第五章 5.1平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

2．向量的线性运算

3． a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量． ( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．

( ) (3)已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.

( ) (4)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12

(AC →＋AB →

)．

( ) (5)向量AB →与向量CD →

是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上． ( ) (6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．

( )

2． (2012·四川)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b

|b |

成立的充分条件是( )

A ．a ＝－b

B ．a ∥b

C ．a ＝2b

D ．a ∥b 且|a |＝|b |

3． 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →

＝0，那么( )

A.AO →＝OD →

B.AO →＝2OD →

C.AO →＝3OD →

D ．2AO →＝OD →

4． 已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →

，则实数λ

的值为________．

5． 设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →

＝a －2b ，

若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．

题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：

①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →

是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；

③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．

给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．

④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为

( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

题型二 平面向量的线性运算

例2 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个

三等分点，那么EF →

等于

( )

A.12AB →－13AD →

B.14AB →＋12AD →

C.13AB →＋12DA →

D.12AB →－23

AD → (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →

等于

( )

A.23b ＋1

3c B.53c －2

3b C.23b －1

3

c

D.13b ＋23

c

(1)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB

→

＝0，则OC →

等于

( )

A ．2OA →－O

B →

B ．－OA →＋2OB →

C.23OA →－13

OB →

D ．－13OA →＋23

OB →

(2)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →

，则

( )

A.P A →＋PB →

＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →

＝0

D.P A →＋PB →＋PC →＝0

题型三 共线向量定理及应用

例3 设两个非零向量a 与b 不共线，

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．

(1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，

AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →

等于

( )

A.14a ＋1

2b B.23a ＋1

3b C.12a ＋1

4

b

D.13a ＋23

b (2)已知向量a 、b 、

c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于

( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．0

方程思想在平面向量的线性运算中的应用

典例：(12分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12

OB →

，AD 与BC

相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →

.

A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)

一、选择题

1． 下列命题中正确的是

( )

A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线

B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量

D ．有相同起点的两个非零向量不平行

2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →

＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是

( )

A ．A 、

B 、

C B ．A 、B 、

D C ．B 、C 、D

D ．A 、C 、D

3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →

成立，则

m 等于

( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →

＝0，则△ABC 的内角A 等于( )

A ．30°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO

→＝λAB →＋μBC →

，则λ＋μ等于 ( )

A ．1 B.12

C.13

D.23

二、填空题

6．设向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →

＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，

B ，

C 共线；②A ，B ，

D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．

7．在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →

＝____________.(用a ，

b 表示)

8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →

，则λ＝________.

三、解答题

9．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.问是否存在这

样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？

10．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23

AD →

，

AB →＝a ，AC →

＝b .

(1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →

； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．

B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)

1．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →

＝0，则△ABC 的面积与△AOC

的面积的比值为

( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →

＋λ

? ????

AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的

( )

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

3．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直

线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →

，则m ＋n 的值为________．

4．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何

值时，a ，t b ，1

3(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？

5．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →

(m ，n ∈R )．

(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.