数学物理第一章波动方程
第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程
()??
?
??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆
在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：
),();,(t x x u x x t x u x ?++?++
其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x
x
t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ
令
0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于
),()(),(t x u x E t x T x =
其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为
x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+
于是得运动方程
tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+
利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
tt u x s x )()(ρx
??
=
x ESu () 若=)(x s 常量，则得
22)(t
u x ??ρ=))((x u x E x ????
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为
.0),(,0),0(==t l u t u
(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x
u
x E t l T ??=)
(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为
x u
??|l
x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为
x u
??∣00
==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的
偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有
x u
E
??∣)](),([t v t l u k l
x --== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件
)(
u x
u
σ+??∣)(t f l x == 其中E k =σ
特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件
)(
u x
u
σ+??∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件
x u
E
??∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u x
u
σ-??∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2222)1(])1[(t
u h x x u h x x E ??-=??-??ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)
证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：
h
x l -
=1 所以截面积2
)1()(h
x x s -
=π。利用第1题，得 ])1([)
1()(2222x
u
h x E x t u h x x ??-??=??-ππρ 若E x E =)(为常量，则得
2
222)1(])1[(t u
h x x u h x x E ??-=??-??ρ 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡
位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为
)()(x l g x T -=ρ
且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为
)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ
其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角
又 .
sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程
x u
x x l t
u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ
利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
])[(2
2x u
x l x g t
u ??-??=??。 5. 验证 2
221),,(y x t t y x u --=
在锥2
22y x t -->0中都满足波动方程
222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y
x t t y x u --=在锥2
22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且
t y x t t
u
?---=??-
2
3
222)(
225
222232222
2
)(3)(t y x t y x t t
u
?--+---=??--
)2()
(2222
3222
y x t y x t
++?--=-
x y x t x
u ?--=??-2
3
222)(
()()
2252222322222
3x y x t y x t x
u
----+--=?? (
)()222252222y x t y x t -+--=-
同理 ()()222252222
22y x t y x t y
u
+---=??-
所以
(
)().2222
22
2
522
22
22
2t u
y
x t
y x t y
u x
u ??=++-
-=??+
??-
即得所证。
6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.
解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段()x x x ?+,上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为t
u
b
??-,故()x x x ?+,上所受摩阻力为 ()()t
u
x
x s x p b ?????-
运动方程为:
()()()()t u x x s x b x x u ES t u ES t
u
x x s x x x ????-??-???
????=???
??+ρρ22 利用微分中值定理，消去x ?,再令0→?x 得
()()()()
.22t
u
x s x b x u ES x t u x s x ??-??? ??????=??ρρ 若=)(x s 常数，则得
()()t u
x b x u E x t
u x ??-??? ??????=??ρρ22
若 ()()则得方程令也是常量是常量
,.,2
ρ
ρρE
a E x E x ===
.2
2
222x
u a t u b t u ??=??+??
§2 达朗贝尔公式、 波的传抪
1. 证明方程
()常数01112
22
22 h t
u
h x a x u h x x ????? ??-=????????????? ??-?? 的通解可以写成
()()x
h at x G at x F u -++-=
其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
()().,
:0x t
u
x u t ψ=??==? 解：令()v u x h =-则
()()()??
?
?
???+-=??-??+=??-x v u x h x
u x h x
v u x
u x h 2,
))(()()()()[(2222x
v u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ??+-=??-+??-+??+-=??-??
又 ()2222t
v t u x h ??=??-
代入原方程，得
()()222221t
v x h a x v x h ??-=??-
即 2
22221t v a x v ??=?? 由波动方程通解表达式得
()()()at x G at x F t x v ++-=,
所以 ()()()
x h at x G at x F u -++-=
为原方程的通解。 由初始条件得
()()()[])1(1
x G x F x h x +-=
?
()()()[]
x aG x aF x
h x //1
+--=ψ
所以 ()()()
())2(1
c d h a x G x F x
x +-=-?ααψα
由)2(),1(两式解出
()()()()()2
2121c
d h a x x h x F x
x o
+-+-=?ααψα?
()()()()()2
2121c d h a x x h x G x
x o
+---=?ααψα? 所以 )]()()()[()
(21
),(at x at x h at x at x h x h t x u +--+-+--=
??
+
?+---at x at
x h x h a ()()(21
ψα.)ααd
即为初值问题的解散。
２．问初始条件)(x ?与)(x ψ满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？
解：波动方程的通解为
u=F(x-at)+G(x+at)
其中F ，G 由初始条件)(x ?与)(x ψ决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何t x ,
有 G(x+at)≡常数.
即对任何x, G(x)≡C 0
又 G （x ）=?-+x x a
C
d a x 02)(21)(21ααψ? 所以)(),(x x ψ?应满足
+)(x ??=x
x C d a 01)(1ααψ（常数）
或 '
?(x)+)(1x a
ψ=0
3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）
???
?
???==??=??=+=-).()(0022
222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?=
解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2
(x ψ-G(0). G （x ）=)2
(x ?-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψ?= 所以 u(x,t)=(
?)2at x ++)2
(at
x -ψ-).0(? 即为古尔沙问题的解。
4．对非齐次波动方程的初值问题
???
????+∞<<-∞=??==+∞<<-∞>=??-??)
()(),(,0),0()
,(22222x x t u x u t x t t x f x u a t u ψ?
证明：
（1） 如果初始条件在x 轴的区间[x 1,x 2]上发生变化，那末对应的解在区间[1x ，
2x ]的影响区域以外不发生变化；
（2） 在x 轴区间[2,1x x ]上所给的初始条件唯一地确定区间[21,x x ]的决定区 域中解的数值。
证：（1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)=?+-+
++-at
x at x a
at x at x 21)]()([21??+ααψd )( +??-+--t
t a x t a x d d f a 0
)()(.),(21τττξτξ
当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐
次方程初值的解。
当),(x ?)(x ψ在[2,1x x ]上发生变化，若对任何t>0,有x+at
x x at x t
之外，解u(x,t)不发生变化。 （1）得证。
(2). 区间[21,x x ]的决定区域为 at x x at x t -≤≤+>21,0 在其中任给（x,t ）,则
21x at x at x x ≤+<-≤
故区间[x-at,x+at]完全落在区间[21,x x ]中。因此[21,x x ]上所给的初绐 条件)(),(x x βψ?代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。
5. 若电报方程
()GRu u LG CR CLu u t tt xx +++=
()为常数G R L C ,,,具体形如
()()()at x f t t x u -=μ,
的解（称为阻碍尼波），问此时G R L C ,,,之间应成立什么关系？ 解 ()()()at x f t t x u -=μ,
()()at x f t u xx -''=μ
()()()()at x f t a at x f t u t -'--'=μμ
()()()()()()at x f t a at x f t a at x f t u tt -''+-''--''=μμμ22
代入方程，得
()
()()()()()()()
()()()()()()()0
212
=-++'++''+-'++'--''-at x f t GR t GR t LG CR t CL at x f t LG CR a t aCL at x f t CLa
μμμμμμμ
由于f 是任意函数，故f f f ''',,的系数必需恒为零。即
()()()()()()()???
??=+'++''=++'=-00
2012t GR t LG CR t CL t LG CR t CL CLa μμμμμ 于是得
21a
CL =
()()()LG CR a t u t u +-='2
2
所以 ()()t LG CR a e
c t u +-
=2
02
代入以上方程组中最后一个方程，得
()()024222
4≡++-
+?GR LG CR a LG CR a CL 又 ()GRCL LG CR CL a =+=
2
24
1,1得 即
()02=-LG CR
最后得到
R
G L C =
6．利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题
()()()()()??
?
??≥=∞<<=====00,000,002t t u x x u x u u a u t t t xx tt ψ? 解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：
()()()()()?+-
+-++=at
x at
x d a at x at x t x u ααψ??21
21,。
由题意知()()x x ψ?,仅在∞< 拓到0<<∞-x 上，为此利用边值条件，得 ()()()()?-++=at at d at at ααψ??21 0。 因此对任何t 必须有 ()()at at --=?? ()0=?-at at d ααψ 即()()x x ψ?,必须接奇函数开拓到0<<∞-x 上，记开拓后的函数为()()x x ψΦ,； ()()()()()()?? ?<-->=ψ?? ?<-->=Φ0, 0, 0,0, x x x x x x x x x x ψψ?? 所以 ()()()()()?+- +-++=at x at x d a at x at x t x u ααψ??21 21, ()()()()()()()()??? ??? ?>> +--+><+-++=??+-+-0,, 2121 0,,21 21x a x t d a x at at x x a x t d a at x at x at x x at at x at x ααψ??ααψ??。 7．求方程??? ? ????+??+??=??222222 222z u y u x u a t u 形如()t r f u ,=的解（称为球面波）其中222z y x r ++= 。 解： ()t r f u ,= x r r u x r r u x u ???=?????=?? ` ???? ??-??+???=??322222221r x r r u r x r u x u ??? ? ??-??+???=??322222221r y r r u r y r u y u )1(3222222 2r z r r u r z r u z u -??+???=?? 代入原方程，得 )]3([3 22222 222r z y x r r u r u a t u ++-??+??=?? 即 )2(22 222r u r r u a t u ??++??=?? 令 v ru =，则 222222222,r v r u r u r r v u r u r t v t u r ??=??+????=+????=??， 代入方程，得 v 满足 2 2 222r v a t v ??=?? 故得通解 )()(),(at r G at r F t r v ++-= 所以 )()([1 at r G at r F r u ++-= 8．求解波动方程的初值问题 ??? ??? ?=??==??-??==x t u u x t x u t u t t sin |,0sin 002222 解：由非齐次方程初值问题解的公式得 τξξτααττd d d t x u t t x t x t x t x ???-+--+-+=0) () (sin 21 sin 21),( =?----+---+-t d t x t x t x t x 0 ))](cos())([cos(21 )]cos()[cos(21ττττ =? -+t d t x t x 0 )sin(sin sin sin τττ =t t t x t x 0)]sin()cos([sin sin sin τττ-+-+ =x t sin 即 x t t x u sin ),(= 为所求的解。 9．求解波动方程的初值问题。 ??? ? ?? ?+==++===200222 11|,0|)1(x u u x tx u a u t t t xx tt 解： ???-+--+-+++=t t a x t a x at x at x d d d a t x u 0) ()(2 22) 1(1121),(τττξξξτ αα ?+---+=+at x at x at x arctg at x arctg d )()(11 2αα ???-+---+--+-=+t t a x t a x t t a x t a x d d d 0 ) ()(20)()(22])1(21[)1(τξττξξξτττττ =?-++--++t d t a x t a x 02 2]))((1)((1[ 21τττ ττ =??-++-+++---x at x x at x du u a u at x du u a u at x ) 1(21)1(212 222 =???+--++++++--at x at x x at x x at x u du a t u du za t du u u x a 2 222 121121 =22 22) (1)(1ln 41))()((2at x at x a at x arctg at x arctg a x -+++++-- + )]()(2[2at x arctg at x arctg arctgx a t +--- =)()(21)()(212 2at x arctg at x a at x arctg at x a ++--- +222) (1)(1ln 41at x at x a arctgx a t -++++ 所以 })(1) (1ln 212)()2()()2{(41),(2 2 2 23at x at x atarctgx at x arctg a at x at x arctg a at x a t x u -++++++??-+----= §3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1) ??? ? ? ? ???==<<-=??=??=??==0),(),0()0()1(,3sin 0 22 222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u o t t π 解：边界条件齐次的且是第一类的，令 )()(),(t T x X t x u = 得固有函数x l n x X n π sin )(=，且 t l an B t l an A t T n n n π πsin cos )(+=，)2,1( =n 于是 ∑∞ =+= 1 sin )sin cos (),(n n n x l n t l an B t l an A t x u π ππ 今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得 ∑∞==1 sin 3sin n n x l n A l x π π ∑ ∞ ==-1 sin )(n n x l n B l an x l x π π 所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n ?-=l n xdx l n x l x an B 0 sin )(2π π ??? ??+???? ??+-=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an ππ ππππ π cos sin cos 2 22 22 )} ))1(1(4cos 2sin 2443 333222n l an l x l n n l x l n n x l --=--π π π ππ 因此所求解为 ∑∞ =--+ =1 4 4 3 s i n s i n )1(143s i n 3c o s ),(n n x l n t l an n a l x l t l a t x u π ππππ (2) ??? ? ? ????=??==??==??-??0)0,(,)0,(0),(0 ),0(022222x t u x l h x u t l t u t u x u a t u 解：边界条件齐次的，令 )()(),(t T x X t x u = 得：?? ?='==+''0)(, 0)0(0 l X X X X λ (1) 及 )2(02 =+''X a T λ。 求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。 1 0<λ时，方程的通解为 x x e C e C x X λλ-- -+=21)( 由0)0(=X 得021=+c c 由0)(='l X 得021=----- -l l e C e C λλλλ 解以上方程组，得01=C ，02=C ，故0<λ时得不到非零解。 2 0=λ时，方程的通解为x c c x X 21)(+= 由边值0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得02=c ，仍得不到非零解。 30>λ时，方程的通解为 x c x c x X λλsin cos )(21+= 由0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得 0cos 2 =l c λλ 为了使02≠c ，必须 0cos =l λ，于是 2 212?? ? ??+==πλλl n n )2,1,0( =n 且相应地得到x l n x X n π21 2sin )(+= )2,1,0( =n 将λ代入方程(2)，解得 t a l n B t a l n A t T n n n ππ21 2sin 212cos )(+++= )2,1,0( =n 于是 ∑∞ =++++=0 21 2sin )212sin 212cos (),(n n n x l n t a l n B t a l n A t x u πππ 再由始值得 ??? ????++=+=∑∑∞ =∞ =00 212sin 2120212sin n n n n x l n B a l n x l n A x l h πππ 容易验证? ?? ???+x l n π212sin )2,1,0( =n 构成区间],0[l 上的正交函数系： ?????=≠=++?n m l n m xdx l n x l m l 当当2 0212sin 212sin 0ππ 利用? ?? ??? +x l n π212sin 正交性，得 xdx l n x l h l A l n π212sin 20+=? l x l n n l x l n x n l l h 0 2 2212sin )12(2212cos )12(22??????? ? ??+??? ? ??++++-=ππππ n n h )1()12(82 2-+= π 0=n B 所以 ∑∞ =+++-=02 221 2s i n 212c o s ) 12()1(8),(n n x l n t a l n n h t x u πππ 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 ??? ? ???=??===??=??0)0,()0,(sin ),(, 0),0(22 222x t u x u t A t l u t u x u a t u ω 求解此问题。 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取t x l A t x U ωsin ),(=，则),(t x U 满足 0),0(=t U ，t A t l U ωsin ),(= 令),(),(),(t x v t x U t x u +=代入原定解问题，则),(t x v 满足 )1()0,(0)0,(0),(,0),0(sin 22 2222??? ? ???-=??===+??=??x l A x t v x v t l v t v t x l A x v a t v ωωω ),(t x v 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为x l n x X n π sin )(=，)2,1,0( =n 故设 )2(sin )(),(1 ∑∞ == n n x l n t T t x v π 将方程中非齐次项 t x l A ωωsin 2及初始条件中x l A ω-按? ?? ? ??x l n π sin 展成级数，得 ∑∞ ==1 2sin )(sin n n x l n t f t x l A π ωω 其中 ?=l n xdx l n t x l A l t f 02sin sin 2)(π ωω l x l n n l x l n x n l t l A 0 22222sin cos sin 2??? ?? ?+-=ππππ ωω x l A t n A n ωωπω--=+sin )1(212 x l n n n π ψsin 1 ∑∞ == 其中 n l n n A xdx l n x l A l )1(2sin 20 2-=-=?πωπωψ 将(2)代入问题(1)，得)(t T n 满足??? ??? ?-='=-=?? ? ??+''+n n n n n n n A T T t n A t T l an t T )1(2)0(,0)0(sin )1(2)()(12 2 π ω ωπωπ 解方程，得通解2212)(sin )1(2sin cos )(?π?π?ππ-?-++=+l an t n A t l an B t l an A t T n n n n 由始值，得0=n A 222222231)(2)1(}))((2)1(2)1{(1l an al A l an n l A n A an B n n n n ?π??ππ?π?π--=----=+ 所以 ∑∞ =--=12 2sin ) ()(2)1({),(n n t l an l an al A t x v π ?π? x l n t n l an l A n π ?π ?π?sin }sin 1)()(2)1(22221?--++ x l n t n l t l an a l an l A n π ?π?π?π?sin }sin sin {) ()()1(212 22∑∞ =---= 因此所求解为 ∑∞ =--+=1 2 22 )()()1(2sin ),(n l an l A t x l A t x u ?π?? x l n t nt l t l an a π ??πsin }sin sin {-? 3．用分离变量法求下面问题的解 ??? ? ? ? ???===??=+??=??====0||0 ||00022 222l x x t t u u t u u bshx x u a t u 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 ),2,1(sin )( ==n x l n x X n π 设 ∑∞ == 1 sin )(),(n n x l n t T t x u π 将非次项bshx 按}{sin x l n π 展开级数，得 ∑∞ ==1 sin )(n n x l n t f bshx π 其中 shl bn l n xdx l n shx l b t f n l n πππ2)1(sin 2)(2221 0+-==+? 将 ∑∞ == 1 s i n )(),(n n x l n t T t x u π 代入原定解问题，得)(t T n 满足 ???? ?='=+-=+' '+0 )0(,0)0(2)1()()( )(22212n n n n n T T shl l n bn t T l an t T πππ 方程的通解为 shl l n bn an l t l an B t l an A t T n n n n 12222)1(2)(sin cos )(+-+?++=ππ πππ 由0)0(=n T ，得：shl l n bn an l A n n 12 222)1(2)(+-+-=ππ π 由0)0(='n T ，得0=n B 所以 )cos 1()1(2)1()(12222t l an shl l n bn an t T n n ππππ--+=+ 所求解为 ∑∞=+-+-=12 22122sin )cos 1() ()1(2),(n n x l n t l an l n n shl a bl t x u π πππ 4．用分离变量法求下面问题的解： ???? ? ????=??===>??=??+??====0|,|0||)0(20002 2 222t t l x x t u x l h u u u b x u a t u b t u 解：方程和边界条件都是齐次的。令 )()(),(t T x X t x u = 代入方程及边界条件，得 λ-==+X X T a bT T " 2 '"2 0)()0(==l X X 由此得边值问题 ?? ?===+0 )()0(0"l X X X X λ 因此得固有值2 ?? ? ??==l n n πλλ，相应的固有函数为 ,2,1,sin )(==n x l n x X n π 又)(t T 满足方程 022 ' " =++T a bT T λ 将n λλ=代入，相应的)(t T 记作)(t T n ，得)(t T n 满足 022 ' "=?? ? ??++T l an bT T n n π 一般言之，b 很小，即阻尼很小，故通常有 ,2,1,2 2=?? ? ?? 故得通解 )sin cos ()(t B t A e t T n n n n bt n ωω+=- 其中 2 2 b l an n -?? ? ??=πω 所以 x l n t B t A e t x u n n n n n bt πωωsin )sin cos (),(1 +=∑∞ =- 再由始值，得 ??? ????+-==∑∑∞ =∞=x l n B bA x l n A x l h n n n n n n πωπsin )(0sin 11 所以 10 2)1(2sin 2+-==?n l n n h xdx l n x l h A ππ 1)1(2+-= =n n n n n n bh A b B πωω 所求解为 .sin )sin (cos )1(2),(1 1x l n t b t n e h t x u n n n n n bt π ωωωπ +-= ∑∞ =+- §4 高维波动方程的柯西问题 1． 利用泊松公式求解波动方程 )(2zz yy xx tt u u u a u ++= 的柯西问题 ?????=+===0 0230t t t u z y x u 解：泊松公式 ds r a ds r a t u Sat M Sat M ????+?? ??????????=ψ πφπ4141 现 z y x 2 3 ,0+==φψ 且 ????=Φ=Φ ππ ?θθ?θ020|sin ),,(at r s d d r r ds r M at 其中 )cos ,sin sin ,cos sin (),,(θ?θ?θ?θr z r y r x r +++Φ=Φ )cos ()sin sin ()cos sin (2 3 θ?θ?θr z y r x ++++= ?θ?θ?θ33222 2 2 2 3 cos sin cos sin 3cos sin 3r xr r x z y x ++++= θ?θ?θcos sin sin sin sin 2222r y rz yzr +++ θ?θ?θθcos sin sin sin cos sin 2232r yr ++ 计算 ??Φππ ?θθ?θ020 sin ),,(d d r r ) (4)cos (2)(sin )(23020 2323 z y x r z y x r d d r z y x +=-?+=+??πθπψθθππ π ????==?ππ π π ??θθ?θθ?θ020 202 2 22 0cos sin 3sin cos sin 3d d r x d d r r x ????=?ππ π π??θθ?θθ?θ020 20 233222 cos sin 3sin cos sin 3d d xr d d r xr π πφφθθ20033]2sin 4 12[ ]cos cos 31[3+?-=xr ?θθ?θπππ d d r r xr sin cos sin 433020 3 ?=?? 3320 4 4 4cos sin xr d d r π??θ θπ π ==? ? ????==?ππ ππ ??θθ?θθ?θ0 20 2 2 020 0sin sin 2sin sin sin 2d d yzr d d r yzr z r z r d d rz d d r z r 320 03320 20 3 020 2 2 2 3 4]2sin 412[]cos cos 31[sin sin sin sin sin π??θθ??θθ?θθ?θπππ π ππ =-?-==????? ????==?π π ππ ?θθθ?θθθ0 20 2 2020 2 0sin cos sin cos d d r y d d r r y ????==??π πππ ??θθθ?θθ?θθ20 23020 2 sin cos sin 2sin sin sin 2d d yr d d r coc yr ??? ? =?=?ππ ππ ??θθθ?θθθ?θ0 20 234020 2230 sin cos sin sin cos sin sin d d r d d r r 复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - （20141008）第二章 傅里叶级数 1. n a 和n b 的推导 如果以2π为周期的函数()f x 可以展开成三角级数，即 01 ()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑ （1） 成立。在等式两边同时对x 积分有 0001()d d (cos sin )d 2022n n n a a f x x x a nx b nx x a ππππππππ∞-- -==++=+=∑???g 因此 01()d a f x x πππ- =? 将等式（1）左右两边同时乘以*cos ()kx k N ∈然后对x 积分有 01 ()cos d cos d (cos sin )cos d 2n n n a f x kx x kx x a nx b nx kx x ππππππ∞---==++∑??? 利用三角函数的正交性，等式右边的第二项积分而言，当n k ≠时，积分为0，而当n k =时，积分为k a π，所以 ()cos d 0k k f x kx x a a ππππ-=+=? 因此 *1()cos d , k a f x kx x k N πππ- =∈? 将等式（1）左右两边同时乘以*sin ()kx k N ∈然后对x 积分后同理可得 *1()sin d , k b f x kx x k N πππ-= ∈? 合并上述结果，可以得到 1 ()cos d , (=0,1,2,3,)n a f x nx x n πππ -=?L 1()sin d , (1,2,3,)n b f x nx x n π ππ-==?L n a 和n b 即为()f x 的傅里叶系数，等式（1）的右边即为()f x 的傅里叶级数。记为： 01 ()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 此处之所以没有使用“=”，是由于尚不清楚()f x 的傅里叶级数是否以()f x 为和函数，且其是否收敛也未可知。 对于()f x 的傅里叶级数而言，如果()f x 是奇函数，显然有 02 0, ()sin d n n a b f x nx x π π==? 由于此时()f x 的傅里叶级数仅剩下正弦项，因此也成为正弦级数； 如果()f x 是偶函数，同理有 02()cos d , 0n n a f x nx x b π π==? 且由于此时()f x 的傅里叶级数仅剩下余弦项，因此也成为余弦级数。 2. 关于傅里叶级数的一些重要结论 以2π为周期，定义于[,]ππ-上的函数()f x x =的傅里叶展开式为 2 141cos(21), (,)2(21)n n x x n π π∞ =--∈-∞+∞-∑ 证明（应该不会考）如下： 数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :),(:),(:22222222==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:),(:2222==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。 （3）Laplace 方程： . 0(:0 :).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数 的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般 选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输 运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）, 而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0,,0221121222112122211212抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的. 最新数学物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 数学物理方程期末试卷sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为 k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题.(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进 入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2x l x -，试 写出其定解问题.(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???? ???==??=??=+=-).()(002 22 22x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 222200, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+= 数学物理方程第三版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得 篇一：数学物理方程的感想 数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程 不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解 释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的 数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发 展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势： 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界. 5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）. 8.计算积分 （ ） . 9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） . ?f u n u S =+??)(σS ),(t x u ),(t U ω2 2 222x u a t u ??=??=)(0x J dx d )(3 1)(3202x P x P +=?-dx x P 2 1 12)]([)(1x P 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1. 2.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2 3. ???? ? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022 222x t u t x x u t u t t x x u u u 数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :) ,(:) ,(:22 2222 22==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:) ,(:2 2 2 2 ==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。 （3）Laplace 方程： . 0(:0 :) .程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。 例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0, ,022112 1222112 12 22112 12抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的. 孝感学院 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得： 22)( ,0l n C πλ== l x n t a A t a B u n n n πλλcos )1sin 1cos (221+++=∑∞= ?= l n dx l x n x l B 0cos )(2π?，?+=l n dx l x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’) 证明：设代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。(15’) 解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p 格林函数： 22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-= y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ] )[(22220ηξπη+-=??-=??=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ?+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ ηηξ(15’) 五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分) ),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++- ),,,(0z y x u t ?== ),,,(0 z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ 其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界. 解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得： 0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u 00==t u 00 ==t t u .0=Γu 设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222???Ω +++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22???Ω +++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2 2??? Ω++-= 0=(10’) 第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。 由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为 x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??-- =??--=11 1124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则 Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放 热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224.0ρω ρωρc r i u u c P k x u c k t u +--??=?? 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为 数学物理方程总结 Revised by Jack on December 14,2020 浙江理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：221 1 (,,, ,,,)0n u u u F x u x x x ???=??? 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=??=? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关系式(,)x y C φ=是常微分方程：22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+= （2）的一般积分。 主 嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1 数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??- 23 222)( 22 52222 3 2222 2 ) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - 理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：2211 (,,,,,,)0n u u u F x u x x x ???=???L L 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线 性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 22111112221211 122222221112 22()2()()()2()A a a a x x y y A a a a x x x y x y y y A a a a x x y y ξξξξξηξηηξξη ηηηη ?????=++???????????????=+++?????????? ?????=++?????? 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 (,)z x y φ= (,)z x y ψ= 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=?? =? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关主部 数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设? ??+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得： 21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1+=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x 数学物理方程学习总结 四年前匡老师作为我的高数老师走进我的大学生活，如今作为一名研究生，很荣幸又能跟着匡老师学习数学。我本科主修土木工程专业，现在学的是岩石力学专业，主要是跟着导师从事一些关于应力波的研究，所以数学物理方程这门课成了我的必修课。 数学物理方程研究的主要对象是从物理学中提出来的一些偏微分方程。这些方程中的自变量和函数有着鲜明的物理意义，有些问题的解可以通过实验给出，这给偏微分方程的研究指明了方向，同时由于物理学上的需求，就诞生了专门研究有物理意义的偏微分方程的解法。 本学期数学物理方程起初学习了拉普拉斯和傅立叶变换概念、性质以及卷积定理，了解其在微分方程求解中的应用，并着重介绍了Γ函数和β函数的性质以及其两者的关系。然后介绍了三大经典方程的建立和定解条件（泊松方程与拉普拉斯方程都是描述恒稳场状态，与初始状态无关，所以不提初始条件）的提出和表示。第四章和第五章分别详细的讲了分离变量法、行波法和积分变换法在求解经典方程中的应用，主要针对求解热传导方程和波动方程。三种方法有时候可以通用但有时候还是有区别，分离变量法主要用来求解有限区域内定解问题；行波法是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法；积分变换法主要是求解一个无界域上不受方程类型限制的方法。第六章主要讲述用格林函数法求解拉普拉斯方程，伊始提出两种拉普拉斯方程的边值问题（狄氏内问题、狄氏外问题、牛曼内问题、牛曼外问题），然后介绍几种格林函数的取得，最后简介求解狄氏问题。最后三章分别介绍几个特殊类型的常微分方程（贝塞尔方程和勒让德方程）的引入和他们性质和求解。数学物理方程概括起来就是使用四种方法求解三种经典方程，介绍求解过程中产生的两种特殊函数的一门学科。 作为数理方程的学习者，本人觉得它确实是一门比较难的课程，真正的难点却并不是只有数理方程课程本身，而是对以前高等数学学过的知识的理解与记忆的加深。所以，我觉得想学好这门课程，不仅要把时间放在对相关内容的巩固、复习上，还得多做课本上的例题、习题。 2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???????==??=??=+=-).()(002 22 2 2x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+= 天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 无限长弦的一般强迫振动定解问题 200(,)(,0)() () tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ?ψ==?=+∈>? =?? =? 解()()().() .0()1 11(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττ??ψξξατατ++----??=++-+ +??????? ???? 三维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 22222220001,,,,0(,,) (,,)t t u u u a x y z t t x y z u x y z u x y z t ??==???????=++-∞<<+∞>? ????????? =????=??? 在球坐标变换 sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θ?θ??πθπθ=?? =≤<+∞≤≤≤≤??=? L 21()1 () (,)44M M at r S S M M u M t dS dS a t r a r ?ψππ??''?=+??????????? 乙 (r=at) 221()1() (,)44M M at at S S M M u M t dS dS a t t a t ?ψππ??''?=+??????? ???? 乙无界三维空间自由振动的泊松公式 ()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θ?θ??πθπθ'=+?? '=+≤≤≤≤??'=+? L 2()sin dS at d d θθ?= 二维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 2222200,,,0(,)(,)t t u u u a x y t t x y u u x y x y t ?ψ==??????=+-∞<<+∞>? ???????? ?? ==??? 22000011(,,)22at at u x y t a t a ππθθππ?????= +????????? ???? 傅立叶变换数学物理方法综合试题及答案
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