第六章习题课数理
Mathematical Methods for Physics
第六章
定解问题
Mathematical Problem
武汉大学 物理科学与技术学院
Wuhan University
第六章
定解问题习题课
内容小结（见教材） 一、建立导出数理方程 二、写出（或导出）定解问题、 定解条件
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一、建立导出数理方程 1、“指导”P153，例2：
定解问题习题课
N u= v 设扩散物质源强为f 试导出三维扩散方程。 v N （1）粒子浓度：单位体积的粒子数 附： q= tS （2）粒子流密度：单位时间流过单位面积的粒子数 N （3）扩散源强：单位时间单位体积所产生的扩散物质 F = tV （4）扩散定理：在物体内浓度分布不均匀时会引起物质
扩散运动。单位时间流过单位面积的
v 粒子数，与浓度的下降率成正比。 q = ? D?u
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一、建立导出数理方程 1、“指导”P153，例2：
定解问题习题课
设扩散物质源强为f试导出三维扩散方程。 v 考虑在 Δt时间 Δv中的粒子的流动： q = ? D?u 解：
沿x轴流入的净余物质为：
Z
[q x x ? q x
Y
x + Δx
]ΔtΔyΔz = D[u x
x + Δx
?u x x ]Δt ΔyΔz
y : D[u y
z : D[u z
f:
y + Δy
z + Δz
?u y y ]Δt ΔxΔz
?u z z ]ΔtΔx Δy
x
fΔtΔxΔyΔz 因浓度增加的物质为： [u ( x, t + Δt ) ? u ( x, t )]ΔxΔyΔz ut = DΔu + f
x + Δx
X
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一、建立导出数理方程
定解问题习题课
2、导出理想传输线的电报方程 设单位长度的电阻 = R，电漏 = G，电感 = L，电容 = C ; 理想传输线：R = G = 0.
I ( x, t )
L L
v ( x, t )
C
C v( x + Δx, t )
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一、建立导出数理方程
定解问题习题课
流进的电量等于电容充放电电量：
2、导出理想传输线的电报方程 设单位长度的电阻 = R，电漏 = G，电感 = L，电容 = C ; 理想传输线：R = G = 0. 解：考虑 Δx 段在时间 Δt 中的电流、电压 ?I v( x + Δx, t ) ? v( x, t ) = ?( LΔx) 电位差为感生电动势： ?t
[ I ( x + Δx, t ) ? I ( x, t )]Δt = ?(cΔx)[v( x, t + Δt ) ? v( x, t )]
?v ?I = ?L (1) ?x ?t ?I ?v = ?C ( 2) ?x ?t
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vtt = a v xx
2
I tt = a 2 I xx
1 a = LC
2
一、建立导出数理方程
定解问题习题课
3、导出流体力学的连续性方程。设在圆柱形管道 中的理想气体发生微小纵向振动，并设在振动过程 中气体总是沿圆柱体的轴向运动，且气体的速度、 密度、压力在同一截面上的各点都是相同的，求管 中气体的运动方程。 u ( x, t ) ? 速度 ρ ( x, t ) ? 密度 解：考虑 Δx 段在时间 Δt 中的情况
u ( x, t ) X ? ρ ( x + Δx, t )u ( x + Δx, t )Δt + ρ ( x, t )u ( x, t ) Δt
流入的净质量：
x x + Δx
因密度变化增加的质量：
[ ρ ( x, t + Δt ) ? ρ ( x, t )]Δx
?ρ ?ρ ?u +ρ =0 由质量守恒定律有： + u ?t ?x ?x
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二、写出（或导出）定解问题 1、长为l 的杆， l (1 ? 2ε ) 0 （1）一端受压缩为 l (1 ? 2ε ) 答：(1) u t =0 = ?2εx , ut （2）两端受压缩为 l (1 ? 2ε ) (2) u t =0 = ε (l ? 2 x) , ut
u ( x, t ) X l
t =0 t =0
=0 =0
放手后任其振动，写出上两种振动的初始条件。 2、写出下两种情况的杆的导热问题的边界条件。 （1）杆的两端温度为0 （2）杆的两端绝热
答：
u ux
x =0
=0, u
x =l
=0 =0
x =0
= 0 , ux
x =l
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二、写出（或导出）定解问题
定解问题习题课
3、分别写出以下两种情况下的定解问题 x （1）长为 l 的杆， = 0 端固定 x = l 端受沿杆长 方向的力 Q ，开始时取消此力，求杆的纵振动
x （2）长为 l 的杆， = 0 端固定开始时 x = l 端受沿 杆长方向的力 Q，求杆的纵振动。
? u tt = a 2 u xx ? ? ? u x=0 = 0 , u x x=l = 0 Q ?u = Es x , u t t = 0 = 0 ? t=0 ?
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? u tt = a 2 u xx ? ? Q u x = 0 = 0 , u x x = l = Es ? ? ? u t=0 = 0 , ut t=0 = 0 ?
二、写出（或导出）定解问题
定解问题习题课
4、理想传输线远端开路，充电到电位差为 v0 后将近端短路，试写出其定解问题。 5、长为 l 的均匀弦，弦上每一点受外力作用， 其力密度为 bxt ，若弦的两端自由，初位移为 0，初速度为 (l ? x ) ，试写出其定解问题。
? vtt = a 2 v xx ? 4 : ?v t =0 = v0 , vt t =0 = 0 ?v ? x x =l = 0, v x =0 = 0
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? utt = a 2u xx + bxt ? 5 : ? u x x = 0 = u x x =l = 0 ?u = 0, u t t =0 = l ? x ? t =0
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数理金融学作业12：期权价值的计算(2)单期
期权价值的计算（2）单期 3. 某个股票现价为80美元。已知在4个月后，股票价格为75美元或85美元。无风险年利率为6%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系. 3解：股票的价格二叉树模型为： 085 80,6%,1/3175u f d q S S r q S τ====-= 第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.061/3808575(1)e q q ′?+- 从 80(10.02)8575(1)q q ?=+- 我们得到 6.6857510q q q =-= 所以 0.66q = 第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均. （2） 执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为： 05 10u d q C C q C =-= 看涨期权的价格为： 01 3.3 [5(1)0] 3.2351.02 1.02C q q （美元）=?-? （3） 执行价格K=80美元的看跌期权的二叉树模型为： 00 15u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 01 1.7[0(1)5] 1.6671.02 1.02P q q （美元）= ?-? （3）r P S C Ke τ-+=+，
0.021.678081.67, 3.23580 3.2478.4381.67r P S C Ke e τ--+=+=+=+?=+= 4．股票现在的价值为50元。一年后，它的价值可能是55元或40元。一年期利率为4%。假设我们希望计算两种看涨期权的价格，一种执行价格为48美元，另一种执行价为53美元。我们也希望为一种执行价为45元的看跌期权定价。 问：如何求欧式看涨期权这三个无套利价格。 4.解：股票的价格二叉树模型为： 055 50,4%,1140u f d q S S r q S τ====-= 第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q 由无套利原理知： 1.04505540(1)q q ?+- 从525540(1)q q =+-,得到 12554015q q q =-= ,所以, 120.815q = = 第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均 (1) 执行价格为48美元的1年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为： 07 10u d q C C q C =-= 看涨期权的价格为： 01 5.6 [7(1)0] 5.381.04 1.04C q q （美元）=?-? (2) 执行价格为53美元的1年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为： 02 10u d q C C q C =-= 看涨期权的价格为： 01 1.6(0.820)1.541.04 1.04C （美元）= ?= (3) 执行价格为45美元的1年后到期的欧式看跌期权的二叉树模型为： 00 15u d q C C q C =-=，看跌期权的价格为： 01 1.0(00.25)0.961.04 1.04C （美元）=+?
天津理工大学概率论与数理统计第六章习题答案详解
第六章 数理统计的基本概念 一.填空题 1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本， 则∑==n i i n 11ξξ服从分布 )n ,(N 2 σμ . 2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2 σμN X 则~)(22 1n S n σ - )(1χ2-n ； ~)(n S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122 11)(。 3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本， +-=221)2(X X a X 243)43(X X b -，则当=a 20 1=a 时，=b 1001=b 时，统计量X 服从2 X 分布，其自由度为 2 . 4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而12 9(,, ,) x x x 和 129(,,,)y y y 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量 ~U = (9)t . 5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 12 9 ,, ,X X X 与 1216 ,,,Y Y Y 分别 为X 与Y 的一个简单随机样本, 则22 2 1292 22 1216 X X X Y Y Y ++ +++ +服从的分布为 (9,16).F 6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立, 令T =, 则2~T F (1,n ) 分布. 解： 由T =, 得22 X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ
形式逻辑-课后习题-答案(含原题)
第四章简单命题及其推理 一、下列命题是哪种直言命题？请指出命题的主项、谓项、联项、量项及主谓项的周延情况。 1．共产党员是无产阶级先进分子。答：这是个全称肯定命题（A），全称肯定量项省略；“共产党员”是主项；“是”为联项；“无产阶级先进分子”是谓项。主项周延，谓项不周延。 2．任何困难都不是不可克服的。答：这是个全称否定命题（E）。全称量项“任何”；主项“困难”；联项“不是”；谓项为负概念“不可克服的”。其主项、谓项都周延。 3．有些图书是线装书。答：这是特称肯定命题（I）。量项“有些”；主项“图书”；联项“是”；谓项“线装书”。其主项、谓项均不周延。 4．《女神》是郭沫若的诗集。答：这是个单称肯定命题。《女神》是主项；“是”是联项；“郭沫若的诗集”是谓项。其主项周延，谓项不周延。 5．有些学生不刻苦。答：这个命题一般理解为O命题：有些学生不是刻苦的。“学生”是主项；“刻苦的”是谓项；“不是”是联项；“有些”是量项。其主项不周延，谓项周延。 二、下列对当关系推理是否有效？为什么？ 1．由“有的植物不开花”真，推知“所有植物都开花”假。 答：正确。因为O与A是矛盾关系，由O真可推知A假。 2．由“凡环境污染都对人身体有害”真，推知“有的环境污染不对人身体有害”假。 答：正确。因为A与O是矛盾关系，由A真可推知O假。 3．由“有人生而知之”假，推知“有人不是生而知之”真。 答：正确。I与O是下反对关系，由I假可推知O真。 4．由“有的大学生是有理想的”真，推知“所有大学生都是有理想的”假。 答：不正确。I与A是从属（差等）关系，由I真推不出A假。 5．由“所有的古代散文都不押韵”假，推知“有的古代散文押韵”真。 答：正确。E与I是矛盾关系，由E假可推知I真。 6．由“所有的新诗都不押韵”假，推知“所有新诗都押韵”真。 答：不正确。E与A是反对关系，由E假推不出A真。 三、根据命题的对当关系，由已知下列命题的真假，断定同素材的其它三种命题的真 1．已知“某单位职工都买了电冰箱”为假。 答：这是个A命题。当A假时，同素材的E命题“某单位职工都没买电冰箱”真假不定；I命题“某单位职工有的买了电冰箱”真假不定；O命题“某单位有的职工没买电冰箱”为真。 2．已知“某班同学都不是会打桥牌的”为真。 答：这是个E命题。当E真时，A命题“某班同学都是会打桥牌的”为假；I命题“某班同学有的是会打桥牌的”为假；O命题“某班同学有的不是会打桥牌的”为真。 3．已知“有的科学家是自学成才的”为真。 答：这是个I命题。当I真时，A命题“所有的科学家是自学成才的”可真可假；E命题“所有的科学家不是自学成才的”为假；O命题“有的科学家不是自学成才的”可真可假。 4．已知“有的教授不是懂外语的”为假。 答：这是个O命题。当O假时，A命题“所有的教授都是懂外语的”为真；E命题“所有的教授都不是懂外语的”为假；I命题“有的教授是懂外语的”为真。 四、根据命题的对当关系，选择相应的命题来确定下列命题的虚假。 1．所有青年都是积极向上的。答：有的青年不是积极向上的。 2．有的理论是检验真理的标准。答：任何理论都不是检验真理的标准。
金融计量学习题及习题答案
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 Financial Econometrics 》课程考试卷一 课程代码 课程序号 姓名 学号 班级 Part 1 Term Explanation （20 marks ） 1．White Noise 2．RandomWalk 3．Akaike Information Criterion 4．Jarque-Bera Statistic 5．Chow Test Important Point ： 1．White Noise ：White Noise is the special case of stationary stochastic process. We call a stochastic process purely random or white noise if it has zero mean, constant variance and is serially uncorrelated. 2．RandomWalk: Random walk means that the stochastic process is nonstationary and value of this period is highly related to the past values. For example, the stock price today may equal the yesterday ’s price plus a random shock. Random walk without drift can be expressed as t t t u y y +=-1 3．Akaike Information Criterion: AIC provide a way to select the better regression model among several models by comparing their forecast performance. The lower the AIC, the better the forecast performance will be. AIC will also be used to determine the lag length in ARDL approach. 4．Jarque-Bera Statistic: The Jarque-Bera test is the test of normality. We first calculate the skewness and the kurtosis, and it is also based on the residual of the regression. The Jarque-Bera Statistic=)24 )3(6(2 2-+K S n , where S is the skewness and K is the kurtosis,
第六章、数理统计的基本知识解答
第五章、数理统计的基本知识 五、证明题： 1．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，所以，它们的线性组合 112 22111111[, ()](,)n n i i i i n n i i X X X n n N N n n n σμσμ======??=∑∑∑∑ 即样本均值X 服从正态分布2 (, )N n σμ. 2．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，所以，它们的线性组合 112 22111111[, ()](,)n n i i i i n n i i X X X n n N N n n n σμσμ======??=∑∑∑∑ 即样本均值X 服从正态分布2 (, )N n σμ。所以，将X 标准化，即得 ~(0,1 )u N = . 3．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，即 2~(,),1,2,i X N i n μσ= 所以得 ~(0,1),1,2,,i X N i n μ σ -= 又因为12,,,n X X X 相互独立，所以 12,,, n X X X μ μ μ σσσ --- 也相互独立。 于是，2 2 222 1 1 1 ()( )~()n n i i i i X X n μ μσ σ ==-χ= -=χ∑∑.
4．证：由§5.4定理2知，统计量 ~(0,1) u N =； 又由§5.4定理4知，统计量 2 22 2 (1) ~(1) n S n σ - χ=χ- 因为X与2S 独立，所以统计量u= 2 2 2 (1) n S σ - χ=也是独立的。于是，根据§5.3定理2可知，统计量 ~(1) t t n ===-. 5．证：由§5.4定理1知： 22 12 12 12 ~(,),~(,) X N Y N n n σσ μμ. 因为X与Y独立，所以可知： 22 12 12 12 ~(,) X Y N n n σσ μμ --+. 于是，得 ~(0,1) U N =. 6．证：由§5.4定理6的推论知，统计量 ~(0,1) U N =. 又由§5.4定理4知： 2 22 11 11 2 2 22 22 22 2 (1) ~(1), (1) ~(1). n S n n S n σ σ - χ=χ- - χ=χ- 因为2 1 S与2 2 S独立所以2 1 χ与2 2 χ也是独立的，由2χ分布的可加性可知，统计量
自主招生数学专题一不等式(习题补充版)
自主招生数学专题一：不等式 不等式是初等代数研究的问题之一，常见的考点包括未必局限于均值不等式（AM-GM不等式）、Cauchy不等式、排序不等式、Jensen不等式、三角不等式…某些求导才能求得函数最值的题也可以用卡尔松不等式、赫尔德不等式.还有一些常用的技巧还包括构造局部不等式、裂项、换元、线性规划、调整法等等.在不等式的凑配过程中我们还会用到因式分解、待定系数法、主元法等方法，还需要时刻注意不等式的取等条件. 近年来，有些同学跟我反映夏令营、自主招生的不等式题不会做，为了部分缓解(看来受生物实验毒害不浅)大家对不等式的恐惧,提升大家的能力,我整理了这个专题.在选题的过程中参考了《自招宝典》《自主招生直通车》《数学奥林匹克小丛书》以及一些竞赛或学科营中的题目，和之前在“高思教育”“北京数学学校”的课堂笔记，在此对他们表示感谢. 面对一道不等式,为什么有人能想到换元?为什么有人会这么凑系数?为什么会想到如此放缩?巧夺天工的证明往往蕴含了自然而优美的逻辑.希望通过对以下例题的探讨等够带大家初步领略不等式的妙处，提升大家对不等式的感觉. 【知识梳理】 1证明均值不等式 2用不包括向量法在内的三种方法证明Cauchy不等式 3证明排序不等式
【重要例题】 1(2015北大体验营)1=++c b a 求) 1)(1)(1(c b a abc ---的最大值 21=++c b a 求证:1)9111≥++c b a 2)3 1 222≥++c b a 3)127≤abc 4)3≤++c b a 5)3311 1 ≥+ + c b a 6)63115≤+∑a 7)(2011江西预赛)最大值求32c ab 3(2016清华自主招生)12 ==∑∑x x 求xyz 最值(原题为不定项选择题) 4设0,,>c b a ,求证2≥+++c b c b a a c 5(2008南开)5262 +=+++a bc ac ab ,0,,>c b a 求c b a 23++的最小值 6(2009清华自招)设0,,>z y x ,a,b,c 是x,y,z 的一个排列，求证3 ≥++z c y b x a 7求2 211x y y x -+-的最大值 8(2010浙大),,11 +=∈=∑R x x i n i i 求证41 3 >-∑ i i x x
金融计量学》习题答案
《金融计量学》习题一 一、填空题： 1.计量经济模型普通最小二乘法的基本假定有 解释变量非随机 、随机干扰项零均值、同方差、无序列自相关、随机干扰项与解释变量之间不相关、 随机干扰项服从正态分布零均值、同方差、零协方差 （隐含假定：解释变量的样本方差有限、回归模型是正确设定） 2.被解释变量的观测值i Y 与其回归理论值)(Y E 之间的偏差，称为 随机误差项 ； 被解释变量的观测值i Y 与其回归估计值i Y ?之间的偏差，称为 残差 。 3.对线性回归模型μββ++=X Y 10进行最小二乘估计，最小二乘准则是 。 4.高斯—马尔可夫定理证明在总体参数的各种无偏估计中，普通最小二乘估计量具有 有效性或者方差最小性 的特性，并由此才使最小二乘法在数理统计学和计量经济学中获得了最广泛的应用。 5. 普通最小二乘法得到的参数估计量具有线性性 、无偏性 、有效性 统计性质。 6.对于i i i X X Y 22110????βββ++=，在给定置信水平下，减小2?β的置信区间的途径主 要有__增大样本容量______、__提高模型的拟合优度__、___提高样本观测值的分散度______。 7.对包含常数项的季节(春、夏、秋、冬)变量模型运用最小二乘法时，如果模型中需要引入季节虚拟变量，一般引入虚拟变量的个数为____3个______。 8.对计量经济学模型作统计检验包括__拟合优度_检验、____方程的显著性检
验、_变量的显著性__检验。 9.总体平方和TSS 反映__被解释变量观测值与其均值__之离差的平方和；回归 平方和ESS 反映了__被解释变量的估计值(或拟合值)与其均值__之离差的平方和；残差平方和RSS 反映了____被解释变量观测值与其估计值__之差的平方和。 10.方程显著性检验的检验对象是____模型中被解释变量与解释变量之间的线 性关系在总体上是否显著成立__。 12.对于模型i ki k i i i X X X Y μββββ+++++=Λ22110，i=1,2,…,n ，一般经验认为， 满足模型估计的基本要求的样本容量为__n ≥30或至少n ≥3（k+1）___。 13.对于总体线性回归模型i i i i i X X X Y μββββ++++=3322110，运用最小二乘法欲 得到参数估计量，所要求的最小样本容量n 应满足_4_____。 二、单选题： 1.回归分析中定义的（B ） A.解释变量和被解释变量都是随机变量 B.解释变量为非随机变量，被解释变量为随机变量 C.解释变量和被解释变量都为非随机变量 D.解释变量为随机变量，被解释变量为非随机变量 2.最小二乘准则是指使（D ）达到最小值的原则确定样本回归方程。 A.()∑=-n t t t Y Y 1? B.∑=-n t t t Y Y 1? C.t t Y Y ?max - D.()2 1?∑=-n t t t Y Y 3.下图中“{”所指的距离是（B ） A. 随机误差项 B. 残差
第六章 数理统计的基本知识课后习题参考答案
第六章 数理统计的基本知识 1 ．10 2 21 1 () 210110(,,)i i x f x x e μσ=--∑=K ；2 2()12*10 1(),1x f x e x μσ-- -∞<<+∞=。 2．t 分布；9. 3．11,, 2.20100 4．解： 0 (0,1)0.3 i X N -~Q 10 1 22 ( )(10)0.3 i i X χ=∴~∑ {} {}1010222 2 11 1.441.44()(10)160.10.3 0.3i i i i X P X P P χ==??∴>=>=>=∑∑???? ５．解：4 (12,)5 X N : 可参考书中67P 页 （1）{ } 121210.7372P X -<=Φ-=； （2）{}125max(,,,)15P X X X (1) ()1 c c c E X x c x dx c x dx θθθθθθθθ+∞ +∞ -+-=== -? ? 令 1c X θθ=-，得θ的估计量为$X X c θ =-，θ的估计值为$1 1 11n i i n i i x n x c n θ===-∑∑ （2）极大似然估计 (1)(1)(1)11()()()n n n L c x c x c x x θθθθθθθθθθ-+-+-+==L L 1 ln ()ln()(1)ln n i i L n c x θ θθθ==-+∑ 令1 ln ln ln 0n i i L n n c x θθ=?=+-=?∑ 得θ的估计值为$1 ln ln n i i n x n c θ ==-∑，θ的估计量为$1 ln ln n i i n X n c θ ==-∑ 3．（1） 矩估计 1214 33 X ++= = 22()122(1)3(1)32E X θθθθθ=?+?-+?-=- 令()E X X = 得θ的估计值为$5 6 θ = 极大似然估计 2256112233()()()()2(1)22L P X x P X x P X x θθθθθθθ=====?-?=- 令 ln 5101L θθθ?=-=?-，得θ的估计值为$56 θ= （2）矩估计量 1 1n i i X X n λ===∑ 极大似然估计 1 111211()()()...()... ! ! !...! i n x x x n n n n n e e L P X x P X x P X x e x x x x λ λ λλλλλ---∑ ===== = 令 ln ()0i x L n λθλ ?=-+=?∑，得λ的似然估计值为$i x n λ=∑， 数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明: 逻辑推理题常用的解法与解题思路 “逻辑思路”，主要是指遵循逻辑的四大基本规律来分析推理的思路。 【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。它的基本内容是，在同一思维过程中，同一个概念或同一个思想对象，必须保持前后一致性，亦即保持确定性。这是逻辑推理的一条重要思维规律。运用这一规律来解题，我们把它叫同一律思路。 例1. 某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下：甲：丙第二个进去，乙第三个进去。乙：甲第三个进去，丙第一个进去。丙：甲第一个进去，乙第三个进去。三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？ 分析（用同一律思路推理）；这一类问题具有非此即彼的特点。比如甲是否是第一个进办公室只有两种可能：是或非。我们用1表示“是”，0表示“非”，则可把口供列表处理。（1）若甲第一，则依据丙的口供见左表，这个表与甲的口供仅对一半相矛盾；（2）若甲非第一，则依据丙的口供，乙第三个进去，进行列表处理如右表，与“三人口供仅对一半”相符。从而可以判定，丙最先进入办公室。这个问题也可以不列表而用同一律推理。甲的话第一句对，第二句错，则丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二，这个结论与丙说的话“半对半错”不符。因此，有甲的第一句错，第二句对。即乙第三个进去，丙不是第二个，自然是第一个。这个结论与乙的话“半对半错”相符：甲不是第三，丙是第一。并且这个结论与丙的话“半对半错”也相符：甲不是第一，乙是第三。在整个思维过程中，我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证，直到都符合题目给定的条件为止。 例2. 从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另一个叫毛毛族，他们永远说假话。一个外地人来到这个国家，碰见三位居民，他问第一个人：“请问你是哪个民族的人？”“匹兹乌图。”那个人回答。外地人听不懂，就问其他两个人：“他说的是什么意？”第二个人回答：“他说他是宝宝族的。”第三个人回答：“他说他是毛毛族的。” 请问，第一个人说的话是什么意思？第二个人和第三个人各属于哪个民族？ 分析（用同一律思路思考）：如果第一个人是宝宝族的，他说真话，那么他说的是“我是宝宝族的”。如果这个人是毛毛族的，他说假话，他说的还是“我是宝宝族的”。这就是说，第一个人不管是什么民族的，那句话的意思都是：“我是宝宝族的”。根据这一推理，那么第二个人回答“他说他是宝宝族的”这句话是真的，而从条件可知，说真话的是宝宝族人，因此可以判断第二个人是宝宝族人。不管第一个人是什么民族的，根据前面推理已知他说的话是“我是宝宝族的”，而第三个人回答“他说他是毛毛族的”显然是错的，而说假话的是毛毛族人，因此可以断定第三个人是毛毛族人 我们在分析本题时，始终保持了思维前后的一致性，这就是同一律思路的具体运用。 【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。它的基本内容是：同一对象，在同一时间内和同一关系下，不能具有两种互相矛盾的性质，它是逻辑推理的又一重要规律，运用不矛盾律来推理、思考某些问题的解答，这种思路我们把它叫做不矛盾律思路。 例1.有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：“你旁边的是哪一位？”和尚回答说 最优投资组合的计算（1）：不存在无风险资产情形 1.(1)什么是最小方差资产组合？ （2）写出标准的最小方差资产组合的数学模型。（即不存在无风险资产时期望收益率为p r 的模型） （3）求解该模型，即求权重表达式及最小方差表达式 （4）已知市场上有两种证券，它们的收益率向量为12(,)T X X X =,假设X 服从联合正态分布，其期望收益率向量为()(1,2,0.5)T E X m ==,X 的 协方差矩阵为230 350001轾犏犏=犏犏臌 ? ，设某投资者的投资选择组合为12(,)T w w w = 求由这两种证券组成的均值-方差最优资产组合（允许卖空）12(,)T w w w =与其对应的最小方差，并画出有效前沿图。 2.解：(1)最小方差资产组合是指对确定的期望收益率水平有最小的方差之资产组合。 (2)对一定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最小的数学模型为： 211min 22..()11 T p T p p T w w s t E X w r w s m ==壮?? （3）应用标准的拉格朗日乘数法求解：令 其中1l 和2l 为待定参数，最优解应满足的一阶条件为： 121 2 10; 0;110; T T p T L w w L r w L w l m l m l l ?=-????=-???=-??? 得最优解：* 1 12(1)w l m l -=? ? 。 令1 1 1 ,11,T T T a b m m m m ---===邋 1 211,T c ac b -=D =-? 则12,.p p r c b a r b l l --= = D D 最小方差资产组合方差为：2 **21()T p p c b w w r c c s == -+D ? 当p b r c =时，资产组合达到最优组合，最优组合*1 11w c -= ? ， 最优组合方差为：*2 1p c s =。 期权价值的计算（3）单期 5某个股票现价为50美元。已知在6个月后，股票价格为60美元或42美元。无风险年利率为12%（连续复利）。计算执行价格为48美元的有效期为6个月的欧式看涨期权的价值为多少？证明无套利原理与风险中性定价得出的结果相同 6.5.解：股票的价格二叉树模型为： 060 50,12%,1/2142u f d q S S r q S τ====-= 第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q 由无套利原理知： 1.06506042(1)q q ?+- 从536042(1)q q =+-,得到 11604218q q q =-= ,所以, 1118q = 第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均 (1) 执行价格为48美元的6个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为： 012 10u d q C C q C =-= 看涨期权的价格为： 01122[12(1)0] 6.921.06 1.063C q q （美元）=?-?? 6某个股票现价为40美元。已知在3个月后，股票价格为45美元或35美元。无风险年利率为8%（连续复利）。计算执行价格为40美元的有效期为3个月的欧式看跌期权的价值为多少？证明无套利原理与风险中性定价得出的结果相同。 6.6解：股票的价格二叉树模型为： 045 40,8%,1/4135u f d q S S r q S τ====-= 第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q 由无套利原理知： 1.02404535(1)q q ?+- 从40.84535(1)q q =+-,得到 5.8453510q q q =-= ,所以, 0.58q = 第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均 (1) 执行价格为40美元的3个月后到期的欧式看跌期权的二叉树模型为： 00 15u d q C C q C =-= 看跌期权的价格为： 011[0(1)5] 2.1 2.061.02 1.02C q q （美元）=?-?? 7.已知某股票在时刻0的价格为100元，在时刻1股票价格有两种可能：股票价格为120元的概率为P ；股票价格为90元的概率为1-P.以该股票为表的资产的欧式看涨期权的执行价格为105元，无风险利率r=0.05.试求欧式看涨期权的无套利价格。 解：设时刻0的欧式看涨期权价值即无套利价格为C , 由Cox Ross Rubinstein --二项式期权定价公式1()()h k R k h R C C C R h k h k 轾--犏=? 犏--臌， 其中0,k R h <<<00max(0,)()h C hS E hS E +=-=- 00max(0,)()k C kS E kS E +=-=-， 由题意知，0100, 1.2,0.9,105,S h k E ==== 0(0,)max(0,120105)15 h C hS E +=-=-=； 0(0,)max(0,90105)0k C kS E +=-=-= 0.05,1 1.05r R r ==+= 所以，欧式看涨期权的无套利价格 1 1.050.9 1.2 1.05()15()01.05 1.20.9 1.20.97.57.141.05C 轾--犏=? 犏--臌= 8.已知某股票在时刻0的价格为100元，在一年以后的时刻1股票价格有两种可能： 120元或90元.以该股票为标的资产的一年期欧式看涨期权的执行价格为95元，无风险利率r=0.06.试求欧式看涨期权的无套利价格。 解：股票的价格二叉树模型为： 0120 100,6%,1190u f d q S S r q S τ====-= 第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q 第六章数理统计的基础知识 从本章开始，我们将讨论另一主题：数理统计.数理统计是研究统计工作的一般原理和方法的数学学科，它以概率论为基础，研究如何合理地获取数据资料，并根据试验和观察得到的数据，对随机现象的客观规律性作出合理的推断. 本章介绍数理统计的基本概念，包括总体与样本、经验分布函数、统 计量与抽样分布，并着重介绍三种常用的统计分布：2 分布、t分布和F 分布. §1 总体与样本 1.1 总体 在数理统计中，我们把所研究对象的全体称为总体，总体中的每个元素称为个体.例如,研究某班学生的身高时,该班全体学生构成总体,其中每个学生都是一个个体；又如,考察某兵工厂生产炮弹的射程,该厂生产的所有炮弹构成总体,其中每个炮弹就是一个个体. 在具体问题的讨论中,我们关心的往往是研究对象的某一数量指标(例如学生的身高)，它是一个随机变量,因此，总体又是指刻画研究对象某一数量指标的随机变量X.当研究的指标不止一个时，可将其分成几个总体来研究.今后，凡是提到总体就是指一个随机变量.随机变量的分布函数以及分布律（离散型）或概率密度（连续型）也称为总体的分布函数以及分布律或概率密度，并统称为总体的分布. 总体中所包含的个体总数叫做总体容量.如果总体的容量是有限的，则称为有限总体；否则称为无限总体.在实际应用中，有时需要把容量很大的有限总体当做是无限总体来研究. 1.2随机样本 在数理统计中，总体X的分布通常是未知的，或者在形式上是已知 182 183 的但含有未知参数.那么为了获得总体的分布信息,从理论上讲,需要对总体X 中的所有个体进行观察测试，但这往往是做不到的.例如,由于测试炮弹的射程试验具有破坏性,一旦我们获得每个炮弹的射程数据,这批炮弹也就全部报废了.所以，我们不可能对所有个体逐一加以观察测试,而是从总体X 中随机抽取若干个个体进行观察测试.从总体中抽取若干个个体的过程叫做抽样，抽取的若干个个体称为样本，样本中所含个体的数量称为样本容量. 抽取样本是为了研究总体的性质，为了保证所抽取的样本在总体中具有代表性，抽样方法必须满足以下两个条件： （1）随机性 每次抽取时，总体中每个个体被抽到的可能性均等. （2）独立性 每次抽取是相互独立的，即每次抽取的结果既不影响其它各次抽取的结果，也不受其它各次抽取结果的影响. 这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样，由此得到的样本称为简单随机样本. 对于有限总体而言，有放回抽样可以得到简单随机样本，但有放回抽样使用起来不方便.在实际应用中，当总体容量N 很大而样本容量n 较小时（一般当10N n ≥时），可将不放回抽样近似当作有放回抽样来处理. 对于无限总体而言，抽取一个个体不会影响它的分布，因此，通常采取不放回抽样得到简单随机样本.以后我们所涉及到的抽样和样本都是指简单随机抽样和简单随机样本. 从总体X 中抽取一个个体，就是对总体X 进行一次随机试验.重复做n 次试验后，得到了总体的一组数据12(,,,)n x x x ，称为一个样本观测值.由于抽样的随机性和独立性，每个(1,2,,)i x i n = 可以看作是某个随机变量(1,2,,)i X i n = 的观测值，而(1,2,,)i X i n = 相互独立且与总体 X 具有相同的分布.习惯上称n 维随机变量12(,,,)n X X X 为来自总体X 的简单随机样本. 定义1.1 设总体X 的分布函数为()F x ，若随机变量12,,,n X X X 相互独立，且都与总体X 具有相同的分布函数，则称12,,,n X X X 是来自 期权价值的计算 1.某个股票现价为40美元。已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元。无风险年利率为12%（连续复利）。请用无套利原理说明，执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ (2) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系. 参考答案： 1.解：股票的价格二叉树模型为： 042 40,12%,1/12138u f d q S S r q S τ====-= 第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.121/12404238(1)e q q ′?+- 从 40(10.01)4238(1)q q ?=+- 我们得到 2.442384q q q =-= 所以 0.6q = 第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均. (1) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为： 03 10u d q C C q C =-= 看涨期权的价格为： 01 1.8[3(1)0] 1.7821.01 1.01 C q q （美元）=?-? (2) 执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为： 00 11u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 010.4 [0(1)1]0.3961.01 1.01P q q （美元）= ?-? （3）r P S C Ke τ-+=+， 0.010.3964040.396, 1.7823940.396r P S C Ke e τ--+=+=+=+?= 2.某个股票现价为50美元。已知在两个月后，股票价格为53美元或48美元。无风险年利率为10%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系. 2.解：股票的价格二叉树模型为： 053 50,10%,1/6148u f d q S S r q S τ====-= 第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.11/6505348(1)e q q ′?+- 从 50(11/60)5348(1)q q ?=+- 我们得到 17/653485q q q =-= 所以 3.4/6q = 第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均. (3) 执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为： 04 10 u d q C C q C =-= 看涨期权的价格为： 01 13.6/6136[4(1)0] 2.2361/6061/6061C q q （美元）=?-?= (4) 执行价格K=49美元的看跌期权的二叉树模型为： 第六章 数理统计的基本概念精华习题 一、填空题 1. 设)2,0(,,,2 4321N X X X X 是来自正态总体的样本，则统计量 243221)43( 1)2(1Y X X X X -+-= 服从______分布。. 2. 3456则 71 2((C D 3．设1234, , , X X X X 是取自总体()~0, 4X N 的简单随机样本，()2 122X a X X =-+()2 3434b X X - ()2 ~n c ，则 ()()()()2 4 C 1 2 24A n B n n D n ====或或 【解】选()C 。因为()2 ~X n c ，故, a b 不可能同时为零，但可以其中一个或全不为零。 12（（（3 第六章 数理统计的基本概念精华习题完全解答 一、填空题 1．设)2,0(,,,2 4321N X X X X 是来自正态总体的样本，则统计量 243221)43( 1)2(1Y X X X X -+-= 服从______分布。. 2 3 45．设随机变量()~, X F n n ，则概率{}1P X <= __________。 【解】()(){}{}{}{}111~, ~, 111112X F n n F n n P X P Y P P X P X X X ìü T T<=<=<=>T<=íy?t 。 6． 设总体()2, 01 ~0, X x x X f x other <<ì=í? ，12, X X 来自X 的简单随机样本，12U X =，21V X =+， 则12U P V ìü ￡=í y?t _______。 【解】()12, ~X X ()1212124, 01, 01 , 0, x x x x f x x other <<<<ì=í? 2P < 7 1 2 (( A B C D 第一章数理逻辑 逻辑思维（又称抽象思维）是人运用概念、判断和推理反映事物本质与规律的认识过程（图1.1），它是人类特有的能力，是人类文明延绵不绝、科学技术持续进步的原动力。具备较强的逻辑思维能力是学习科技知识、进行科学研究、从事技术开发的先决条件。逻辑思维在信息科学技术领域显得尤为重要，只有具备强大的逻辑思维能力，才能胜任该领域的研究工作，才能胜任大型复杂软件的编写与调试工作。 图1.1. 逻辑思维 第一节逻辑学概论 逻辑思维是有规律的，逻辑学是专门研究逻辑思维规律性的学科。本节简述逻辑学的基本内容和发展历史。 1.1. 逻辑思维的基本规律 逻辑思维的作用，就是根据一定的前提，通过合理的推导，得到 一定的结论。 例1.1．苏格拉底是柏拉图的导师，柏拉图是亚里士多德的导师，因此，苏格拉底是亚里士多德的师爷。 分析：苏格拉底、柏拉图和亚里士多德是人类文明史上著名的哲学家，有着师徒传承关系。这是一个逻辑思维过程，其作用就是根据‘苏格拉底是柏拉图的导师’和‘柏拉图是亚里士多德的导师’这两个前提，得到‘苏格拉底是亚里士多德的师爷’这个结论。 例1.2. 子非鱼，安知鱼之乐？ 分析：这是惠子对庄子说的一句话。可以将这句话改写为‘你不是鱼，所以你不知道鱼的快乐’，这是一个逻辑思维过程，其作用就是根据‘你不是鱼’这个前提，导出‘你不知道鱼的快乐’这个结论。 逻辑学之父亚里士多德总结出了逻辑思维的以下四条基本规律。 表1.1. 逻辑思维的四条基本规律 下面来看看不满足这些基本规律的实例。 例1.3. 有个小伙子上了火车，一看座无虚席，就厚着脸皮硬往一位老 大爷身边挤座儿。老大爷不高兴了，说：“小伙子，别硬坐了，座位已经满了。”小伙子嘻皮笑脸地说：“老大爷，没办法,我买的就是硬坐票。”分析：这个小伙子在说话时故意把“硬座”变换成“硬坐”，这是偷换概念，违背了同一律。 图1.2. 自相矛盾 例1.4．楚国有个卖兵器的人在街上叫卖。他说：“我的矛是最锋利的，能刺穿任何东西。”他又说：“我的盾是最坚固的，不能被任何东西刺穿。”这时，人群中有人问道：“如果用你的矛去戳你的盾，会怎么样呢？”楚人听后哑口无言。 分析：假设楚人说的两句话都是真的，就可以做以下推理：一方面，因为‘楚人的矛能刺穿任何东西’，所以‘楚人的矛能刺穿楚人的盾’；另一方面，因为‘楚人的盾不能被任何东西刺穿’，所以‘楚人的矛不能刺穿楚人的盾’。这样一来，就得到了两个相互矛盾的结论，根据矛盾律，这两个结论不可能同时为真，因此，楚人的话至少有一句是假的。 例1.5．有个人说：“‘华盛顿是第一任美国总统’是不对的，‘华盛顿离散数学第一章命题逻辑知识点总结
逻辑推理题常用的解法与解题思路
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数理逻辑