比率p的假设检验
比率P的假设检验及其应用
比率P的假设检验及其应用
摘要：假设检验是统计推断的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同。参
数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。本文将主要介绍总体比率的假设检验的原理和方法，以及其在各种生活实例中的应用，从而更深的了解假设检验在各种统计方法中的重要作用。
关键词：假设检验；总体比率；检验统计量；拒绝域
Hypothesis Testing and Its Application of Ratio P
Abstract:Hypothesis testing is another important content to statistical inference, and it is similar to parameter estimation, but the Angle is different. Parameter estimation is use sample information to infer an unknown population parameter, and the hypothesis testing is a hypothesis is proposed first in the overall parameters, and then using the sample information to determine whether the hypothesis is established. This article mainly introduces the overall rate of the principle and method of hypothesis testing, and its application in all kinds of living examples, thus deeper understanding of the hypothesis testing plays an important part in all kinds of statistical methods.
Key words:hypothesis testing；the overall rate；test statistics；rejection region
目录
一、假设检验的基本问题
（一）假设检验的概述
（二）假设检验的基本步骤
（三）检验的P值
二、总体比率的假设检验及其应用
（一）单个总体比率的假设检验
1.单个总体比率的精确检验及其应用
2.单个总体比率的大样本检验及其应用（二）两个总体比率的假设检验
1.两个总体比率之差的精确检验及其应用
2.两个总体比率之差的大样本检验及其应用
一、假设检验的基本问题 （一）假设检验的概述
假设检验是统计推断的一项重要组成部分，它在各种统计方法中都有极其重要的应用。假设检验通过首先对总体参数提出的一个假设，然后利用样本信息推断这个假设是否成立这样一个过程，来判断承认还是拒绝该假设。 （二）假设检验的基本步骤 1.建立假设
在假设检验中，通常把被检验的假设叫做原假设，用0H 表示，当原假设被拒绝时接受的假设叫做备择假设，用1H 表示。在任一假设检验中，原假设与备择假设都是相互对立的，且二者只能居其一。 2.选择检验统计量
建立假设后，对于是否接受原假设则需要根据某一统计量出现的数值，从概率意义上判断来完成，这个统计量称为检验统计量。 3.显著性水平
检验的结果不一定是真实的情况，所以说，检验是有可能犯错误的。在假设检验中可能会犯的错误有两类：一是原假设为真却拒绝原假设，称这种错误为第一类错误，其发生的概率叫做犯第一类错误的概率，或称为拒真概率，在假设检验中把犯第一类错误的概率称为显著性水平，通常用α表示，即
),W X (P H /H (P 00∈==αθ为真）拒绝
另一种错误是原假设为假却接受原假设，称这种错误为第二类错误，其发生的概率叫做犯第二类错误的概率，或称为受伪概率，通常用β表示，即
).W X (P H /H (P 10∈==βθ为真）
接受 这两类错误之间也存在着这样的关系：当α减小时，β会随之增大；当β减小时，α会随之增大。这个现象不是偶然的，而具有一般性，也就是说，在样本容量不变的前提下，找到一个使α和β都减小的检验是不可能的，唯一能使α和β同时减小的方法是增大样本容量。
在假设检验中，发生哪一类错误的后果更为严重，就应首先减小哪类错误发生的概率，通常情况下允许犯第一类错误的概率，尽量减小犯第二类错误的概率，一般取01.005.0和=α和，表示发生的概率很小。 4.给出拒绝域
拒绝域是指使原假设被拒绝的样本观测值所在的区域，用W 表示。若统计量的值落在拒绝域内，则拒绝原假设；反之，则接受原假设。 5.由样本值计算结果 （三）检验的P 值
假设检验的判断还有另外一种形式，即计算检验的P 值，检验的P 值就是在一个假
设检验中，可以利用样本观测值做出拒绝原假设的最小显著性水平。将检验的P 值与心目中的显著性水平α进行比较，就可以很容易的做出检验的结论。判断如下： 如果p ≥α，则在显著性水平α下拒绝原假设； 如果p <α，则在显著性水平α下接受原假设。 二、总体比率的假设检验及其应用 （一）单个总体比率的假设检验
1.单个总体比率的精确检验及其应用
下文所提到的比例p 可将其看作某事件发生的概率，即为两点分布)p ,1(~b 中的参数。做n 次独立试验，用x 标记事件发生的次数，则)p ,n (b ~x 。
（1）设n 21x ,x ,x 为两点分布)p ,1(B ~X 的样本，考虑右侧假设检验：
000p v s p p p :H >≤，给出拒绝域{}c x W ≥=，由于x 为整数，所以c 取非负整数值。但
是对于给定α的,不一定找到恰好的c ，使
,)1();(000α=-???
? ??=≥-=∑i
n i n
c i p p i n p c x P 对此情况比较常见的办法是，找一个0c ,使
,)p 1(p i n )p 1(p i n i
n 0i 0n
1c i i n 0i 0n
c i 00-+=-=-???
? ??>α>-???? ??∑∑ 若取0c c =,相当于提高检验的显著性水平，若取1c c 0+=,则相当于降低检验的显著性
水平，由于取1c c 0+=可以保证 α=-???
? ??=≥-=∑i
n 0i 0n
c i 0)p 1(p i n )p ;c x (P 的左侧不大于α，
所以取1c c 0+=可得到水平为α的检验。
由此可以类似推出，对于假设检验问题 ,p vsp p p :H 000<≥检验的拒绝域可以为
}{,c x W ≤=c 为满足α≤-???
? ??-=∑i
n 0i 0
n
c i )p 1(p i n 0的最大正整数。 对于假设检验问题,P vsP P P :H 000≠=检验的拒绝域为{},c x c x W 21≥≤=或其中1c 为
满足2)p 1(p i n i
n 0i 0
c 0i 1
α≤-???
? ??-=∑的最大整数，2c 为满足2)p 1(p i n i n 0i 0n
c i 2α≤-???? ??-=∑的最小整数。 （2)应用
例1.1.1 在一次模拟考试后，某班级的班主任对这次的成绩做了一次统计，统计结果发现有%40的同学达到了80分以上，现从该班级随机抽取20名同学，其中有5位同学成绩在80分以上。在显著性水平05.0=α下，能否认为这次的统计结果属实？ 解：由题意可知：这是一个关于单个总体比率的双侧假设检验问题，由于3018n <=，故可用精确检验的方法进行检验。设该班级学生成绩达到80分以上的比率为p ，x 表示20名学生中成绩达到80分以上的人数，则)p ,20(b ~x 。 现建立假设：4.0p :H ;4.0p :H 10≠=
拒绝域为：}{21c x c x W ≥≤=或,下求1c 和2c 由前面可知：
1c 为满足2)p 1(p i n i
n 0i 0
c 0i 1
α≤-???
? ??-=∑的最大整数，2c 为满足2)p 1(p i n i n 0i 0n
c i 2α≤-???? ??-=∑的最小整数，又因
0510.0)4x (P 025.00160.0)3x (P =≤<<=≤ 故3c 1=，又有
022.0)12x (P 025.00564.0)11x (P =≥>>=≥
故12c 2=，所以拒绝域为}{12x 3x W ≥≤=或，由于观测值5不在拒绝域内，也就是说未落入拒绝域，即接受原假设，可以认为这次的统计结果属实。
例1.1.2 某工厂在一次对产品质量的调查中显示，该产生产的产品优质品率不低于%30，为了验证这一结论，该产随机从生产的产品中抽取了15件产品，其中发现有3件是优质品。问：在显著性水平05.0=α下，能否认为这次的调查结果属实？并给出检验的P 值。
解：由题意可知：这是一个关于总体比例的左侧的假设检验。设p 表示该工厂产品的优质品率，x 表示抽取的15件产品中的优质品数，则可有),15(~p b x 。 先建立假设：3.0p :H ;3.0p :H 10<≥
检验的拒绝域为：}{c x W ≤=，下计算c 的值。
由于1269.0)2x (P 025.00352.0)1x (P =≤<<=≤，所以可取1c =，检验的拒绝域为
}{1x W ≤=，因题中得到的优质品数为3，未落入拒绝域，故接受原假设，可以认为这
次的调查结果属实。
本题也可通过计算检验的P 值得出结论，用X 表示服从二项分布)3.0,15(b 的随机变
量，则检验的P 值为：
2969.0)
3.01(3.0x 15)3x (P p x
15x 3
0x =-???
? ??=≤=-=∑ 由于检验的P 值05.02969.0=α>显著性水平，故接受原假设，所以可以认为这次的调查结果属实。
2.单个总体比率的大样本检验及其应用
（1）设样本n 21x ,x ,x 取自两点分布总体),p ,1(B ~X 其中p ~
表示样本比例，p 为对总体比率的某一假设值。当n 很大，np 和)p 1(n -都大于5时，样本比例p ~
近似服从均值为p ，方差为n /)p 1(p -的正态分布，而标准化检验统计量())p 1(p p p ~n u 000--=，则近似服从标准正态分布。
在给定显著性水平的条件下，表1总结了大样本情况下总体比例检验的一般方法。 表1.大样本情况下单个总体比率的检验方法 双侧检验 左侧检验 右侧检验 假设形式 0100p p :H ;p p :H ≠= 0100p p :H ;p p :H <≥ 0100p p :H ;p p :H >≤
检验统计
量 )
p 1(p )
p p ~(n u 000--=
拒绝域
21u u α-≥
α≤u u
α->1u u
（2）应用
例1.2.1政府在对消费者的一项调查中表明，%18的居民的早餐饮料是牛奶。某一城市的牛奶商却认为，该城市的居民早餐饮用牛奶的比例应该更高。为了证明这一说法，该生产商随机抽取了一个500人的随机样本，其中有120人早餐饮用牛奶。在05.0=α的显著水平下，检验该生产商的说法是否属实？
解：由题意可知，这是一个右侧检验。要证实生产商的说法是否属实，即要证明早餐引用牛奶的人数比例是否大于%18，由于18.0p 0
=，样本比例42.0500120p ~==，
500n =大于30，0np 和)p 1(n 0-都大于5，故可用正态分布逼近。
现建立假设：%18p :H %,18p :H 10>≤ 检验统计量为：492.3)
18.01(18.0)
18.024.0(500)p 1(p )p p ~(n u 000=--=--=
由于05.0=α，经查表有645.1u u 95.005.01==-，因为645.1492.3>,落入了拒绝域，故拒绝原假设，即该生产商的说法属实，也就是可以认为这个城市的拒绝早餐饮用牛奶
的比例高于%18。
例1.2.2 某位关心空气保护的公共福利社团的代表人宣称：“在工业发展日渐迅速的今天，空气污染成了人们关心的大问题。在某一工业区域内，能够遵守政府制定的空气污染标准法则的工厂不足%65，但是环境保护局的负责人却认为至少有%65的工厂是遵守这个标准法则的。因此这个环境保护局的负责人从这个工业区内随机选取了70家工厂，并且发现其中的42家是遵守这个法则的。在显著性水平为05.0=α下，验证真正的比率是否少于%65？
解：由题意可知，此题为一左侧检验。样本比率6.07042p ~==，
已知70n =大于30，5.24)65.01(70)p 1(n ,5.45%6570np =-?=-=?=均大于5，故可以用正态分布逼近。
建立假设：%65p :H %,65p :H 10<≥ 检验统计量为：877.0)
65.01(65.0)
65.06.0(70)p 1(p )p p ~(n u 000-=--=--=
由于05.0=α，645.1u 05.0=，且877.0645.1->，未落入拒绝域，因此不能否定原假设，即使观察的样本比率少于%65，但也不能否定遵守法则的工厂的真正比率不少于
%65这个原假设，所以可以认为，真正的比率并未少于%65。 （二）两个总体比率的假设检验
1.两个总体比率之差的精确检验及其应用
2.两个总体比率之差的大样本检验及其应用
(1)设两个独立样本1,,21n X X X 和2n 21Y ,Y ,Y 分别取自二项分布总体X 和Y ，其中
1p 和2p 分别为两个独立总体的比例，1p ~和2p ~分别为它们的样本比例，且21p ~p ~-的数学
期望和标准差分别为：
2121p p )p ~p ~
(E -=- 2
2211121)
1()1()~~
(n p p n p p p p D -+-=- 在上式中，1n 和2n 分别表示两个总体的样本容量。当11p n ,)p 1(n 11-,22p n 和
)p 1(n 22-都大于或等于5时，由中心极限定理可知，21p ~p ~
-近似地服从正态分布。由于两个总体的比例1p 和2p 是未知的，则需要用两个样本的比例1p ~
和2p ~估计)p ~p ~(D 21-，即两个样本比例之差抽样分布的标准差。
此时有：
)1,0(N ~n )
p ~1(p ~n )p ~1(p ~)
p p ()p ~p ~(n )
p 1(p n )p 1(p )
p p ()p ~p ~(2
2211121212221112121 -+----≈
-+----
对于两个总体比率之差的检验分为两种情况：一种是检验两个总体比率之差是否为0，当原假设成立时，即)0p p (p p :H 21210=-=或的最佳估计量是将两个样本的结果联
合起来，得到一个合并的比例p
?，其中2
12
2112121n n n p n p n n x x p ?++=++=，1x 表示样本1中具有
某种特征单位的个数，2x 表示样本2中具有某种特征单位的个数。故两个总体比率之差的检验统计量就可以表示为：
)n 1
n 1)(p ?1(p
?)
p ~p ~(n )p ?1(p ?n )p ?1(p ?0)p ~p ~(z 2
1212121+--=-+---=
第二种情况是：两个总体比率之差为某一不为0的常数，即)0d (d p p :H 00210≠=-时，
在这种情况下可以直接用两个样本的比例1p ~
和2p ~相应估计两个总体的的比例1p 和2p ，继而得到两个总体比率之差的检验统计量为： 2
221110
21n )
p ~1(p ~n )p ~1(p ~d )p ~p ~(z -+---=, 由上面的推导计算可以将两个总体比率之差的大样本检验方法概括在表2中。
表2.两个总体比率的大样本检验方法 双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式
p p :H 0p p :H 211210≠-=-
p p :H 0p p :H 211210<-≥-
p p :H 0p p :H 211210>-≤-
检验统计量
检验 0p p :H 210=- )n 1
n 1)(p ?1(p
?p ~p ~z 2
12
1+--=
检验 0210d p p :H =- 2
221110
21n )
p ~1(p ~n )p ~1(p ~d )p ~p ~(z -+---=
拒绝域
2z z α> α- α>z z （2)应用 例2.2.1 政府对某一行业的两个公司进行了一项调查，调查内容为这两个公司的员 工是希望得到特定增加的基本工资，还是希望得到特定增加的各种福利费用。在A 公司随机抽取的180名员工中，有80人愿意增加各种福利费用；在B 公司随机抽取的250名员工中，有120人希望增加各种福利费用。在显著水平01.0=α下，是否可以认为这两个公司中希望增加各种福利费用的员工比例有显著差异? 解：由题意可知，这是一个两个总体比例是否为0的假设检验。已知250n ,180n 21==， 44.018080p ~1==，48.0250120p ~2==。 建立假设：0p p H ;0p p H 211210≠-==-= 463.0250 180250 48.018044.0n n n p ~n p ~n n x x p ?2122112121=+?+?=++=++= 检验统计量为： 8206 .0) 250 1 1801)(463.01(463.00 )48.044.0()n 1 n 1)(p ?1(p ?0 )p ~p ~(z 2 121-=+---= +---= 由于01.0=α，拒绝域为2z z α>，58.2z 2-=-α，又58.28206.0->-，未落入拒绝域内，故接受原假设，可以认为两个公司中希望增加各种福利费用的员工比例没有显著差异。 例2.2.2 为了发展旅游事业，一些介绍当地旅游文化的旅游手册，都由当局的旅游管理部门向有需要的旅游者免费提供。有研究人员表明，需要旅游手册的旅游者与不需要旅游手册的旅游者在各个旅游消费方面存在着一些差异。现有两个由366名需要旅游手册者与488名不需要旅游手册者组成的随即样本，对于样本中的成员最近一次离家三天或三天以上的度假或是愉悦的旅行提出几个问题。其一为：“就这次旅行来说，你个人认为是积极的（即包括一些刺激，具有挑战性的事件或有意义的教育活动），还是消极的（大多数时间用于休息和放松）？”在下表中给出了消极度假的人数，现根据给出的数据是否能说明，需要旅游手册者消极度假的可能性比不需要旅游手册者小？（05.0=α）。 手册需要者 手册不需要者 被检查人数 366 488 消极度假人数 280 420 解：由题意可知：这也是一个两个总体比率之差是否为0的假设检验。已知：488n ,366n 2 1 ==，765.0366280p ~1 ==，861.0488420p ~2 ==。 现建立假设：0p p :H ;0p p :H 211210<-≥- 820.0488 366488861.0366765.0n n n p ~n p ~n n x x p ?2122112121=+?+?=++=++= 检验统计量为：)n 1 n 1)(p ?1(p ?0 )p ~p ~(z 2 121+---= ) 488 1 3661)(80.01(820.00 )861.0765.0(+---= 614.3-= 由于05.0=α，这是一个左侧检验，645.1z 05.0-=-，因645.1614.3-<-，落入了拒绝域，故拒绝原假设，所以可以说明需要旅游手册者消极度假的可能性比不需要旅游手册者小。 例2.2.3 在某工厂的一项质量调查结果中表明，该厂的甲车间生产的产品里不合格品的比率比乙车间生产的产品里不合格品的比率大%4，现从甲乙两个车间随机抽取两个独立样本,其中从家车间抽取200个产品，不合格品数为160个；从乙车间抽取220个产品，不合格品数为165个。根据所给的数据，能否检验这次调查结果是否属实？（05.0=α）。 解：由题意可知：这是一个两个总体比率之差为某一个不为0的常数的假设检验。 已知：220n ,200n 21==，75.0220165 p ~,80.0200160p ~21====，04.0d 0=。 现建立假设：04.0p p :H ;04.0p p :H 211210>-≤- 检验统计量为: 2 221110 21n ) p ~1(p ~n )p ~1(p ~d )p ~p ~(z -+---= 220 ) 75.01(75.0200)80.01(80.004 .0)75.080.0(-+ ---= 246.0= 由于05.0=α，645.1z z 05.0==α，又645.1246.0<，即α 甲车间 乙车间 样本数 200 220 不合格品数 160 165 参考文献： [1]茆诗松，程依明，濮晓华.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004. [2]贾俊平.统计学[M].（第二版).北京：清华大学出版社，2006. [3]徐国祥.统计学[M].上海：人民出版社，2007. [4]张建司，孙冒言，王世进.应用统计学[M].北京：清华大学出版社，2010. [5]贾怀勤，丁岚.应用统计[M].北京：对外经济贸易大学出版社，2005.。 §7.4 一般总体均值的假设检验 一、一般总体均值的大样本假设检验 1． 一个总体均值的大样本假设检验 设样本12(,,,)n X X X 取自非正态总体X ，记总体均值μ=)(X E 。样本均值及样本方差分别为11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑。 如果我们要做双侧检验：0100::μμμμ≠?=H H ，在大样本情况（样本容量30≥n ）下可选 n S X Z /0 μ-=为检验统计量，由中心极限定理知，它在0H 成立时近 似服从)1,0(N 。检验的P 值近似为|))(|1(2)| |(20O O z z Z P Φ-==≥μμ，其中检验统计量Z 的观测值为 n s x z O /0 μ-=。 例7.4.1 一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm 。生产厂家现采用一种新的 机床进行加工以期降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。50个零件尺寸的绝对误差数据（mm ）如下所示： 1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.13 0.96 1.06 1.00 0.94 0.98 1.10 1.12 1.03 1.16 1.12 1.12 0.95 1.02 1.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.59 0.99 1.45 1.24 1.01 2.03 1.98 1.97 0.91 1.22 1.06 1.11 1.54 1.08 1.10 1.64 1.70 2.37 1.38 1.60 1.26 1.17 1.12 1.23 0.82 0.86 利用这些数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差是否显著降低？（0.01α=） 解：这里研究者所关心的是新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低，也就是新机床加工的零件尺寸的误差的数学期望μ=)(X E 是否小于1.35，因此属于单左侧检验。提出的假设如下： 0: 1.35H μ≥?1: 1.35H μ< 现在50=n ，检验统计量可选为 )1,0(~/35.135.1N n S X Z =-=μ； 由数据得：215.1=x ，366.0=s ，故检验统计量Z 的观测值为608.250 /366.035 .1215.1-≈-≈O z ，所以检验的P 值近似为 0046.0)608.2()35.1608.2(=-Φ≈=-≤μZ P 。 因为01.0 总体均值的假设检验 一、正态总体均值的检验 设n X X X ，， ， 21为总体),(２ N 的一个容量为n 的样本． 1．方差2 已知， 的检验——u 检验法． 当2 02 已知时， 假设检验问题：0100 ：；：H H ． 选择检验统计量n X U /00 ，当0H 成立时，)1,0(~N U ． 给定显著性水平 ，由标准正态分布分位点的定义, 有 }|{|2/u U P ， 故拒绝域}{}{}|{|2/2/2/ u U u U u U W ， 这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u 检验法． 有时我们只关心总体的均值是否增大（或减小）．比如，经过工艺改革后，产品的质量（如材料的强度）比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值 是小于等于原来的均值0 ，还是大于0 ， 即检验假设 0100 ：；：H H ． 可以证明，在显著性水平 下，上述假设检验问题和 检验假设0100 ：；：H H 有相同的拒绝域， 因此，遇到形如00 ：H 的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论． 类似地，形如0100 ：；：H H 的检验问题， 可归结为检验假设 0100 ：；：H H ． 这都是单边检验问题．给定显著性水平 ，求得的临界值点是上 分位点或上 1分位点． 例1 某厂生产的某种钢索的断裂强度X 服从),(２ N ，其中 40 (kg/cm 2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值 x 较以往正常生产的 大20(kg/cm 2 )，设总体方差不变，问在1.00 下，能否 认为这批钢索质量有显著提高？ 解 依题意，检验假设0100 ：；：H H ， 由于40 已知，选择检验统计量n X U /0 因为0H 中的 全部都比1H 中的 要小，从直观上看，当0H 成立时，X 的取值 x 不应比 大很多，若偏差0 x 过大，则拒绝0H 而接受1H ． 因为 0100 ：；：H H 的拒绝域为}{ u U W ， 故在显著性水平1.00 下原假设的拒绝域为 }{}{0n u X u U W ． 本题中，9 n ，40 ，200 x ，33.201.0 u ， 计算U 的值33.25.1/0 n x u 因此在显著性水平1.00 下不能拒绝0H ，即认为这批钢索质量没有显著提高． 2．方差2 未知， 的检验——t 检验法． 检验假设0100 ：；：H H ． 因为2 未知，而样本方差2S 是总体方差2 的无偏估计量，用S 代替 ． 选择检验统计量 n S X T /0 ， 当0H 成立时，)1(~ n t T ．给定显著性水平 ，由t 分布分位点的定义， 有 )}1(|{|2/n t T P ， 假设检验 一、单样本总体均值的假设检验 .................................................... 1 二、独立样本两总体均值差的检验 ................................................ 2 三、两匹配样本均值差的检验 ........................................................ 4 四、单一总体比率的检验 ................................................................ 5 五、两总体比率差的假设检验 .. (7) 一、单样本总体均值的假设检验 例题： 某公司生产化妆品，需要严格控制装瓶重量。标准规格为每瓶250 克，标准差为1 克，企业的质检部门每日对此进行抽样检验。某日从生产线上随机抽取16 瓶测重，以95%的保证程度进行总体均值的假设检验。 x t μ-= data6_01 样本化妆品重量 SPSS 操作： （1）打开数据文件，依次选择Analyze （分析）→Compare Means （比较均值）→One Sample T Test （单样本t 检验），将要检验的变量置入Test Variable(s)（检验变量）； （2）在Test Value （检验值）框中输入250；点击Options （选项）按钮，在 Confidence Interval（置信区间百分比）后面的框中，输入置信度（系统默认为95%，对应的显著性水平设定为5%，即0.05，若需要改变显著性水平如改为0.01，则在框中输入99 即可）； （3）点击Continue（继续）→OK（确定），即可得到如图所示的输出结果。 图中的第2~5 列分别为：计算的检验统计量t 、自由度、双尾检验p-值和样本均值与待检验总体均值的差值。使用SPSS 软件做假设检验的判断规则是：p-值小于设定的显著性水平?时，要拒绝原假设（与教材不同，教材的判断标准是p §8.2总体均值的假设检验 一、正态总体均值的检验 设n X X X ，，， 21为总体),(２σμN 的一个容量为n 的样本． 1．方差2σ已知，μ的检验——u 检验法． 当2 02σσ=已知时， 假设检验问题：0100μμμμ≠=：；：H H ． 选择检验统计量n X U /00 σμ-= ，当0H 成立时，)1,0(~N U ． 给定显著性水平α，由标准正态分布分位点的定义, 有αα=>}|{|2/u U P ， 故拒绝域}{}{}|{|2/2/2/αααu U u U u U W >-<=>= ， 这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u 检验法． 有时我们只关心总体的均值是否增大（或减小）．比如，经过工艺改革后，产品的质量（如材料的强度）比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值μ是小于等于原来的均值0μ，还是大于0μ， 即检验假设 0100μμμμ>≤：；：H H ． 可以证明，在显著性水平α下，上述假设检验问题和 检验假设0100μμμμ>=：；：H H 有相同的拒绝域， 因此，遇到形如00μμ≤：H 的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论． 类似地，形如0100μμμμ<≥：；：H H 的检验问题， 可归结为检验假设 0100μμμμ<=：；：H H ． 这都是单边检验问题．给定显著性水平α，求得的临界值点是上α分位点或上α-1分位点． 例1 某厂生产的某种钢索的断裂强度X 服从),(２σμN ，其中40=σ(kg/cm 2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值x 较以往正常生产的μ大20(kg/cm 2)，设总体方差不变，问在1.00=α下，能否认为这批钢索质量有显著提高？ 练 习 题 一、最佳选择题 1.( C )小，表示用该样本均数估计总体均数的可靠性大。 A. CV B. S C. σ X D. R E.四分位数间距 2.两样本均数比较的t 检验，差别有统计意义时，P 越小，说明( C )。 A.两样本均数差别越大 B.两总体均数差别越大 C.越有理由认为两总体均数不同 D.越有理由认为两样本均数不同 E.越有理由认为两总体均数相同 3.甲乙两人分别从随机数字表抽得30个(各取两位数字)随机数字作为两个样本，求得1X 和21S ；2X 和22S ，则理论上( E )。 A.12X X = B.2212S S = C.作两样本均数的t 检验，必然得出无差别的结论 D.作两方差齐性的F 检验，必然方差齐 E.由甲、乙两样本均数之差求出的总体均数95%可信区间，很可能包括0 4.在参数未知的正态总体中随机抽样，X μ-≥( A )的概率为5%。 A. 1.96σ B. 1.96 C. 2.58 D.0.05, t S ν E.0.05, X t S ν 5.某地1992年随机抽取100名健康女性，算得其血清总蛋白含量的平均数为74g/L ，标准差为4g/L ，则其95%的参考值范围(B )。 A.74±4?4 B.74±1.96×4 C.74±2.58?4 D.74±2.58?4÷10 E. 74±1.96?4÷10 6.关于以0为中心的t 分布，错误的是( E )。 A. t 分布是一簇曲线 B. t 分布是单峰分布 C.当ν→∝时，t →u D. t 分布以0为中心，左右对称 E.相同ν时，|t|越大，P 越大 7.在两样本均数比较的t 检验中，无效假设是( D )。 A.两样本均数不等 B.两样本均数相等 C.两总体均数不等 D.两总体均数相等 E.样本均数等于总体均数 比率P的假设检验及其应用 摘要：假设检验是统计推断的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同。 参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。本文将主要介绍总体比率的假设检验的原理和方法，以及其在各种生活实例中的应用，从而更深的了解假设检验在各种统计方法中的重要作用。 关键词：假设检验；总体比率；检验统计量；拒绝域 Hypothesis Testing and Its Application of Ratio P Abstract:Hypothesis testing is another important content to statistical inference, and it is similar to parameter estimation, but the Angle is different. Parameter estimation is use sample information to infer an unknown population parameter, and the hypothesis testing is a hypothesis is proposed first in the overall parameters, and then using the sample information to determine whether the hypothesis is established. This article mainly introduces the overall rate of the principle and method of hypothesis testing, and its application in all kinds of living examples, thus deeper understanding of the hypothesis testing plays an important part in all kinds of statistical methods. Key words:hypothesis testing；the overall rate；test statistics；rejection region 目录 一、假设检验的基本问题 （一）假设检验的概述 （二）假设检验的基本步骤 （三）检验的P值 二、总体比率的假设检验及其应用 （一）单个总体比率的假设检验 1.单个总体比率的精确检验及其应用 2.单个总体比率的大样本检验及其应用 （二）两个总体比率的假设检验 1.两个总体比率之差的精确检验及其应用 2.两个总体比率之差的大样本检验及其应用 第四章 总体均数的估计和假设检验 一、教学大纲要求 （一） 掌握内容 1． 抽样误差、可信区间的概念及计算； 2． 总体均数估计的方法； 3． 两组资料均数比较的方法，理解并记忆应用这些方法的前提条件； 4． 假设检验的基本原理、有关概念（如I 、II 类错误）及注意事项。 （二） 熟悉内容 两样本方差齐性检验。 （三） 了解内容 1． t 分布的图形与特征； 2． 总体方差不等时的两样本均数的比较； 3． 等效检验。 二、教学内容精要 （一） 基本概念 1． 抽样误差 抽样研究中，样本统计量与总体参数间的差别称为抽样误差（sampling error ）。统计上用标准误（standard error ，SE ）来衡量抽样误差的大小。不同的统计量，标准误的表示方法不同，如均数的标准误用X S 表示，率的标准误用S P 表示，回归系数的标准误用S b 表示等等。均数的标准误与标准差的区别见表4-1。 表4-1 均数的标准误与标准差的区别 意义 反映的抽样误差大小 反映一组数据的离散情况 记法 X σ（样本估计值X S ） σ（样本估计值S ） 计算 X σ= n σ X S = n S σ = n X 2 ) (∑-μ S= 1 )(2 --∑ n X X 控制方法 增大样本含量可减小标准误。 个体差异或自然变异，不能通过统计方法来控制。 2．可信区间 （1）定义、涵义：即按预先给定的概率确定的包含未知总体参数的可能范围。该范围称为总体参数的可信区间（confidence interval ，CI ）。它的确切含义是：CI 是随机的，总体参数是固定的，所以，CI 包含总体参数的可能性是1-α。不能理解为CI 是固定随机的，总体参数是随机固定的，总体参数落在CI 范围内可能性为1-α。当0.05α=时，称为95%可信区间，记作95%CI 。当0.01α=时，称为99%可信区间，记作99%CI 。 （2）可信区间估计的优劣：一定要同时从可信度（即1-α的大小）与区间的宽度两方面来衡量。 (二) t 分布与正态分布 t 分布与标准正态分布相比有以下特点：①都是单峰、对称分布；②t 分布峰值较低，而尾部较高；③随自由 第七章样本率（或构成比）比较的假设检验 第一节样本率与总体率比较的u检验 样本率与总体率（一般为已知的理论值、标准值或经大量观察所得到的稳定值等）比较的目的，是推断该样本所代表的未知总体率π与已知总体率π0是否不同。 u检验的适用条件：当样本含量n足够大，且样本率p和（1－p）均不太小，如np与n（1－p）均大于5时，样本率的分布近似正态分布，此时样本率与总体率差别的假设检验可利用正态分布的原理作u检验。 第二节两个样本率比较的u检验 当两样本含量n1及n2足够大，且两个样本率p1、（1－p1）及p2、（1－p2）均不太小，如n1 p1和n1(1- p1)及n2 p2和n2(1- p2)均大于5时，可根据正态分布原理，进行u检验。 第三节四格表资料的χ2检验(两个样本率比较) 一、两个样本率资料的四格表形式 1、χ2检验的基本思想 χ2值反映了实际频数和理论频数的吻合程度。χ2值越小，说明实际频数与理论频数越吻合，χ2值越大，说明实际频数与理论频数差异越大。如果检验假设成立，则实际频数与理论频数之差一般不会很大，即出现大的χ2值的概率是小的。若在无效假设下，出现了大的χ2值的概率P≤α（检验水准），我们就怀疑假设的成立，因此拒绝它。另外χ2值的大小，还与自由度有关。故考虑χ2值大小的意义时要同时考虑自由度。 若χ2≥χ2α,,(υ), 则P≤α, 拒绝H0，接受H1。 2、四格表χ2检验的的校正公式 （1）当自由度为1的四格表资料，理论数较小时，需做连续性校正。 （2）四格表χ2检验的适用条件 当n>40，且所有T≥5时，用χ2检验的基本公式或四格表专用公式。 当n>40，但有1 比率p的假设检验 比率P的假设检验及其应用 比率P的假设检验及其应用 摘要：假设检验是统计推断的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同。参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。本文将主要介绍总体比率的假设检验的原理和方法，以及其在各种生活实例中的应用，从而更深的了解假设检验在各种统计方法中的重要作用。 关键词：假设检验；总体比率；检验统计量；拒绝域 Hypothesis Testing and Its Application of Ratio P Abstract:Hypothesis testing is another important content to statistical inference, and it is similar to parameter estimation, but the Angle is different. Parameter estimation is use sample information to infer an unknown population parameter, and the hypothesis testing is a hypothesis is proposed first in the overall parameters, and then using the sample information to determine whether the hypothesis is established. This article mainly introduces the overall rate of the principle and method of hypothesis testing, and its application in all kinds of living examples, thus deeper understanding of the hypothesis testing plays an important part in all kinds of statistical methods. Key words:hypothesis testing；the overall rate；test statistics；rejection region （一）单项选择题 1．标准误的英文缩写为： A．S B．SE C． S D．SD X 2．通常可采用以下那种方法来减小抽样误差： A．减小样本标准差B．减小样本含量 C．扩大样本含量D．以上都不对 3．配对设计的目的： A．提高测量精度B．操作方便 C．为了可以使用t检验D．提高组间可比性 4．以下关于参数估计的说法不正确的是： A．区间估计优于点估计 B．样本含量越大，参数估计准确的可能性越大 C．样本含量越大，参数估计越精确 D．对于一个参数只能有一个估计值 5．关于假设检验，下列那一项说法是正确的 A．单侧检验优于双侧检验 B．采用配对t检验还是成组t检验是由实验设计方法决定的 C．检验结果若P值大于0.05，则接受H0犯错误的可能性很小 D．用u检验进行两样本总体均数比较时，要求方差齐性 6.两样本比较时，分别取以下检验水准，下列何者所取第二类错误最小 A．α=0.05 B．α=0.01 C．α=0.10 D．α=0.20 7.统计推断的内容是 A．用样本指标推断总体指标B．检验统计上的“假设” C．A、B均不是D．A、B均是 8．当两总体方差不齐时，以下哪种方法不适用于两样本总体均数比较 A．t检验B．t’检验 C．u 检验（假设是大样本时）D．F检验 9．甲、乙两人分别从随机数字表抽得30个（各取两位数字）随机数字作为两个样本，求得 X，21S，2X，22S，则理论上 1 A．1X=2X，21S=22S B．作两样本t检验，必然得出无差别的结论 C．作两方差齐性的F检验，必然方差齐 D．分别由甲、乙两样本求出的总体均数的95%可信区间，很可能有重叠（二）名词解释 1．统计推断 2．抽样误差 3．标准误及 σ X 4．可信区间 5．参数估计 6．假设检验中P的含义 比率P的假设检验及其应用 比率P的假设检验及其应用 摘要：假设检验是统计推断的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同。参 数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。本文将主要介绍总体比率的假设检验的原理和方法，以及其在各种生活实例中的应用，从而更深的了解假设检验在各种统计方法中的重要作用。 关键词：假设检验；总体比率；检验统计量；拒绝域 Hypothesis Testing and Its Application of Ratio P Abstract:Hypothesis testing is another important content to statistical inference, and it is similar to parameter estimation, but the Angle is different. Parameter estimation is use sample information to infer an unknown population parameter, and the hypothesis testing is a hypothesis is proposed first in the overall parameters, and then using the sample information to determine whether the hypothesis is established. This article mainly introduces the overall rate of the principle and method of hypothesis testing, and its application in all kinds of living examples, thus deeper understanding of the hypothesis testing plays an important part in all kinds of statistical methods. Key words:hypothesis testing；the overall rate；test statistics；rejection region一般总体均值的假设检验.
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