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微积分公式

有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）

一、0

101101lim

0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m

--→∞?=??+++?

=???

（系数不为0的情况）二、重要公式（1）0sin lim

1x x

→= （2）()1

0lim 1x x x e →+= （3

）)1n a o >= （4

）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2

x arc x π

→-∞=-

（7）lim arc cot 0x x →∞

= （8）lim arc cot x x π→-∞

= （9）lim 0x

x e →-∞

（10）lim x x e →+∞

=∞ （11）0

lim 1x

x x +

→=

三、下列常用等价无穷小关系（0x →）

sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2

11c o s 2

x x -

()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ?

+-?

四、导数的四则运算法则

()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ???

五、基本导数公式

⑴()0c '= ⑵1

x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=

⑷()cos sin x x '=- ⑸()2

tan sec x x '= ⑹()2

cot csc x x '=-

⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x

'= ⑽()ln x

a '= ⑾()1

ln x x

⑿(

log ln x

x a

'= ⒀(

)arcsin x '= ⒁(

)arccos x '=⒂()2

1arctan 1x x

+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=

⒅

六、高阶导数的运算法则（1）()()()

()

()()

n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()()

(

)

()n n cu x cu x =????

（3）()()()

()n n n

u ax b a u

ax b +=+????

（4）()()()

(

)

()()()0

n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑

七、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()

()

!n n

n = （2）()

()

n ax b n ax b e a e ++=? (3)()

()

ln n x x n a a a =

(4)()()

sin sin 2n n ax b a ax b n π?

?+=++??? ???

(5) ()()

cos cos 2n n ax b a ax b n π?

?+=++??? ???

(6)()

()

1n n n

n a n ax b ax b +???

=- ?+??

+ (7) ()()

()

()()

ln 1n n n n

a n ax

b ax b -?-+=-????

八、微分公式与微分运算法则

⑴()0d c = ⑵()

d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =

⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2

tan sec d x xdx = ⑹()2

cot csc d x xdx =-

⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-?

⑼()

x x d e e dx = ⑽()

ln x x

d a a adx = ⑾()1ln d x dx x

⑿(

log ln x

d dx x a

= ⒀(

)arcsin d x = ⒁(

)arccos d x =

⒂()21arctan 1d x dx x =

+ ⒃()2

arc cot 1d x dx x =-+

九、微分运算法则

⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =

⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2

u vdu udv

d v v -??= ???

十、基本积分公式

⑴kdx kx c =+? ⑵1

x x dx c μμ

μ+=++? ⑶ln dx x c x =+?

⑷ln x

a a dx c a

=+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻2

21sec tan cos dx xdx x c x ==+??

⑼2

21csc cot sin xdx x c x ==-+??

⑽21arctan 1dx x c x =++? ⑾

arcsin dx x c =+

十一、下列常用凑微分公式

十二、补充下面几个积分公式

tan ln cos xdx x c =-+? cot ln sin xdx x c =+? sec ln sec tan xdx x x c =++? csc ln csc cot xdx x x c =-+?

11arctan x

dx c a x a a

=++? 22

11ln 2x a

dx c x a a x a

-=+-+?

arcsin x

c a =+

ln x c =+

十三、分部积分法公式

⑴形如n ax x e dx ?

，令n

u x =，ax dv e dx =

形如sin n x xdx ?令n

u x =，sin dv xdx =

形如cos n x xdx ?

令n

u x =，cos dv xdx =

⑵形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n

dv x dx =

形如ln n x xdx ?

，令ln u x =，n

dv x dx =

⑶形如sin ax e xdx ?

，cos ax e xdx ?

令,sin ,cos ax

u e x x =均可。

十四、第二换元积分法中的三角换元公式

s i n x a t = (2) t a n x a t

= sec x a t = 【特殊角的三角函数值】

（1）sin 00= （2）1sin

2π

（3）sin 3π= （4）sin 12π=）（5）sin 0π=

（1）cos 01= （2）cos

（3）1cos 32π= （4）cos 02π=）（5）cos 1π=-

（1）tan 00= （2）tan

（3）tan 3π=（4）tan 2π不存在（5）tan 0π=

（1）cot 0不存在（2）cot 6

= （3）cot

（4）cot 02π=（5）cot π不存

在

十五、三角函数公式

1.两角和公式

sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ s i n ()s i n c o s c o s s A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- c o s ()c o s

c o s

s i n s

A B A B A B -=+ tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=

- tan tan tan()1tan tan A B

A B A B --=+

cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ?-+=+ cot cot 1

cot()cot cot A B A B B A

?+-=-

2.二倍角公式

sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=-

2tan tan 21tan A

A A

3.半角公式

sin

2A =

cos 2A =

sin tan

21cos A A A ==+ sin cot 21cos A A

4.和差化积公式

sin sin 2sin

cos 22a b a b a b +-+=? sin sin 2cos sin 22a b a b

a b +--=? cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=? cos cos 2sin sin 22

a b a b

a b +--=-?

()sin tan tan cos cos a b a b a b

++=

5.积化和差公式

()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--???? ()()1

cos cos cos cos 2a b a b a b =++-???

? ()()1s i n c o s s i n s i n 2a b a b a b =++-???? ()()1

c o s s i n s i n s i n 2a b a b a b =+--???

6.万能公式

22tan

2sin 1tan 2

a a

+ 2

1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 22t a n

2t a n 1t a n

a a

7.平方关系

22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x -= 22csc cot 1x x -=

8.倒数关系

tan cot 1x x ?= sec cos 1x x ?= c sin 1cs x x ?=

9.商数关系

sin tan cos x x x =

cos cot sin x

x x

十六、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：

()()dy

f x

g y dx

= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ??= ???

3.一阶线性非齐次微分方程：

()()dy

p x y Q x dx

+= 解为： ()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -????=+????

高等数学常用公式大全

高数常用公式平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -

微积分公式与运算法则

微积分公式与运算法则 1、基本公式 (1)导数公式 (2) 微分公式 (xμ)ˊ＝μxμ-1d(xμ)= μxμ－1 dｘ (ａx)ˊ= aｘlna d(a x)= a x lnａｄｘ (ｌogaｘ)ˊ＝1/(ｘlnａ) d(ｌｏga x)= 1／(xlna) dx (ｓin ｘ)ˊ= cos x d(sin x)= cos ｘｄx (con x)ˊ＝-ｓｉｎ x d(ｃon x)= －sin ｘｄｘ (tan x)ˊ＝ｓec2 x d(tan x)= sec2 x dx (coｔｘ)ˊ= -csｃ2x d(ｃot x)= -csc2x dx (sｅc ｘ)ˊ= sｅc x·tａn x d(seｃｘ)= sec x·tan x dｘ (ｃsc x)ˊ= -csc x·cot x ｄ(ｃsc x)= -ｃsc x·cot x dx (ａrｃsin x)ˊ= 1／(1－x2)1/2ｄ(arcsin ｘ)＝1

／(1－x２)１／2 dx (arccｏs x)ˊ＝ -1/(1-x2)1/２ d(arccoｓ x)= -１／(1－x2)1／２ dx (arctan ｘ)ˊ＝ 1/(1+x2) d(arcｔan ｘ)= 1／(1+x2) dｘ (ａrccot x)ˊ= -1/(1+x２) ｄ(aｒccot ｘ)＝-1/(1+x２) ｄx (ｓinh x)ˊ＝ cｏｓｈ x d(siｎh x)= ｃｏsh x dx (ｃosh x)ˊ= ｓinh x d(cosh x)= sinh x ｄｘ 2、运算法则(μ=μ(x),υ=υ(x),α、β∈R) （1）函数的线性组合积、商的求导法则 (αμ+βυ)ˊ=αμˊ+βυˊ (μυ)ˊ=μˊυ＋μυˊ (μ/υ)ˊ＝(μˊυ－μυˊ)/υ2 （2）函数与差积商的微分法则ｄ(αμ＋βυ)= αdμ+βdυ ｄ(μυ)=υdμ+μdυ d(μ/υ)= (υdμ-μｄυ)/υ2

微积分公式与运算法则 (1)

微积分公式与运算法则 1.基本公式（1）导数公式 (2) 微分公式 (xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx (a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx (loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx (sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx (con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx (tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx (cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx (sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx (arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2 dx (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx (arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx (sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx 2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2

高数微积分公式大全 ()

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式 ⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=?⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '=⑽()ln x x a a a '=⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '=⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= +⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±????（2）()() () ()n n cu x cu x =???? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n n x n =（2）()()n ax b n ax b e a e ++=?(3)()() ln n x x n a a a = (4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ?????(5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? +(7)()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+ 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =?⑻()csc csc cot d x x xdx =-?

证明微积分基本公式

定义（定积分）设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定：（1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ；（2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。定理1（可积的必要条件）如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。引理（微分中值定理）设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。证明：

5.2 微积分基本公式-习题

1．设函数0 cos x y tdt = ?，求'(0)y ，'()4 y π。【解】由题设得'()cos y x x =，于是得 '(0)cos01y ==，'()cos 4 4 2 y ππ == 。 2．计算下列各导数： ⑴20x d dx ?；【解】20x d dx ?2)x =2= ⑵ 1t d dt dx ；【解】1t d dt dx 1 ()t d dt dx =-=-=。 ⑶ cos 2 sin cos()x x d t dt dx π?；【解】cos 2sin cos()x x d t dt dx π?0cos 2 2sin 0[cos()cos()]x x d t dt t dt dx ππ=+?? 》 0cos 22 sin 0cos()cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ= +?? sin cos 2200 [cos()]cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ=-+?? 22cos(sin )(sin )cos(cos )(cos )d d x x x x dx dx ππ=-+ 22cos(sin )cos cos[(1sin )](sin )x x x x ππ=-+-- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x πππ=--- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x ππ=-+ 2cos(sin )(sin cos )x x x π=-。 ⑷2ln 1 x x d dt dx t ?。【解】 2ln 1x x d dt dx t ?21ln 11 1[]x x d dt dt dx t t =+?? 21ln 111x x d d dt dt dx t dx t =+?? …

常用微积分公式大全

常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

常用微积分公式基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.

微积分公式与运算法则

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微积分公式与运算法则 1.基本公式（1）导数公式(2)微分公式 (xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx (a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx (loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx (sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx (conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx (tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx (cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx (secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx (cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx (arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx (arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx (arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx (arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx (sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx (coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx 2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ

（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2 （2）函数和差积商的微分法则 d（αμ+βυ）=αdμ+βdυ d（μυ）=υdμ+μdυ d（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ2 3.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为 dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x) 所以复合函数的微分为 dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx 由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ 由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。

微积分公式与运算法则

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 微积分公式与运算法则 1.基本公式（1）导数公式 (2) 微分公式 (xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx (a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx (loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx (sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx (con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx (tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx (cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx (sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx (arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2

dx (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx (arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx (sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx 2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ （μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2 （2）函数和差积商的微分法则 d（αμ+βυ）= αdμ+βdυ d（μυ）=υdμ+μdυ d（μ/υ）= (υdμ-μdυ)/υ2

微积分基本公式

微积分基本公式下面我们先从实际问题中寻找解决问题的线索．为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数)(t s 及速度函数)(t v 之间的联系作进一步的研究．一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系有一物体在一直线上运动．在这直线上取定原点、正向及长度单位，使它成为一数轴．设时刻t 时物体所在位置为)(t s ，速度为)(t v ．(为了讨论方便起见，可以设0)(≥t v ．) 从第一节知道：物体在时间间隔[]21 ,T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在[]21 ,T T 上的定积分?2 1 d )(T T t t v 来表达；另一方面，这段路程又可以通过位置函数)(t s 在区间[] 21 ,T T 上增量)()(12T s T s -来表达．由此可见，位置函数)(t s 与速度函数)(t v 之间有如下关系： ) ()(d )(122 1 T s T s t t v T T -=? ． (1) 因为)()(t v t s ='，即位置函数)(t s 是速度函数)(t v 的原函数，所以关系式 (1) 表示，速度函数)(t v 在区间[]21 ,T T 上的定积分等于)(t v 的原函数)(t s 在区间[]21 ,T T 上的增量：)()(12T s T s -．上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出的关系，在一定条件下具有普遍性．事实上，我们将在第三目中证明，如果函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，那么，)(x f 在区间 ] ,[b a 上的定积分就等于)(x f 的原函数(设为)(x F )在区间] ,[b a 上的增量：)()(a F b F -．二、积分上限的函数及其导数设函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，并且设x 为] ,[b a 上的一点．现在我们来考察)(x f 在部分区间] ,[x a 上的定积分 ? x a x x f d )(．首先，由于)(x f 在区间] ,[x a 上仍旧连续，因此这个定积分存在．这时，x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用t 表示，则上面的定积分可以写成 ? x a t t f d )(

微积分基本公式

微积分公式

tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1

高等数学常用积分公式查询表

导数公式：基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='

31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32．＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C

高等数学常用积分公式查询表

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

常用微积分公式大全

常用微积分公式大全 Prepared on 24 November 2020

公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以（为任意常数）

(完整版)高等数学常用公式汇总————

高数常用公式平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥L 倒数关系：sinx·cscx=1 tanx·cotx=1 cosx·secx=1 商的关系：tanx=sinx/cosx cotx=cosx/sinx 平方关系：sin^2(x)+cos^2(x)=1 tan^2(x)+1=sec^2(x) cot^2(x)+1=csc^2(x) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-s in^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 降幂公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 两角和差： sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 积化和差： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

商业微积分公式

A thesis submitted to in partial fulfillment of the requirement for the degree of Master of Engineering 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况）二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ???

考研数学常用微积分公式背诵表

你的考试好帮手，记住我们的网址：www . KaoKer .com 考客下载网：你的考试好帮手，记住我们的网址：www . KaoKer .com 第 1 页共 1 页 () / x μ =1 x μμ- ()/x a =ln x a a ()/ x e =x e ()/ l o g a x =1 ln x a ()/ ln x = 1x ()/ sin x =cos x ()/ c o s x =s i n x - ()/ t a n x =2 s e c x ()/ c o t x =2c s c x - () / sec x =sec tan x x ()/ c s c x =c s c c o t x x - ()/ a r c s i n x = () / arccos x =- ()/ a r c t a n x = 2 11x + ()/ a r c c o t x = 2 11x - + () / uv =/ / u v uv + /u v ?? = ??? / / 2 u v uv v - kdx =?kx x d x μ = ? 1 1 x μμ++ dx x =? ln x 2 1dx x =+?arctan x =? a r c s i n x c o s x d x =?s i n x s i n x d x =?c o s x - 2 sec xdx = ?tan x 2 c c s x d x =?c o t x - s e c t a n x x d x =?s e c x c s c c o t x x d x =?c s c x - x e d x =?x e x a d x = ?ln x a a t a n x d x =?l n c o s x - cot xdx =?ln sin x sec xdx = ?l n s e c t a n x x + csc xdx =?l n c s c c o t x x - 2 2 1 dx x a =+?1arctan x a a 2 2 1 dx x a =-?1ln 2x a a x a -+ = ? ln x + =? a r c s i n x a 等价无穷小()0x → sin ~x x t a n ~x x a r c s i n ~x x a r c t a n ~x x l n (1)~x +x 1~x e -x 1cos ~x -2 12 x 1~1 2x 1~x a -ln x a 渐近线k =()lim x f x x →∞ b =()lim x f x kx →∞-??? ? 曲率k = () // 3/2 2 1y y +

常用微积分公式大全完整版

常用微积分公式大全 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

常用微积分公式基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

(11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

微积分公式_微积分公式运算法则

有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦) (10) lim e x =处 x _jioC 六、高阶导数的运算法则 1) ［u (X )±v (x )F )=u (X )±v (x y) -、lim a 0x m+a 1x m ：+川+a n X Y b 0X m +b 1X m ri||+b m a 。 b (系数不为 0的情况) 二、重要公式(1)］四沁/ (2) lim (1 +x y 1 =e (3) lim Va(a A 0)=1 (4) lim 折=1 n _^ limarctan x = — y 2 (6) lim arctanx =—一 J 产 2 (7) limarccotx=0 X Y (8) lim arccot x =兀 (9) lim e x = 0 三、下列常用等价无穷小关系 X T 0) sinx x tanx X arcsixrf x arcta nx x 仆赵］2 ln (1 +x 卅 X e X 一1口 X aX —1 LI XI n a (1 + x f-1U e x 四、导数的四则运算法则 (u ±v ) =u ‘±v ' f u ) u v - uv' I — = I v 丿五、基本导数公式 ⑴(c ) =0 ⑶(sin X ) = cosx ⑷(cosx ) = -sin x 2 ⑸(tanx ) =sec x 2 ⑹(cot X ) = -csc X ⑺(secx j =secx dan x (8) (cscx ) = - cscx cot x ⑼(e x ) =e x X X ⑽(a ) =a ln a -1 (11)(In X )=- x (12)(gx )=— X l n a ， 1 (13) (arcsin x ) = -j=2 山 —x 2 ■ 1 (14) (arccos x ) = - # 2 丁1 —x 2 , 1 (15) (arctan x )= 1 +x 2 I 1 (16) (arccot X ) = --- --------------- 2(")( X ) = 1(18)( J X ) = 1 (2)

微积分公式与定积分计算练习

微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则（1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? （2）()() ()() n n cu x cu x =??? ? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? （4） ()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式（1） ()() ! n n x n = （2） ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则