2019年一轮北师大版(理)数学教案：第2章第5节 指数与指数函数Word版含解析(1)

2019年一轮北师大版（理）数学教案：第2章第5节指数与指数函数Word版含解析(1)

[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.3.知道指数函数是一类重要的函数模型．

1．有理指数幂

(1)分数指数幂

①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

2．指数函数的图像与性质

打“×”)

(1)(－1)＝(－1)＝.( )

(2)函数y＝2x－1是指数函数．( )

(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.( )

(4)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．( )

[答案] (1)×(2)×(3)×(4)×

2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( )

A．－9 B．7

C．－10 D．9

B [原式＝(26)－1＝8－1＝7.]

3．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图像可能是( )

A B C D

C [法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.

法二：当a＞1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，D都不合适；

当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D.]

4．(教材改编)已知0.2m＜0.2n，则m________n(填“＞”或“＜”).

【导学号：57962052】＞[设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，

由已知f(m)＜f(n)，∴m＞n.]

5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________.

【导学号：57962053】(1,2) [由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]

[解] (1) ＝1＋×－＝1＋－＝. 6分

(2) 12分

[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：

(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；

(2)运算的先后顺序．

2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

[变式训练1] 化简求值：

的图像是( )

(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b

的取值范围．

(1)A [(1)因为当x≤0时，2x≤1；

当x＞0时，2x＞1.

则f(x)＝＝故选A.]

(2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，8分则b的取值范围是(0,1). 12分

[规律方法] 指数函数图像的画法(判断)及应用

(1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.

(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．

(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.

[变式训练2] (1)函数f(x)＝ax－b的图像如图2-5-1，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )

图2-5-1

A．a＞1，b＜0

B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0

(2)方程 2x＝2－x的解的个数是________．

(1)D (2)1 [(1)由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图像是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.

(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．

由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]

(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )

【导学号：57962054】A．b＜a＜c B．a＜b＜c

C．b＜c＜a D．c＜a＜b

(2)(2016·浙江高考)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.()

A．若f(a)≤|b|，则a≤b

B．若f(a)≤2b，则a≤b

C．若f(a)≥|b|，则a≥b

D．若f(a)≥2b，则a≥b

(1)A (2)B [(1)a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5.

∵y＝x在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.

(2)∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，则|a|≤|b|，A 项错误．若f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.若f(a)≤2b，则2b≥2a，故b≥a，B 项正确．若f(a)≥2b且f(a)≥2a，无法推出a≥b，故D项错误．故选B.]

?角度2 解简单的指数方程或不等式

(2015·江苏高考)不等式2x2－x＜4的解集为______．

{x|－1＜x＜2} [∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，

∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.]

?角度3 探究指数型函数的性质

已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝，

令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，

则g(x)在区间(－∞，－2)上递增，2分

在区间[－2，＋∞)上递减，又函数y＝x在R上是减函数，

因此f(x)的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).

4分

(2)由f(x)有最大值3知，ax2－4x＋3有最小值－1，则有解得a＝1. 8分

(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.

12分[规律方法] 1.比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．

2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．

3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．

易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．

[思想与方法]

1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．

2．判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．

[易错与防范]

1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论．

2．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．

3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．