线性代数的起源发展及其意义

线性代数的起源发展及其意义

线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用。由于费马和笛卡尔的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡,矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因当时对其充分的研究和探索而使其达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。

“代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善男才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。

线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现。．

线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位

在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；

该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的

随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数，非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

作现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。．

为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。

而我们现在学的线性代数主要分为行列式，矩阵，线性方程组，n维向量空间，矩阵相似对角形，二次型及线性变换。．在线性代数中，线性方程组是基础部分，也是一个重要部分。

行列式是研究线性方程组的一个重要工具。它是人们从解方程组的需要中建立起起来的，它在数学本身及其他科学分支（如：物理学，力学等）中都有广泛的应用，已经成为近代数学和科技中不可缺少的工具之一。矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念，是线性代数的重要内容之一，它贯穿线性代数的各个部分。矩阵是许多学科中常用的数学工具，它在自然学科、工程技术和国民经济的许多领域中都有着广泛应用。线性方程组的理论在线性代数中起着重要作用。事实上，线性代数的许多问题都相当于研究线性方程组。如线性方程组的克莱姆法则，其法则的使用是有条件的：（1）未知量的个数与方程个数相等；（2）系数行列数不等于零。可是在许多问题中所遇到的方程组并不满足上述两个条件。这就促使我们有必要进一步讨论一般的线性方程组。在许多实际问题的研究中，常需要将一个矩阵化为相似对角形的问题。二次型起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面的方程为标准形的问题。它的理论在数学、物理及其他许多学科中都有重要应用。变换是数学上的一个重要且有用的概念，线性变换同向量空间一样是线性代数的核心内容，它是反映线性空间元素之间最基本的线性关系。

高等数学是理工科、经济、农类乃至部分文科专业的．

公共基础课，线性代数是高等数学的重要组成部分，其主要内容都是信息时代各类人才应该掌握的基本工具。所以我们

要好好学习这门课，好好利用线性代数。

最新 航空母舰的起源及其发展-精品

航空母舰的起源及其发展 也许很多人并不知道，航母萌芽并非在美国，而是一位浪漫的法国人。1909年，法国发明家克莱曼?阿德率先出版了一本名为《飞行》的专著，首次向世人描述了飞机与战舰结合的迷人梦想，并向各国海军展示了航空母舰的雏形，立即引起了海军强国的极大兴趣。20世纪初，处于急速崛起的美国海军，大力发展大型战舰，决心使用航空母舰来改变海战模式，并加快着手这方面的试验。1910年11月14日，停泊在汉普顿锚地的美国海军“伯明翰”号巡洋舰的外形与往常显得有点异样：从舰上的舰桥开始，平缓地向前甲板倾斜安装了一条长25．3米、宽7．3米的木质跑道；而在跑道上一架待飞的“柯蒂斯”式飞机此时正迎风而立。极富好奇心和冒险精神的著名民间飞行员尤金?伊利在检查完各项设施后，迅速跨入座舱，启动发动机。随着螺旋桨越转越快，飞机向前急速滑去，但由于木质甲板长度太短，飞机在脱离甲板的一瞬间并没有达到应有的起飞速度，结果机头直往下扎。就在围观的人们以为一场悲剧即将发生时，沉着的伊利操纵尾舵，拉起了机头，驾驶着飞机在海面上空蹒跚前进了几千米，最后安全地降落在海滩旁的一排小木屋附近。 两个月后，美国海军又在旧金山海湾进行了航空母舰的舰上降落试验。由于飞机在战舰甲板上降落比起飞难度更大，也更危险，因此美国海军特地选择了一艘吨位更大的重型巡洋舰“宾夕法尼亚”号，而且在其尾部安装了比“伯明翰”号巡洋舰起飞甲板更长、更宽的一段木质跑道：长约36米、宽约9．6米。为了能迅速减小飞机的着舰速度，还沿着甲板横向设置了22根钩索，每道钩索两端用50磅重的沙袋系住。伊利还把自行车内胎缠在身上，以防止发生意外事故。1911年1月18日，这天海面风大浪涌，战舰颠簸不已，而舰长又错误地决定抛锚停航，并将舰尾迎着风向。幸亏伊利技艺高超。他关闭了发动机，降低高度，压低机尾，钩住了其中的11根拦阻索；通过一段距离的减速滑跑，飞机总算在距平台前端9米处停住。伊利先后成功地实现飞机在战舰的起飞和降落，为航空母舰的正式发展奠定了基石。此后不久，英国、法国、日本等国相继开始了航空母舰的研制工作，很快一批包括水上飞机母舰在内的性能迥异、大小不同的航空母舰接连问世，不久便在战争中突显出它们的威力。可是因“巨舰大炮”的思想在不少国家海军领导人头脑中作祟，他们对“在军舰上起降飞机”的方案并不以为然；武断地认为要使飞机能在军舰上起降，就必须拆除军舰上的大炮，而这将大大降低军舰的战斗力。因此，早期的海军强国并没有大力发展阿德那种在军舰甲板上起降飞机的航母设想，而是选择了另一条道路，即研制水上飞机及其母舰。第一次世界大战，水上飞机母舰开始登场亮相，并在战争中发挥了不小的作用，但是它固有的缺点也充分显示出来：吊放与回收不方便，起降受风浪影响大等。于是，英国转而把一艘商船改装为设置全通飞行甲板和岛型舰桥的航空母舰，命名为“百眼巨人”号。这艘满载排水量1．4万余吨、最大航速20节、可搭载20架飞机的航空母舰，成为现代常规航母的雏形。1918年英国首次专门设计建造“竞技神”号航空母舰，但令人遗憾的是，日本海军两年后设计建造的“凤翔”号航空母舰却赶在英国人之前，于1922年提前服役，夺取了世界上首艘专门设计建造航空母舰的桂冠。到二战前夕，美国、英国和日本等国已经建造了数量可观的航空母舰，但因“大舰巨炮”思想始终在各国海军中占主导地位，战列舰依然是

函数的起源与发展

函数的起源与发展 今天的数学大厦已有数千年历史，这是世界数代数学家不断建设完善的结果，伴随着数学思想的发展，函数概念由模糊逐渐严密，对于数学和科学来说，函数是一个最重要，最有意义的数学概念，是人类心智发展的重要标志。 ——引言 众所周知，函数概念是在集合论的基础上产生的。 设A，B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素?和它对应，那么就称??为从集合A到集合B的一个函 数，记作??或?。

仍然是未知的。（定义?5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是?x值，另一栏是与它相对应的?y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。 十九世纪法国数学家柯西（?Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。 直到1930年，现代的函数概念才“出炉”，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数。 函数的应用领域是非常广泛的，几乎每个领域都有它的身影。下面来看一道千古谜题。 题目要求相当简单：只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。（尺规作图） 要作正十七边形，还只能用尺规，谈何容易。然而一个数学天才只用一个晚上就解决了，他的名字就是高斯。 作图方法： 步骤一：?? ?给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，????作C点使OC＝1/4OB，????作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，?? ?作AO延长线上E点使得∠DCE＝ ???步骤二：?? ?作AE中点M，并以M F 点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 ?步骤三：?? ??过G4作OA垂直线交圆O于P4 有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1?? 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a, 令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a?? y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a???? 有:x+y=-1/2?? 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)???? =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)???? 经计算知xy=-1又有?? x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4?? 其次再设 x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a??? ?y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a???? 故有x1+x2=(-1+根号17)/4????y1+y2=(-1-根号17)/4?? 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2??

陵墓建筑

陵墓建筑 摘要： 本论文将主要从陵墓的构造、布局以及发展来介绍陵墓建筑，并且会通过一些陵墓建筑的实例来表现陵墓建筑的特点以及发展过程。 关键词： 墓室陵园秦始皇陵 正文： 陵墓是中国古代帝王、后妃的坟墓，它是中国古代建筑的一个类型，在中国古代建筑史上具有重要的地位。陵墓的起源，是因为人们相信灵魂不灭的缘故，从氏族社会开始，这种观念就已存在。我国古代陵墓建筑的开端是秦始皇陵，到了汉代，帝王修建陵墓形成了一种制度，每位帝王一继位便会开始修建自己的陵墓。在漫长的历史进程中，陵墓建筑得到了不断地发展，经历了一个又一个的高潮，为我们留下了宏伟的且庞大的陵墓群，在中国的古代建筑史上留下了宝贵的一笔。 一、陵墓建筑的布局方式 陵墓建筑的布局分三个方式。首先，是以陵山为主体的布局方式。这种布局方式的封土是覆斗状的，周围建城垣，背衬骊山，轮廓简洁，气象巍峨，创造出纪念性氛围，以秦始皇陵为代表。然后，是以神道贯穿全局的轴线布局方式。这一布局方式重在强调正面神道，以神道上起伏、开合的空间变化，来衬托出陵墓建筑的宏伟不凡，如唐高宗的乾陵。最后，是建筑群组的布局方式。明清的陵墓都是选择群山环绕的封闭性环境作为陵区，将各个帝陵协调地布置在一处，并且在神道上增设牌坊、大红门、碑亭等，使建筑与环境密切结合在一起，从而创造出陵墓的庄严肃穆之感。 二、陵墓建筑的分类 陵墓建筑分为三个部分：地下墓室、地上陵台和陵园。 陵墓墓室分为木构墓室、砖筑墓室和石筑墓室三种。由于时代的不同墓室的结构形式也不同。从殷代开始一直到西汉时期的墓室都是大型木椁墓室，早期为井傒式结构，即用大木纵横交搭构成。到西汉时，主要用特殊木材修建墓室，称为“黄肠题凑”，这一形式使木构墓室达到了前所未有的高潮，汉代的一些王墓就是以这种形式而造的木构墓室。砖筑墓室分为空心砖砌筑和型砖砌筑这两类。空心砖墓室起源于战国末期，型砖墓室大致起源于西汉中期，到南北朝和隋唐时期，它的使用开始逐渐广泛，如南京南唐李昪钦陵墓室的前、中二室就是砖砌墓室。墓室顶部结构有几种形式，方形墓室顶部是叠涩或拱券，长方形墓室顶部是筒拱等。石筑墓室大多采用拱券结构，如五代时期的前蜀王建墓的墓室就是由多道半圆形拱券组成。从明朝开始，墓室建筑发展到了顶峰，开始用巨型条石建造

数的由来和发展——从自然数到有理数

数的由来和发展——从自然数到有理数 原始社会时，古人用小石子检查放牧归来的羊的只数；用结绳的方法统计 猎物的个数；用在木头上刻道的方法记录捕鱼的数量等等。这些原始的计数方 法表明：人类很早就产生了一一对应的思想，于是产生了像１、２、３、４、 ５这样的自然数。 在自然数的符号表示方面，古罗马的数字相当特别，现在许多老式挂钟上 还常常使用它们。罗马数字的符号一共只有7个，分别是：I（代表1）、V （代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M （代表1，000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。如： 1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如： III表示3；XXX表示30。 2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表 示大数字加小数字，如VI表示6，DC表示600。一个代表大数字的符号左边附 一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如IV表示4，XL表示40，VD表示495。 3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一倍。与古罗马不同，其他国家和地区的人民普遍认同十位进制的记数符号，即1、2、3、4、5、6、7、8、9，遇到零就用黑点？表示，比如6708，就可以表示为67？8。后来 这个表示零的？，逐渐变成了0。 后来人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的，比方说：如果分配猎获 物时，5个人分4件东西，每个人该得多少呢？于是分数就产生了。自然数、 分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。 随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。 正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有 理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。 从自然数到有理数，只是数的发展的初级阶段。有理数之后，依次还出现 了无理数、实数、虚数这些数的概念。这些数的发现、发展，是与各个历史阶 段的劳动人民和一大批科学家所作出的努力是分不开的，他们的贡献，犹如一 颗颗璀灿的明珠，将永远闪耀在人类文明的发展史上。

现代化理论与历史研究

现代化理论与历史研究 时间：2012-09-11 08:43来源：《中学历史教学参考》2012年第3期 王加丰 一、现代化理论的产生和演变 现代化理论，现在通常叫发展理论。它的本义，或者说从狭义上看，指研究第三世界或后进国家如何发展的理论。其产生可以追溯到18世纪后期，亚当·斯密的《国民财富的性质和原因的研究》就是当时发展理论的代表作，在这部书中，他探讨了诸如中国、印度等为什么不发展起资本主义的问题。美国建国初期的财政部长汉密尔顿，19世纪上半叶的一些经济学家，如德国的弗里德里希·李斯特的《政治经济学的国民体系》专门讨论过后进国家如何进行工业化的问题。19世纪后期到20世纪中期，关于发展理论的研究大体停滞，或者说没有引起应有重视，因为这时的发达国家都忙于解决因为工业化而引发的一系列国内国外的迫切问题，无暇顾及第三世界的发展。 二次大战结束后，一大批第三世界国家获得了独立，它们走什么道路的问题变得非常尖锐。当时正处于冷战的气氛中，以美国为首的资本主义国家竭力想缩小以苏联为首的社会主义阵营的影响，殚精竭虑的要把这些刚刚开始主宰自己命运的国家拉入自己的怀抱，设立专门机构，探讨这些国家的发展问题，现代意义上的现代化理论由此开始。 1949年，美国总统杜鲁门提出所谓的“第四点计划”（即对落后国家提供经济援助的计划），用大量美援来争取第三世界国家，为此需要研究这些国家如何使用这些援助的问题,这成为现代意义上的现代化理论产生的契机。可想而知,在这样的背景下出现的现代化研究带有三个特点：反共色彩浓厚；企图为第三世界国家找到一条模仿西方模式的发展道路；由于把西方的发展道路作为楷模，所以又有必要对西方的发展道路进行新概括。这方面的代表人物是华·惠·罗斯托（Walt Whitman Rostow,1916-2003）。 罗斯托原是美国麻省理工学院教授，从20世纪50年代初开始从经济史入手研究现代经济增长理论。1960年肯尼迪上台后任命罗斯托为国家安全事务副特别助理、国务院顾问等职务。 1960年罗斯托出版了《经济成长的阶段》一书，该书的副标题是《非共产党宣言》。这一方面表现了他的反共特点，另一方面也反映了他的自命不凡：他要用这本书来取代马克思和恩格斯的《共产党宣言》。另外，从学术探讨的角度来看，这本书还有一个特点：把第三世界国家的发展研究与对发达国家现代化道路的概括结合起来。这为后来的现代化研究提出了一种方向，即一方面研究第三世界的发展，另一方面研究西方国家资本主义的起源问题。罗斯托在这本书中把现代化过程分为五个阶段：传统社会，为起飞创造前提条件，起飞，向成熟推进，大众高消费。后来，他又提出第六阶段：追求生活质量。 罗斯托的理论是从反共出发的，但不是说他书中的观点一无是处，否则今天可能没有人再读他的这本书了。他把现代经济增长分成若干阶段的做法是一种创新，尽管你可以不同意他的六个阶段的分法。书中的一些具体结论也很有说服力或有一定的预见性。比如，他认为苏联的发展模式能较容易进入工业成熟阶段，但很难进入大众高消费阶段；如果进入了高消费阶段，其发展模式也“很可能会萎谢”。他在1990年写的《第三版序言》中还这样讲到中国：“包括中国和印度这两个巨人国家”在内的很多国家现在已超过了起飞而向技术成熟阶段前进，这就避免了德国、日本和俄罗斯在20世纪进入该阶段时出现过的“世界悲剧”。 [1]这里的意思是，一个国家在起飞阶段最具侵略性，过了这个阶段就可能走上和平发展的道路。这是从他的经济发展阶段的理论来看“中国威胁论”或诸如此类的理论的。

浅谈中国古代陵寝园林

浅谈中国古代陵寝园林 摘要：本文就中国古代陵寝园林展开讨论。主要探讨了古代中国陵墓的起源、演变以及风格特点。指出中国古代陵寝园林反应中国古代经济政治文化。是我们宝贵的艺术财富。 关键词：中国陵寝园林文化 陵寝园林是埋葬先人、纪念先人实现避凶就吉之目的而专门修建的园林。陵寝园林包括地下寝宫、地上建筑及其周边环境。 1.陵寝园林的发展历史 30000-18000年前，山顶洞人发明了原始的墓穴文化人尸同洞，上室为居，下室为葬。10000-5000年前的仰韶文化时期，人居与墓穴逐渐分开两地。[1]三代时期中原地区以树为坟茔的标志。西周，为了区别墓主，不同等级的墓主的墓圹上栽植不同品种和数量的树木。在墓葬顶上或边侧造“寝”，便于死者灵魂“饮食起居” 。从战国中叶开始，对地上坟丘外观规定等级。秦汉以后墓葬制度日臻完善。 2.帝王陵寝制度及其演变 君王的坟墓称“陵”，是从战国中期开始，它首先出现在赵、楚、秦等国。由于社会的进一步发展和封建王权的不断加强，当时作为最高统治者的国王，其坟墓造得越来越高达宽阔，状似山陵，坟墓也因此被称为“陵”。 西周以前，帝王坟墓多为木椁大墓，地面不封不树；以秦始皇陵为代表的秦汉时期的帝王陵寝，封土形状多为覆斗式，并以营造豪华墓室和堆筑高大封土为这一时期的特色；以李世民的昭陵为代表的唐朝陵寝，因山为陵，在山腰开凿墓室，展现了大唐盛世的风貌。五代十国和两宋时期，因战争频仍，国力颓弱，陵寝规制相对缩减；元朝帝王死后则实行深葬，地表不留任何痕迹。中国古代陵寝的发展经过这一段近四百年的低潮之后，开始进入一个辉煌时期——明清时期。明太祖朱元璋对前代陵寝制度作了重大改革：将覆斗式封土改为圆式宝顶，增加祭奠设施；改方形院落为多进长方形院落，创立了一个崭新的陵寝制度。清代陵寝不仅承袭了明代陵制，而且作了进一步改革和完善，从而把中国古代陵寝营建活动推向了最后的顶峰。清代陵寝更加注重环境质量。不仅要对水文、地质、气候等诸因素进行严格的考察，而且更注重山川形势，要求所选的环境能够充分体现“天人合一”的理念。清代陵寝更加强调建筑与环境的和谐统一。在建筑序列配置上与周围的山川形势互相呼应，以营造一个合乎理想的陵寝氛围。清代陵寝更加注重建筑质量，不仅坚固宏整，而且富丽堂皇。 3.陵寝园林的风格特征

论文《数的由来和发展》

数的由来和发展 数是个神秘的领域，人类最初对数并没有概念。就像在几百万年前，我们的祖先还只知道“有”、“无”、“多”、“少”的概念，而不知道数为何物。随着文明的进步，这些模糊不清的概念无法满足生产、生活的需要。所以，让人类脑海中逐渐有了“数量”的影子。而数又是如何发展成为今天这个模样的呢？ 一、数的由来和最初起源 人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。 数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。这就是数最初的起源。 二、自然数的发展史 数的发展大概可以分为以下几个阶段：远古时期、筹算、罗马数字、0的引进和阿拉伯数字。 1、远古时期：远古时期的人类在生活中遇到了许多无法解决的

困难：如何表示一棵树、两只羊等等。而在当时并没有符号或数字表示具体的数量，所以他们主要以结绳记事或在石头上刻痕迹的方法计数。 2、罗马数字：罗马数字想必大家很熟悉不过了。这些数字常在钟表里出现，想想看，你见过它们吗？I（代表1）、V（代表5）、X （代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”。其实在公元5世纪时，“0”已经传入罗马，但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何人使用"0"。 3、筹算：我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。这样的计算法在当时是很先进的。但筹算数码中开始没有“零”，遇到“零”就要空位。 4、0的引进和阿拉伯数字：0这个数是公元六世纪的印度人发明的，他们用黑点“〃”表示，最终演变成现在我们熟悉的“0”。当然，阿拉伯数字也是印度人创造的，之后流传到阿拉伯，后人误认为是阿拉伯人发明，故称之为“阿拉伯数字”。由于它们便于书写，被沿用至今。 三、其他数的发展 发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数字都是自然数。出现

企业大学的起源与发展

企业大学的起源与发展 随着知识经济的浪潮席卷全球，人才已经越来越凸显其对企业的重要性，企业对人力资源开发的需求也越来越迫切，而外部培训机构不能满足企业的这种需求，高等教育机构也不能满足员工对职场教育和终身学习的渴求，企业大学就在这种形势下走上了历史舞台。 一、企业大学的起源 1.1 国外企业大学 1.1.1 国外企业大学发源 一般认为，通用电气在1956年建立的克劳顿培训中心（即现在的韦尔奇领导力发展中心）标志着企业大学的诞生。事实上早在1927年，通用汽车即创办了通用汽车技术和管理学院（GM学院），试图将培训和学习带到工作中来，这个时间也可以理解为企业大学的发源时间。 1.1.2 国外企业大学历史 企业大学出现以前，传统的企业培训主要集中在员工的技能普及和培训方面，企业大学的成立掀开了企业管理培训的序幕。下图1描述了国外企业大学的三个发展阶段。 在企业大学发展的第一阶段（20世纪20—70年代），传统的培训体制发生改变，“企业大学”这一术语在20世纪50年代由迪斯尼公司首先采用，并逐渐被人们所接受。 第二阶段（20世纪80年代—20世纪末）摩托罗拉大学成立后，企业大学有了全新的功能和形式，它的成功运作，在全世界范围内引起了企业大学建立的高潮。数据显示，1998年，美国大约有400家企业大学成立，到2000年间，美国的企业大学已经超过2000家。 第三阶段（21世纪初期至今）21世纪初，企业的培训对象开始进一步对外扩展。2001年，惠普应客户和合作伙伴的培训需求成立了惠普商学院，很快，客户面就扩大到了整个社会。2002年，摩托罗拉大学完成了从企业内部培训为主到内外兼顾的整个价值链培训的转型，成了真正意义上的“综合性企业大学”。企业大学在企业结构中发挥的作用越来越重要。

数的起源与发展

古希腊的荷马史诗《奥德赛》中有这样一则故事；当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群，早晨羊儿外出吃草，每出来一只，波吕菲修斯就从一堆石子里捡出一颗，晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子，当他把早晨捡起的石子全部扔掉时，他确信所有的羊都回来了山洞。 数的起源与发展 摘要：数，从我们懂事开始，就天天和我们打交道的对象，但是你知道数是 怎样产生,又是如何发展成为今天这个模样的吗？数是人类文明的伟大创造，人类在长期的实践中，由于生活的需要产生了数。在人类几千年的发展历程中，人类对数的认识一步步深入，到现在数已经涉及到社会的各个领域，本文旨在介绍数的起源，数的发展的几个阶段，以及数的衍生。 （一）数的起源 数是一个神秘的领域，人类最初对数并没有概念。但是，生活方面的需要，让人类脑海中逐渐有了“数量”的影子。 数究竟产生于何时，由于其年代久远，我们已经无从考证。不过可以肯定的一点是数的概念和计数的方法在文字记载之前就已经发展起来了。根据考古学家提供的证据，人类早在5000多年前就已经采用了某种计数方法。 1.数的概念的产生 原始时代的人类，为了维持生活他们必须每天外出狩猎和采集果实。有时他们满载而归，有时却一无所获；带回的食物有时有富余，有时却不足果腹。生活中这种数与量上的变化，使人类逐渐产生了数的意识。在那个时候，他们开始了解有与无，多与少的差别，进而知道了一和多的区别。然后又从多到二、三等单个数目概念的形成，是一个不小的飞跃。随着社会的进一步进步和发展，简单的计数就是必须的了，一个部落集体必须知道它有多少成员或有多少敌人，一个人也必须知道他的羊群里的羊是不是少了。这样，人类的祖先在与大自然的艰难搏斗中，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，逐渐产生了数的概念。 数的产生，标志着人类的思维逐步由事件的直观思维走向形式或抽象思维。但当代科学界多称为数量的形式思维，标志着人们的思维由朴素的“低级”思维向“高级”思维发展。无疑，由此就形成了认识的差别性。实际上，形式思维在于笼统性，事件的直观思维在于事件的具体性。显然，“低级、高级”的区分，是将“事件的具体性”深层次性贬低的错误认识。因为任何将物质或事件的深层次性揭示清楚的分析，无疑具有本质性；而形式的笼统性，只能停留在表面的一般性。所以，将形式的数量分析称为“高级”性，是来自毕达哥拉斯学派的认识观，尔后流行的“量化可比性是科学的唯一标准”的由来。无疑，“数或数量”来自物质或事件的计量，尔后扩展为计时、编序或丈量土地面积、计算财富等日常生产和生活的需要。正如英国哲学家伯特兰?罗素所说：“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西(数字2)时，数学就诞生了。”最早发明的数是自然数。但也局限于分辨一、二等数量的增多。当人们用自己的十个手指记数不敷应用时，便开始采用“石头记数”、“结绳记数”和“刻痕记数”等记数方法。 2.计数方法 考古证据表明，虽然地区和民族之间存在差异，但在采用计数方法时，都不约而同地使用过

我国陵墓建筑的发展

陵墓建筑 陵墓建筑是中国古代建筑的重要组成部分，中国古人基于人死而灵魂不灭的观念，普遍重视丧葬，因此，无论任何阶层对陵墓皆精心构筑。在漫长的历史进程中，中国陵墓建筑得到了长足的发展，产生了举世罕见的、庞大的古代帝、后墓群；且在历史演变过程中，陵墓建筑逐步与绘画、书法、雕刻等诸艺术门派融为一体，成为反映多种艺术成就的综合体。 位于陕西省西安市骊山北麓的秦始皇陵是中国最著名的陵墓，建于2000多年前。被誉为“世界第八大奇迹”的秦始皇兵马俑就是守卫这座陵墓的“部队”。秦始皇兵马俑气势恢弘、雕塑和制作工艺高超，于1987年被列入《世界遗产名录》。世界遗产委员会曾这样评价：那些环绕在秦始皇陵墓周围的著名陶俑形态各异，连同他们的战马、战车和武器，都是现实主义的完美杰作，同时也保留了极高的历史价值。 陕西西安附近是中国帝王陵墓较为集中的地方，除了秦始皇陵外，还有西汉11个皇帝的陵墓，唐代18个皇帝的陵墓。其中汉武帝刘彻的茂陵是西汉皇陵中规模最大的一座，埋藏的宝物也最多；昭陵是唐太宗李世民的陵墓，陵园面积极大，园内还有17座功臣贵戚的陪葬墓，昭陵地上地下都是珍贵的文物，最负盛名的是唐代雕刻精品“六骏图”。 明清皇陵 明清两代皇陵是中国帝王的陵墓中保存最为完整的。 明朝皇帝的陵墓主要在北京的昌平，即十三陵，为明代定都北京后13位皇帝的陵墓群，位于北京市昌平县城北天寿山下一个三面环山、向南开口的小盆地内。小盆地内的山坡上错落有致地分布着这些帝王的陵墓，占地面积达40平方公里。陵区内共埋葬着13位帝王、23位皇后和众多的妃子、皇子、公主及丛葬的宫女等。 明十三陵规模宏伟壮丽，景色苍秀，气势雄阔，是国内现存最集中、最完整的陵园建筑群。其中规模最宏伟的是长陵（明成祖朱棣）和定陵（明神宗朱翊钧）。经挖掘发现，定陵地宫的石拱结构坚实，四周排水设备良好，积水极少，石拱无一塌陷，这充分展示了中国古人建造地下建筑的高超技术。 中国现存陵墓建筑中规模最宏大、建筑体系最完整的皇家陵寝——清东陵占地78平方公里，其中埋葬着清朝5位皇帝，14位皇后，百余名嫔妃。清东陵内的主要陵墓建筑都精美壮观，极为考究。 陵墓存在的意义 中华民族五千年的文明史为现代遗留下了极为可观的古代遗迹、遗物以及古籍资料.陵

数的起源与发展

数的起源与发展 摘要：数，从我们懂事开始，就天天和我们打交道的对象，但是你知道数是怎样产生,又是如何发展成为今天这个模样的吗？数是人类文明的伟大创造，人类在长期的实践中，由于生活的需要产生了数。在人类几千年的发展历程中，人类对数的认识一步步深入，到现在数已经涉及到社会的各个领域，本文旨在介绍数的起源，数的发展的几个阶段，以及数的衍生。 关键词：数起源发展远古时期罗马时期筹算0的引进阿拉伯数字 正文： （一）数的起源 数是一个神秘的领域，人类最初对数并没有概念。但是，生活方面的需要，让人类脑海中逐渐有了“数量”的影子。 数究竟产生于何时，由于其年代久远，我们已经无从考证。不过可以肯定的一点是数的概念和计数的方法在文字记载之前就已经发展起来了。根据考古学家提供的证据，人类早在5000多年前就已经采用了某种计数方法。 1.数的概念的产生 原始时代的人类，为了维持生活他们必须每天外出狩猎和采集果实。有时他们满载而归，有时却一无所获；带回的食物有时有富余，有时却不足果腹。生活中这种数与量上的变化，使人类逐渐产生了数的意识。在那个时候，他们开始了解有与无，多与少的差别，进而知道了一和多的区别。然后又从多到二、三等单个数目概念的形成，是一个不小的飞跃。随着社会的进一步进步和发展，简单的计数就是必须的了，一个部落集体必须知道它有多少成员或有多少敌人，一个人也必须知道他的羊群里的羊是不是少了。这样，人类的祖先在与大自然的艰难搏斗中，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，逐渐产生了数的概念。 数的产生，标志着人类的思维逐步由事件的直观思维走向形式或抽象思维。

但当代科学界多称为数量的形式思维，标志着人们的思维由朴素的“低级”思维向“高级”思维发展。无疑，由此就形成了认识的差别性。实际上，形式思维在于笼统性，事件的直观思维在于事件的具体性。显然，“低级、高级”的区分，是将“事件的具体性”深层次性贬低的错误认识。因为任何将物质或事件的深层次性揭示清楚的分析，无疑具有本质性；而形式的笼统性，只能停留在表面的一般性。所以，将形式的数量分析称为“高级”性，是来自毕达哥拉斯学派的认识观，尔后流行的“量化可比性是科学的唯一标准”的由来。无疑，“数或数量”来自物质或事件的计量，尔后扩展为计时、编序或丈量土地面积、计算财富等日常生产和生活的需要。正如英国哲学家伯特兰?罗素所说：“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西(数字2)时，数学就诞生了。”最早发明的数是自然数。但也局限于分辨一、二等数量的增多。当人们用自己的十个手指记数不敷应用时，便开始采用“石头记数”、“结绳记数”和“刻痕记数”等记数方法。 2.计数方法 考古证据表明，虽然地区和民族之间存在差异，但在采用计数方法时，都不约而同地使用过“一一对应”的方法。关于这个方法，在我国还有一则流传已久的笑话：从前，有个目不识丁的大财主，请了一位教书先生来教他儿子识字。第一天，先生在纸上画了一横，说,这是“一”。第二天，先生在纸上画了两横，说：，这是‘二’。第三天，先生在纸上画了三横，说，这是‘三’。财主的儿子学到这儿，便把笔一扔，跑过去对他爹说：“识字真是太容易了，我已经全学会了”。财主自然十分高兴，便把先生辞退了。过了几天，财主要请一位姓万的亲戚到家里做客，就让儿子写一份请帖。谁知财主左等右等，从早上一直等到晌午，还不见请帖送来，他只好亲自上房去催。儿子看见父亲来了，便埋怨地说“天下姓氏那么多，偏偏拣个姓‘万’的。从早上到现在，我才画了五百多划，离一万还远着呢……。”这虽然是一则笑话，但这种画杠的方法曾经被多个民族所采用。关于这个一一对应的方法，可以举出许多别的例证，如一些美洲的印第安人通过收集每个被猎杀者的头皮来计数他们杀敌的数目；一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来计数他们所捕野猪的数目；居住在乞力马扎罗山山坡上的马萨伊游牧部落的少女，习惯在颈上佩戴铜环，其个数等于自己的年龄。几乎所有的人都常常扳着指头计数较小的数目。1937年，人们在捷克斯洛伐克发现了一根大约三万

(完整版)物联网起源与发展

物联网起源与发展 最初在1999年提出：即通过射频识别（RFID）(RFID+互联网）、红外感应器、全球定位系统、激光扫描器、气体感应器等信息传感设备，按约定的协议，把任何物品与互联网连接起来，进行信息交换和通讯，以实现智能化识别、定位、跟踪、监控和管理的一种网络。简而言之，物联网就是“物物相连的互联网。 从狭义上讲，物联网家电是指应用了物联网技术的家电产品。从广义上讲，是指能够与互联网联接，通过互联网对其进行控制、管理的家电产品，并且家电产品本身与电网、使用者、处置的物品等能够实现物物相联，通过智慧的方式，达成人们追求的低碳、健康、舒适、便捷的生活方式。 这里的“物”要满足以下条件才能够被纳入“物联网”的范围： 1、要有数据传输通路； 2、要有一定的存储功能； 3、要有CPU； 4、要有操作系统； 5、要有专门的应用程序； 6、遵循物联网的通信协议； 7、在世界网络中有可被识别的唯一编号。 物联网是在计算机互联网的基础上，利用RFID、无线数据通信等技术，构造一个覆盖世界上万事万物的“Internet of Things”。 在这个网络中，物品(商品)能够彼此进行“交流”，而无需人的干预。其实质是利用射频自动识别(RFID)技术，通过计算机互联网实现物品(商品)的自动识别和信息的互联与共享。 从两化融合这个角度分析物联网的涵义： 其一：工业化的基础是自动化，自动化领域发展了近百年,理论、实践都已经非常完善了。这一角度不是本文重点不过多赘述。 其二：IT信息发展的前期其信息服务对象主要是人，其主要解决的问题是解决信息孤岛问题。当为人服务的信息孤岛问题解决后，是要在更大范围解决信息孤岛问题。就是要将物与人的信息打通。人获取了信息之后，可以根据信息判断,做出决策，从而触发下一步操作；但由于人存在个体差异，对于同样的信息，不同的人做出的决策是不同的，如何从信息中获得最优的决策？另外物获得了信息是不能做出决策的，如何让“物”在获得了信息之后具有决策能力？智能分析与优化技术是解决这个问题的一个手段，在获得信息后，依据历史经验以及理论模型，快速做出最优决策。数据的分析与优化技术在两化融合的工业化与信息化方面都有旺盛的需求。 ， 注一：信息孤岛是指相互之间在功能上不关联互助、信息不共享互换以及信息与业务流程和应用相互脱节的计算机应用系统。 从产业发展的角度来看，信息孤岛的产生有着一定的必然性。 注二：射频识别，RFID（Radio Frequency Identification）技术，又称无线射频识别，是一种通信技术，可通过无线电讯号识别特定目标并读写相关数据，而无需识别系统与特定目标之间建立机械或光学接触。 RFID技术的基本工作原理：标签进入磁场后，接收解读器发出的射频信号，凭借感应电流所获得的能量发送出存储在芯片中的产品信息（无源标签或被动

四年级数学下册 数的由来和发展阅读素材 人教版

数的由来和发展 你是否看过杂技团演出中“小狗做算术”这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如“2+5”，由演员写到黑板上。小狗看到后就会“汪汪汪……”叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的“数学尖子”表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。 人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有“结绳而治”的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。 数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。 古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。 实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 1.重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”。 2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如“IV”表示“4”，“XL”表示“40”，“VD”表示“495”。 3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：“ ”表示“15,000”，“”表示“165,000”。 我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。 从算筹数码中没有“10”这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始

第四章 宫殿、坛庙与陵墓

第四章宫殿、坛庙与陵墓 本章学习目的和要求 考核知识点： 1、宫殿型制的演变 2、掌握大明宫的空间营造特点；掌握含元殿的宫阙制度对创造宫殿气氛有何作用，对后世的影响如何？ 3、掌握明清北京故宫的艺术成就 4、坛庙建筑的内容 5、掌握北京天坛建筑群的群体空间艺术；掌握天坛单体建筑的形式特征及设计手法 6、陵墓的起源 7、了解陵墓建筑的内容 8、掌握“厚葬”、“薄葬”的历史成因；掌握不同历史时期我国陵墓制度的不同 反映国家意识形态的礼仪空间占主导地位。 第一节宫殿 一、宫殿型制演变 内容+布局 1、“茅茨土阶”的原始阶段 1）、早期的宫殿型制——住屋 2）、殷商时期——纵轴线上的单体建筑 3）、商代开创宫殿先河——前朝后寝 4）、周礼考工记中的理想型制 2、盛行高台宫室的阶段 1）、秦 2）、西汉长安宫殿 3）、魏晋南北朝——东西堂制、骈列制 A、曹魏邺城北宫 B、东晋南朝建康宫殿 C、魏晋南北朝时的宫殿型制特点 a、从多宫并置到只有一宫 b、东西堂制 c、骈列制 3、纵向布置“三朝”阶段 1）、隋大兴宫：唐太极宫 A、东西堂制改变为三朝纵向排列 B、废除骈列制 2）、宋金元 A、宫前序列的发展： B、宫殿布局的变化 a、皇城在城市当中 b、元大都三殿两宫的型制对明清宫殿有直接影响 3）、明清——三朝两宫五门 A、宫殿布局继承唐太极宫以来传统，三朝纵向排列； B、宫前序列在宋金元基础上强化。 4、小结 1）朝：东西堂制——三朝纵向排列 2）宫殿和官署：骈列制——中央官署从宫内移至宫外 3）宫殿和城市：从偏居一侧到位居中央，轴线贯穿城市轴线

1、唐大明宫 1）建筑群的处理：利用地形的优秀实例；确立了纵向序列的空间组织方法 2）布局：前朝后寝，三朝南北相重 3）含元殿型制 2、明清北京宫殿 1）基本格局：布局严整、规模宏伟 A、中轴线 B. 功能分区：外朝、内廷 C、基础设施 2）形制特点：吸收前朝做法并有所创新，成为象征封建集权统治与严格礼制秩序的典范A、恢复汉族文化传统，用礼制来强化宫殿所象征的皇帝权威的合法性 a、对古制的恢复和附会，三朝五门 b、宫殿命名中体现出宇宙秩序与人间秩序的合一 B、吸收前朝各个时期的做法 a、三朝两宫五门沿轴线纵向展开 b、宫前序列进一步丰富 C、皇帝集权的强化在物质上的表征 3）设计手法特点： A、建筑序列：通过连续对称的，尺度、形式不断变化的封闭空间逐步展开 B、建筑处理采用对比手法突出主体 C、空间有序转换： a、以门为媒介 b、以廊庑为辅助 D、屋顶、色彩、装修等细节也成为表达空间等级秩序的语言： 庑殿〉歇山〉悬山（硬山）〉攒尖 重檐〉单檐 E、文字与小品具象征意义 4）空间的意义 A、象征中心与权力中心的分离；礼仪轴线与日常路径的分离 B、神圣与世俗的分界 a、午门：紫禁城正门，皇帝的家门 午门的独特形制，最高等级的屋顶形式，都反映了其地位的重要性。 b、天安门（承天门）：金凤颁诏 3、沈阳故宫 第二节坛庙 ——国之大事，在祀与戎 ——礼乐征伐自天子出 （一）坛庙的种类 1、明堂：展现宇宙构造和运行的象征性礼制建筑。 2、祭祀自然神 1）天地日月，风云雷雨 2）社稷坛 社：五土之神稷：五谷之神 3）山川神—五岳、五镇、四海、四渎 3、祭祀祖先

“数学”简介、含义、起源、历史与发展

数学 数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。 由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国，至迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；又至迟至秦汉之际，即已出现完满的十进位值制。在成书不迟于1世纪的《九章算术》中，已载有只有位值制才有可能的开平、立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。刘徽在他注解的《九章算术》（3世纪）中，还提出过用十进小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期（欧洲则在16世纪S.斯蒂文以后）十进小数才获通用。在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率更精确值的一般方法。虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。16世纪以来，由于解高次方程又出现了复数。在近代，数的概念更进一步抽象化并依据数的不同运算规律而对一般的数系统进行独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。 开平方和开立方是解最简单的高次方程。在《九章算术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代，引进了“天元”(即未知数)的明确观念，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数学。在中国以外，9世纪阿拉伯的花拉子米的著作阐述了二次方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。中国古代数学致力于方程的具体求解，而导源于古希腊、埃及传统的欧洲数学则不同，一般致力于探究方程解的性质。16世纪时，F.韦达以文字代替方程系数，引入了代数的符号演算。对代数方程解的性质的探讨，则从线性方程组导致行列式、矩阵、线性空间、线性变换等概念与理论的出现；从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗瓦理论与群论的创立。而近代极为活跃的代数几何，则无非是高次联立代数方程组解所构成的集体的理论研究。 形的研究属于几何学的范畴。古代民族都具有形的简单概念而往往以图画来表示，形之成为数学对象是由工具的制作与测量的要求所促成。规矩以作圆方，中国古代夏禹治水时即已有规、矩、准、绳等测量工具。《墨经》中对一系列的几何概念，有抽象概括，作出了科学的定义。《周髀算经》与刘徽《海岛算经》给出了用矩观天测地的一般方法与具体公式。在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股理论外，还提出了若干一般原理以解多种问题。例如出入相补原理以求任意多边形面积；阳马鳖臑的二比一原理（刘徽原理）以求多面体的体积;5世纪祖暅提出“幂势既同则积不容异”的原理以求曲形体积特别是球的体积；还有以内接正多边形逼近圆周长的极限方法(割圆术)。但自五代（约10世纪）以后，中国在几何学方面的建树不多。中国几何学以测量与面积体积的量度为中心，古希腊的传统则重视形的性质与各种性质间的相互关系。欧几里得的《几何原本》，建立了用定义、公理、定理、证明构成的演绎体系，成为近代数学公理化的楷模，影响及于整个数学的发展。特别是平行公理的研究，导致了19世纪非欧几里得几何学的产生。欧洲自文艺复兴时期起出现了射影几何学。18世纪，G.蒙日应用分析方法于形的研究，开微分几何学的先河。C.F.高斯的曲面论与（G.F.）B.黎曼的流形理论开创了脱离周围空间以形作为独立对象的研究方法；