层次分析法的详细步骤
层次分析方法
问题1
某工厂在扩大企业自主权后，厂领导正在考虑如何合理地使用企业留成的利润。在决策时需要考虑的因素主要有
(1) 调动职工劳动生产积极性；
(2) 提高职工文化水平；
(3) 改善职工物质文化生活状况。请你对这些因素的重要性进行排序，以供厂领导作参考。
分析和试探求解
这个问题涉及到多个因素的综合比较。由于不存在定量的指标，单凭个人的主观判断虽然可以比较两个因素的相对优劣，但往往很难给出一个比较客观的多因素优劣次序。为了解决这个问题，我们能不能把复杂的多因素综合比较问题转化为简单的两因素相对比较问题呢运筹学家想出了一个好办法：首先找出所有两两比较的结果，并且把它们定量化；然后再运用适当的数学方法从所有两两相对比较的结果之中求出多因素综合比较的结果。具体操作过程如下：
1) 进行两两相对比较，并把比较的结果定量化。
首先我们把各个因素标记为B :调动职工劳动生产积极性；B2:提高职工文化水平；B3:改善职工物质文化生活状况。根据心理学的研究，在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5 种明显的等级:相同、稍强、强、
明显强、绝对强。因此我们可以按照下表用1?9尺度来定量化
假定各因素重要性之间的相对关系为：B2比B的影响强，B3比B1的影响稍强，B2比B3的影响稍强，贝卩两两相对比较的定量结果如下：为了便于数学处理，我们通常把上面的结果写成如下矩阵形式，称为成对比较矩阵。
B1B2B3
B111/51/3
B2513
B331/31
(1)
2）综合排序
为了进行合理的综合排序，我们把各因素的重要性与物体的重量进行类
比。设有n件物体：A, A,…,A，它们的重量分别为：w, W2,…,w n
若将它们两两相互比较重量，其比值(相对重量)可构成一个n x n 成对比较 矩阵
经过仔细观察，我们发现成对比较矩阵的各行之和恰好与重量向量
W = (w 1,
W …,w n )T 成正比，即
w 1 a 1,j
w 2
n
a 2, j
M j 1 M
(3)
根据类比性，我们猜想因素的重要性向量与成对比较矩阵 (1) 之间也有
同样的关系存在。由此，我们可以得到因素的重要性向量为
w 1
1 1/ 5 1/ 3 23/15 W w 2
5 1 3 9 w 3
3
1/3
1
13/ 3
(4)
为了使用方便，我们可以适当地选择比例因子，使得各因素重要性的数值之 和为 1 ( 这个过程称为归一化，归一化后因素重要性的数值称为权重，重要 性向量称为权重向量 ) ，这样就得到一个权重向量
0.103 0.606 0.291
(5)
a 1,1 a 1,2
L a 1,n
w 1 /w 1 w 1 / w 2 L w 1 / w n a 2,1
A 2,1
L
a 2,2 L
a 2,n
w 2 /w 1 w 2 /w 2 L w 2 /w n L
L L L L L L a n,1
a n,2
L a
n,n
w n /w 1
w n / w 2 L w n / w n
(2)
w 3
上式中元素的权重大小给出了各因素重要性的综合排序。
对⑵式的进「步分析还可以发现
a1,1a1,2
L a1,n则W1
a? 1a
2,2L a
2,n
w2W2 …
AW n nW
L L L L L L
a n, 1a n,2
L a n ,n W n W n
这说明W还是成对比较矩阵A的特征向量，对应的特征值为n理论上已严
格地证明了n是A的唯一最大特征值。按类比法，我们也可以用求解特征方
程的办法来得到重要性向量。与（1）式对应的特征方程为
11/51/3w1W1
513w2n w2
31/31W3W3
(8)
一致性检验
既然存在误差，我们就需要知道误差的程度到底有多大会不会影响综合排序的结果理论上已经证明：对于具有一致性的成对比较矩阵，最大特征值为n；反之如果一个成对比较矩阵的最大特征值为n则一定具有一致性。
估计误差的存在破坏了一致性，必然导致特征向量及特征值也有偏差。我们用n'表示带有偏差的最大特征值，则n'与n之差的大小反映了不一致的程度。考虑到因素个数的影响，Saaty将
由此可以解出其最大特征值为n二，对应的特征向量为:
n' n
CI
(9)
定义为一致性指标。当CI = 0时，成对比较矩阵A矩阵完全一致，否则就存在不一致；CI越大，不一致程度越大。为了确定不一致程度的允许范围，Saaty又定义了一个一致性比率CR当
CR CI / RI 0.1
(10)
时，认为其不一致性可以被接受，不会影响排序的定性结果。(10)式中R I
值如下表所示
应用上面的结果，我们可以算出成对比较矩阵(1)有
CI = ，CR = (11)
因此其不一致性可以被接受。
问题2
某工厂在扩大企业自主权后，厂领导正在考虑如何合理地使用企业留成的利润。可
供选择的方案有：I、发奖金；II、扩建食堂、托儿所；III、开办职工技校；IV、建图书
馆；V、引进新技术。在决策时需要考虑到调动职工劳动生产积极性，提高职工文化水
平和改善职工物质文化生活状况等三个方面。请你对这些方案的优劣性进排序，以便厂
领导作决策。
解答
划分层次
显然这是一个多目标的决策，问题涉及到许多因素，各种因素的作用相互交叉，情况比较复杂。要处理这类复杂的决策问题，首先需要对问题所涉及的因素进行分析：哪些是要相互比较的；哪些是相互影响的。把那些要相互比较的因素归成同一类，构造出一个各因素类之间相互联结的层次结构模型。各因素类的层次级别由其与目标的关系而定。在上述问题中，因素可以分为三类：
第一是目标类，即合理地使用今年企业留利XX万元；
第二是准则类，这是衡量目标能否实现的标准，如调动职工劳动积极性、提高企业的生产技术水平等等；
第三是措施类，指实现目标的方案、方法、手段等等。按目标到措施自上而下地将各类因素之间的直接影响关系分不同层次排列出来，可以构成一个直观的层次结构图。如下图所示：每一层中的各因素对上一层因素的相对重要性可以用问题1 中的方法确定，由层次关系可以计算出措施层各方案最高层的相对权重，从而给出各方案的优劣次序。
层次单排序
不同准则对目标的影响已经在问题1 中得到了解决，现假定不同措施对
各准则的影响如下：
1．不同措施对调动职工劳动生产积极性影响的成对比较矩阵
(12)
其权重向量为： W 1 (0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)T
2．不同措施对提高职工文化水平影响的成对比较矩阵
B 2
C 2
C 3
C 4
C 5
C 2
1 1/7 1/3 1/5
C 3 7
1
5
3
C 4
3 1/5
1 1/3 C 5
5 1/3
3 1
(13)
其中措施 I (发奖金)对提高职工文化水平没有什么影响，在成对比较矩阵 中不出现，重要性按零计算。其权重向量为：W,
( 0 , 0.055,0.564,0.118,0.263)T
3．不同措施对改善职工物质文化生活状况影响的成对比较矩阵
B 3
C 1 C 2 C 3 C C 1 1 1 3 3 C 2
1
1 3 3
C 3 1/3 1/3 1 1
C
4
1/3 1/3 1 1
(14)
W 3 (0.406,0.406,0.094,0.094, 0 )T
总排序
上述过程中求出的是同一层次中相应元素对于上一层次中的某个因素
B 1
C 1 C 2 C 1
1 3 C 2
1/3 1
C 3
1/5 1/3 C 4 1/4 1/2 C 5 1/7 1/5
C 3 C 4 C 5
5 4 7 3
2 5 1
1/2 2 2
1 3
1/2 1/3 1
其权重向量为：
相对重要性的排序权值，这称为层次单排序。若模型由多层次构成，计算同一层次所有因素对于总目标相对重要性的排序称为总排序。这一过程是由最
高层到最低层逐层进行的。设上一层次A包含m个因素A, A,…,A m,其总排序的权重值分别为a i, a2,…,a m；下一层次B包含k个因素B, B2,…, B,,它们对于A的层次单排序的权重值分别为b ij , b2「…,b k,j (当B与A无联系时，b j = 0 );此时B层i元素在总排序中的权重值可以由上一层次总排序的权重值与本层次的层次单排序的权重值复合而成，结果为：
m
w i b i a：i 1 2 k
i i ,j j
j 1
(15)
由此，各个方案相对于目标层的总排序可以用下表计算
写成矩阵形式为
0.4910.0000.4060.157
0.2320.0550.4060.1050.146
0.0920.5640.0940.6370.393
0.1380.1180.0940.2580.113
0.0460.2630.0000.172
(16)
上式给出了5 种措施对实现目标的权重向量，根据这个权重向量，我们可以看出措施(方案) III 对实现目标的作用最大，因此是最佳方案。
结束语
上面给出的是一个典型的例子，由此不难看出层次分析方法在解决复杂问题中的作用。听课是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习。希望同学们能够仿照上面的典型例子，应用层次分析方法来解决一两个身边的实际问题。