4

12??? ??=πλC ， 2

41

2 x e λπλψ-??

? ??=∴。

()222

2221

2x u dx d u x H ω+-= ()?+∞

∞

-∧

=dx H E ψψλ*?+∞∞

---???

? ??+-?

??

??=dx e x u dx d u e

x x 22

222222

12122λλωπλ ()??

?????+-??? ??=??+∞

∞--+∞

∞

--dx x e u dx x e

u

x x

2

2222

21

22

21212λλωλλπλ

λ

ωλ822

2

u u += （1） 由 ()082222=-=??λ

ωλλu u E ， 得 2ωλu ±=

考虑()x ψ在∞→x 处要求有限的条件，取 2

2

12αωλ== u （2） 代入式（1），得谐振子（一维）基态能量

ω 2

10=

E 与严格解求得的结果完全一致。

10－8) 对于非谐振子，42

2

22x dx

d u H λ+-= ，取试探波函数为 ()2

4

1022x e

x απ

αψ-=

（与谐振子基态波函数形式相同），α为参数，用变分法求基态能量。

解：?+∞

∞--=dx dx d u 022

*022ψψ ()?+∞

∞

---=dx x e

u x 2

2

23122

2

απ

αα u

42

2 α=

（1）

?+∞∞

-=dx x V 2

4

ψλ?+∞

∞

--=

dx e

x x 2

2

4απλα4

43αλ

=

（2） (

)4

2

2434αλ

αα+

=

+=u

V T E （3） 由

()0=??ααE ，得 03252=-α

λαu ， 解得 ()

3

1

2

26

λαu = （4）

代入（3），得基态能量 3

132

2

3

02433λ???

? ??=u E （5）

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学期末考试试卷及答案集复习过程

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；

量子力学导论第6章答案

第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + =+= （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p +=2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12 211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ???? ? ??-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()22 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + =

量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

量子力学导论 答案

第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + = + = （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p += 2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212 121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ????? ? ?-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()2 2 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + =

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态.

最新量子力学导论期末考试试题内含答案

量子力学试题(1)(2005) 姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分） 1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=? ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。 3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=n n n x c x )()(ψψ， 写出展开式系数n c 的表达式。 4. 给出如下对易关系： [][][] ?,? ,? ,===z x y z L L p x p z 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j ? ?的表达式。 6. 一维运动中，哈密顿量)(22 x V m p H +=，求[][]?,?,==H p H x 7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱?? ?><∞<<=a x x a x x V 2,0, 20,0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态： b b b B =，本征值 0≠b 。求在态b 中，算符A 的平均值。

二. 计算和证明题 1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 2. 考虑如下一维波函数：0/0()n x x x x A e x ψ-?? = ??? ， 其中0,,A n x 为已知常数。利用薛定谔 方程求位势()V x 和能量E 。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。 3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处 的势阶运动。当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 4 3 。问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 X 4.设粒子处于()?θ,lm Y 状态下， 1)证明在的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L η=-， []y L i η=-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。） 2)求()2 x L ?和() 2 y L ? (附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =?? -=η η 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ ==0 ,),(n m n m mn p x C p x F 。

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2

代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱

中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是

量子力学导论习题答案(曾谨言)

第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。

量子力学思考题及解答

量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=

量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、

第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε

量子力学期末考试试题和答案A

2002级量子力学期末考试试题和答案 A 卷 一、简答与证明：（共25分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分） 3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、证明 )??(2 2x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p ?之间的测不准关系。（6分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态 ),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021?θ?θ?θψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求 1、0=t 时氢原子的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值。 四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符 由下面的矩阵给出 ?? ??? ??+????? ??-=C C C H 000000200030001? 这里，H H H '+=???)0(，C 是一个常数，1<

最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(1)

第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，

量子力学试题2008年含答案

2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共40 分） 1. 微观粒子具有波粒二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用厄米算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的本征值。 7．定态波函数的形式为：t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：2 η ± 。

二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η =

曾谨言《量子力学导论》习题解答

曾谨言《量子力学导论》习题解答第三章一维定态问题 3.1)设粒子处在二维无限深势阱中， ,,,,0, 0xa,0yb,V(x,y), ,,, 其余区域, a,b求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何, 解:能量的本征值和本征函数为 2222nn,,yx(，)E, nn22xy2mab ny,nx,2yx,sinsin, n,n,1,2,？ ,nnxyxyabab 22,,22a,bE,(n，n)若，则 nnxy2xy2ma ny,nx,2yx,sinsin ,nnxyaaa n,10,n,5这时，若n,n，则能级不简并;若n,n，则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况，如xyxyxy ''n,11,n,2与) xy 3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ,,,,,,0, 0xa,0yb,0zc,,V(x,y,z) ,,, 其余区域, a,b,c求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。 解:能量本征值和本征波函数为 22222nnn,,yxzE, ,(，，)222nnnm2abcxyz ny,nxnz,,8yxz,sinsinsin,,nnn abcabcxyz n,n,n,1,2,3,？xyz a,b,c当时， 22,,222 E,(n，n，n)xyz2nnn2maxyz 32ny,nxny,,2,,yxz ,sinsinsin,,,nnnaaaaxyz,,

n,n,n时，能级不简并; xyz n,n,n三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 xyz 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。 n,n,nxyz 222222,5，6，8,3，4，10(1,7,9),(1,3,11)如 ,22222210，12，16,6，8，20(1,5,10),(3,6,9), 3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中， 0, 0,x,a,V(x,y), ,,, x,0,x,a, 证明处于定态的粒子 ,(x)n 2aa62x,,,, (x-x)(1) 22212n,讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。n , , 证:设粒子处于第n个本征态，其本征函数 ,2n(x),sinx. ,naa 2aa2n,a分部2 (1) ,,sin xxdxxxdx,n,,002aa 2a2a2222(,),,,,, xxxxxdxn,04 2a212n,xa2,,(1,cos), xdx ,024aa 2a6,,(1) (2) 22n,12 在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改，，0, a dxxxdx,，变，但动能、速度不变)外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 a adxa ， (3) ,,,xx,02a 2adxa22,,,xx， ,03a 222aa22() (4) x,x,x,x,,34 当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 n,,

量子力学导论习题答案(曾谨言)

第三章一维定态问题 3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， ?? ?∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 m E y x n n 222π = )(2 22 2b n a n y x + ,2,1, ,sin sin 2== y x y x n n n n b y n a x n ab y x ππψ 若b a =，则 )(22 22 22y x n n n n ma E y x +=π a y n a x n a y x n n y x ππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11' ' ==y x n n ） 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ? ??∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 )(222 2 222 22c n b n a n m n n n E z y x z y x + +=π , ,3,2,1,, , sin sin sin 8 == z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z y x πππψ 当c b a ==时， )(2222222z y x n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin sin sin 22 3 ??? ??= z y x n n n ==时，能级不简并； z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

周世勋量子力学习题及解答

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对

量子力学试题及答案

2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵

??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A

量子力学导论期末考试试题内含答案

量子力学试题(1)(2005) 姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分） 1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ= ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。 3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=n n n x c x )()(ψψ， 写出展开式系数n c 的表达式。 4. 给出如下对易关系： [][][] ?,? ,? ,===z x y z L L p x p z 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j 的表达式。 6. 一维运动中，哈密顿量)(22 x V m p H +=，求[][]?,?,==H p H x 7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱?? ?><∞<<=a x x a x x V 2,0, 20,0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态： b b b B =，本征值0≠b 。求在态b 中，算符A 的平均值。

二. 计算和证明题 1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 2. 考虑如下一维波函数：0/0()n x x x x A e x ψ-?? = ??? ， 其中0,,A n x 为已知常数。利用薛定谔 方程求位势()V x 和能量E 。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。 3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处 的势阶运动。当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 4 3 。问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 X 4.设粒子处于()?θ,lm Y 状态下， 1)证明在的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-， []y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。） 2)求()2 x L ?和() 2 y L ? (附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =??-= 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ ==0 ,),(n m n m mn p x C p x F 。