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2020年重庆市高考数学三模试卷(理科)含答案解析

2020年重庆市高考数学三模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是

（）

A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}

2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2020为（）

A．1+i B．1﹣i C．i D．1

3．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．24

4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）

A．43 B．44 C．45 D．46

5．给出下列四个结论：

①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；

②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；

③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；

④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．

其中正确的结论是（）

A．①②B．①③C．②③D．③④

6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为

1的半圆，则其侧视图的面积是（）

A．B．C．1 D．

7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）

A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）

8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）

A．72 B．108 C．180 D．216

9．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或

10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）

A．1 B．C．D．

11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，

点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）

A．a，a B．a，C．D．

12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣

3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.

13．已知向量⊥，||=3，则?=．

14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家

庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为千元．

（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）

16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，

（1）求cosC的值；

（2）若b=3，求△ABC的面积．

18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2020年1月﹣2020年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：

指数API [0，

50]

（50，

100]

（100，

150]

（150，

200]

（200，

250]

（250，

300]

＞300

空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染

中重度污

染

重度污

染

天数 4 13 18 30 9 11 15 （Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记

为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经

济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？

非重度污染重度污染合计

供暖季

非供暖季

合计100

下面临界值表功参考．

P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

参考公式：．

19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2

（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；

（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．

20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线

l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP是否过定点？

21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．

（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．

①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；

②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；

（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）求证：AM?MB=DF?DA．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与

直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为ρsin2θ=4cosθ．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．

（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

2020年重庆市高考数学三模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是

（）

A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}

【考点】Venn图表达集合的关系及运算．

【分析】首先化简集合A和B，然后根据V enn图求出结果．

【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤}

N={y|y=3﹣2x}={y|y＜3}

图中的阴影部分表示集合N去掉集合M

∴图中阴影部分表示的集合{x|＜x＜3}

故选：B．

2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2020为（）

A．1+i B．1﹣i C．i D．1

【考点】复数代数形式的混合运算．

【分析】化简复数，然后利用复数单位的幂运算求解即可．

【解答】解：复数z=1+=1+=i．

1+z+z2+…+z2020=1+i+i2+…+i2020=1．

故选：D．

3．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．24

【考点】二项式系数的性质．

【分析】由于|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1，即可求得|a

0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值．

【解答】解：由题意（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5可得，

|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，

故在（1+3x）5的展开式中，令x=1可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=45=1024，

故选：A．

4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）

A．43 B．44 C．45 D．46

【考点】程序框图．

【分析】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n ﹣1，然后判断p＞2020是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n﹣1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于2020时，输出n的值．

【解答】解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，

执行n=1+1=2，p=1+（2×2﹣1）=1+3=4；

判断4＞2020不成立，

执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3﹣1）=1+3+5=9；

判断9＞2020不成立，

执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4﹣1）=1+3+5+7=16；

…

由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，

由p=＞2020，且n∈N*，得n=45．

故选：C．

5．给出下列四个结论：

①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；

②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；

③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；

④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．

其中正确的结论是（）

A．①②B．①③C．②③D．③④

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．

【解答】解：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故为假命题，故错误；

②若x，y∈R，当“x≥2或y≥2”时，“x2+y2≥4”成立，当“x2+y2≥4”时，“x≥2或y≥2”不一定成立，故“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故正确；

③当x=0时，y=log a（x+1）+1=1恒成立，故函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1），故正确；

④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.1，故错误；故选：C

6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为

1的半圆，则其侧视图的面积是（）

A．B．C．1 D．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，进而可得其侧视图的面积．

【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，

又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，

∴半圆锥的底面半径为1，高为，

即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，

故侧视图的面积是，

故选：B．

7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）

A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．

【解答】解：由约束条件作可行域如图，

联立，解得，

∴A（2，﹣1），

联立，解得，

∴．

令u=2x﹣2y﹣1，

则，

由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最

小，

u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；

当经过点时，直线在y轴上的截距最大，

u最小，最小值为u=．

∴，

∴z=|u|∈[0，5）．

故选：C．

A．72 B．108 C．180 D．216

【考点】计数原理的应用．

【分析】根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，分2步讨论，首先分析甲，因为甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，此时分甲单独参加一个社团与甲与另外1人参加同一个社团，2种情况讨论，由加法原理，可得第二步的情况数目，进而由乘法原理，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，

首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，

再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A44=24种情况，

若甲是1个人参加一个社团，则有C42?A33=36种情况，

则除甲外的4人有24+36=60种情况；

故不同的参加方法的种数为3×60=180种；

故选C．

9．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或

【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．

【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，

于是可求得cos（β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．

【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，

∴2α∈[，2π]，

又sin2α=＞0，

∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；

又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，

∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，

∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．

又α∈[，]，β∈[π，]，

∴（α+β）∈[，2π]，

∴α+β=，

故选：A．

10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）

A．1 B．C．D．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．

【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．

【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得

当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，

当时，y′＞0，函数在上为单调增函数

所以当时，所设函数的最小值为

所求t的值为

故选D

11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，

点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）

A．a，a B．a，C．D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转化为|AF1|﹣

|AF2|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．

【解答】解：根据题意得F1（﹣c，0），F2（c，0），

设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A1，B1，与F1F2切于点A，

则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，

|F2B1|=|F2A|，

又点P在双曲线右支上，

∴|PF1|﹣|PF2|=2a，

∴|F1A|﹣|F2A|=2a，

而|F1A|+|F2A|=2c，

设A点坐标为（x，0），

则由|F1A|﹣|F2A|=2a，

得（x+c）﹣（c﹣x）=2a，

解得x=a，

∵|OA|=a，∴在△F1CF2中，

OB=CF1=（PF1﹣PC）

=（PF1﹣PF2）==a，

∴|OA|与|OB|的长度依次为a，a．

故选：A．

3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零

点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，

利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．

【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，

使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，

当x=1时，使F（1）=≠0；

当x≠1时，解得a=，

∴a′==0，

得x=2或x=，（＜1，舍去），

x （1，2） 2 （2，4）

a′+0 ﹣

a ↗最大值↘

∴当x=2时，a最大==，

所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，

故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.

13．已知向量⊥，||=3，则?=9．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．

【解答】解：由⊥，得?=0，即?（）=0，

∵||=3，

∴．

故答案为：9．

14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=9．【考点】等差数列的性质；定积分的简单应用．

【分析】先利用定积分求得，再根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．

【解答】解：∵=（x2+x）|02=5，

∵{a n}为等差数列，

S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，

∴

故答案为9．

15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄

y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家

庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为8千元．

（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）

【考点】线性回归方程．

【分析】利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程y=bx+a，通过x=2，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．

【解答】解：（1）由题意知，n=10，==8，=y i=2，

b===0.3，

a=﹣b=2﹣0.3×8=﹣0.4，

∴线性回归方程为y=0.3x﹣0.4，

当y=2时，x=8，

故答案为：8．

16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间

的距离的最小值为2．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】把两个圆的方程相减与圆O1联立可得x2+y2=9，令4y﹣3x=t，则y=，代入可得25x2+6tx+t2﹣144=0，由△≥0，可得﹣15≤t≤15，再利用P到直线l的距离为

=，即可求出点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值．

【解答】解：∵ac=8，=，∴=，故两圆的圆心O1（a，b）、圆心O2（c，d）、原点O三点共线，

不妨设==k，则c=，b=ka，d=kc=．

把圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1相减，

可得公共弦的方程为（2c﹣2a）x+（2d﹣2b）y=c2﹣a2，

即（﹣2a）x+（﹣2?ka）y=﹣a2，即2（﹣a）x+2k（﹣a）y=（+a）（﹣

a），

当a≠±2时，﹣a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=+a，即：2ax+2kay=a2+8，

即：2ax+2by=a2+8．

O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，即x2+y2=2ax+2by﹣a2+1，

再把公共弦的方程代入圆O1的方程可得x2+y2=9 ①．

令4y﹣3x=t，代入①可得25x2+6tx+t2﹣144=0．

再根据此方程的判别式△=36t2﹣100（t2﹣144）≥0，求得﹣15≤t≤15．

点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离为==，

故当4y﹣3x=t=﹣15时，点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离取得最小值为2．

当a=±2时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．

故答案为：2．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，

（1）求cosC的值；

（2）若b=3，求△ABC的面积．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）把A+3C=B代入A+B+C=π得B=+C，可得sinB=cosC＞0，由条件和正弦

定理化简后，利用平方关系求出cosC的值；

（2）由条件求出边c的值，由（1）和平方关系求出cosB和sinC的值，利用两角和的正弦公式求出sinA的值，代入三角形的面积公式求解即可．

【解答】解：（1）由题意得A+3C=B，则A=B﹣3C，

代入A+B+C=π得，B=+C，所以sinB=cosC＞0，

∵，∴由正弦定理得，，则，①

又sin2C+cos2C=1，②

由①②得，cos2C=，则cosC=；

（2）∵，b=3，∴c=，

由（1）知sinB=cosC=，且B=+C，

∴cosB=﹣=﹣，同理可得sinC=，

则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC

=×+（﹣）×=

∴△ABC的面积S===．

指数API [0，

50]

（50，

100]

（100，

150]

（150，

200]

（200，

250]

（250，

300]

＞300

空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染

中重度污

染

重度污

染

天数 4 13 18 30 9 11 15 （Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记

为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经

非重度污染重度污染合计

供暖季22830

非供暖季63770

合计8515100

下面临界值表功参考．

P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

参考公式：．

【考点】独立性检验．

【分析】（Ⅰ）由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，即可求出概率；（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈=…．

（Ⅱ）根据以上数据得到如表：

非重度污染重度污染合计

供暖季22 8 30

非供暖季63 7 70

合计85 15 100

…．

K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…

所以有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．…

19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2

（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；

（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；

（2）过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．则∠QNM 是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=计算即可．

【解答】（1）证明：∵AD⊥平面PDC，PD?平面PCD，DC?平面PDC，图1所示．

∴AD⊥PD，AD⊥DC，

在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，

在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，

又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，

∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．

∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．

AD?平面ABCD，DC?平面ABCD，

∴PD⊥平面ABCD，

∵BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，

∵BD∩PD=D，BD?平面PBD，PD?平面PBD．

∴BC⊥平面PBD，

∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；

（2）解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．

由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，

∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．

∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，

∵，∴，

∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，

由（1）知，∴，

又∵PD=1，MN∥PD，∴，

∴MN===1﹣λ，

∵tan∠MNQ=，∴，

∴．

20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线

l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP是否过定点？

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m ∈R）过椭圆C的右焦点F，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），从而得到满足题意的定点只能是（，0），设为D点，再证明P、B、D三点共线．由此得到BP恒过定点（，0）．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，

∴由题设，得，

解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，

∴椭圆C的标准方程为=1．

（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），

当A（1，），B（1，﹣）时，P（4，），直线BP：y=x﹣，

当A（1，﹣），B（1，）时，P（4，﹣），直线BP：y=﹣x+，

∴满足题意的定点只能是（，0），设为D点，下面证明P、B、D三点共线．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵PA垂直于y轴，∴点P的纵坐标为y1，从而只要证明P（4，y1）在直线BD上，

由，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，

∵△=144（1+m2）＞0，∴，，①

∵k DB﹣k DP=﹣=﹣=

=，

①式代入上式，得k DB﹣k DP=0，∴k DB=k DP，

∴点P（4，y1）恒在直线BD上，从而P、B、D三点共线，即BP恒过定点（，0）．

21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．

（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．

①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；

②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；

（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．

（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．

【解答】解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．

则h（0）=1﹣n，函数的导数f′（x）=e x﹣m，

则f′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，

∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．

②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．

若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，

即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，

若x=0，则方程无解，满足条件，

若x≠0，则方程等价为m=，

设g（x）=，

则函数的导数g′（x）=，

若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，

若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，

由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，

综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，

若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．

（2）∵n=4m（m＞0），

∴函数r（x）=+=+=+，

则函数的导数r′（x）=﹣+=，

设h（x）=16e x﹣（x+4）2，

则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，

[h′（x）]′=16e x﹣2，

当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，

即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，

即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，

故r（x）≥r（0）=，

故当x≥0时，r（x）≥1成立．

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

重庆高考数学试题(真正)

2004年普通高等学校招生考试数学（文史类）（重庆卷）本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟. 第Ⅰ部分（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那幺n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()( 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数y =的定义域是：（） A [1,)+∞ B 23(,)+∞ C 23[,1] D 2 3(,1] 2. 函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2 f f = ( ) A 1 B -1 C 35 D 3 5 - 3.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为：（） A 2 B 2 C 1 D 4．不等式2 21 x x + >+的解集是：（） A (1,0)(1,)-+∞U B (,1)(0,1)-∞-U C (1,0)(0,1)-U D (,1)(1,)-∞-+∞U

5．sin163sin 223sin 253sin313+=o o o o ( ) A 12- B 1 2 C 2- D 2 6．若向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为：（） A 2 B 4 C 6 D 12 7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。那么p 是q 成立的：（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题： ① ////m m αββα????? ② //////m n n m ββ???? ③ ,m m n n αβ??????异面 ④ //m m αββα⊥??⊥?? 其中假命题有：（） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 9．若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（） A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 10．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( ) A 43 B 53 C 2 D 73 11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为：（） A 2140 B 1740 C 310 D 7120

全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

绝密★启用前全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是

A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<