数学必修二综合测试题(含答案)

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

一． 选择题

*1.下列叙述中，正确的是（ ）

（A ）因为,P Q αα∈∈，所以PQ ∈α（B ）因为P α∈，Q β∈，所以αβ?=PQ （C ）因为AB α?，C ∈AB ，D ∈AB ，所以CD ∈α

（D ）因为AB α?,AB β?,所以()A αβ∈?且()B αβ∈? *2．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ）．

(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 *3.已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,则实数x 的值是（ ）． (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2

*4.长方体的三个面的面积分别是632、、，则长方体的体积是（ ）．

A ．23

B ．32

C ．6

D ．6

*5.棱长为a 的正方体内切一球，该球的表面积为 （ ） A 、2a π B 、22a π C 、32a π D 、a π24 *6.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）只有一条 （B ）无数条 （C ）是平面α内的所有直线 （D ）不存在 **7.已知直线l 、m 、n 与平面α、β，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n ②若m ⊥ ，m ∥

， 则 ⊥

③若m ∥ ，n ∥ ，则m ∥n ④若m ⊥ ， ⊥ ，则m ∥ 或m

其中假命题．．．

是（ ）． (A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④

**8.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）．

**9．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是

边长为1的正方形，

俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．

为（ * ）． (A) 4

π

(B) 54π(C) π (D) 32π

**10.

直

线

3y 2x =--与圆

9)3y ()2x (22=++-交于E 、F 两点，则?EOF （O 是原点）的面积为（ ）．

A ．52

B ．43

C ．23

D ．556

**11.已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ）

A 、34k ≥

或4k ≤- B 、3

4

k ≥或14k ≤- C 、434≤≤-k D 、443≤≤k

***12.若直线k 24kx y ++=与曲线2

x 4y -=有两个交点，则k 的取值范围是

（ ）

主视图

左视图

俯视图

．A ．[)∞+,1 B ．

)43,1[-- C ． ]

1,43( D ．]1,(--∞ 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．

**13.如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ．

**14.空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球面的面积是 ． **15．已知

2222

12:1:349O x y O x y +=+=圆与圆（－）（＋），

则12O O 圆与圆的位置关系为 ．

***16．如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装一

定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥

的高恰为2

a

（如图②），则图①中的水面高度

为 ．

三．解答题：

**17．（本小题满分12分）

如图，在OABC 中，点C （1，3）． （1）求OC 所在直线的斜率；

（2）过点C 做CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程

．

**18．（本小题满分12分）如图，已知正四棱锥V －ABCD 中，AC BD M VM 与交于点，是棱锥的高，若6cm AC =，5cm VC =，求正四棱锥

V -ABCD 的体积．

***19．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．

（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；

（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．

***20. （本小题满分12分）已知直线1l ：mx-y=0 ，

2l ：x+my-m-2=0王新敞

（Ⅰ）求证：对m ∈R ，1l 与 2l 的交点P 在一个

定圆上；

①

②

B

A

1

F

（Ⅱ）若1l 与定圆的另一个交点为1P ，2l 与定圆的另一交点为2P ，求当m 在实数范围内取值时，⊿21P PP 面积的最大值及对应的m ．

***21. （本小题满分12分）

如图，在棱长为a 的正方体ABCD D C B A -1111中，

（1）作出面11A BC 与面ABCD 的交线l ，判断l 与线11A C 位置关系，并给出证明； （2）证明1B D ⊥面11A BC ； （3）求线AC 到面11A BC 的距离； （4）若以D 为坐标原点，

分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，

建立空间直角坐标系，试写出1,B B 两点的坐标.

****22．（本小题满分14分）

已知圆O ：221x y +=和定点A (2,1)，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =．

(1) 求实数a 、b 间满足的等量关系； (2) 求线段PQ 长的最小值；

(3) 若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程．

2

2

P

Q

x y

A

参考答案

一.选择题 DBACA BDCCD AB

二.填空题 13. )2,1(- 14. 2a 3π 15. 相离 16. 3

7(1)a -

三.解答题 17. 解: (1)

点O （0，0），点C （1，3），

∴ OC 所在直线的斜率为30310

OC k -==-.

（2）在OABC 中，//AB OC ,

CD ⊥AB ，∴ CD ⊥OC .

∴ CD 所在直线的斜率为13

CD k =-.

∴CD 所在直线方程为1

3(1)3

y x -=--，3100x y +-=即.

18. 解法1：

正四棱锥V -ABCD 中，ABCD 是正方形，

111

63222

MC AC BD ∴===?=(cm). 且11

661822ABCD

S AC BD =??=??=(cm 2). VM 是棱锥的高,

∴Rt △VMC 中，

2222534VM VC MC =-=-=(cm).

∴正四棱锥

V －ABCD 的体积为

11

1842433

ABCD S VM ?=??=(cm 3).

解法2：

正四棱锥V -ABCD 中，ABCD 是正方形，

∴ 11163222MC AC BD ===?=(cm).

且2

32AB BC AC ==

=(cm) . ∴22(32)18ABCD S AB ===(cm 2).

VM 是棱锥的高,

∴Rt △VMC 中，2222534VM VC MC =-=-=(cm).

∴正四棱锥V -ABCD 的体积为11

1842433

ABCD S VM ?=??=(cm 3).

19. （1）证明:连结BD .

在长方体1AC 中，对角线11//BD B D . 又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴.

11//EF B D ∴. 又B 1D 1

平面11CB D ，EF ?平面11CB D ，

∴ EF ∥平面CB 1D 1.

（2）

在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1

平面A 1B 1C 1D 1，

∴ AA 1⊥B 1D 1.

又

在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，

∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又

B 1D 1

平面CB 1D 1，

∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．

20. 解：（Ⅰ）1l 与 2l 分别过定点（0,0）、（2,1），且两两垂直，∴ 1l 与 2

l 的交点必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆：

0)1y (y )2x (x =-+- 即

D

V M

O

P 2(2,1)

y

x

P

P 1

0y x 2y x 22=--+王新敞

（Ⅱ）由（1）得1P （0,0）、2P （2,1），

∴⊿21P PP 面积的最大值必为4

5

r r 221=??．

此时OP 与12P P 垂直，由此可得m=3或1

3

-

．

21.解：（1）在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ，易知BE 即为直线l ， ∵AC ∥11A C ，AC ∥l ，∴l ∥11A C .

（2）易证11A C ⊥面11DBB D ，∴11A C ⊥1B D ，同理可证1A B ⊥1B D ， 又11A C ?1A B =1A ，∴1B D ⊥面11A BC .

（3）线AC 到面11A BC 的距离即为点A 到面11A BC 的距离，也就是点

1B 到面11A BC 的距离，记为h ，在三棱锥111B BA C -中有

111

111B BA C B A B C V V --=，即11111111

33

A BC A

B

C S h

S BB ???=?，∴h =.

（4）1(,,0),(,,)C a a C a a a 22. 解：（1）连,OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股

定理有

222

PQ OP OQ =-.

又由已知PQ PA =，故22PQ PA =. 即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-.

化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. （2）由230a b +-=，得23

b a =-+.

PQ

==

=

故当6

5

a =

时，min

PQ 即线段PQ 解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min =

| 2×2 + 1－3 |2 2 + 1 2

= 25

5 . （3）设圆P 的半径为R ，

圆P 与圆O 有公共点，圆 O 的半径为1，

1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1

R OP ≤+.

而OP ==

故当

6

5a =

时，min

OP =

此时, 3

235

b a =-+=，min 1R =

.

得半径取最小值时圆P 的方程为22263()()1)55x y -+-=．

解法2： 圆P 与圆O 有公共点，圆 P 半径最小时为与圆O 外切（取小者）的

情形，而这些半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ’ 与l 的交点P 0.

r = 32 2 + 1 2 －1 = 35

5 －1.

又 l ’：x －2y = 0,

解方程组20,230x y x y -=??+-=?，得6,53

5x y ?

=????=??.即P 0( 65 ,35

).

∴ 所求圆方程为22263()()1)55x y -+-=. )