秦九韶算法

秦九韶算法

秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。在西方被称作霍纳算法。

基本介绍

中国古代伟大的数学家、中世纪的数学泰斗---秦九韶的算法理论之一。

秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。其大大简化了

计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算

法。

在西方被称作霍纳算法，是以英国数学家霍纳命名的。

基本简介

秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东曲阜一

带人）。早年曾从隐君子学数术，后因其父往四川做官，即随父迁徙，也认为是普州安岳（今

四川安岳县）人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。（安岳县于1998年9月正式开工建设秦九韶纪念馆，2000年12月竣工落成。）

基本算法

把一个n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式：

f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0] =(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a [0] =((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0] =...... =(......((a[n]x+a[ n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，

即v[1]=a[n]x+a[n-1]然后由内向外逐层计算一次多项式的值，

即v[2]=v[1]x+a[n-2] v[3]=v[2]x+a[n-3] ...... v[n]=v[n-1]x+a[0]这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。（注：中括号里的数表示下标）上述方法称为秦九韶算法。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法

应用示例

效率信息

对于一个n次的多项式函数，用常规方法（用重复乘法计算幂，再把各项相加）计算出结果最多需要n次加法和[n*(n+1)]/2次乘法。若用x迭代的方法计算幂则需要n次加法和2n+1次乘法。如果计算中的数值数据是以字节方式储存的，那么常规方法约需要x占用的字节的2n倍空间。

而使用秦九韶算法时，至多只需作n次加法和n次乘法，最多需要x占用的字节的n倍空间。

基本意义

该算法看似简单，其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值。在人工计算时，利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算；对于计算机程序算法而言，加法比乘法的计算效率要高很多，因此该算法仍有极大的意义，用于减少CPU运算时间。[1]

秦九韶算法教案

秦九韶算法教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第7课时秦九韶算法 班级姓名 学习目标 1、掌握秦九韶算法的步骤，原理 2、秦九韶算法的运用 ※学习重点、难点： 重点：秦九韶算法求多项式的值 难点：秦九韶算法的运用 学习过程 一、知识链接 复习：分别用辗转相除法和更相减损术求288与123的最大公约数． （预习教材P37~ P38，找出疑惑之处） 二、自主学习（首先独立思考探究，然后合作交流展示） 探究1：已知多项式f(x)＝x5＋x4+x3－x2+x+1 问题(1)：求f(1) 问题(2)：若求f(39)，再代入运算出现什么情况？ 问题(3)：当x的值较大时，有没有更好的方法求函数值呢？ 探究2：利用秦九韶算法多项式f(x)＝x5＋x4+x3－x2+x+1当x＝2时的值

知识归纳： (1)秦九韶算法的步骤： (2)秦九韶算法的原理是? ???? v 0＝a n ， v k ＝v k －1x ＋a n －k ， 三、合作探究 ※ 知识检测 1.用秦九韶算法求多项式f (x )＝6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝2时的值． ※ 能力达标 2. 用秦九韶算法计算多项式f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1当x ＝0.4时的值时，需要做乘法和加法分别是多少次？

小结： ※拓展提高 3.已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算当x＝3时，求v3的值 四、课堂小结 1．秦九韶算法的步骤，原理 2．秦九韶算法的运用 达标练习 1.利用秦九韶算法求f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的值

秦九韶算法习题

1.3算法案例---秦九韶算法 1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ） A 、164 B 、3767 C 、86652 D 、85169 2、利用秦九韶算法计算多项式1876543x f(x )23456++++++x x x x x ＝ 当x=4的值的时候，需要做乘法和加法的次数分别为（ ） A 、6，6 B 、5，6 C 、5，5 D 、6，5 3、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在6=x 的值，写出详细步骤。 4、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的 结果s 表示（ ） A 、3210a a a a +++的值 B 、300201032x a x a x a a +++的值 C 、303202010x a x a x a a +++的值 D 、以上都不对

5、已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++, 如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次 乘法， （1）计算30()P x 的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值需要多少次运算？ （2）若采取秦九韶算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…， n －1），计算30()P x 的值只需6次运算，那么计算0()n P x 的值共需要多少次运算？ （3）若采取秦九韶算法，设a i =i+1，i=0，1，…，n ，求P 5（2）（写出采取秦九韶算法的计算过程）

高中数学例题：秦九韶算法

高中数学例题：秦九韶算法 例4．利用秦九韶算法求2345()10.50.166630.041680.00835f x x x x x x =+++++在x=0.2时的值．写出详细计算过程． 【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的． （1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++． （2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++0．当x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ． 【答案】1.2214024 【解析】 v 0=0.00835， v 1=v 0x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35， v 2=v 1x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753， v 3=v 2x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506， v 4=v 3x+1=0.53506×0.2+1=1.107012， v 5=v 4x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024． 【总结升华】秦九韶算法的原理是 01(1,2,3,,) n k k n k v a v v x a k n --=??=+=?． 在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这

种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会 全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心． 举一反三： 【变式1】用秦九韶算法求多项式764 =++++当x=2时 f x x x x x ()85321 的值． 【答案】1397 【解析】 765432 =++?++?+?++=+++++++ ()85030021((((((85)0)3)0)0)2)1 f x x x x x x x x x x x x x x x ． v0=8， v1=8×2+5=21， v2=21×2 4-0=42， v3=42×2 4-3=87， v4=87×2+0=174， v5=174×2+0=348， v6=348×2+2=698， v7=698×2+1=1397， 所以，当x=2时，多项式的值为1397． 【变式2】用秦九韶算法计算多项式65432 f x x x x x x x =++++++ ()654327 在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（） A．10 B．9 C．12 D．8 【答案】 C

高二数学必修三辗转相除秦九韶等典型例题附答案

1．把77化成四进制数的末位数字为（） A．4 B．3 C．2 D．1 考点：排序问题与算法的多样性。专题：计算题。 分析：利用“除k取余法”是将十进制数除以5，然后将商继续除以4，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．解答：解：∵77÷4=19...1 19÷4=4...3 4÷4=1...0 1÷4=0 (1) 故77（10）=1031（4）末位数字为1．故选D． 点评：本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键． 2．用秦九韶算法求多项式f（x）=x4 +2x3 +x2 ﹣3x﹣1，当x=2时的值，则 v3=（） A．4 B．9 C．15 D．29 考点：排序问题与算法的多样性。 分析：由秦九韶算法的规则对多项式变形，求出，再代入x=2计算出它的值，选出正确选项 解答：解：由秦九韶算法的规则f（x）=x4+2x3+x2 ﹣3x﹣1=（（（x+2）x+1）x﹣3）x﹣1，∴v3=（（x+2）x+1）x﹣3 又x=2，可得v3=（（2+2）2+1）2﹣3=15 故选C． 点评：本题考查秦九韶算法，解题的关键是理解秦九韶算法的原理，得出v3的表达式，秦九韶算法是求多项值的一个较简便易行的算法，在平时求多项式的值时加利用可以简单化计算 3．把67化为二进制数为（） A．110000 B．1011110 C．1100001 D．1000011 考点：排序问题与算法的多样性。专题：计算题。 分析：利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案． 解答：解：67÷2=33...1 33÷2=16...1 16÷2=8...0 8÷2=4...0 4÷2=2...0 2÷2=1...0 1÷2=0 (1) 故67（10）=1000011（2）故选D 8．二进制数11001001（2）对应的十进制数是（） A．401 B．385 C．201 D．258 考点：排序问题与算法的多样性。专题：计算题。 分析：根据二进制和十进制之间的互化原则，需要用二进制的最后一位乘以2的0次方，以此类推，写出一个代数式，得到结果． 解答：解：二进制数11001001（2）对应的十进制数是1×20 +1×23 +1×26 +1×27 =201 故选C．

海伦公式

海伦公式 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2 ——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 编辑本段证明过程 证明（1） 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√

[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2） 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a

海伦公式

海伦公式 初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下： 海伦公式：三角形的面积 ()()()c p b p a p p S ---= 其中：a 、b 、c 分别是三角形的三边长，()c b a p ++= 2 1 证明（1）：由余弦定理可知：b a c b a C 2cos 2 22-+= ，由此得出 由 ()c b a p ++= 2 1 可得： p c b a 2=++ ， ()c p c p c c b a c b a -=-=-++=-+2222 ， ()a p a p a c b a c b a -=-=-++=++-2222 ， ()b p b p b c b a c b a -=-=-++=+-2222 ， 因此： ()()()()()()()c p b p a p p b a c b a c b a c b a c b a b a C ---=+-++--+++= 221 sin ()() ()() ()()()()()() c b a c b a c b a c b a b a b a b a c b a c b a b a b a b a c b a c b a b a b a c b a b a c b a C C C C +-++--+++= --?-+=-+-? -++=??? ? ??-+-???? ??-++=-+=-=21 2222222121cos 1cos 1cos 1sin 2 222222222 2222222

由三角形面积公式 C b a S sin 2 1 = 即得 ()()()c p b p a p p S ---= 上述证明用到了三角函数 C sin 、C cos ，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。 BT 是 △ABC 的AC 边上的高，点 T 为垂足。记 c AB =，b AC =，a BC =，h BT =，d CT =（见上图）。 证明（2）：若 △ABC 是锐角三角形（图1），则由勾股定理有 ()()() ? ??=--=-2122 22 22h d b c h d a 由（1）式得出 22h a d -= ，带入（2）式 ： ( )2 2 2 22 h h a b c =-- - 。 展开，即得 ( ) 2222 2222h h a b h a b c =---+- ，由此式解得 ( )()()()()2 2 2 2 22222 444b c b a c b a c b a c b a b c b a b a h -++-++-++=-+-= ， 类似于证明（1），得出 ()()()2 24b c p b p a p p h ---= ， 由于三角形面积 h b S 2 1 = ，由上式即得 ()()()c p b p a p p S ---= 。 C A B T 图1 T B A C 图2

秦九韶算法 人教版高中数学必修3教材教案

第2课时案例2 秦九韶算法 授课时间：第周年月日（星期） 导入新课 思路1（情境导入） 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法. 思路2（直接导入） 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点. （2）什么是秦九韶算法？ （3）怎样评价一个算法的好坏？ 讨论结果： （1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算. 另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.

第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果. （2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法： 把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式： f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0 =（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0 =（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=a n x+a n-1， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+a n-2， v3=v2x+a n-3， … v n=v n-1x+a0， 这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. （3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这

数学：秦九韶算法教案新人教版A必修

舜耕中学高一数学必修３导学案（教师版） 编号 教学过程： 一、〖创设情境〗 我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式 1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数. 根据我们的计算统计可以得出我们共需要１0次乘法运算，５次加法运算. 如果我们先计算2x 的值，然后依次计算x x ?2，x x ?3，x x ?4 的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果.再统计一下计算次数，可以得出仅需４次乘法和５次加法运算，显 然少了6次乘法运算，这种算法就叫秦九韶算法. 二、〖新知探究〗 我国南宋时期的数学家秦九韶（约１２0２—１２6１）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法: 把一个n 次多项式012211)(a x a x a x a x a x f n n n n n n +++++=---- 改写成如下形式：

1210 123120 1322110 12211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=-------------- 求多项式的值时，可以令n a v =0，然后计算最内层括号内一次多项式的值，即 n a v =0， 101-+=n a x v v ， 212-+=n a x v v ， 323-+=n a x v v ， …… 01a x v v n n +=-， 这样，求n 次多项式)(x f 的值就转化为求n 个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法. 例１ 已知一个５次多项式为8.07.16.25.324)(2 345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法 求这个多项式当5=x 时的值.（参考课本P ３8） 〖思考〗：（１）例１计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？（１５，５） （２）用秦九韶算法求n 次多项式012211)(a x a x a x a x a x f n n n n n n +++++=---- 当 0x x =（0x 是任意实数）时的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？（2 )1(+n n ，n ） 随堂练习：利用秦九韶算法计算15.033.016.041.083.0)(2 345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值. 秦九韶算法的算法步骤、程序框图、程序语言参考课本P ３9． 三、〖归纳小结〗 秦九韶算法的计算过程. 四、〖书面作业〗 课本P ４8习题１．３ A 组２. 五、〖板书设计〗

海伦公式的推导和应用

海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注1：Metrica(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 —————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明（1）： 与海伦在他的着作Metrica(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ）：2证明（ 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国着名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上

算法教案

一、知识点剖析 1．算法的定义和特点 掌握要点： 算法定义：在数学中指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 算法特点：①有穷性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止。②确定性，算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊且算法执行后一定产生确定的结果，不能模棱两可。③可行性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个明确的后继步骤，前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都要准确无误才能解决问题。④不惟一性：求解某一类问题的算法是不惟一的，对于一个问题可以有不同的算法。⑤普遍性，很多具体的问题都可以设计合理的算法解决。 易混易错：（1）算法一般是机械的，有时要进行大量重复的运算，只要按部就班的做总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”，“数学机械化”的最大优点是它可以让计算机来完成。（2）实际上，处理任何问题都需要算法。如，邮购物品有其相应的手续。购买飞机票也有一定的手续等。（3）求解某个问题的算法不惟一。 2．（1）程序框图表示算法步骤的一些常用的图形和符号 点的符号。 （2）三种基本逻辑结构 ①顺序结构 ②条件结构 ③循环结构

顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。这是任何一个算法都离不开的基本结构。 条件结构：在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立会有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构。 易混易错：在条件结构中无论条件是否成立，都只能执行两框之一，两框不可能同时执行，也不可能两框都不执行。 循环结构：算法结构中经常会遇到从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤成为循环体。循环结构分为两种：当性循环结构和直到性循环结构。 当性循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环。“先判断” 直到性循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环。“先循环” 注意：循环结构中一定包含着条件结构。 3．基本算法语句 （1）输入语句 ①输入语句的一般形式是：INPUT “提示内容”；变量 ②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能 ③“提示内容”提示用户输入什么样的信息 ④输入语句可以给变量提供初值 ⑤提示内容与变量之间用分号隔开，若输入多个变量，变量之间用逗号隔开。 例如：INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量 （2）输出语句 ①输出语句的一般形式是：PRINT “提示内容”；表达式 ②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能。 ③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，如PRINT “S=；S 是提示输出的结果是S的值 ④PRINT语句可以在屏幕上出现常量、变量以及系统信息。 注意：任何求解问题的算法，都要把求解问题的结果输出。 （3）赋值语句 ①赋值语句是最基本的语句 ②赋值语句的一般格式为：变量=表达式 ③“=”叫做赋值号。 易混易错:①赋值号做变只能是变量而不能使表达式。 ②赋值号的左右两边不能调换。 ③不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、因式分解、解方程等）。 ④赋值号与数学中的符号意义不同。 注意:输入语句、输出语句、赋值语句基本上对应程序框图中的顺序结构；一个算法有0个或者多个输入，有一个或多个输出；输出语句和赋值语句具有运算功能而输入语句不具有运算功能。 （4）条件语句 共分为两种形式 IF-THEN-ELSE格式 (1)

《秦九韶算法》说课稿

《秦九韶算法》说课稿 各位老师： 大家好!我叫***，来自**。我说课的题目是《秦九韶算法》，内容选自于新课程人教A版必修3第一章第三节，课时安排为一个课时。下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方法与手段分析、学法分析和教学过程分析等五大方面来阐述我对这节课的分析和设计： 一、教材分析 1．教材所处的地位和作用 本节课是继上节课学习了算法案例的案例一之后，继续学习的算法案例二，学生们在学习中国古代数学中的算法案例二时,进一步体会算法的特点。学习了秦九韶算法之后，能使许多复杂的算法简单化，减少计算次数提高计算效率。 2．教学的重点和难点 重点：秦九韶算法的特点及其程序设计（理解秦九韶算法的思想。） 难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计（用循环结构表示算法步骤。） 二、教学目标分析 1．知识与技能目标： 了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 2．过程与方法目标： 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。 3．情感,态度和价值观目标 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。 三、教学方法与手段分析 1．教学方法：充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则。这有利于学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学 习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力。 2．教学手段：通过各种教学媒体（计算机）调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。 四、学法分析 探究秦九韶算法，对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算方法。 五、教学过程分析 ㈠创设情景 在课的开始，给出一个例题： 例1 设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法。（学生自己提出一般的解决方案：将x=5代入多项式进行计算即可） 然后提出问题1：例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？有什么优缺点？ 学生回答后教师点评：上述算法一共做了15次乘法运算，5次加法运算，优点是简单，易懂。缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高。 ㈡探索新知 1.提问2：有没有更高效的算法？ 计算x的幂时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x2，然后依次计

海伦-秦九韶公式

海伦公式 在几何中，已知三边的长，求三角形的面积，我们都知道使用求积公式： △＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c) 这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。有人认为阿基米德比海伦更早了稳这一公式，但是由于没有克凿的证据而得有到数学界的承认。 诲伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。 与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。 海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。他注重实际应用。最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南亲，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c 表示三角形面积、大斜、中斜、小斜所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P＝1时，△2＝q, △=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 分解因式得 1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =S(S-b)(S-a)(S-c) 由此可得： △=√[s(s-b)(S-a)(S-c） 其中S=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以现在有人把这一公式称为“海伦－秦九韶公式”。

《秦九韶算法》教学设计

《秦九韶算法》教学设计 一、教学目标 （一）知识与技能 1、理解秦九韶算法的计算过程及其程序； 2、会用秦九韶算法计算高次多项式的值． （二）过程与方法 1、体验用秦九韶算法计算高次多项式的值的过程； 2、体验写秦九韶算法的程序的过程． （三）情感态度与价值观 1、通过对秦九韶算法的理解和运用，体会我国古代数学家对数学的贡献，激发学生的民族自豪感和爱国热情,增强他们学习数学的积极性； 2、培养学生理解、运用知识的能力． 二、教学重、难点 重点：用秦九韶算法计算高次多项式的值． 难点：用循环结构表示“秦九韶算法”的算法步骤． 三、教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法． 四、教学用具：电脑、投影仪、计算器． 五、教学设计 （一）提出问题，引出新课 当x=5时，求多项式f(x)=x 5+x 4+x 3+x 2+x+1的值？ 让学生填空: 一个自然的做法：把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时你一共做了 10 次乘法运算， 5次加法运算. 另一种做法：先计算x 2的值，然后一次计算x 2﹒x,( x 2﹒x)﹒x,( (x 2﹒x)﹒x)﹒x 的值，这样每次都可以用上一次的结果，这时你用了 4 次乘法运算， 5 次加法运算. 显然，第二种做法少了6次乘法运算。这第二种算法就叫秦九韶算法(秦九韶，我国南宋时期的数学家，其著作有《数书九章》). 秦九韶算法就来自于秦九韶的《数书九章》. （二）探究新知 1、秦九韶算法 把一个n 次多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ改写成如下形式: 12101231201322110 12211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------ΛΛΛ ΛΛΛΛ 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 ,11-+=n n a x a v

高中数学程序框图之秦九韶算法教案高一必修

秦九韶算法 一、教学目标：使学生掌握秦九韶算法的基本思想方法，并会设计其程序框图，且会将其转化为程序语 句。 二、德育目标：通过学习使学生了解中国古代数学对世界数学发展的贡献。 三、教学重点和难点：程序框图的设计。 四、教学过程： 1、引入：秦九韶简介：秦九韶 （公元1202-1261年）南宋，数学家。他在1247年（淳佑七年）着成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。其中的”大衍求一术”﹝一次同余组解法），在世界数学史上占有崇高的地位。在古代＜孙子算经＞中载有”物不知数”这个问题，举例说明：有一数，三三数之余二，五五数之余二，七七数之余二，问此数为何？这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法．奏九韶给出了理论上的证明，并将它定名为”大衍求一术”。这节课我们主要研 究的是秦九韶算法中的一种。即f(x)=1+x+0.5x 2+0. 16667x 3+0.04167x 4+0.00833x 5 在x=-0.2的值 2、新授： （1） 问题的转化： 先由学生直接代入计算的结果；然后再代入 f(x)=1+(1+(0.5+（0.16667+（0.04167+0.00833x ）x ）x)x)x 计算并把两算法进行比较，显然后者的计算量要少的多。因此计算类似问题可以用逐次提取的办法，然后利用递推公式： ???+==--k n k k k a x v v a v 10 进行计算，于是可以利用循环结构设计出算法。 （2）程序及框图：

高中数学《秦九韶算法与排序》教案5 北师大版必修3

1.3.2秦九韶算法与排序 （1）教学目标 （a ）知识与技能 1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。 （b ）过程与方法 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。 （c ）情态与价值 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。 （2）教学重难点 重点：1.秦九韶算法的特点 2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计 难点：1.秦九韶算法的先进性理解 2.排序法的计算机程序设计 （3）学法与教学用具 学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。 2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。 教学用具：电脑，计算器，图形计算器 （4）教学设想 （一）创设情景，揭示课题 我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式 1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。 根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。 我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5 =x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。 （二）研探新知 1.秦九韶计算多项式的方法

辗转相除法及更相减损术秦九韶算法教案

辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 【问题导思】 1．36与60的最大公约数是多少？你是如何得到的？ 【提示】先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数．由于 ，故36与60的最大公约数为2×2×3＝12. 2．观察下列等式8 251＝6 105×1＋2 146，那么8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系？ 【提示】8 251的最大约数是2 146的约数，同样6 105与2 146的公约数也是8 251的约数，故8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数．辗转相除法的算法步骤 第一步，给定两个正整数m、n. 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r 【问题导思】 设两个正整数m>n(m>n)，若m－n＝k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等，反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数是多少？ 【提示】98－63＝35,63－35＝28,35－28＝7,28－7＝21,21－7＝14,14－7＝7，∴98与63的最大公约数为7. 更相减损术的算法步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步． 第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的差与减数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.

将f(x)n n－1n－21a0. 具体算法如下： (1)计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1. (2)由内向外逐层计算多项式的值，即 v2＝v1x＋a n－2， v3＝v2x＋a n－3， … v n＝v n－1x＋a0. 用辗转相除法求228与1 995的最大公约数． 【思路探究】使用辗转相除法可根据m＝nq＋r，反复相除直到r＝0为止． 【自主解答】 1 995＝8×228＋171， 228＝1×171＋57， 171＝3×57， ∴228与1 995的最大公约数为57.

人教版高中数学必修三(教案)1.3 秦九韶算法

第二课时 1.3.2 算法案例---秦九韶算法 教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以 减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的 区别，理解计算机对数学的辅助作用. 教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计. 教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计. 教学过程： 一、复习准备： 1. 分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大 公约数. 2. 设计一个求多项式5432 x=时的值的 ()254367 =--+-+当5 f x x x x x x 算法. （学生自己提出一般的解决方案：将5 x=代入多项式进行计算 即可） 提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？ 此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法 运算，5次加法运算. 优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决 任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.) 二、讲授新课： 1. 教学秦九韶算法： ①提问：在计算x的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计 算量，即先计算2x，然后依次计算2x x?，2() ??，2 x x x ???的值， x x x x (()) 这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上 述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算） ②结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了， 因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算 时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果. ③更有效的一种算法是： 将多项式变形为： ， 5432 =--+-+= ()254367 f x x x x x x 依次计算2555 ?-=， ?+=，10856534 ?-=，55421 ?-=，2153108 ?+= 534572677 故(5)2677 f=. ――这种算法就是“秦九韶算法”. （注意变形，强 调格式） ④练习：用秦九韶算法求多项式432 x=时的 =+-++当4 f x x x x x ()2351 值.