张量学习
张量的基本概念(我觉得说的比较好-关键是通俗)
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计算机水平，不只对数值计算有极深的造诣，对一个程序如何编译成汇编代码，如何在CPU 中执行，操作系统如何对内存处理，那些程序又如何在内存中调度，反正听得多了，我也能
反对称张量在N维空间中几何意义
反对称张量在N维空间中的几何意义 By wxy 目录 推广的猜想、通过平面构造二阶张量 面量的基本性质 面量的模 单位面量 面量的“方向”、意义 面量的“点乘” 构造四维二阶张量 四维空间中平面间的位置关系 射影面积定理推广 四维空间中平面间的夹角位置术语 高维空间“叉乘”推广 向量间的叉乘：求法平面 标量与面量间的叉乘：求平面的法平面 叉乘与点乘的关系1 标量与标量间的叉乘：得置换张量 面量与面量间的叉乘：得标量 面量与面量间的叉乘的几何意义 叉乘与点乘的关系2 面量与奇异面量 面量之和有意义的条件 面量与向量的叉积：得到向量
推广的猜想、通过平面构造二阶张量 张量是向量的推广。在N 维空间中向量有N 个分量，而张量则有N 的阶数次方个分量。 因为张量、向量在欧氏空间中具有平移不变性，所以我们干脆只讨论已经平移到坐标原点的张量。 标量（〇阶张量）可以表示N 维空间中有“大小”、“正负”的原点； 向量（一阶张量）可以表示N 维空间中过原点的一条有方向有“大小”（长度）的直线； 由前面的例子我们希望二阶张量能代表有“大小”有“方向”的过原点的平面，但我们该怎么来具体表示呢？让我们先从我们已经熟知的表示方法开始。 已知两个在平面内的不共线（线性独立）的基底1111(,,,,...)a x y z t =、2222(,,,,...)b x y z t =，我们怎样表示这个平面？ N 维空间中最一般的平面表示方法是 P a b λμ=+。但这个式子实际上是个极其简陋原始的方程组，用起来不方便，我们平时熟知的在三维空间中表示平面的方法是表示它的法向量，即 n a b =?,但这条路在四维空间中走不通。因为四维空间中与平面完全绝对垂直的也是平面！（“绝对垂直”即在两平面中各取任意一条直线，它们都垂直，详见后面“四维空间中平面间的位置关系”。）我们希望二阶张量能表示“大小”，即a 和b 间围成的平行四边形的“面积”，我们假定面积也能正交分解，投影。考察任意一个坐标面如 xOy 平面，a 和b 间围成的平行四边形的面积在这个坐标面的投影为1221x y x y -，我们可以构造一个张量F ，使,i j i j i j F a b b a =-，即F a b a b =?-?。为了方便，我们记ab a b a b =?-?。（正反并矢积之差） 面量的基本性质 面量的模 张量F 即表示向量a 和b 所决定的平面，我们称F 为“面量”，记为“F ”。三维空间中： (,,)n x y z =，1212121212121212121212120000=00000xy xz xy yz xz yz e e x y y x x z z x z y F e e y x x y y z z y z x e e z x x z y z z y y x ??---??????????=---=-????????????-----???? ??。我们这样定义的所有面量都是反对称张量，面量的模为基向量a 和b 间平行四边形的面积，即
应力张量的认识(一)
应力张量的认识（一）
本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到 后来逐渐认识的过程。相关还有：Levy-Mises 理论的思考
从本科的材料成形原理教材上就认识了应力张量，然后一直出现在我们的视野里。初始，以一个基本定义记住 了它，进而有过疑惑，随着矩阵论的学习又有了新的认识。曾经就有记录下对其理解的想法，但因思路尚未完 善而一再搁置；直到今天重新想起，完成了方向余弦作为线性空间的证明，才终于开始详细记录。 我将这部分思考分为以下三部分： 应力张量的认识（一） 应力张量的认识（二） 应力张量的认识（三） 本文介绍第一部分应力的基本知识和常规认识。
应力
初中物理就已知道，因外力作用而在物体内部产生的力成为内力。单位面积上的内力即是应力，表征内力的强 度。 为了研究某一点 P 处的应力，用某个截面在 P 点处切开物体，如下图所示。根据定义可以得到 P 点的正应力 σ、切应力 τ，他们的合成即为全应力 T。
需要注意的是，一个确定的截面对应了一组正应力和切应力。但是过 P 点有无数的截面，那么如何才能真正 描述 P 点的应力状态呢？
应力状态
点的应力状态是受力物体内某一点各个截面上应力的变化情况。上面已经意识到过一点点有无数的截面，只有 任意截面上的应力分量都可以确定，才可以说应力状态是确定的。 通常在无数的截面中，任意取三个互相垂直的截面，并以他们的法线方向建立笛卡尔坐标系。也即在 P 点截 取一个无限小的平行六面体，称为单元体。
单元体无限小，视为一点，因此单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，也即他俩的应力是相同 的。这样就只用三个互相垂直的截面上的应力来分析问题。 由于单元体处于静力平衡状态，由绕各轴合力矩为零可以得到切应力互等定律。 问题：既然单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，那为什么上图平行的平面上应力是相 反的？ 单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，但是分别是被截开的的两部分的平面，截开前他 们是重合的，截开后成为了两部分各自的表面，而外表面是有方向的。所以，从各自的方向上来看，应 力方向还是相同的。
应力张量
根据上面的微单元体上的应力分量，是否可以求出任意截面的应力分量？
答案是肯定的。根据三个方向的静力平衡就可以列式计算得到上图的任意的法向为(n1,n2,n3)的截面上的应力 分量。 三个互相垂直的截面上的 9 个应力分量可以确定任意截面的应力，也就是说可以确定一点的应力状态了。同 时从这三个截面的选取上来看，他们和坐标系无关。 于是我们把用上面九个应力分量作为一个整体来描述一点应力状态的物理量叫作应力张量，记作
主应力 如果作用在某一截面上的全应力和这一截面垂直，即该截面上只有正应力，则这一截面称为主平面，其法线方 向称为应力主方向，其上的应力称为主应力。如果三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主坐标系。 求解方法依然是根据静力平衡条件。
张量的基本概念(我觉得说的比较好,关键是通俗)
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计
张量定义
§1 张量的定义 张量： 在三维笛卡儿（Descartes）坐标系中，一个含有三个与坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 例如，对于位移分量u，v，w可以表示为u 1,u2,u3，缩写记为u i，i=1, 2, 3。对 于坐标x,y, z可以表示为x i。 对于一个含有九个独立变量的集合，可以用两个下标来表示。 例如九个应力分量或应变分量（由于对称，实际独立的仅有六个）可以分别表 示为σij和εij，其中σ11, σ22分别表示σx, σxy（就是τxy)；ε11 , ε22分别表示εx, εxy(）等。 同样，一个含有27个独立变量的集合可以用三个下标表示；而含有81个独立变量的集合可以用四个下标表示，依次可以类推。 为了给张量一个确切的定义，首先讨论矢量定义。在坐标系Ox 1x2x3中。矢量 OP的三个分量ζ 1， ζ 2，ζ3可以缩写作ζi，同一矢量OP在新坐标系Ox'1x'2x'3中，写作ζ '1，ζ '2，ζ '3，缩写为ζ'i。 设坐标系Ox 1x2 x3与Ox'1x'2x'3的夹角方向余弦如下表所示 方向余弦n i'j的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标对应于原坐标轴。则矢量在新老坐标系中的关系为 或者 上式可以缩写为
或者。 a2, a3)和OP(ζ1, ζ2, ζ3)，作它们的标量积，则 考察矢量A(a 1, 显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标变换，则 反之，如ζ ' 为已知矢量，而a i为与坐标有关的三个标量，使一次形式在坐标变换时保持不变。根据矢量定义，则a i也是矢量。 推广上述的命题，可以给张量一个解析的定义。设(ζ 1, ζ 2, ζ3)和(η 1, η 2, η3)是矢量，a ij是与坐标有关的九个量，若当坐标变换时，双一次形式 保持不变，则称由两个下标i，j确定的九个量的集合a ij为二阶张量。a ij中的每一个分量被称作张量（对于指定的坐标系）的分量。 根据上述定义，可以推导出坐标变换时张量分量的变换规律。由题设条件，当坐标变换时，有 代入坐标变换关系，则 注意到
张量概念的形成与张量分析的建立
张量概念的形成与张量分析的建立 【摘要】：张量分析在数学物理学中占据重要地位。由于广义相对论的成功,张量分析逐渐被人们所重视。更重要的是规范场论和弦理论的建立,张量分析被应用到了更加广泛的领域。而如此重要的数学分支的历史却极少被研究,这不能不说是一个很大的缺憾。在发掘、搜集、整理、分析张量数学的原始文献的基础上,运用概念分析的方法,梳理、研究、探讨了张量数学的发展史,得到了若干新的发现。首先,找到了向量的代数定义的原始文献,这是张量数学发展史研究的中间链条。如果没有向量的代数定义,这种扩张量是无法超出三维情形的。而张量是一种高维的数学量,因此向量的代数定义是通向张量概念的非常重要的概念。在关于张量数学史的研究中,这是一个被忽略的内容。其次,解读了张量概念的电磁学起源。从电磁学角度揭示了张量概念的物理学源头。而在过去,则一直把弹性力学作为张量概念起点,事实上,应用力学与张量概念的起源关系不大。论文最重要的发现是考证了第一个在现代意义上使用tensor的学者。论文系统论述了张量分析的建立过程。从非欧空间观念、高斯的内蕴思想、黎曼的n维流形、格拉斯曼的高维空间观念、凯莱的n维向量空间开始,逐一陈述了张量数学的历史。张量分析作为解决曲线坐标系中微分运算的数学方法,是从高斯的内蕴几何开始孕育的。而第一个真正提出这个问题的是黎曼,他的n维流形的构想,具体地提出了弯曲空间中二次微分形式的变换问题,这是通向张量分析的起点。随后,经过贝尔特拉米、克
里斯托夫、里奇等人的发展,这种方法终于得以建立。作为补充,简述了张量分析的应用史。包括爱因斯坦、希尔伯特的引力场方程,以及外尔、列维-齐维塔的黎曼几何学。这里的新发现是考证了“黎曼几何学”这个名词的最早出处。张量分析的产生,依赖19世纪的代数和几何的解放。正是非欧几何和抽象代数的出现,使得张量分析得以产生。而张量分析与黎曼几何的深入发展,极大地促进了现代数学的进步。这使得对张量数学史的研究具有深刻的意义。【关键词】：张量分析曲线坐标系向量的代数定义黎曼流形协变系统 【学位授予单位】：山西大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2008 【分类号】：O183.2 【目录】：中文摘要4-5Abstract5-11导论11-33一论文选题的意义11-12二关于张量数学的几个重要问题12-15三论文的基本内容15-22四国内外研究现状22-29五思路、研究方法、创新点与不足之处29-33第一章流形理论:张量概念形成的几何学进路33-60第二节弯曲空间观念的形成:黎曼流形的渊源之一34-481、非欧空间观念形成:张量数学的萌芽34-372、弯曲空间的首次探索:张量分析的几何学基础37-48第二节高维空间观念的形成:黎曼流形的渊源之二48-531、格拉斯曼
张量的基本概念我觉得说的比较好,关键是通俗
简单的说:张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广,标量是零阶张量,矢量是一阶张量，矩阵(方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量,这几个线性空间的基可同时变换,或者只是只变 换几个,此时,张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标,也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中,一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间,所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算,必须比较流形上相距很近两点的张量的差,这就引出了联络的 概念，而联络的概念的引出,需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的,很多概念如果代数水平不行,是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识,最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实,线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在,我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等.线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价. 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说,是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义,但张量本身并不需要具有几何 比拟 其实,张量是有很强的几何背景的,不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了. 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的,这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射. 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关,对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解,而且理解那么深也没用。不过,他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃,很是佩服他们的计算
01 张量基础
第一章 张量基础
晶体的物理性质一般是各向异性的，这 些性质常常需要用与方向有关的两个可测量 的量之间的关系来定义，而用张量来描述， 张量是晶体物理的数学基础。
第一章 张量基础
张量的基本知识 张量的变换定律 张量的几何表示法 晶体对称性对晶体性质的影响 晶体物理性质的相互关系
1.1 张量的基本知识（1）
一、标量与矢量
1、标量
在物理学中，常遇到这样一些量，如物体的温 度、密度等等，它们都与方向无关。这些无方向的 物理量，称为标量（也称零阶张量）。它们完全由 给定的某一数值来确定。
1.1 张量的基本知识（2）
2、矢量
与方向有关的物理量，称为矢量（也称一阶张 量）。它们不仅有大小，而且有一定的方向。如电 场强度、电位移、温度梯度等都是矢量。矢量用上 方带箭头的字母表示，如电场强度可表示为 E 。 矢量还可以用直角坐标系（x1,x2,x3 ）中三个坐 标轴上的分量来决定它的大小和方向，于是 就可以 E 写成： E = [E , E , E ]
1 2 3
——字母的下标1、2、3分别代表x1, x2, x3轴。这 样，当坐标轴选定后，矢量就完全由其在这些轴 上的分量来确定。
1.1 张量的基本知识（3）
二、二阶张量
在各向同性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 方向永远保持一致，在电场强度不高的情况下，两者成线形 关系，因此，它们间的关系可以直接表示为：
D =εE
ε——介电常数
在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 E 方向经常不一致，因此， D 在三个坐标轴上的分量都与 的三 个分量相关，此时，它们间的关系可表示为： D1 = ε 11 E1 + ε 12 E 2 + ε 13 E3 D2 = ε 21 E1 + ε 22 E 2 + ε 23 E3 D3 = ε 31 E1 + ε 32 E 2 + ε 33 E3
张量分析中文翻译(最新整理)
柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛
，其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到，
指数之间的变换规律如下： 11111111,,,,11,,,,=n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++???∧???--????????????（）（）这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般定义。 定义：（n,m-n ）型的张量是多线性映射的分配，即： 对于基f=(e 1,...,e N ) 是如此，如果应用如下基变换 多维阵列变成“协变”规律形式 11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ] n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++??????--????????????（）（）多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。 张量场 在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。事实上，这只是Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。 本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示， ，定义如下坐标变换 多线性映射 有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。 copies copies :, n m T V V V V R **???????????→ 式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。 通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即： 1111(,,,,)i in i in j jm j jm T T e e εε??????≡??????
最新反对称张量在N维空间中的几何意义
反对称张量在N维空间中的几何意义
反对称张量在N维空间中的几何意义 By wxy 目录 推广的猜想、通过平面构造二阶张量 面量的基本性质 面量的模 单位面量 面量的“方向”、意义 面量的“点乘” 构造四维二阶张量 四维空间中平面间的位置关系 射影面积定理推广 四维空间中平面间的夹角位置术语 高维空间“叉乘”推广 向量间的叉乘：求法平面 标量与面量间的叉乘：求平面的法平面 叉乘与点乘的关系1 标量与标量间的叉乘：得置换张量 面量与面量间的叉乘：得标量 面量与面量间的叉乘的几何意义
叉乘与点乘的关系2 面量与奇异面量 面量之和有意义的条件 面量与向量的叉积：得到向量
推广的猜想、通过平面构造二阶张量 张量是向量的推广。在N维空间中向量有N个分量，而张量则有N的阶数次方个分量。 因为张量、向量在欧氏空间中具有平移不变性，所以我们干脆只讨论已经平移到坐标原点的张量。 标量（〇阶张量）可以表示N维空间中有“大小”、“正负”的原点； 向量（一阶张量）可以表示N维空间中过原点的一条有方向有“大小”（长度）的直线； 由前面的例子我们希望二阶张量能代表有“大小”有“方向”的过原点的平面，但我们该怎么来具体表示呢？让我们先从我们已经熟知的表示方法开始。 已知两个在平面内的不共线（线性独立）的基底?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，我们怎样表示这个平面？ N维空间中最一般的平面表示方法是?Skip Record If...?。但这个式子实际上是个极其简陋原始的方程组，用起来不方便，我们平时熟知的在三维空间中表示平面的方法是表示它的法向量，即?Skip Record If...?,但这条路在四维空间中走不通。因为四维空间中与平面完全绝对垂直的也是平面！（“绝对垂直”即在两平面中各取任意一条直线，它们都垂直，详见后面“四维空间中平面间的位置关系”。）我们希望二阶张量能表示“大小”，即?Skip Record If...?和?Skip Record If...?间围成的平行四边形的“面积”，我们假定面积也能正交分解，投影。考察任意一个坐标面如xOy 平面，?Skip Record If...?和?Skip Record If...?间围成的平行四边形的面积在这个坐标面的投影为?Skip Record If...?，我们可以构造一个张量?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?。为了方便，我们记?Skip Record If...?。（正反并矢积之差） 面量的基本性质
(完整版)张量分析中文翻译
张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。
北航张量讲义4
第四章 一般张量 一般张量定义在一般坐标系上。一般坐标系包括了直线坐标系和曲线坐标系， 笛卡儿直角坐标系是基为标准基的直线坐标系。所以，在一般坐标系中，基不一定是标准基，其坐标变换不一定是正交变换。为了维持张量式的不变性，需引进两组基——协变基和逆变基，从而产生不同类型的张量——协变张量、逆变张量和混变张量。 （一般坐标系下的指标约定： 为了区别不同类型的基和张量，需同时采用上标与下标，并修改求和约定： ? 除自然坐标系外，坐标采用上标变量 ==(,,) (,,)i 123i 123y y y y z z z z 老系 新系 （4.1） ? 自然坐标系下的，上标变量与下标变量有相同的含义 ===?(,,)(,,) i 123i i 223i x x x x x x x x 自然系＝e e （4.2） ? 哑标必须在上下标中各取一个 =++i i i i i i i i u u u u 粒子速度 e e e e （4.3） ? 偏导数分母中的上下标与分子指标相同时，构成哑标 ????? ???????===++?????123i i 123i x x x x x i e e e e e （4.4） ? 用括号来区分指数与上标 x i 的平方为(x i )2 ) 4.1一般坐标系中的基向量 第一章已说明，一般坐标系中，空间点P 的位置由坐标y i 通过变换T : 确定 ()i i j T x x y : =（4.5） i x ,物理空间中自然坐标系坐标，j y 变换空间中一般坐标系坐标，T : ，j y 到i x 的变换（正变换）。
几何上（如图）T : 把变换空间的点P '变换为物理空间点P ，把变换空间坐标面（垂直于坐标轴，面上一个坐 标保持常数）组成的六面体变换为物理空间坐标面组成的曲面六面体。六面体上坐标面的交线即为坐标线。P 点有三条坐标线，其向量方程为 () () () 123y y y r r r r r r ===（4.6） 据向量导数的几何意义知，坐标线的切向量为 ,, i i i r r r g e g e g e r g e ????????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??????????= ======== ? ? ? ????????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ?? ?? ??= =??111123i 2i 2i 21231 11 222 333 333123j i j i i x x x y y y x x x x x x y y y y y y y y y x x x y y y x y y （4.7） 另一方面，T : 的Jacobi 矩阵为 ( ) ????? ???? ? ? ????=== ????? ? ? ??? ?????? i j J g g g 1 11123i 222123j 1 2333312 3x x x y y y x x x x y y y y x x x y y y （4.8） 可见i j J 的列向量即为切线向量i g 。考虑到行列式与混合积的关系，T : 的Jacobi 行列式为 ??===?? i j det(J ),,g g g 123G J V （4.9） y 变换空间 物理空间 2 线 3 ) 2
张量分析各章要点
各章要点 第一章：矢量和张量 指标记法： 哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底： k i k i i x ??==?ξ?ξr g e j j i i ?=δg g i i k k x ?ξ=?g e 123 = ==g g g 张量概念 i i'i'i =βg g i'i'i i =βg g i k i k j j ''''ββ=δ i'i'i i v v =β i i 'i 'i v v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =???T g g g g 度量张量 ij i i i j i i g =?=?=?G g g g g g g ?=?=?=?=v G G v v T G G T T .j kj i ik T T g = 张量的商法则 lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk ...lm T(i,j,k,l,m)T = 置换符号 312n 1n 123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmn ijk .L .m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A = 置换张量
i j k ijk ijk i j k =ε??=ε??εg g g g g g ijk i j k ()e ε=??=g g g ijk ijk i j k ()ε=??=g g g i j k ijk ijk i j k a b a b ()::()?=ε=ε=?=?a b g g a b εεa b 广义δ符号 i i i r s t j j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s t e e δδδδδδ==εε=δδδδ ijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδ ijk k ijt t 2δ=δ ijk ijk 6δ= 性质：是张量 重要矢量等式：()()()??=?-?a b c a c b a b c 第二章： 二阶张量 重要性质：T =T.u u.T 主不变量 i 1.i Tr()T ζ==T i j l m 2l m .i .j 1T T 2 ζ=δ 3det()ζ=T 1()()(())(())()?????????=ζ??T u v w +u T v w +u v T w u v w 2)[)][()(]()[()]()????????????=ξ??T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()?????=??T u T v T w T u v w 标准形 1. 特征值、特征向量 ?=λT v v ()-λ?=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形 i 12 3 i 1122 33=??=λ?+λ?+λ? N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法） 12112233(cos()sin())(sin()cos())=?+??+-?+??+?R e e e e e e e e
张量定义.docx
张量定义
§1 张量的定义 张量： 在三维笛卡儿（ Descartes ）坐标系中，一个含有三个与坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 例如，对于位移分量 u ，v ，w 可以表示为 u 1 , u 2 , u 3 ，缩写记为 u i ， i=1, 2, 3。 对于坐标 x, y, z 可以表示为 x i 。 对于一个含有九个独立变量的集合，可以用两个下标来表示。 例如九个应力分量或应变分量（由于对称，实际独立的仅有六个）可以分 别表示为 ij 和 ij ，其中 11 , 22 分别表示 x , xy （就是 xy )；11 , 22 分别表示 x , xy ( ）等。 同样，一个含有 27 个独立变量的集合可以用三个下标表示；而含有 81 个 独立变量的集合可以用四个下标表示，依次可以类推。 为了给张量一个确切的定义，首先讨论矢量定义。在坐标系 Ox 1 x 2 x 3 中。矢 量 OP 的三个分量 1， 2 ，3 可以缩写作i ，同一矢量 OP 在新坐标系 Ox' 1x' 2x' 3 中，写作 ' ， ' ， ' 3 ，缩写为 ' i 。 1 2 设坐标系 Ox 1 x 2 x 3 与 Ox' 1 x' 2 x' 3 的夹角方向余弦如下表所示 方向余弦 n i'j 的第一下标对应于新坐标轴， 而第二下标对应于原坐标轴。 则矢量在新老坐标系中的关系为 或者
上式可以缩写为 或者。 考察矢量A(a1, a2 , a3)和 OP( 1 ,2,3)，作它们的标量积，则 显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标变换，则 反之，如' 为已知矢量，而 a i为与坐标有关的三个标量，使一次形式在坐标变换时保持不变。根据矢量定义，则a i也是矢量。 推广上述的命题，可以给张量一个解析的定义。设 ( 1, 2, 3)和( 1, 2, 3)是矢量， a ij是与坐标有关的九个量，若当坐标变换时，双一次形式 保持不变，则称由两个下标 i ，j 确定的九个量的集合 a ij为二阶张量。 a ij中的每一个分量被称作张量（对于指定的坐标系）的分量。 根据上述定义，可以推导出坐标变换时张量分量的变换规律。由题设条件，当坐标变换时，有 代入坐标变换关系，则
张量第二章
第二章 普通张量的基本概念 §2.1 普通张量的记法 一、 上标、下标、自由指标 普通张量理论采用上标和下标。 上标称为逆变指标，下标称为协变指标。 具有上标的分量称为张量的逆变分量。 具有下标的分量称为张量的协变分量。 同时具有上标和下标的分量称为张量的混变分量。 i T i T ij T ij T i j T ? i j T ? k ij T ?? 字母中的上标和下标称为自由指标。对于张量，自由指标的个数就是张量的阶数。 二、爱因斯坦求和约定、哑标 求和简记法（爱因斯坦约定）： 在一个单项式中，同一个指标出现两次，而且一次作为上标，一次作为下标，就表 示对该指标求和。 表示求和的重复指标称为哑标。 j i j i x a =ξ 或是 k i k i x a =ξ 注意与笛卡儿张量求和的区别。 三、Kronecker 记号δ ? ??=01 i j δ j i j i ≠= 3=i i δ i j k j i k δδδ= 3==i i j i i j δδδ i l k l j k i j δδδδ= i k i k x x =δ ij k j ik a a =δ 四、置换符号 ?? ? ??-==011 ijk ijk e e 非循环序列、、逆循环序列、、循环序列、、)()()(k j i k j i k j i 应用实例 1、 表示行列式 k j i ijk n m l lmn a a a e a a a e a a a a a a a a a a 32132133 32 3 123222 1 13 12 11===
2、 矢量的叉积 设 j j e a = k k e b b = i i e c =?= i i e c b a e ==?=222 k j ijk i b a e c = 五、求普通导数的简记法 取坐标参数x j ，则： j i j i u x u ,=?? j i j i u x u ,=?? j j u x u ,=?? jk i k j i u x x u ,2=??? §2.2 基矢量、矢量的逆变分量和协变分量 客观过程的内在规律是不应该依赖所选择的坐标系的，即自然规律是协变的。因此，尽可能建立张量方程。摆脱坐标系。现在研究几种坐标系。 一、 笛卡儿直角坐标系 ) ('1 p p ) (22p 笛卡儿直角坐标系采用三个相互垂直的单位矢量作为基矢量。 i i e p e p e p e p =++=332211 i e 称为协变基矢量。i p 为逆变分量。 332211e p e p e p ++= i e 称为逆变基矢量，i p 为协变分量。 笛卡儿直角坐标系中，i e 和i e 是重合的，无须区分。
浅议张量分析的形成及其应用
浅议张量分析的形成及其应用 摘要：张量分析是现代数学物理学的基础工具。从广义相对论开始，到规范场论，以至后来的弦理论的建立都得力于张量分析。张量分析所提供的对曲线坐标系的微分方法，真正实现了非欧几何从概念到演算的革命，而所有这一切都是以张量概念的产生为基础的。同时叙述了张量分析在相对论以及连续介质力学方便的应用。 关键词：张量分析；线性变换；相对论；连续介质力学 1引言 张量是向量(矢量)的自然推广。简单说，三维向量是有三个分量的矩阵函数，三维张量(也叫二阶张量)是有九个分量的矩阵函数。但是并不是只要把九个数写成矩阵形式就可以成为张量，还要必须满足线性变换形式不变这个条件。向量是一种平移不变量，在坐标系变换的时候，向量保持长度和方向不变。建立在向量基础上的微积分运算，也就是向量分析，为麦克斯韦的电磁理论提供了数学工具。不过，向量分析是笛卡儿空间中的分析，即三维直角坐标系中的向量微积分运算，它的局限性是很明显的，物理量中很多都有超过三个的分量，如果把分量理解为维数，那就需要处理高维空间中的分析的数学方法，张量分析因此有存在和发展的必要。 2张量概念的起源 2.119世纪初的非欧几何学 1826年，喀山大学的罗巴切夫斯基(H. N. Lobachevsky，1792-1856)演讲了他的关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》，被视为非欧几何诞生的标志。罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，提出一个和欧氏平行公理相矛盾的命题，假如用它与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，然后展开一系列的推理，那么在此过程中，将得出一个个在直觉上很难理解，但在逻辑上毫无矛盾的命题。罗巴切夫斯基由此提出了新的几何理论，后来被称为罗巴切夫斯基几何，这是第一个被提出的改变空间观念的非欧几何学。 从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，1832年，匈牙利数学家波尔约(Janos Bolyai，1802-1860)从第五公设证明了