地震波数值模拟技术发展现状

收稿日期：2008-12-15；修订日期：2009-01-12作者简介：孙书荣，女，在读研究生，2007年毕业于东北林业大学数学与应用数学专业，现在哈尔滨工业大学攻读应用数学硕士学位。联系电话：136********，E-mail:sunshurong123@https://www.wendangku.net/doc/b711822885.html, ，通讯地址：（518055）深圳市南山区西丽大学城哈尔滨工业大学校区E302E 。

油气地球物理

2009年1月

PETROLEUM GEOPHYSICS

第7卷第1期

地震波场的数值模拟技术是在已知地下介质结构和参数的情况下,利用理论计算的方法研究地震波在地下介质中的传播规律,合成地震记录的一

种技术。地震波的传播规律和特点与介质因素

（介质模型）和界面因素关系密切。界面总体分为自由界面和（介质内部）弹性界面。波在界面的广义散色包括纵波与横波的入射,同类反射,与透射和异类反射与透射,波在界面的上的全反射和折射,波在自由界面的瑞雷和乐夫面波,以及介质内部弹性界面的斯通利面波等各种现象。

介质模型因素包含介质的密度、速度和相态。目前所研究的介质模型基本上包括均匀弹性各向同性介质、均匀黏弹性各向同性介质、孔隙流体双向介质以及各向异性介质。数值模拟成为贯穿地震数据采集、

处理和解释全过程的一种重要方法,在确定观测系统的合理性,检验处理和解释的正确性等方面有着越来越广泛的应用。地震勘探中的数值模拟方法主要以射线理论和波动方程理论为基础,有射线追踪法、柯希霍夫积分法、有限元法、有限差分法和伪谱法,还有将有限元和有限差分结合到一起的区域分裂法等。

有限差分法是一种有效的正演模拟法,以计算速度快、计算量小而深受研究者的偏爱,本文将近年来学者们所研究的不同地形有限差分正演模拟进行统计和比较,指出目前所研究的现状和所需要解决的问题。以期对日后的工作有一定的指导作用。

1介质

1.1各向同性的弹性介质

目前，地震学或弹性波在众多应用领域均是以这种模型为基础,它是复杂介质模型的一种近似,有限差分法数值模拟技术开始于上世纪70年代初,

Alterman 等

（1968）作了开创性的工作,使用显式有限差分格式获得了层状介质二阶弹性波方程的离

散数值解[1]。Alterman 等实际上得到的是均匀介质弹性波数值解,只在内界面运用了应力和位移连续的内边界条件,使得波能通过弹性界面传播,对于结构复杂和不规则的岩性层面,必须使用适应非均匀介质模型方法,即自动满足内界面处应力和位移连续的有限差分格式。Boore （1972）提出了非均匀介质二阶弹性波有限差分方法[2],Kelly 等（1976）改进并发展了这一方法[3]。Madariaga （1976）提出了非均匀介质速度—应力弹性波方程组交错网格有限差法[4],Virieux （1984,1986）利用这一格式完成了对弹性介质的P —SV 和SH 波的速度—应力方程组的正演计算,成为弹性波数值模拟的经典之作

[5~6]

。邵秀民、蓝志凌（1995）讨论了非均匀各向同性弹性介质中（如图1所示）地震波的数值模拟方法,提出了有限元—有限差分计算格式,并从理论上证明了格式的稳定性,以该模型给出了稳定条件,数值试验的结果表明,本文的方法有很好的精度和稳定性[35]。

地震波数值模拟技术发展现状

孙书荣凡友华

哈尔滨工业大学深圳研究生院

摘要：地震波场的数值模拟技术有助于认识复杂介质中地震波传播规律,检验各种方法技术的使用范围与应用效果。本文简要讨论了同性介质、异性介质和复杂介质中的地震波传播，指出当前地震波研究的重要课题是发展高效的数值方法,并利用该方法开展复杂介质中的地震波激发和传播,以及强地面运动的研究,为精细的地震危险分析与预测奠定基础。从新方法技术、模拟效果分析和应用等3方面概括有关数值模拟技术的特点,探讨地震波场数值模拟技术的发展现状。

关键词：数值模拟；异向介质；旋转交错网格；数值频散

1.2各向异性的弹性介质

Igel等（1995）实现了各向异性介质交错网格有限差分波传播模拟，于1996年又在柱坐标和球坐标下实现了有限差分模拟[7~8]。国内也有很多学者（王秀明，2003，王德利，2005）将这一格式运用到波场模拟中，揭示了波在地下传播的一些特性。为了适应地下介质多尺度非均匀性和不规则自由边界,避免局部采样过疏或过密，后来又发展了一系列不规则网格的有限差分模拟（J ast ram,1992,1994；Falk,1996,1998；张剑锋,1998,2000；Tessmer，2000；杨顶辉，1996）。Carcione（2001）一直致力于粘弹性、各向异性、孔隙多相流体介质地震波传播的研究和数值模拟[11]，其中发表在Geophysics上的文章是对数值模拟技术现状很好的总结。

1.3复杂地质构造的弹性介质

张剑锋[43]基于应力，速度混合变量弹性波方程及任意四边形网格差分算子,给出了交错计算应力及速度的非规则网格弹性波应力—速度差分法，该方法融合了有限法能适应复杂形状边界及差分法无需计算刚度阵的特点,具有较高的计算精度，所需计算存储量少，计算效率也高，基于积分平衡方程,引入任意形状自由表面的边界条件,且通过局部改善了自由表面边界条件的稳定性,使得该方法可应用于任何地质形状的地震波数值模拟。单延明、吴清岭[44]利用全声波方程进行地震波场的数值模拟复杂地质的构造，作者在文中根据无反射声波方程，采用有限差分数值解法,实现了自激自收时间剖面的制作,避免了层间多次波的产生。方法不但允许速度有纵向变化,而且允许速度有横向变化,这使得模拟复杂地质构造的地震响应成为可能。实际计算结果表明,该方法是一种行之有效的自激自收时间剖面的计算机数值模拟方法。周红[45]（2007）

利用局域离散波数法,研究了地形对近地表爆炸源产生的Rayleigh面波的影响,展示了Rayleigh面波穿越地形过程中波的传播进程,研究了穿越地形前后Rayleigh面波能量、频率的变化，并讨论了该变化与地形起伏程度的关系,从中可见，Rayleigh面波穿越地形时,激发出新的体波和面波,并且越陡的地形对面波传播的阻碍性越强,且面波高频部分能量损失的越多。图2为地表圆弧形峡谷模型附近的理论地震图,从图中可看出，地形的近震源一侧一、二次Rayleigh面波都存在，并且一次Rayleigh面波垂向分量相对于同方向分量上其他波能量强,水平分量在该向波中相对量较小。

2有限差分模拟所需考虑的内容

在有限差分正演中,通常有以下几方面的问题需要考虑：差分格式、边界条件、数值稳定性和频散效应。

2.1差分格式

有限差分数值模拟须把连续问题离散化。首先，要对求解区域也就是弹性介质模型进行网格剖分，然后用有限差分算子近似微分算子，得到差分方程。因此高精度有限差分算子的求取和误差估计可以说是有限差分模拟的核心。Levander （1988）发展了交错网格格式的四阶差分格式[9],使得模拟精度有了很大提高。但是经典交错网格式存在本身固有的缺点，如图3所示，拉梅常数定在所有的半网格点和整网格点上,但是实际中通常只定义在半网格点上。对于切应力的计算，需要对拉梅常数进行插值或者用周围的值来近似,如果变化很大时，就会出现计算的不稳定。

图2地表圆弧形峡谷模型附近的理论地震图

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Igel（1995）分析了交错网格格式的缺点[7]，此后又有一系列文章指出交错网格的不足之处[10~11]（Koma-titsch,2002；Carcione，2002）；Saenger （2000）年研究了该问题出现的原因[12]，提出了旋转交错网格格式（RSG（Rotated Staggered grid））并将这种格式应用于各种不同的模型。相对于交错网格格式，RSG可得到更稳定、更可信的解，在自由界面处用与内部相同的差分格式来处理不会引起数值不稳定。如图4所示，RSG只要沿着坐标轴方向作差分来求波函数的微分值即可得到稳定的解。

2.2边界条件

在波的传播问题实际计算中,无界区域需要用有界区域代替,此时在人工边界上需附加一定的边界条件。此条件应使向区域外传播的波不在边界上产生反射,因而它们一般被称为无射边界条件活吸收边界条件。

最早的吸收边界条件（常被称为粘性边界条件）是由Lysmer和Kuhlemeyer[13]提出的。其缺点是吸收人工反射波的效果较差。使用最普遍的是Clayton和Engquist[14]，Engquist和Majda[15]提出的二维吸收边界

条件。该边界条件使用了拟微分算子,然后用Pade 逼近得到不同精度的边界微分方程，当反射波垂直入射时，这种吸收边界条件吸收效果较好，但当入射角接近90°时，吸收效果很不好，Higdon[17]提出了另一种微分形式的边界条件,这种条件由一阶的微分算子的乘积构成,每个因子可以完全吸收一种入射角的波，从理论上讲，当因子较多（即微分的阶较高）时，可较好地吸收一种入射角的反射波。廖振鹏[18~19]在模拟波传播的物理过程中提出一种离散的吸收边界条件,这种吸收边界条件吸收效果较好且易推广到各向异性介质活更加复杂的介质情况。Hig-don也给出了几种离散的边界条件，并讨论了它们与连续形式的边界条件的关系。

在有限差分数值模拟中，计算区域的有限性,因而,其中一个重要问题就是人工边界处理。概括主要有以下5种方法用于消除模型边界效应。

（1）多次入射法。Smith（1974）提出了通过解两次不同边界条件的波传播问题消除平面人工边界反射的方法[20]。对SH波：第一次假定边界是自由的,剪切应力是零，称作Neumann条件，入射的平面波完全被反射，反射系数是1，第二次将边界条件选择为刚性的，边界上的位移是0，称作Dirichiet条件，反射系数是-1。那么，平面波经过这两次不同边界条件的人工边界后的解的总合效应是无反射。这种边界条件对于消除一次波的效果比较理想,对于多次波效果很差，而且随着边界数目的增加,计算量也迅速增大。

（2）傍轴近似法。Clayton和Engquist提出的基于傍轴近似的方法是另一个消除虚假反射的方法[21]，该方法将边界区的波动方程用单向傍轴近似波方程替代,仅仅只模拟波能量由差分网格内向边界外单向移动,并且在小入射角的前提下求替换方程的截断级数解。该方法计算简单,计算机时花费少,其缺点是消除反射的有效性随着平面波入射角的加大而降低,入射角小于60°时,反射系数小于0.1，当入射角接近90°时，入射波被完全反射，人工边界完全丧失了吸收入射波能量的能力。

（3）吸收边界条件。Clayton&Engquist （1977）、Reynolds（1978）、Keys（1985）、Hidgon （1987）及Long（1990）分别对此方法进行了研究，吸收边界即在边界处，运用单程波方程来计算波场，由于单程波方程的导出有其自身的假设条件,所以，这种方法对于垂直入射波吸收效果较好,而对

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于大角度入射波吸收效果则不理想[22~25]。

（4）加吸收层技术。Cerjan et al（1985）、Kosloff.R&Kosloff.D（1986）和Sochacki（1987）对此方法给出了大量讨论,此后很多学者采用此方法都能明显消除边界反射和散射[26~28]，此方法也称吸收边界，即在模型以外,增加多层网格,对波函数值进行衰减,目前最佳吸收层（Berenger，1994；peng ，1994；Hasting，1996）堪称是该类方法中的首选,但这类方法的缺点是计算量和存储空间增加[29~30]。

（5）波场外推法。该方法最先是由Jianlinzhu 在Geophysics上提出的，将其称为透明边界条件。该方法是利用模型内部的数值计算结果,根据同一波前面上的质点具有相同的振动相位和波传播过程中的振幅变化规律，计算得到边界上的波函数值。罗大清[46]（2000）将该方法用于消除模型的角点反射，田小波[47]（2004）改进了这一技术，在理论计算中都取得很好的效果。对于起伏自由表面的处理是目前处理的关键，Erik H.Saenger提出从自由表面开始按一定的函数形式把介质划分为不规则网格，通过数学变换，将不规则网格变换为规则网格，在规则网格上计算波场。但是这种方法只能处理一阶可导的光滑自由表面。陈伟（2005）用渐变的速度模型进行了起伏地表的模拟[48]。

2.3数值稳定性和频散消除

数值稳定条件是显式有限差分格式必须要分析的问题,波动方程有限差分格式一般都是按时间逐层推进的,前一时间波函数值的舍入误差必然影响到后一时间的波场。这就有必要分析误差传播和积累情况,使误差不至于随时间的推进而迅速增长,破坏整个数值解，甚至导致计算溢出。根据Lax等价定理，稳定性也保证了差分格式的收敛性。稳定性分析方法一般是利用Von Neumann提出的Fourier 谱分析方法，影响稳定性的关键参数就是网格比ρ=Δt/Δx。董良国[49]（2000）进行了交错网格高阶差分的稳定性研究。在实际介质中，地震体波的频散并不明显（谢里夫等，1999）[50]。波动方程有限差分数值解可理解为波在离散化的网格上以差分格式传播,这种离散直接导致各个频率成分传播速度不同，一般是高频成分相速度明显下降，因此，可以说网格频散是有限差分的固有数值问题,当网格大小不合适时，会表现出严重的频散现象，在合成记录上可以看到主要震相之后有很长的拖尾，降低了分辨率,主波长上的网格点数以及差分格式精度是

影响合成记录的关键因素。压制频散最简单的办法就是减小网格步长。蔡其新等（2003）曾经研究了优化差分参数的一种公式,用来确定空间步长[51]。其他的还有高阶差分格式（Fornberg，1987；吴国忱[52]，2005），通量校正传输法（FCT）(Fei,1996）。Fornberg对比高阶有限差分和伪谱法后指出,当有限差分算子的阶数逼近无穷时，等价于伪谱法,逼近阶数越高,模拟的数值频散越小[32]。FCT是Boris （1973）研究流体运移问题提出的方法，Fei将其用于消除数值频散,其基本原理是假设所有的极值点都是由数值频散引起的,传统的FCT方法对所有网格点进行通量校正处理,再对局部极值点进行补偿的逆通量校正[33]。Tong Fei（1995）提出了优化的FCT，通量校正只用在局部极大值上，节省了大约40%的计算量。同时FCT方法可以放大时间和空间步长,从而抵消计算FCT带来的计算量的增加[34]。

3数值模拟技术的发展现状

由于数值模拟技术需要极高的计算机资源,其应用一直受到计算机技术发展的制约,特别是三维波动方程的数值模拟技术。因此,如何提高数值模拟技术的精度和运算速度是数值模拟技术的一项重要研究内容。目前有关数值模拟技术方面的研究论文，将其分成3部分，一是以提高数值模拟技术的运算速度和模拟精度为主要目标的新技术、新方法研究；二是以提高对复杂介质中地震波传播规律的认知水平为主要目标的复杂介质模拟效果；三是以应用为主要目标的应用实例分析。除了规则网格有限差分方法是目前应用较多的方法之外，旋转交错网格和虚谱法也是目前学者们常用的方法。

（1）旋转交错网格。为克服波动频散，又不增加计算量，波动方程有限差分数值模拟的论文中，绝大多数都采用交错网格高阶有限差分法。标准交错网格隐含有非对角应力应变分量没有定义在同一个位置,当计算应力应变关系式时，就必须将弹性恒量的线性组合与应变分量的乘积累加,同时要进行插值处理，以得到对角分量定义处的值，由此产生了额外的误差；而旋转交错网格的主要思想是变换求导的方向，以得到一个在FD网格上的波场和介质参数的新分布。求导方向被旋转了45°,即在每个FD单元的4个斜向上计算。旋转交错网格最适合于一般各向异性介质的数值模拟,因为在计算

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Hook累加时不需要进行插值处理。

（2）虚谱法。Richard Bale等描述了一种建立在虚谱法近似基础上的三维各向异性弹性波模拟方法,其目的是研究三维各向异性对横波波场的影响,特别是横波的分裂现象。所谓虚谱法就是用Fourier变换法对方程的空间域坐标实行变换,得到由kj表示的时间波数域方程,再乘以-i kj最后求得空间导数的过程。为了提高各向异性模拟精度,采用交错网格以构成Fourier偶数项差分因子。

4结论

地震波理论是固体地球物理学研究的重要基础。地震波研究领域的任何实质性进展都会促进固体地球物理学的发展。在过去的几年里,中国地球物理学家在该领域做了很多有意义的研究工作,其中不乏创新性的理论工作。当前地震波研究领域的重要课题包括以下几方面。

（1）复杂地球介质中地震波激发与传播理论以及勘探问题。

（2）高效计算三维介质中地震波传播的数值方法。

（3）利用先进的地震波数值模拟方法,开展设定地震与强地面运动的数值模拟研究,为精细的地震危险分析与预测奠定基础。我们期待着中国地球物理学家在未来几年里在这些领域做出新的贡献。

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The review of the numerical modeling of elastic wave motion

SUN SHu-rong(Harbin Institute of Technology Shenzhen Graduate School,Shenzhen518055,China)

Abstract:The numerical seismic wave propagation model-ing is a powerful tool in the oil exploration,such as data col-lection,processing,interpretation and so on.It can not only find out the properties of the media,but also check the validity of processing methods,recognize the law of the wave propa-gation.In all the numerical methods,the finite difference method is more useful with its advantages,such as high pre-cision,flexibility and low cost.In this paper,different condi-tions of the numerical method are discussed,such as the anisotropy media,the different grid,the boundary condition and the numerical dispersion dumbness.

Keywords:numerical modeling,anisotropy media.,rotat-ed staggered grid and numerical dispersion

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