最新《力学》漆安慎(第二版)答案09章

力学（第二版）漆安慎习题解答

第九章振动

第九章

一、基本知识小结

⒈物体在线性回复力F = - kx ，或线性回复力矩τ= - cφ作用下的运动就是简谐振动，其

动力学方程为 ,02

02

2=+x dt

x d ω（x 表示线位移或角位移）；弹簧振子：ω02=k/m ，单摆：ω02=g/l ，扭摆：ω02=C/I.

⒉简谐振动的运动学方程为 x = Acos(ω0t+α)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的，ω0=2π/T=2πv ；振幅A 和初相α由初始条件决定。

⒊在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子，

22

02

1

221A m kA E E p k ω==+。

⒌阻尼振动的动力学方程为 022

02

2=++x dt dx dt x d ωβ。其运动学方程分三种情况：

⑴在弱阻尼状态（β＜ω0），振动的方向变化有周期性，

22

0'),'cos(βωωαωβ-=+=-t Ae x t ，对数减缩 = βT’.

⑵在过阻尼状态（β＞ω0），无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。

⑶临界阻尼状态（β=ω0），无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置

⒍受迫振动动力学方程 t f x dt dx dt x d ωωβcos

202

02

2=++； 其稳定解为 )cos(

0?ω+=t A x ，ω是驱动力的频率，A 0和φ也不是由初始条件决定,22222

0004)(/ωβωω+-=f A 2

202ωωβω?--=tg 当22

02βωω-=时，发生位移共振。

二、思考题解答

9.1 什么叫做简谐振动？如某物理量x 的变化规律满足cos()x A pt q =+，A ，p ，

q ，均为常数，能否说作简谐振动？

答：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫做简谐振动。

如果质点运动的动力学方程式可以归结为 22020d x

x dt

w +=的形式，其中0w 决定于

振动系统本身的性质，则质点做简谐振动

9.2 如果单摆的摆角很大，以致不能认为sin θθ=，为什么它的摆动不是简谐振动？ 答：因为当单摆的摆角很大不能认为sin θθ=时，单摆的动力学方程不能化为简谐振

动的动力学，所以它的摆动不是简谐振动。

9.3 在宇宙飞船中，你如何测量一物体的质量？你手中仅有一已知其劲度系数的弹簧 答：用秒表测出物体做在竖直放置时的简谐振动周期，利用公式可以算出弹簧的劲度系数将弹簧振子的弹簧剪掉一半，其振动频率将如何变化？

9.4 将汽车车厢和下面的弹簧视为一沿竖直方向运动的弹簧振子，当有乘客时，其固有频率会有怎样的变化？ 答：周期将变大

9.5、简谐振动的动力学特征为何？

02=+x x

ω 9.6二互相垂直的简谐振动的运动学方程为10

1

cos()x A t ωα=+，202

)

cos(y A t ωα=+，

若质点同时参与上述二振动，且2

1

2

π

α

α-=

，质点将沿什么样的轨道怎样运动？

合振动的轨迹为以x 和y 为轴的椭圆。这里又可分为两种情况，

21

2

π

αα-=时y 方

向的振动比x 方向的振动超前，质点沿椭圆逆时计方向运动。

9.7、同方向同频率的简谐振动的合成后是简谐振动吗？为什么？其合成的振幅有何特点？

答：同方向同频率的两个间谐振动合成后仍为一间谐振动，其频率与分振动频率相同。，合振动的振幅与初相位A , a 由分振动的振幅和初相位12,A A ，

9.8、什么是阻尼振动？尼振动有几种？

答：振动系统的振动能总要逐渐减少，因此实际发生的一切自由振动振幅总是逐渐减少以至于0的这种振动称为阻尼振动。

（1.）欠阻尼振动状态（2）.过阻尼振动状态（3）.临界阻尼振动状态

9.9、什么是拍现象？

答：振动方向相同，频率之和运大于频率之差的两个间谐振动合成时，合振动振幅周期变化的现象叫拍。

9.10、什么是共振现象？其发生的条件为何？

答：振动系统受迫振动时其振幅达极值的现象叫位移共振。共振时驱动力的原频率为

r w =

是当22

02βωω-=时，发生位移共振；

9.11 试说明下列运动是不是简谐运动： （1）小球在地面上作完全弹性上下跳动。

（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。

（3）曲柄连杆机构是活塞作往复运动。 （4）小磁针在地磁的南北方向附近摆动。 答：简谐振动的运动学特征是：振动物体的位移（角位移）随时间按余弦或正弦函数规律变化；动力学特征是：振动物体所受的合力（合力矩）与物体偏离平衡位置的位移（角

位移）成正比而反向。

从能量角度看，物体在系统势能最小值附近小范围的运动是简谐振动。所以： （1）不是简谐运动，小球始终受重力，不满足上述线性回复力特征。 （2）是简谐振动。小球只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。 （3）不是简谐振动。活塞所受的力与位移成非线性关系，不满足上述动力学特征。 （4）是简谐振动。小磁针只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。

9.12 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一

定在减小？

答：简谐振动物体速度的相位超前加速度

2

π，加速度与位移反向，利用旋转矢量法分析，图像更为直线。 在振动物体沿位移的正方向向平衡位置运动时，对应的旋转矢量位于第一象限，振动物体的速度和加速度同号，都为负；当振动物体沿位移的负方向向平衡位置移动时，

对应的旋转矢量位于第三象限，振动物体的速度和加速度同号，都为正。

加速度为正值时，对应的旋转矢量位于第二象限和第三象限。当物体由平衡位置沿位移的负方向运动（第二象限）时，振动物体的速率在减小；当物体沿位移的负方向向

平衡位置运动（第三象限）时，振动物体的速率在增大。 加速度为负值时，对应的旋转矢量位移位于第一象限和第四象限。当物体由平衡位置沿位移的正方向运动（第四象限）时，振动物体的速率在减小；当物体沿位移的正方

向向平衡位置运动（第一象限）时，振动物体的速率在增大。

9.13一劲度系数为k 的弹簧和一质量为m 的物体组成一振动系统，若弹簧本生的质量不计，弹簧的自然长度为0l ，物体与平面以及斜面间的摩擦力不计。在如图所示的三种情况中，振动周期是否相同。

（a ） (b)

答：对如图（a ）所示的三种情况分别对

振动周期相同（系统固有性质不变，ω=）。

取坐标系x O 沿斜面向下为正，坐标原点取在弹簧原长处，设连接物体后弹簧的净伸长量为b ，t 时刻物体的位移为x 如图（b ）所示，有sin 0mg kb θ-= ，

222()()d x k

x b x b dt m ω=--=--， 得222()()d x k x b x b dt m ω=--=--，其中2k

m ω=，为振动的角频率，令'x x b =-，即有22

2

''d x x dt

ω=- 可见，斜面上弹簧振子系统的平衡位置相对弹簧的原长有一平移b ，而作简谐振动的角频率不变。

9.14 三个完全相同的悬挂着的弹簧振子，在下列各种情况，它们的周期是否相同？如不相同，哪个大，哪个小？

（1）第一个在教室里，第二个在匀速前进的火车上，第三个在匀加速水平面前进的火车上。

（2）第一个在匀速上升的升降机中，第二个在匀加速上升的升降机中，第三个在匀减速上升的升降机中。

（3

答：弹簧振子的周期2

=m为振子质量，与参考系的运动无关，k为轻弹簧的

Tπ

劲度系数。

(1)三个弹簧振子的周期相同，第三个弹簧振子沿'a方向振动，平衡位置不在弹簧原长处。

(2)三个弹簧振子的周期相同，因参考系的加速度不同，它们的平衡位置不同。

(3)三个弹簧振子的周期相同，因重力加速度大小不同，它们的平衡位置不同。

三、习题解答

9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I 。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。

解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽略一切阻力，则刚体所受力矩τ= - mghsinφ

因为是微小摆动，sinφ≈φ,∴τ= - mghφ，

即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位置附近运动，因而是简谐振动。

由转动定理：22/dt Id mgh φφ=- 即，I

mgh I mgh I mgh

dt

d ==∴=+

020,02

2ωωφφ

9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m ，弹簧的劲度系数为k 1和k 2，支承面为理想光滑面，求系统振动的固有频率。

解：以平衡位置为原点建立坐标o-x 。设m 向右偏离平衡位置x ，则弹簧1被拉长x ，弹簧2被压缩x ，m 所受的合力（即回复力）x k k F )(21+-=.

由牛顿第二定律：0,)(2122

21=+

=+-+x m x k k k k dt x d dt

x

d

m

k k m

k k 212102

0,++=

=

∴ωω

9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m ，弹簧的劲度系数为k 1.若在振子和弹簧k 1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k 2应是k 1的多少倍？

解：以两个弹簧串联后m 的平衡位置为原点建立图示坐标o-x,设m 向下偏离平衡位置x ，弹簧1伸长ΔL 1，弹簧2 伸长ΔL 2，

ΔL 1+ΔL 2 = x (1)；

由于忽略弹簧质量,两个弹簧连接点处所受的两个弹力等大反向，即

k 1ΔL 1 = k 2ΔL 2 (2)；由⑴、⑵解得：

x L k k k 2

112+=

?，

所以m 所受的回复力 x L k F k k 2

12

122-=?-=， 由牛顿二定律；222

12

1dt x d k k k k m x =-+ ，即 0)

(21212

2=+

+x k k m k k dt x

d

)

(02121'k k m k k +=

∴ω，未串联前频率 m

k 1

0=ω，令 0210'ωω=，即

m

k k k m k k 121212

1

)

(=

+，可求得：1312k k =

9.2.4 单摆周期的研究：⑴单摆悬挂于以加速度a 沿水平方向直线行驶的车厢内；⑵单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内；⑶单摆悬挂于以加速度a （a

解：⑴以车为参考系，单摆受力如图示，设平衡位置与竖直

线成α角，由平衡条件：g a tg mg T ma T /,cos ,sin =∴==ααα

设单摆偏离平衡位置角位移为θ(θ<5°)，单摆所受回复力矩：

θ

αααθααθατααθθθθθαθαθαθαθαθατ)sin cos ()]sin (cos )cos (sin [cos sin ,sin ,1cos ,5)]sin sin cos (cos )sin cos cos (sin [)]

cos()sin([a g ml a g ml a g a g ml mal mgl +-=--+-≈=≈≈?<--+-=+-+-= 由转动定理：)sin cos (,2

22

αατβθa g ml ml I dt d +-==，

2

222222

22,,

,

/sin ,/cos ,00sin cos 2

02222sin cos g a l l

g a l

g a l

a g l

a g dt d T g a a g a g +++++==

=

=

∴+=+==+

π

ωωααθα

αα

αθ 以上求解较为麻烦，

我们可以用另外一种简捷的思路和方法：

在重力场中单摆的周期为g

l T π

2=，g 是重力场强度

现在单摆在力场a m g m f g m g m

-=+=*'中振动，力场强度：

2

2

22,',''

22a g l g l T a g g a g g +==∴+=-=π

π

⑵以电梯为参考系，平衡位置仍然在铅直方向，由转动定理：

2

22

)(sin )(dt d ml l a g m l ma mg θθθ=+-≈+-

a

g l l

a g l

a g dt d T +++==

∴=+

π

ωθθ2,,002

2

同样可以认为单摆在力场 a m g m g m

-=' 中振动，力场强度：

a

g l g l T a g g +==∴+=π

π

22,''

⑶与前面分析完全相同，a

g l T -=π

2

9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为1013/s ，设想各原子间彼此以弹簧连接，1摩尔银的质量为108g ，且包含6.02×1023个原子，现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。

解：利用9.2.2题的结果：

m

k m

k k 2021=

=

+ω

m N m k /354)102(2131002.6101081

2

013

=???==??-πω

9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m,物体的质量为200g,现将弹簧自平衡位置拉长22cm 并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s,求该振子的运动学方程（SI ）。

解：弹簧振子的圆频率72

.08.90==

=

m

k ω.设振子的运动学方程为

)2()7sin(7),1()7cos(αα+-==

+=t A v t A x dt

dx

.

据题意,t=0时，s m v m x /100.7,102222--?=?=,代入⑴、⑵中，有

)'2(sin 7100.7,)'1(cos 102222α

α

A A -=?=?--

由⑴'、⑵'可解得：A=3×10-2m ；3/1sin ,3/22cos -==αα,

α= - 19.47o= - 0.34rad. 代入（1）中，振子的运动学方程为：

x = 3×10-2 cos (7t - 0.34).

9.2.7质量为1.0×103g 的物体悬挂在劲度系数为1.0×106dyn/cm 的弹簧下面，⑴求其振动的周期；⑵在t=0时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm ，速度为+15cm/s ，求运动学方程。

解：以平衡位置为坐标原点，建立图示坐标o-x

⑴10101031010100.102

5

6===

=

--??m

k ω

s T 199.01010220

===

ππ

⑵设运动学方称为 )1010cos(

α+=t A x )1010sin(1010α+-=t A v ，将t=0时，x=0.5×10-2,v=15×10-2代入，有 ②）（①，ααsin 102/103cos 105.022A A =?-=?--

① 2+②2，可求得 A 2=0.475×10-4，A=6.89×10-3m ，将A 值代入①、②中得：

rad 759.0,688.0sin ,726.0cos -=∴-==ααα 所以，运动学方程为：)759.01010cos(

1089.63-?=-t x

9.2.8 ⑴一简谐振动的规律为x=5cos(8t+π/4),若计时起点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？

⑵一简谐振动的运动学方程为x=8sin(3t-π),若计时起点推迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？

⑶画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t=0时旋转矢量的位置。

解：⑴设计时起点提前t0秒，则t'=t+t0，将t=t'-t0代入原方程得x=5cos(8t'-8t0+π/4).

当t0=0.5s时，x=5cos(8t'-4+π/4)=5cos(8t'-184o)=5cos(8t'+176o)

若使初相为零，令-8t0+π/4=0，得t0=π/32，即计时起点提前π/32秒可使初相为零。

⑵原方程x=8sin(3t-π)=8cos(3t-3π/2). 设计时起点推迟t0秒，则t'=t-t0，将t=t'+t0代入原方程得x=8cos(3t'+3t0-3π/2).

当t0=1s时，x=8cos(3t'+3-3π/2)=8cos(3t'-98o),

∴t0=1s时，初相α=（3-3π/2）rad=-98o

若使初相为零，令3t0-3π/2=0，得t0=π/2，即计时起点推迟

π/2秒可使初相为零。

⑶

x x

t’=0

9.2.9 画出某简谐振动的位移-时间曲线，其振动规律为x=2cos2π(t+1/4) (SI制).

解：由运动学方程可知：A=2m,ω0=2π,T=2π/ω0=1s,α=π/2.

方法一：根据余弦函数图像规律：相位Φ=0,π/2,π,3π/2,2π时，

其对应的位移为A,0,-A,0,A.因此只要求出对应的时间t即可画出x-t图像。

令2π(t+1/4)=0,π/2,π,3π/2,2π;可求得对应的时间为-1/4,0,1/4,2/4,3/4.找出这些特殊点，即可画出x-t曲线。

方法二：令t'=t+1/4得x=2cos2πt',以1/4秒为t轴的时间单位，

先画出它的x-t'图像。然后根据t=t'-1/4,将o-x轴右移1/4即得到x-t图像。

t (1/4 s )

9.2.10 半径为R 得薄圆环静止于刀口O 上，令其在自身平面内作微小的摆动。⑴求其振动的周期。⑵求与其振动周期相等的单摆的长度。⑶将圆环去掉2/3而刀口支于剩余圆环的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比。

解：⑴如图示,τo =-mgRsinφ≈-mgRφ 由平行轴定理，I o =mR 2+mR 2=2mR 2；据转动 定理τ

o =I o β, ∴

2222dt d mR

mgR ??=-,即

g

R R

g o R

g dt

d o

T 22222,,02

2π

ω?ωπ?==

=

∴=+

⑵∵单摆的周期为g

L T π2= ∴与薄圆环振动周期相等的单

摆的摆长L=2R.

⑶设剩余圆环的质心在c 处，质量为

m/3.据平行轴定理：I o =I c +mr 2/3;I o’ = mR 2/3

=I c +m(R-r)2/3,∴I c =mR 2/3-m(R-r)2/3=2mRr/3-mr 2/3 代入前式得 I o =2mRr/3. 设余环摆角为φ，则

τo = - mgrφ/3.由转动定理τo =I o βo ，有 –mgrφ/3=(2mRr/3)d 2φ/dt 2, 即

g

R R

g o R g dt

d o

T 22222,,02

2π

ωφωπ

φ==

=∴=+

. 由于和剩余

环的大小无关，可知，无论剩余环多大，只要刀口支于剩余环的中央，其振动周期就和整个圆环的振动周期相等。

9.2.11 1m 长的杆绕过其一端的水平轴作微小的摆动而成为物理摆。另一线度极小的物体与杆的质量相等，固定于杆上离转轴为h 的地方。用T 0表示未加小物体时杆子的周期，用T 表示加上小物体以后的周期。⑴求当h=50cm 和h=100cm 时的比值T//T 0.⑵是否存在某一h 值，可令T=T 0,若有可能，求出h 值并解释为什么h 取此值时周期不变。

解：为简便起见，借用9.2.1题中求得的结果，物理摆的周期)1(2c

mgh I T π=，其

中h c 为摆质心到转轴的距离。

未加小物体时：203122020121

0)(,l m m l m I m m l =+==

2l

c h =，代入（1）中 g

l

T 3202π

=.

加小物体后：42020002/)(,2l h l c m m h m h m m +=+==， 2

02031h m l m I +=,代入（1）中 )

2(3)3(2222l h g h l T ++=π

∴

hl

l h l T T

232220

++=

⑴当l=1m,h=0.5m 时，9354.015.0215.0312220≈=??+?+T T

当l=1m,h=l=1m 时，155.11

1211312220

≈=??+?+T T

⑵令T=T 0 ， 即0)23(,23222=-+=+l h h hl l h l ，解得： h=0, h=2l/3.

在h=0处加小物体，即把物体放在转轴处，对摆的摆动毫无影响，故周期不变。由

g

l T 3202π

=可知，此物理摆的等效单摆长度为l 32，因此，在l h 32

=处加小物体，相当

于只增加单摆的质量，没有改变单摆的长度，故周期不变。

9.2.12 天花板下以0.9m 长的轻线悬挂一个质量为0.9kg 的小球。最初小球静止，后另一质量为0.1kg 的小球沿水平方向以1.0m/s 的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的运动学方程。 解：设m 1=0.9kg,m 2=0.1kg,碰前m 2的速度为v 20=1.0m/s,碰后两球的共同速度为v 0.由动量 守恒，有

021202)(v m m v m +=

s m v m m v m /1.01.09.00.11.002

120

2==

=

+?+

碰后两球构成一个单摆,圆频率3.39

.08.90≈=

=

l

g ω.

设运动学方程 )2()3.3sin(3.3),1()3.3cos(αα+-==+=t A v t A x dt

dx

将t=0时,x=0,v=0.1代入,得：0=Acosα ⑴’, 0.1= - 3.3Asinα ⑵’ α要同时满足⑴’ ⑵’，只有取α=-π/2；代入⑵’得A≈0.03.

所以运动学方程为：)2

3.3cos(03.0π

-=t x

9.2.13 质量为200g 的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm ，今有一质量为200g 的铅块在高30cm 处从静止开始落进框架，求铅快落进框架后的运动学方程。

解：设a 为弹簧自由伸长时框架的位置，b 为碰前框架的平衡位置，o 为碰后平衡位置并取作坐标原点。据题意：

ab=0.1m, k=mg/ab=0.2×9.8/0.1=19.6N/m, 在o 点，2mg=k(ab+bo), bo=2mg/k-ab=0.1m

设碰后铅块与框架获得的共同速度为v'，由动量守恒:21.12/3.08.922/2','22≈??===gh v mv gh m

碰后框架与铅块振动的圆频率72

.026.1920==

=

?m

k ω，设振动

的运动学方程为 )7sin(7),7cos(αα+-=+=t A v t A x ，将振动的初始条件：t=0时, x = -0.1, v = v'=1.21代入，有：

②

即①，αααsin 173.0,sin 721.1cos 1.0A A A =--==-①2+②2

，得：

m A A 2.0,04.0)173.0()1.0(222=≈-+-=，将A 值代入①、②中得：

cosα= -0.5, sinα= -0.865, α= -120°= -2π/3 所以，运动学方程为：)7cos(2.032π-=t x

9.2.14 质量为200g 的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm ，框架下方有一质量为20g 的小球竖直向上飞来，与框架发生完全弹性碰撞，已知小球碰前速度为10m/s ，求碰后框架的运动学方程。

解：以框架平衡位置为坐标原点，据题意：

9.9,6.191.0/8.92.02

.06.190==

=

=?=m

k k ω 设小球质量为m'，小球碰前速度为v 0'，

小球碰后速度为v'，框架碰前静止，碰后速度为v 0

由动量守恒：''''00v m mv v m +=，由牛顿碰撞公式：''00v v v =- 由此可求得：s m v m m v m /82.1112002

.02.0)10(02.02'

'

'200-≈-==

=

+-??+

设运动学方程)9.9sin(9.9),9.9cos(αα+-=+=t A v t A x 代入初始条件：②①，ααsin 9.982.1cos 0A A -=-= 由①知α=±π/2，为满足②式，取α=π/2，代入②得：A=0.184

所以，运动学方程为：)9.9cos(184.02π+=t x

9.2.15 质量为m 的物体自倾角为θ的光滑斜面顶点处由静止而滑下，滑行了l 远后与一质量为m’的物体发生完全非弹性碰撞。m’与劲度系数为k 的轻弹簧相连。碰撞前m’静止于斜面上，如图所示。问两物体碰撞后作何种运动，并解出其运动学方程。已知m=m’=5kg,k=490N/m,θ=30o,l =0.2m.

解：设a 为弹簧自由伸长处，b 为只有m’时的平衡位置, o 为m 与m’粘在一起时的平衡位置.以o 为原点，建立图示o-x 坐标。由平衡条件有：

ao k g m m ab k g m =+=θθsin )'(,sin '.

m k mg ab ao ob 05.0490/5.08.95/sin =??==-=∴θ

设m 与m’碰前速度为v 1，由能量守恒，

2

121sin mv mgl =θ，

4.1

5.02.08.92sin 21=???==θgl v .设m 与m’碰后共同速度为v 0,由动量守恒 s m v v m m mv v m

m mv /7.0,)'(2

0011

'

1==

=

+=+

显然，碰撞后两小球在平衡位置o 附近作简谐振动，其圆频率

75

249020==

=?m

k ω. 设运动学方程为)7cos(α+=t A x （1），

速度)2()7sin(7α+-==

t A v dt

dx

. 将初始条件05.0,0-==x t ，7.0=v 代入得：

)'2(sin 77.0,)'1(cos 05.0ααA A -==-.

可解得：A=0.1118m,α= - 1.107rad..∴)107.17cos(1118.0-=t x

9.3.1 1851年傅科作证明地球自转的实验，摆长69m,下悬重球28kg.设其振幅为5.0o，求其周期和振动的总能量，重球最低处势能为零。

解：s T g

l 7.1614

.3228

.969≈?==π

；根据能量守恒，振动的总能量等于摆在最高

点时的势能：j mgl E 72)5cos 1(698.928)cos 1(m ax ≈?-??=-=θ

9.3.2 弹簧下面悬挂质量为50g 的物体，物体沿竖直方向的运动学方程为 x=2sin10t,平衡位置为势能零点（时间单位：s,长度单位；cm ）.⑴求弹簧的劲度系数，⑵求最大动能，⑶求总能。

解：⑴∵m N m k m

k

/51005.0,22020=?==∴=ωω ⑵∵s m s cm v t v dt dx /2.0/20,10cos 20m ax ==∴==

j mv E k 322

m ax

1m ax 100.12.005.05.0-?=??== ⑶根据能量守恒，总能量等于最大动能，为1.0×10-3j

9.3.3 若单摆的振幅为θ0，试证明悬线所受的最大拉力等于mg(1+θ02)

证明：单摆的运动学方程为： )cos(00αωθθ+=t

角速度)sin(/000αωθωθω+-==t dt d

在法向方向应用牛顿第二定律： )

sin(cos cos 02

0202αωθωθωθ++===-t ml mg T l

m ma mg T n 202

0,,1cos ,5π

αωωθθ=+=≈∴?

所以，)1(2

020m ax θθ+=+=mg mg mg T

9.4.1 在电子示波器中，由于互相垂直的电场的作用，使电子在荧光屏上的位移为

x = Acosωt, y = Acos(ωt+α).求出α=0，π/3，π/2时的轨迹方程并画图表示。

解：⑴α=0时，轨迹方程y=x,如图a 所示。

⑵α=π/3时， x = Acosωt, y = Acos(ωt+π/3)= A(cosωt cosπ/3 – sinωt sinπ/3) =222

3

212

3

21)sin cos (x A x t t A --=-

ωω. 由上式可得

)(3222x A y x -=-，两边平方可得02

3

22=--+A xy y x

令 ?+?=?-?=45cos '45sin ',45sin '45cos 'y x y y x x .代入上式可得1)/(

')/(

'22222

32=+A y A x

其轨迹为如图所示的斜椭圆。

⑶α= π/2时，,cos t A x ω= t A t A y ωωπsin )cos(2-=+=， 则222A y x =+，其轨迹是半径为A 的圆。

9.6.1 某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的1/3，问振动频率比振动系统的固有频率少几分之几？（弱阻尼状态）

解：对于弱阻尼振动：22

02'),'cos(

βωωαωβ-=+=-t Ae x t 由题意 3/)'(=+--T t t Ae Ae ββ，两边取对数得 β

β3

ln ',3ln '=

=T T .

1)3ln /2(',3ln /2'/2'2220+=+===πββωωπβπωT %49.11

)3ln /2(3ln /21)3ln /2('

2200≈+-+=-∴πππωωω

9.6.2 阻尼振动起初振幅A 0=3cm ，经过t=10s 后振幅变为A 1=1cm ，

问经过多长时间，振幅将变为A 2=0.3cm?（弱阻尼状态）

解：弱阻尼状态运动学方程为：)'cos(

αωβ+=-t Ae x t ββ103ln ln

,1,10;3,01

1010==∴======-A A Ae A t A A t ，

10/3ln =β.

设t=t 2时，振幅变为 232ln ln ,3.02

02t Ae A A t ββ====-

∴s t 0.213ln /10ln 10/10ln 2===β

9.7.1 某受迫振动与驱动力同相位，求驱动力的频率。

解：∵2

202ωωω

βφ--=

tg ，φ即为受迫振动与驱动力的相差，φ=0，

tgφ=0,而β为有限值，∴ω→0.

力学答案(漆安慎_杜婵英)_详解_1_9章

第二章 质点运动学（习题） 2.1.1质点的运动学方程为 j ?)1t 4(i ?)t 32(r ).2(,j ?5i ?)t 23(r ).1(-+-=++= 求质点轨迹并用图表示。 解，①.,5y ,t 23x =+=轨迹方程为y=5 ②???-=-=1t 4y t 32x 消去时间参量t 得：05x 4y 3=-+ 2.1.2质点运动学方程为 k ?2j ?e i ?e r t 2t 2++=- ，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=-1至t=1质点的位移。 解，①?????===-2z e y e x t 2t 2消去t 得轨迹：xy=1,z=2 ②k ?2j ?e i ?e r 221++=-- ,k ?2j ?e i ?e r 221 ++=-+ , j ?)e e (i ?)e e (r r r 222211---+-+-=-=? 2.1.3质点运动学方程为j t i t r ?)32(?42++= ，（1）. 求质点的轨迹；（2）. 求自t=0至t=1质点的位移。

解，①. ,3t 2y ,t 4x 2+==消去t 得轨迹方程 2)3y (x -= ②j ?2i ?4r r r ,j ?5i ?4r ,j ?3r 011 0+=-=?+== 2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为 0117.33,m 4100R =θ=，0.75s 后测得 21022R ,R ,3.29,m 4240R =θ=均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。 解， )cos(R R 2R R R 21212221θ-θ-+=? 代入数值得： )m (385.3494.4cos 42404100242404100R 0 22≈??-+=? )s /m (8.46575 .0385.349t R v ==??≈ 利用正弦定理可解出089.34-=α 2.2.2一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为

《力学》漆安慎答案07章

力学（第二版）漆安慎习题解答 第七章刚体力学

第七章 刚体力学 一、基本知识小结 ⒈刚体的质心 定义：∑??==dm dm r r m r m r c i i c //ρ ρρ ρ 求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。 ⒉刚体对轴的转动惯量 定义：∑?==dm r I r m I i i 22 平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y. 常见刚体的转动惯量： （略） ⒊刚体的动量和质心运动定理 ∑==c c a m F v m p ρ ρρρ ⒋刚体对轴的角动量和转动定理 ∑==βτω I I L ⒌刚体的转动动能和重力势能 c p k mgy E I E ==221ω ⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动 动力学方程：∑∑==c c c c I a m F βτρ ρ（不必考虑惯性力矩） 动能：2 21 2 21c c c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程 ∑=0F ρ ， 对任意轴 ∑=0τ

二、思考题解答 火车在拐弯时所作的运动是不是平动？ 答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。 对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？ 答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩不一定为零。由刚体的转动定律可知，刚体将发生转动。比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。 如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大？（2）作用在它上面的力矩是否一定很大？ 答：由刚体的定轴转动定律可知，刚体受对轴的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间变化率。因此，刚体转动的角速度很大，并不意味这转动角速度的时间变化率也很大，所以， （1）刚体定轴转动的角速度很大，与其受力没有直接关系。对于刚体的一般运动，所受合外力使刚体的质心产生加速度，即改变刚体的平动状态。 （2）刚体定轴转动的角速度很大，与其受到对定轴的力矩的大小也没有直接关系。合外力矩使刚体产生角加速度，改变刚体的转动状态。 为什么在研究刚体转动时，要研究力矩作用？力矩和哪些因素有关？ 答：一个静止的刚体能够获得平动的加速度而运动起来的原因是，相对它的质心而言，所受的合外力不为零。一个静止的刚体相对某一转动，能够获得角加速度而转动起来的原因是，刚体所受到的外力对转轴的合外力矩不为零。因此，刚体的转动是与其受到的相对转轴的合外力矩密切相关的。取轴为刚体转动的固定轴时，对转动有贡献的合外力矩是，其中，是作用在刚体上的第个外力在转动平面内的分量，而是由转轴（轴）到的作用点的距离，是和间由右手定则决定的夹角。所以，对轴的力矩不但与各外力在转动平面内分量的大小有关，还与的作用线与轴的垂直距离（力臂）的值有关。 试证：匀质细棒在光滑平面上受到一对大小相等、方向相反的作用力作用时，不管力作用在哪里，它的质心加速度总是零。 答：匀质刚性细棒可以看作在运动中保持相对位置不变的质点系，其质心遵守运动定律 .当该棒受大小相等方向相反的作用力时，质心所受合力与各个力的作用点无关，加速度总为零。

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第三章基本知识小结 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F === 分量式： （弧坐标）（直角坐标） ρ τττ2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ======= ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F = 微分形式：p d dt F = 积分形式：p dt F I ?==? )( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 ∑==恒矢量。 则，若外p F 0 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f -= 在转动参考系中：ωω ?=='2, *2* mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑=== i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵∑=c a m F （注意分量式的运用）

3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力 而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程 为：j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？ 解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f o μ =，谷物能获得的最大加速度为 2 /92.38.94.0/s m g m f a o =?===μ ∴筛面水平方向的加速 度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。 μ1 μ2 3.4.3 题图 3.4.4题图 3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m 1 ,m 2,如图所示，m 2 和桌面间的摩擦系数为μ2，m 1和m 2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。 解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示， 其中，N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1,m 2 分别应用牛顿二定律，有 02122 22211111 111=--=--=-=g m N N a m N N F g m N a m N μμμ 解方程 组，得 ()2221211211/m g m g m g m F a g a μμμμ---== 要把木板从下面抽出来，必须满足12a a >，即 g m g m g m g m F 12221211μμμμ>---()()g m m F 212 1++>∴μ μ m 2 m 1 F m 1g f 1 N 1 a 1 a 2 N 2 N 1' m 2g F f 1' f 2 x y

最新力学漆安慎(第二版)答案08节

力学（第二版）漆安慎习题解答第八章弹性体的应力和应变

第八章 一、基本知识小结 1?弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。 2?应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用c表示; 如果内力方向在面元内，就叫切应力，用T表示。 3?应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果10表示原长，A l表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变c =A l/l o;在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角书表示。 4.力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。 在拉压形变中表示为c = Y c Y是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为T = N书，N 是由材料性质决定的切变模量。 5.发生形变的弹性体具有形变势能： 拉压形变的形变势能密度E p0弓Y 2， 剪切形变的形变势能密度E p01N 2 6?梁弯曲的曲率与力偶矩的关系12 Ybh3 7?杆的扭转角与力偶矩的关系NR4 21

、思考题解答 8.1作用于物体内某无穷小面元上的应力是面元两侧的相互作用力，其单位为N.这句话 对不对？ 答：不对，应力为作用于该无穷小面元两侧单位面积上的相互作用内力，其单位为或。其面元法向分量称正应力，切向分量称切应力。 8.2（8.1.1）式关于应力的定义当弹性体作加速运动时是否仍然适用？ 答：适用，（8.1.1）式中的是面元两侧的相互作用内力，它与作用于物体上的外力和物体的运动状态有关。 8.3牛顿第二定律指出：物体所受合力不为零，则必有加速度。是否合力不为零，必产生变形，你能否举出一个合力不为零但无形变的例子？ 答：不一定，物体是否发生形变应看物体内应力是否为零，应力为零，则不形变。自由落体运动，物体受重力作用，但物体内部应力为零，则不发生形变。 8. 4胡克定律是否可叙述为：当物体受到外力而发生拉伸（压缩）形变时，外力与物体的伸长（压缩）成正比，对于一定的材料，比例系数是常数，称作该材料的杨氏模量？ 答：不对。首先形变应在弹性限度内，其次杨氏模量只与材料的形状有关，而比例系数不但与材料性质有关，还与材料的形状（横截面）有关，即与材料的横截面有关，对一定性质的材料，随截面的不同而变，两者是不同的。 8. 5如果长方体体元的各表面上不仅受到剪切应力而且受到正应力，剪切应力互等定律是否还成立？ 答：正应力不改变未施加前各面的力矩，剪切应力互等定律仍然成立。 8. 6是否一空心圆管比同样直径的实心圆棒的抗弯能力要好？ 答：不是，一个实心管可视为由许多半径不同的空心管组成的，对于相同材料、同样直径的空心管和实心管的抗弯能力显然实心圆管比同样直径的空心圆棒的抗弯能力要好。 8. 7为什么自行车辐条要互相交叉？为什么有些汽车车轮很粗的辐条不必交叉？ 答：自行车辐条很细且很长，它不能依靠垂直辐条提供很大的抗扭曲力矩和瓦圈的抗形变能力，交叉后的辐条利用了拉伸、压缩车轮的抗扭能力和瓦圈的抗变形能力，而车轮的辐条很粗，则完全可以提供足够的抗弯力矩 8.8为什么自行车轮钢圈横截面常取（a）（b）形状而不采取（c）的形状？ (a)

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15文档来源为:从网络收集整理.word 第三章基本知识小结 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22 dt r d m dt v d m a m F === 分量式： （弧坐标） （直角坐标） ρ τττ2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ======= ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F = 微分形式：p d dt F = 积分形式：p dt F I ?==?)( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f -= 在转动参考系中：ωω ?=='2, *2* mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑=== i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵∑=c a m F （注意分量式的运用） 3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力 而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： 3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程 为：j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？ 解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f o μ =，谷物能获得的最大加速度为 2/92.38.94.0/s m g m f a o =?===μ ∴筛面水平方向的加速 度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。

力学(漆安慎_杜婵英)习题解答

2.1.1质点运动学方程为：j i t r ?5?)23(++=?⑴ j t i t r ?)14(?)32(-+-=ρ⑵,求质点轨迹并用图表示. 解：⑴,5,23=+=y t x 轨迹方程为5=y 的直线. ⑵14,32-=-=t y t x ，消去参数t 得轨迹方程0534=-+y x 2.1.2 质点运动学方程为k j e i e r t t ?2??22++=-?.⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。 解：⑴由运动学方程可知：1,2,,22====-xy z e y e x t t ，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运 动。 ⑵j e e i e e r r r ?)(?)()1()1(2222---+-=--=?? ?? j i ?2537.7?2537.7+-=。所以，位移大小： ? ==??=? ==??=? =-=??==+-=?+?=?900arccos | |arccos z 45)22 arccos(||arccos y 135)22 arccos(||arccos x ,22537.72537.7)2537.7()()(||2222r z r y r x y x r ???? γβα轴夹角与轴夹角与轴夹角与 2.1.3质点运动学方程为j t i t r ?)32(?42++=? . ⑴求质点轨迹；⑵求质点自t=0至t=1的位移. 解：⑴32,42 +==t y t x ，消去参数t 得：2 )3(-=y x ⑵j i j j i r r r ?2?4?3?5?4)0()1(+=-+=-=?ρ ρρ 2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为?==7.33,410011θm R x x 5/

漆安慎 杜禅英 力学习题及答案08章

第八章 一、基本知识小结 ⒈弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。 ⒉应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用σ表示；如果内力方向在面元内，就叫切应力，用τ表示。 ⒊应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果l 0表示原长，Δl 表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变ε= Δl /l 0；在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角ψ表示。 ⒋力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。 在拉压形变中表示为 σ= Y ε，Y 是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为 τ= N ψ，N 是由材料性质决定的切变模量。 ⒌发生形变的弹性体具有形变势能： 拉压形变的形变势能密度 2 210 εY E p =， 剪切形变的形变势能密度 2 210 ψ N E p =。 ⒍梁弯曲的曲率与力偶矩的关系 3 12Ybh k τ = ⒎杆的扭转角与力偶矩的关系 l NR C C 2, 4 π?τ= = 二、思考题解答 8．1作用于物体内某无穷小面元上的应力是面元两侧的相互作 用力，其单位为N.这句话对不对？ 答：不对，应力为作用于该无穷小面元两侧单位面积上的相互作用内力，其单位为 或 。其面元法向分量称正应力，切向分量 称切应力。 8．2（8.1.1）式关于应力的定义当弹性体作加速运动时是否仍然适用？ 答：适用，（8.1.1）式中的 是面元两侧的相互作用内力，它与作用于物体上的外力和物体的运动状态有关。 8．3牛顿第二定律指出：物体所受合力不为零，则必有加速度。是否合力不为零，必产生变形，你能否举出一个合力不为零但无形变的例子？ 答：不一定，物体是否发生形变应看物体内应力是否为零，应力为零，则不形变。自由落体运动，物体受重力作用，但物体内部应力为零，则不发生形变。 8．4胡克定律是否可叙述为：当物体受到外力而发生拉伸（压缩）形变时，外力与物体的伸长（压缩）成正比，对于一定的材料，比例系数是常数，称作该材料的杨氏模量？ 答：不对。首先形变应在弹性限度内，其次杨氏模量只与材料的形状有关，而比例系数不但与材料性质有关，还与材料的形状（横截面）有关，即与材料的横截面有关，对一定性质的材料，随截面的不同而变，两者是不同的。 8．5如果长方体体元的各表面上不仅受到剪切应力而且受到正应力，剪切应力互等定律是否还成立？ 答：正应力不改变未施加前各面的力矩，剪切应力互等定律仍然成立。 8．6是否一空心圆管比同样直径的实心圆棒的抗弯能力要好？ 答：不是，一个实心管可视为由许多半径不同的空心管组成的，对于相同材料、同样直径的空心管和实心管的抗弯能力显然实心圆管比同样直径的空心圆棒的抗弯能力要好。 8．7为什么自行车辐条要互相交叉？为什么有些汽车车轮很粗

漆安慎杜禅英力学习题及答案11章

第十一章流体力学基本知识小结 ⒈理想流体就是不可压缩、无粘性的流体；稳定流动（或称定常流动）就是空间各点流速不变的流动。 ⒉静止流体内的压强分布 相对地球静止：gh p p gdy dp ρρ=--=21,（h 两点间高度） 相对非惯性系静止：先找出等压面，再采用与惯性系相同的方法分析。 ⒊连续性方程：当不可压缩流体做稳定流动时，沿一流管，流量守恒，即 =?=?=2211s v s v Q 恒量 ⒋伯努力方程：当理想流体稳定流动时，沿一流线， =++2 21v gh p ρρ恒量 ⒌粘性定律：流体内面元两侧相互作用的粘性力与面元的面积、速度梯度成正比，即ηη.s f dy dv ?=为粘性系数，与物质、温度、 压强有关。 ⒍雷诺数及其应用 l vl R e ,η ρ= 为物体某一特征长度 ⑴层流、湍流的判据：，湍流，层流；临临e e e e R R R R >< ⑵流体相似律：若两种流体边界条件相似，雷诺数相同，则两种流体具有相同的动力学特征。 ⒎泊肃叶公式：粘性流体在水平圆管中分层流动时，距管轴r 处的流速 )(4)(22 21r R l p p r v --= η 若被测容器A 内水的压强比大气压大很多时，可用图中的水银 压强计。⑴此压强计的优点是什么⑵如何读出压强设 h 1=50cm,h 2=45cm,h 3=60cm,h 4=30cm ，求容器内的压强是多少大气压 解：⑴优点：可以测很高的压强，而压强计的高度不用很大 ⑵设界面处压强由右向左分别为p 0, p 1,p 2,p 3，水和水银的密度分别用ρ,ρ' 表示，据压强公式，有： 4 3323221101,', ,'gh p p gh p p gh p p gh p p A ρρρρ=-=-=-=- 3124012341 23423434)(')(''''p h h g h h g p gh gh gh gh p gh gh gh p gh gh p gh p A +++-=++-+=+-+=++=+=∴ρρρρρρρρρρρρ 用大气压表示： atm h h h h p A 43.276 6050766.134530176766.1313124≈++?-+=++?-+ = A,B 两容器内的压强都很大，现欲测它们之间的压强差，可用图中装置，Δh=50cm ，求A,B 内的压强差是多少厘米水银柱高这个压强计的优点是什么 解：由压强公式： 11gh p p A ρ=- ) (, '2221h h g p p h g p p B +?=-?=-ρρ h g h g h h h g p p h g gh p gh p p p B A ?-?=?--+-?++-+=-ρρρρρρ')()() ()(21212211 B h h

漆安慎第二版力学基础知识总结资料

力学基础知识总结 （漆安慎力学第二版） 第二章 ⒈基本概念 2 2)(dt r d dt v d a dt r d v t r r )()()(t a t v t r （向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件： 000,,v v r r t t ） ⒉直角坐标系 ,,???222z y x r k z j y i x r r 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 r z r y r x /,/, /. v v v v v k v j v i v v z y x z y x ,,???222 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,/,/. a a a a a k a j a i a a z y x z y x ,,???222 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 ./,/,/a a a a a a z y x 2 2 2222,,,,dt z d dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a dt dz v dt dy v dt dx v z z y y x x z y x ),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ⒊自然坐标系 ||,,?);( v v dt ds v v v s r r 2222 2,,,??v a dt s d dt dv a a a a n a a a n n n )()()(t a t v t s ⒋极坐标系 22,??,? v v v v r v v r r r r r

dt d r v dt dr v r , ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系 ',0't t r r r （时空变换） 0'v v v （速度变换） 0'a a a （加速度变换） 若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有： z z y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v V v v t t z z y y Vt x x ',','',','',',',' 第三章 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F 分量式： （弧坐标） （直角坐标） 2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F 微分形式：p d dt F 积分形式：p dt F I )( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 恒矢量。 则，若外p F 0 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。

(完整版)漆安慎杜禅英力学习题及答案05章

第5章角动量.关于对称性 第5章角动量.关于对称性 二、思考题解答 5.1下面的叙述是否正确，试作分析，并把错误的叙述改正过来： (1) 、一定质量的质点在运动中某时刻的加速度一经确定，则质点 所受的合力就可以确定了，同时作用于质点的力矩也就确定了。 (2) 、质点作圆周运动必定受到力矩的作用；质点作直线运动必定 不受力矩的作用。 (3) 、力E 与z 轴平行，所以力矩为零；力耳与z 轴垂直，所以力 矩不为零。 (4) 、小球与放置在光滑水平面上的轻杆一端连结，轻杆另一端固 定在铅直轴上。 垂直于杆用力推小球，小球受到该力力矩作用，由 静止而绕铅直轴转动，产生了角动量。所以，力矩是产生角动量的 原因，而且力矩的方向与角动量方向相同。 (5) 、作匀速圆周运动的质点，其质量 m ,速率v 及圆周半径r 都 是常量。虽然其速度方向时时在改变，但却总与半径垂直，所以， 其角动量守恒。 答：(1)不正确.因为计算力矩，必须明确对哪个参考点.否则没有 意义.作用于质点的合力可以由加速度确定 .但没有明确参考点时， 谈力矩是没有意义的. (2) 不正确.质点作圆周运动时，有两种情况：一种是匀速圆周运动 它所受合力通过圆心；另一种是变速圆周运动，它所受的合力一般 不通过圆心.若对圆心求力矩，则前者为零，后者不为零.质点作直 线运动，作用于质点的合力必沿直线 .若对直线上一点求力矩，必为 零；对线外一点求力矩则不为零。 (3) 不正确.该题应首先明确是对轴的力矩还是对点的力矩 .力与 轴平行，力对轴上某点的力矩一般不为零 ，对轴的力矩则必为零.力 与轴垂直，一般力对轴的力矩不 为零，但力的作用线与轴相交，对 轴力矩应为零 (4) 不正确.因为一个物体在不 受力的情况下 ，保持静止或匀速直 第五章 一、基本知识小结 1?力矩 力对点的力矩 。 r F 力对轴的力矩 z k? r F 2.角动量 质点对点的角动量 L ° r p 质点对轴的角动量 L z k? r p 3?角动量定理适用于惯性系、质点、质点系 ⑴质点或质点系对某点的角动量对时间的变化率等于作用于质 点或质点系的外力对该点的力矩之和 dL o 外 dt ⑵质点或质点系对某轴的角动量对时间的变化率等于作用于质 点或质点系的外力对该轴的力矩之和 dt 4.角动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系 ⑴若作用于质点或质点系的外力对某点的力矩之和始终为零, 则质点或质点系对该点的角动量保持不变 ⑵若作用于质点或质点系的外力对某轴的力矩之和始终为零, 则质点或质点系对该轴的角动量保持不变 5.对质心参考系可直接应用角动量定理及其守恒定律，而不必 考虑惯性力矩。

最新《力学》漆安慎(第二版)答案03章

力学（第二版）漆安慎习题解答第三章动量定理及其守恒定律

第三章 动量定理及其守恒定律 一、基本知识小结 1、牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F === 分量式： （弧坐标） （直角坐标） ρ τττ2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ======= 2、动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F =；微分形式：p d dt F =； 积分形式：p dt F I ?==?)(（注意分量式的运用） 3、动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 ∑==恒矢量。则，若外p F 0（注意分量式的运用） 4、在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f -= 在转动参考系中：ωω ?=='2, *2* mv f r m f k c 5、质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑===i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵∑=c a m F （注意分量式的运用）

二、思考题解答 3.1试表述质量的操作型定义。 解答， kg v v m m 0 0 ??= 式中kg 1m 0=（标准物体质量）;0v ?：为m 与m 0碰撞m 0的速度改变;v ?：为m 与m 0 碰撞m 的速度改变,这样定义的质量，其大小反映了质点在相互作用的过程中速度改变的难易程度，或者说，其量值反映了质量惯性的大小。这样定义的质量为操作型定义。 3.2如何从动量守恒得出牛顿第二、第三定律，何种情况下牛顿第三定律不成立？ 解答，由动量守恒 )p p (p p ,p p p p 22 112121 -'-=-'+='+' ,p p 21 ?-=?t p t p 21??-=?? ，取极限dt p d dt p d 21 -= 动量瞬时变化率是两质点间的相互作用力。 , a m )v m (dt d dt p d F 111111 === ,a m )v m (dt d dt p d F 222222 ===21F F -= 对于运动电荷之间的电磁作用力，一般来说第三定律不成立。（参见P 68第二、三自然段） 3.3在磅秤上称物体重量，磅秤读数给出物体的“视重”或“表现重量”。现在电梯中测视重，何时视重小于重量（称作失重）？何时视重大于重量（称作超重）？在电梯中，视重可能等于零吗？能否指出另一种情况使视重等于零？ 解答，①电梯加速下降视重小于重量； ②电梯加速上升视重大于重量； ③当电梯下降的加速度为重力加速度g 时，视重为零； ④飞行员在铅直平面内的圆形轨道飞行，飞机飞到最高点时， gR v ,0mg R v m N ,N mg R v m 2 2==-=+=飞行员的视重为零 3.4一物体静止于固定斜面上。 （1）可将物体所受重力分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。 （2）因物体静止，故下滑力mg sinα与静摩擦力N 0μ相等。α表示斜面倾角，N 为作用于斜面的正压力，0μ为静摩擦系数。以上两段话确切否？ 解答，不确切。 （1）重力可以分解为沿斜面向下的和与斜面垂直的两个力。但不能说分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。 （2）应该说，因物体静止，物体所受的力在斜面方向的分力的代数和为零。

漆安慎力学习题解答完整版05

第五章基本知识小结 ⒈力矩 力对点的力矩 F r o ?=τ 力对轴的力矩 ⊥⊥?=F r k z ?τ ⒉角动量 质点对点的角动量 p r L o ?= 质点对轴的角动量 ⊥ ⊥?=p r k L z ? ⒊角动量定理适用于惯性系、质点、质点系 ⑴质点或质点系对某点的角动量对时间的变化率等于作用于质点或质点系的外力对该点的力矩之和 ∑=dt L d 0 外τ ⑵质点或质点系对某轴的角动量对时间的变化率等于作用于质 点或质点系的外力对该轴的力矩之和 ∑=dt dL z z τ ⒋角动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系 ⑴若作用于质点或质点系的外力对某点的力矩之和始终为零，则质点或质点系对该点的角动量保持不变 ⑵若作用于质点或质点系的外力对某轴的力矩之和始终为零， 则质点或质点系对该轴的角动量保持不变 ⒌对质心参考系可直接应用角动量定理及其守恒定律，而不必考虑惯性力矩。 5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 近=439km,远地点高度d 远=2384km,地球半径R 地=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。 解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫星对地心的角动量守恒 m 月v 近（d 近+R 地）=m 月v 远（d 远+R 地） v 近/v 远=（d 远+R 地）/（d 近+R 地） =（2384+6370）/（439+6370）≈1.29 5.1.2 一个质量为m 的质点沿着j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= 的空 间曲线运动，其中a 、b 及ω皆为常数。求此质点所受的对原点的力 矩。 解： )?sin ?cos (?sin ?cos /?cos ?sin /222222=?-=?=-==-=+-=--==+-==r r m F r r m a m F r j t b i t a j t b i t a dt v d a j t b i t a dt r d v ωτωωωωωωωωωωωωω

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力学精华公式归纳 引言 所谓力学力学，在于一个力字，最关键最首要的核心就在于看物体的受力怎么样。受力确定了，根据相关定律，物体的运动状态也确定了.最后回归本质，力就是描述物体与物体之间的相互作用的. 定义、定理、定律、公理的区分 定义(definition)：定义是通过列出一个事物或者一个物体的基本属性来描写或者规范一个词或者一个概念的意义.其定义的事物或者物体叫做被定义项，其定义叫做定义项. 定理(theorem)：定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述.一般来说，在数学中，只有重要或者有趣的陈述才叫定理.证明定理是数学的中心活动.定理一般都有条件和结论. 定律(law)：定律是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实归纳而成的结论.定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确. 公理(axiom)：是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题. 定理，定律，公理的区别是：定理是建立在公理和假设基础上，经过严格的推理和证明得到的.定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确.而公理是经过长期实践后公认为正确的命题. 过程量与状态量的区分 一般说来，若系统从某一状态变化为另一个状态，如果经历不同的物理过程，虽然初始状态可能保持相同，但过程不一定相同. 过程量：描述某些物理过程.是物体经过一段时间所能完成的物理量. 状态量：描述某些特定的物理状态.是物体在某一时刻的表现量. 二者的关系：过程是动态量，状态是静态量.状态量通过过程量不断更新状态，获得新的状态量. eg:22011 22 A mv mv = - 功是过程量，动能是状态量 典型的过程量：路程、功、热量等 典型的状态量：位置、能量、体积、密度、速度、加速度、温度、熵等 三个重要物理量的理解 加速度的本质：速度对时间的变化率 力的本质：动量对时间的变化率 力矩的本质：角动量对时间的变化

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第三章基本知识小结 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F 分量式： （弧坐标）（直角坐标） 2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F 微分形式：p d dt F 积分形式：p dt F I )( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 恒矢量。 则，若外p F 0 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f 在转动参考系中： '2, *2* mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴ i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵ c a m F （注意分量式的运用）

3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22 （单位：米，秒）， 求证质点受恒力 而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22 , j i a m F ?12?24 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242 +122)1/2 =125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/ arctg F arctgF x y 3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面运动，质点的运动学方程 为：j t b i t a r ?sin ?cos ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ r m a m F 2 , ∴作用于质点的合力总指向原点。 3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？ 解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f o ，谷物能获得的最大加速度为 2/92.38.94.0/s m g m f a o ∴筛面水平方向的加速 度至少等于3.92米/秒2 ，才能使谷物与筛面发生相对运动。 3.4.3 题图 3.4.4题图 3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m 1 ,m 2,如图所示，m 2 和桌面间的摩擦系数为μ2 ，m 1和m 2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。 解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示， 其中，N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1,m 2 分别应用牛顿二定律，有 02122 22211111 111 g m N N a m N N F g m N a m N 解方程 组，得 2221211211/m g m g m g m F a g a 要把木板从下面抽出来，必须满足12a a ，即 g m g m g m g m F 12221211 m 1g f 1 N 1 a 1 a 2 x y