2013年南京市联合体中考二模数学试卷及答案

2012－2013学年度南京联合体初三第二次模拟测试

数 学

注意事项：全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分，在每小题所给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．－2的绝对值是（ ▲ ）

A ．2

B ． 12

C ．－2

D ．－1

2

2．2014年青奥会将在南京举办，大部分比赛将在总占地面积为896000平方米的“奥体中

心区”进行．将896000万用科学记数法表示，正确的是（ ▲ ） A ．0.896×106 B ．8.96×105 C ．89.6×104 D ．8.96×106

3．下面四个立体图形中，俯视图是三角形的是（ ▲ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．若将表示2，－3，－7，－11的点分别标在数轴（如图）上，则其中能被墨迹覆盖

的点所表示的数是（ ▲ ）

A ． 2

B ．－ 3

C ．－7

D ．－11

5．下列说法正确的是（ ▲ ）

A ．国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是必然事件

B ．如果在若干次试验中一个事件发生的频率是14，那么这个事件发生的概率一定是1

4 C ．购买江苏省体育彩票有“中奖”与“不中奖”两种情况，所以中奖的概率是1

2 D ．如果车间生产的零件不合格的概率为1

1000，那么在检查数量足够大的前提下平均每检查1000个零件会查到1个次品

6．如图，在□ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，过E 点的线段FG 、HP 分别交平行四边形四边于F 、G 、H 、P ．若要命名图中两个阴影部分面积的大小关系是唯确定的，则需

H (第6题

)

P

F E

D

C B

A G (第4题)

要添加的条件是（ ▲ ）

A ．∠ABC ＝90°

B ．DE ∶EB ＝2∶3

C ．FG ∥BC ，HP ∥AB

D ．AB

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．计算(ab 2)3的结果是 ▲ ．

8．函数y ﹦x +1

x

中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．

9．如图，将三角尺与直尺贴在一起，使三角尺的直角顶点C （∠ACB =90°）在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2= ▲ ．

10．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，则点O 到AB 的距离为 ▲ ．

11．为了了解全校学生的视力情况，小明、小华、小李三个同学分别设计了三个方案．

①小明：检查全班每个同学的视力，以此推算出全校学生的视力情况．

②小华：在校医室找到2000年全校的体检表，由此了解全校学生视力情况．

③小李：抽取全校学号为5的倍数的同学，检查视力，从而估计全校学生视力情况． 以上的调查方案最合适的是 ▲ （填写序号）． 12．若一个圆锥的侧面积是12π，侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长为

▲ ．

13．如图，在长度为1的线段AB 上取一点P ，分别以AP 、BP 为边作正方形，则这两个正

方形面积之和的最小值为 ▲

14．如图，矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，EF ⊥AE 交AD 于点F ，若AB ＝2，BC ＝8，BE ＝5，则FD 的长度为 ．

15．如图，点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5在⊙O 上，且A 1A 2⌒=A 2A 3⌒=A 3A 4⌒=A 4A 5⌒=A 5A 1⌒

，B 、C 分别是

A 1A 2、A 2A 3上两点，A 1

B =A 2

C ，A 5B 与A 1C 相交于点

D ，则∠A 5DC 的度数为▲ ．

(第9题

)

(第10题

)

(第13题)

β

16．如图，A 、B 分别是函数y ＝2

x (x ＞0)的图象上两点，α=β，tan α=12 ，则△AOB 的边AB

上的高为▲ ．

三、解答题（本大题共12小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：(–1)0+(–6)?2–1–(–2)4÷(–2)3．

18．（6分）计算：(1＋1x －1)÷x

x 2－1．

19．（6分）解不等式组：?

????2x ＋7≤ x ＋10，

x ＋23＞2－x ．，并把它的解集在数轴上表示出来。

20．（6分）把两个可以自由转动的均匀转盘A 、B 分别3等份，并在各个扇形内分别标上数

字（如图）．小明和小丽用这两个转盘做游戏，游戏规定，分别转动转盘A 、B ，转盘停止后，将两个指针所指扇形内的数字相加（若指针停在等份线上，则重转1次，直到指针指向某一扇形内），若数字之和为奇数，则小明赢，否则算小丽．赢这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

（第20题）

1 2 3 4

6

5

(第15题

)

2

A

(第14题)

F C

E B

D

A

21．（6分）已知：如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =60°．

（1）作∠B 的平分线BD ，交AC 于点D ；作AB 的中点E （保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接DE ，求证：△ADE ≌△BDE ．

22．（6分）如图，小刚同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG =30°，在

E 处测得∠AFG =45°，D

F =9米，仪器高度CD =1.5米，求这棵树AB 的高度（结果精确到1米， 3 ≈1.7）．

23．（7分）甲、乙两班参加学校迎“青奥”知识比赛，两班的参赛人数相等．比赛结束后，

依据两班学生成绩绘制了如下的统计图表．

6分 25% 7分 20%

8分 35%

9分 20% 甲班学生迎“青奥”知识比赛成绩

扇形统计图

乙班学生迎“青奥”知识比赛成绩统计表 (第21题)

A

C

B

(第22题)

（1）经计算乙班学生的平均成绩为7.7分，中位数为7分，请计算甲班学生的平均成

绩、中位数，并从平均数和中位数的角度分析哪个班的成绩较好；

（2）如果学校决定要组织6个人的代表队参加市级团体赛，为了便于管理，决定依据

本次比赛成绩仅从这两个班的其中一个班中挑选参赛选手，你认为应选哪个班？请说明理由． 24．（7分）如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别为AC 、BC 的中点． （1）求证：四边形EFCD 是菱形；

（2）如果AB ＝8，求D 、F 两点间的距离．

25．（8分）甲车以某一速度沿公路从A 地匀速驶往B 地，到达B 地停留m 小时后，立即

以原速沿原路匀速返回A 地，共用11小时．甲车出发一段时间后，乙车沿同一条公路以每小时120千米的速度从A 地匀速驶往B 地，甲车从A 地出发9小时后，两车在距离A 地160千米处相遇，甲车回到A 地的同时乙车到达了B 地．如图所示的折线是甲车离A 地的距离y 1（千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图象． （1）求乙车离A 地的距离y 2（千米）与所用时间x （小时）之间的函数关系式，并在同

一坐标系中画出其函数图象； （2）求m 的值．

26．（9分）某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次的产品每件获利润8元，每提

(第24题) C F B A E D

小时

y /千米

(第25题)

高一个档次每件产品利润增加2元，最低档次的产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，并且每天只生产同一档次的产品（最低档次为第1档次，档次依次随质量提高而增加）．

（1）某天生产第3档次产品，则该档次每件产品的利润为 ▲ 元，总利润为 ▲ 元．

（2）如果要使一天获利润810元，则应生产哪个档次的产品？

27．(10分)在□ABCD 中，AD ＝6，∠ABC ＝60°，点E 在边BC 上，过点E 作直线EF ⊥AB ，垂足为点F ，EF 与DC 的延长线相交于点H ．

(1)如图1，已知点E 是BC 的中点，求证：以E 为圆心、EF 为半径的圆与直线CD 相切；

(2)如图2，已知点E 不是BC 的中点，连接BH 、CF ，求梯形BHCF 的面积．

H

A D

B

E

C F

(图1) (图2)

A D

F C

E

B

H

28．（11分）阅读材料，回答问题：

如果二次函数y 1的图象的顶点在二次函数y 2的图象上，同时二次函数y 2的图象的顶点在二次函数y 1的图象上，那么我们称y 1的图象与y 2的图象相伴随．

例如：y =(x +1)2+2图象的顶点（–1，2）在y = –(x +3)2+6的图象上，同时y = –(x +3)2+6图象的顶点

（–3，6）也在y =(x +1)2+2的图象上，这时我们称这两个二次函数的图象相伴随． （1）说明二次函数y =x 2–2x –3的图象与二次函数y = –x 2+4x –7的图象相伴随；

（2）如图，已知二次函数y 1=1

4(x +1)2–2图象的顶点为M ，点P 是x 轴上一个动点，将二次函数y 1的图象绕点P 旋转180°得到一个新的二次函数y 2的图象，且旋转前后的两个函数图象相伴随，y 2的图象的顶点为N 。 ①求二次函数y 2的关系式；

②以MN 为斜边作等腰直角△MNQ ，问y 轴上是否存在满足要求的点Q ？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．

2012－2013学年度南京联合体初三第二次模拟测试

数学试题参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照

本评分标准的精神给分．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

（备用图）

（第28题）

7．a 3b 6 8．x ≠0 9．60 10．3 11．③

12．6 13．12 14． 115 15．108 16．32

2

三、解答题（本大题共12小题，共88分）

17．原式=1+(–6)?1

2–(–2) …………………………………………………………………3分 =1–3+2 …………………………………………………………………5分 =0 …………………………………………………………………6分

18．原式=( x －1x －1＋1x －1)·x 2

－1

x

……………………………………………………………2分

=x x －1

·(x +1)(x －1)x …………………………………………………………………4分

=x +1 …………………………………………………………………………………6分 19．解：解不等式①，得 x ≤3．……………………………… ……………………2分

解不等式②，得 x >1． ……………………… ……………………………4分 在数轴上表示不等式①、②的解集：

……………………… …………………………5分

由图可知，不等式组的解集是1

根据题意列表如下：

……………………………………………………………………………………4分 共有9种等可能结果，其中5种两数之和为奇数，…………………………5分 因此P (小明获胜)＝59，P (小丽获胜)＝4

9

． ………………………………………………6分

∴游戏不公平．

（本题的其它方法参考赋分）

21．（1）如图 ……………………………………………………3分 （2）证明：∵∠ABD =1

2×60°=30°，∠A =30°

∴∠ABD =∠A

∴AD =BD ……………………………………………4分

在△ADE 和△BDE 中???AE =BE ED =ED AD =BD

∴△ADE ≌△BDE （SSS ）．………………………………6分

注：直接使用线段垂直平分线的性质得出AD =BD 完成证明的扣1分．

22．解：设AG =x 米

在Rt △AFG 中，∠AFG =∠F AG =45°∴AG =GF =x …………………2分 在Rt △ADG 中，tan ∠ADG =tan30°=

AG ＤG =x x +9 = 3

3

……………4分 ∴x ≈12.9，即AG ≈12.9（米） ……………………………….5分 ∴AB =AG +GB =12.9+1.5≈14（米）

答：这棵树AB 的高度为14米． ………………………………6分

23．解：（1）甲班学生的平均成绩为6?25%+7?20%+8?35%+9?20%=7.5（分）

甲班的中位数为8分 ………………………………………………………2分

由于平均数7.5＜7.7，所以从平均数来看，乙班的成绩较好；

由于中位数8＞7，所以从中位数来看，甲班的成绩较好．………………………………4分 （2）应选乙班．

因为选6人参加市级团体赛，其中乙班有6人的成绩为9分，

而甲班只有4人的成绩为9分，所以应选乙班． ………………………………7分 注：由甲班的方差大于乙班得出应选乙班，得2分；由平均数、中位数、众数或得8分以上人数得出相应结论，得1分；其它答案，得0分；只选择班级，未说明理由，得0分． 24．（1）

证明：∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形

∴AB =AC =BC ，ED =DC=EC ………………………………1分 ∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点

∴EF =12AB ，EC =12AC ，FC =1

2BC ……………………………2分

∴EF =EC =FC

∴EF =FC = ED =DC …………………………………………3分

∴四边形EFCD 是菱形 ………………………………4分 （2）解：连接DF ，与EC 相交于点G ，

∵四边形EFCD 是菱形 ∴DF ⊥EC ，垂足为G … ………………………………5分

∵EF =12

AB =4，EF //AB

∴∠FEG =∠A =60°……………………………………………6分 在Rt △EFG 中，∠EGF =90° ∴DF =2FG =2?4sin ∠FEC =8sin60°= 4 3 …………………7分 （本题的其它方法参考赋分）

25．解：（1）设y 2＝k x ＋b (k ≠0)

因为乙车以120千米/小时的速度从A 地匀速驶往B 地． ∵当x =9时，y =160，∴当x =10时，y =160+120=280

∴???9k +b =16010k +b =280 ∴?

??k =120b = –920 ∴y 2＝120x –920． (4)

∵甲车回到A 地的同时乙车到达了B 地，所以当x =11时，y 2=400，

F

E

D

C

B

A

G

/小时

故点D （11，400）在函数图象上，函数图象见图． ……… …………6分 （2）由题意知，甲车的速度为160÷(11-9)=80km/h ，

往返共用400 2÷80=10h ，所以m =11–10=1h ．………………………………8分 （其它方法参考赋分）

26．（1）12元，648元…………………… ……………………………………2分 （2）解：设生产第x 个档次的产品可使一天获利润810元…………………3分

[8+2(x -1)]·[60–3(x –1)]=810………………………………………………6分 解得 x 1=6，x 2=12 …………………………………………………7分 因为该产品按质量分为10个档次，

所以x =12不合题意，舍去 ……………………………………………8分 答：如果要使一天获利润810元，则应生产第6档次的产品…………………9分 27． (1)由□ABCD 知AB ∥CD ，

∵∠EFB ＝90°，∴∠EHC ＝90°，∴EH ⊥CH ．………………1分 法一：

∵点E 是BC 的中点，∴EB ＝EC ．………………2分 由△BEF ≌△CEH ，知EH ＝EF ，………………3分 ∴EH 是⊙E 的半径．………………4分

∵直线CD 过⊙E 半径EH 的外端点H ，………………5分 ∴直线CD 与⊙E 相切．………………6分 法二：

∴EH 是点E 到直线CD 的距离．………………2 ∵点E 是BC 的中点，∴EB ＝EC ．………………3 由△BEF ≌△CEH ，知EH ＝EF ． ………………4分 ∴EH 是⊙E 的半径．………………5分 ∴直线CD 与⊙E 相切．………………6分

(2)求得梯形的高为3 3 ．………………7分

设CH ＝x ，则CE ＝2x ，BE ＝6－2x ，BF ＝3－x ，………………9分

S 梯形BHCF ＝12 ×(CH ＋BF )×3 3 ＝12 ×(x ＋3－x )×3 3 ＝9

2 3 ．…………10分

28．（1）二次函数y =x 2–2x –3图象的顶点坐标为（1，–4），

二次函数y = –x 2+4x –7图象的顶点坐标为（2，–3）， ……… ………………2分 ①当x =1时，y = –x 2+4x –7= –4，

∴点(1，–4）二次函数y = –x 2+4x –7图象上，

②当x = 2时，y =x 2

–2x –3= –3，

∴点（2，–3）在二次函数y =x 2–2x –3图象上， ……… ………………4分 所以，二次函数y =x 2–2x –3图象与二次函数y = –x 2+4x –7图象相伴随． （2）∵旋转前后的两个函数图象相伴随，

∴y 2的图象的顶点N 必在二次函数y 1=1

4(x +1)2–2图象上， ∵y 2的图象是二次函数y 1=1

4(x +1)2–2图象绕点P 旋转180°得到， ∴这两个函数图象的顶点M 、N 关于点P 对称，

∴如图，y 2图象的顶点可能位于y 1=1

4(x +1)2–2图象对称轴的右侧（点N ）或左侧（点N ’）， 分别过M 、N 作MA ⊥x 轴，NB ⊥x 轴，垂足分别为A 、B ， ∵∠MAP =∠NBP =90°，∠APM =∠BPN ，MP =NP ， ∴△APM ≌△BPN ，∴NB =AM =2， 同理可求，N ’B ’=AM =2，

当y =2时，1

4(x +1)2–2=2，解得 x 1=3，x 2= –5，

∴N （3，2），N ’（–5，2）， ……… …………… ………………6分当N 是y 2图象顶点时，

设y 2=a (x –3)2+2（a ≠0），把M （–1，–2）代入关系式，得a = –1

4， ∴y 2= –1

4(x –3)2+2，

当N ’是y 2图象顶点时，同理可求，y 2= –1

4(x +5)2+2，

综上所述，y 2= –14(x –3)2+2或y 2= –1

4(x +5)2+2， ……… ………………8分

（3）设点Q 的坐标为（0，m ），则MN 2=32， MQ 2= m 2

+4m +5，

①当点N 取（3，2）时，NQ 2=m 2–4m +13，令MQ 2=NQ 2，则m 2

+4m +5=m 2–4m +13，m = 1， ∴MQ 2+NQ 2=20≠MN 2，

∴当N （3，2）时，不存在符合条件的Q 点，使得△MNQ 是等腰直角三角形；

②当点N 取（–5，2）时，NQ 2=m 2–4m +29，令MQ 2=NQ 2，则m 2

+4m +5=m 2–4m +29，m = 3， ∴MQ 2+NQ 2=52≠MN 2，

∴当N （–5，2）时，不存在符合条件的Q 点，使得△MNQ 是等腰直角三角形；

综上所述，不存在符合条件的Q 点，使得△MNQ 是等腰直角三角形．… ………………11分

N P

B

A

N ’

B ’

P ’