新单元《函数与导数》专题解析
一、选择题
1.若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线,则a 的取值范围为( )
A .3,
2??-∞ ???
B .1,
2??-∞ ???
C .5,
4??-∞ ???
D .1,
4??-∞ ???
【答案】C 【解析】 【分析】
对函数进行求导,将问题转化为不等式有解问题,再构造函数利用导数研究函数的最值,即可得答案; 【详解】
由题意可得3
2
431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解,
设()3243f x x x a =-+(0x >),()()2
126621f x x x x x '=-=-,
令()0f x '<,得102x <<
;令()0f x '>,得12
x >, ∴()f x 在1
(0,)2单调递减,在1(,)2+∞单调递增,
∴()min 11124f x f a ??
==-< ???
,解得:54a <.
故选:C. 【点睛】
本题考查导数的几何意义、不等式有解问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
2.已知函数()f x 是偶函数,当0x >时,()ln 1f x x x =+,则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A .y x =- B .2y x =-+
C .y x =
D .2y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据函数的奇偶性,求得当0x <时,()f x 的解析式,然后求得切点坐标,利用导数求得斜率,从而求得切线方程. 【详解】
因为0x <,()()ln()1f x f x x x =-=--+,()11f -=,()ln()1f x x '=---,
(1)1f '-=-,所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+,即y x =-.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式,考查利用导数求切线方程,属于基础题.
3.已知全集U =R ,函数()ln 1y x =-的定义域为M ,集合{}
2
|0?N x x x =-<,则下
列结论正确的是 A .M N N =I B .()U M N =?I e C .M N U =U D .()
U M N ?e
【答案】A 【解析】 【分析】
求函数定义域得集合M ,N 后,再判断. 【详解】
由题意{|1}M x x =<,{|01}N x x =<<,∴M N N =I . 故选A . 【点睛】
本题考查集合的运算,解题关键是确定集合中的元素.确定集合的元素时要注意代表元形式,集合是函数的定义域,还是函数的值域,是不等式的解集还是曲线上的点集,都由代表元决定.
4.函数2
2()41
x x x f x ?=-的图像大致为( )
A .
B .
C .
D .
【答案】A 【解析】
∵函数()2
2?41
x x x f x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U
∴22
2()2()()4114
x x x x
x x f x f x --?-?-===--- ∴函数()f x 为奇函数,故排除B ,C. ∵2
(1)03
f =>,故排除D. 故选A.
点睛:函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.
5.函数f (x )=x ﹣g (x )的图象在点x =2处的切线方程是y =﹣x ﹣1,则g (2)+g '(2)=( ) A .7 B .4
C .0
D .﹣4
【答案】A 【解析】
()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ,因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处
的切线方程是1y x =--,所以()()23,'21f f =-=-,
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=,故选A .
6.若函数()sin 2x x f x e e x -=-+,则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为( ) A .1(1,)2
- B .1(,1)(,)2
-∞-+∞U C .1(,1)2-
D .1(,)(1,)2
-∞-?+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数,且为增函数,再把()
()2
210f x f x -+>化为
221x x ->-,求出解集即可.
【详解】
解:函数()sin2x
x
f x e e
x -=-+,定义域为R ,
且满足()()sin 2x
x f x e
e x --=-+- ()()sin2x x e e x
f x -=--+=-,
∴()f x 为R 上的奇函数;
又()'2cos222cos20x
x
f x e e
x x x -=++≥+≥恒成立,
∴()f x 为R 上的单调增函数;
又()
()2210f x f x -+>,
得()()()2
21f x
f x f x ->-=-,
∴221x x ->-, 即2210x x +->, 解得1x <-或12
x >
, 所以x 的取值范围是()1,1,2??-∞-?+∞ ???
. 故选B . 【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题,考查了基本不等式,是中档题.
7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =,且()f x 的导函数'()f x 满足'()1f x >,
则不等式()()ln ln f x ex <的解集为( ) A .()0,1 B .()1,e
C .()0,e
D .(),e +∞
【答案】A 【解析】 【分析】
设()()g x f x x =-,由题得()g x 在R 上递增,求不等式()()ln ln f x ex <的解集,即求不等式(ln )(0)g x g <的解集,由此即可得到本题答案. 【详解】
设()()g x f x x =-,则(0)(0)01g f =-=,()()1g x f x '='-, 因为()1f x '>,所以()0g x '>,则()g x 在R 上递增,
又(ln )ln()1ln f x ex x <=+,所以(ln )ln 1f x x -<,即(ln )(0)g x g <, 所以ln 0x <,得01x <<. 故选:A 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性,以及利用函数的单调性解不等式,其中涉及到构造函数.
8.设复数z a bi =+(i 为虚数单位,,a b ∈R ),若,a b 满足关系式2a b t =-,且z 在复平面上的轨迹经过三个象限,则t 的取值范围是( )
A .[0,1]
B .[1,1]-
C .(0,1)(1,)?+∞
D .(1,)-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x
y t =-,再根据指数函数的图象,得到关于
t 的不等式,求解.
【详解】
由复数的几何意义可知,设复数对应的复平面内的点为(),x y ,
2a
x a
y b t
=??==-? ,即2x y t =- , 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限, 则当0x =时,11t -< 且10t -≠ , 解得0t >且1t ≠ ,
即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选:C 【点睛】
本题考查复数的几何意义,以及轨迹方程,函数图象,重点考查数形结合分析问题的能力,属于基础题型.
9.已知函数()210
0ax x f x lnx x ?+≤=??
,,>,,下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判
断,正确的是( )
A .当a =0,m ∈R 时,有且只有1个
B .当a >0,m ≤﹣1时,都有3个
C .当a <0,m <﹣1时,都有4个
D .当a <0,﹣1<m <0时,都有4个 【答案】B 【解析】 【分析】
分别画出0a =,0a >,0a <时,()y f x =的图象,结合()t f x =,()0f t m +=的解的情况,数形结合可得所求零点个数. 【详解】
令()t f x =,则()0f t m +=,
当0a =时, 若1m =-,则0t ≤或t e =,即01x <≤或e x e =, 即当0a =,m R ∈时,不是有且只有1个零点,故A 错误;
当0a >时,1m ≤-时,可得0t ≤或m t e e -=≥,可得x 的个数为123+=个,即B 正
确;
当0a <,1m <-或10m -<<时,由0m ->,且1m -≠,可得零点的个数为1个或3个,故C ,D 错误. 故选:B .
【点睛】
本题考查了函数零点的相关问题,考查了数形结合思想,属于中档题.
10.若关于x 的不等式220x ax -+>在区间[1,5]上有解,则a 的取值范围是( ) A .(22,)+∞ B .(,2)-∞
C .(,3)-∞
D .27(,
)5
-∞ 【答案】D 【解析】 【分析】
把220x ax -+>在区间[]1,5上有解,转化为存在一个[]
1,5x ∈使得
22
x 2ax x a x
+>?+
>,解出()f x 的最大值. 【详解】
220x ax -+>在区间[]1,5上有解,转化为存在一个[]1,5x ∈使得
22x 2ax x a x +>?+>,设()2
f x x x
=+,即是()f x 的最大值a >,()f x 的最大值27
5=
,当5x =时取得,故选D 【点睛】
11.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式
(2)5f x +<的解集为( )
A .(3,7)-
B .()4,5-
C .(7,3)-
D .()2,6-
【答案】C
【解析】 【分析】
首先求出当0x ≥时不等式的解集,在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集,从而求出()5f x <的解集,则525x -<+<,即可得解. 【详解】
当0x ≥时,2
()45f x x x =-<的解为05x <≤;
当0x <时,根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<, 所以不等式()5f x <的解集为{}
55x x -<<,
所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}
52573x x x x -<+<=-<<. 故选:C 【点睛】
本题考查偶函数的性质,涉及一元二次不等式,属于基础题.
12.函数()3ln x
f x x
=
的部分图象是( ) A . B .
C .
D .
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇偶性排除B ,当1x >时,()3ln 0x
f x x
=>,排除CD ,得到答案. 【详解】
()()()33ln ln ,x x
f x f x f x x x
=
-==--, ()f x 为奇函数,排除B
当1x >时,()3ln 0x
f x x
=>恒成立,排除CD 故答案选A 【点睛】
本题考查了函数图像的判断,通过奇偶性,特殊值法排除选项是解题的关键.
13.()f x 是定义在R 上的奇函数,对任意x ∈R 总有3()()2f x f x +=-,则9()2
f -的值为( ) A .0 B .3
C .
32
D .92
-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先确定函数的周期,然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解92f ??- ???
的值即可. 【详解】
函数()f x 是定义在R 上的奇函数,对任意x R ∈总有()32f x f x ??
+=- ???
,则函数的周期3T =,
据此可知:()993360002222f f f f f ???????
?-=-+==+=-= ? ? ? ????????
?. 本题选择A 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的周期性,函数的奇偶性,奇函数的性质等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14.若函数()()sin x
f x e x a =+在区间,22
ππ
??
- ??
?
上单调递增,则实数a 的取值范围是
()
A .)
+∞ B .[
)1,+∞ C .()1,+∞
D .()
+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
将问题转化为()0f x '≥在,22ππ??
- ???
上恒成立;根据导函数解析式可知问题可进一步转化
04x a π??
+
+≥ ??
?
在,22ππ??
-
???上恒成立;利用正弦型函数值域求法可求得
(
14x a a a π?
??++∈-+ ????
,则只需10a -+?即可,解不等式求得结果. 【详解】
由题意得:()(
)sin cos 4x x x f x e x a e x e x a π???'=++=++ ????? ()f x Q 在,22ππ??- ??
?
上单调递增 ()0f x '∴≥在,22
ππ
??
- ??
?
上恒成立
又0x e >
04x a π?
?
+
+≥ ??
?
在,22ππ??
-
???上恒成立 当,22x ππ??∈- ???时,3,444x πππ??+∈- ???
sin ,142x π???
?∴+∈- ? ? ????
(
14x a a a π?
??++∈-+ ???
? 10a ∴-+≥,解得:[)1,a ∈+∞ 本题正确选项:B 【点睛】
本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题,涉及到正弦型函数值域的求解问题;本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题,从而利用三角函数的最值来求得结果.
15.[]0x a,b ?∈使得()f x m ≥成立,等价于[]
()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥
16.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=.当[]0,1x ∈,
()21f x x =-,则( )
A .()1235log 2log 32f f f ????
>> ? ?????
B .()1235log 2log 32f f f ????
>> ? ?????
C .()1235log 2log 32f f f ????
>> ? ?????
D .()2135log 3log 22f f f ????
>> ? ?????
【答案】A 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =的周期为4,根据题意计算出51022f f ????
=-<
? ?????
,()22
4log 3log 03f f ?
?
=-< ??
?,()133log 2log 20f f ??=> ???
,再利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可得出结论.
【详解】
因为定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()20f x f x +-=,即
()()20f x f x +-=,
即()()2f x f x =--,()()()24f x f x f x ∴=--=-, 所以,函数()y f x =的周期为4,
因为当[]0,1x ∈时,()2
1f x x =-单调递减,
因为5110222f f f ????
??
=--=-< ? ? ???????,()224log 3log 03f f ??
=-< ???
, ()()1333log 2log 2log 20f f f ??
=-=> ???
, 因为2
41
0log 132<<<,所以241log 32f f ????-<- ? ?????
,
所以,12314log 2log 23f f f
????
??>->- ? ? ???????
,即()1235log 2log 32f f f ????>> ? ?????
,
故选:A . 【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键,属于中等题.
17.对于任意性和存在性问题的处理,遵循以下规则:
18.函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数,则a 的取值范围是( ) A .5
,3??+∞ ???
B .1,15?? ???
C .51,3?? ???
D .51,3
?? ???
【答案】D 【解析】 【分析】
根据0a >可知5y ax =-在定义域内单调递减,若使得函数
()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数,则需1
530
a a >??-≥?,解不等式即可.
【详解】 0a >Q
5y ax ∴=-在定义域内单调递减
若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数
则需1530
a a >??-≥?,解得513a <≤
故选:D 【点睛】
本题考查对数函数的单调性,属于中档题.
19.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到,任画一条线段,然后把它均分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线,称为“一次构造”;用同样的方法把每条小线段重复上述步骤,得到16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”,…,如此进行“n 次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍,则至少需要通过构造的次数是( ).(取
lg30.4771≈,lg 20.3010≈)
A .16
B .17
C .24
D .25
【答案】D 【解析】 【分析】
由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n
a ?? ???,由此得到410003n
??≥ ???
,利
用运算法则可知3
2lg 2lg 3
n ≥?-,由此计算得到结果.
【详解】
记初始线段长度为a ,则“一次构造”后的折线长度为
4
3
a ,“二次构造”后的折线长度为2
43a ?? ???,以此类推,“n 次构造”后的折线长度为43n
a ?? ???
, 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍,则410003n a a ??≥ ???,即410003n
??≥ ???,
()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n
n n n ??
∴==-=-≥= ???,
即3
24.0220.30100.4771n ≥
≈?-,∴至少需要25次构造.
故选:D . 【点睛】
本题考查数列新定义运算的问题,涉及到对数运算法则的应用,关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
20.
设1
1
30
,,a b xdx c x dx =
==??,则,,a b c 的大小关系为( )
A .b c a >>
B .b a c >>
C .a c b >>
D .a b c >>
【答案】D 【解析】
根据微积分定理,312
00
22|33a x ??=
== ???,1
210
11|22b xdx x ??=== ????,1
3410
011|44c x dx x ??
=== ????,所以a b c >>,故选择D 。
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+,则z =( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 2. 已知实数a ≠0,函数2,1()2,1x a x f x x a x +=?--≥? ,若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为( ) A. 23 B. 23- C. 34 D.34- 3. 曲线y =sin x sin x +cos x -12 在点M ????π4,0处的切线的斜率为 ( ) A .-12 B. 12 C .-22 D. 22 4.若,a b 为实数,则“01ab <<”是“1b a <”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要条件 5. 一个空间几何体的三视图如右上图所示,则该几何体的表面积为( ) A .48 B .32+817 C .48+817 D .80 6. 设F 1,F 2分别为椭圆x 23 +y 2=1的左,右焦点,点A ,B 在椭圆上.若 F 1A →=5F 2B →,则点A 的坐标是( ) A. (0,1)± B. (0,1) C. (0,1)- D. (1,0)± 7. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出 下列三个函数:1()3x f x =,2()43x f x =?,385()log 53log 2x f x =??,则( ) A . 123(),(),()f x f x f x 为“同形”函数 B . 12(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与3()f x 不为“同形”函数 C . 13(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与2()f x 不为“同形”函数 D . 23(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与1()f x 不为“同形”函数 8. 函数b x A x f +?+ω=)sin()(的图象如图,则)(x f 的解析式和 ++=)1()0(f f S )2006()2(f f +?+的值分别为( ) A .12sin 2 1)(+π=x x f , 2006=S B .12sin 21)(+π=x x f , 2 12007=S C .12sin 21)(+π=x x f , 2 12006=S D .12 sin 21)(+π=x x f , 2007=S 9. 在区间[—1,1]上任取两数a 、b ,则二次方程02=++b ax x 的两根都是正数的概率是 ( ) A. 128 B.148 C.132 D.18
1.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为 棱1DD ,AB 上的点. 已知下列判断: ①1 AC ^平面1B EF ;②1B EF D 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形;③在平面 1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线;④平 面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角(锐角)的大小与点E 的位置有关,与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个(B ) 2.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点,且B 1F//面A 1BE ,则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C A. {}2 B. 255?? ? ??? C. {|222}t t ≤≤ D. 2 {|52}5 t t ≤≤ 3. 如图,四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直,2==OB OA ,3=OC ,D 为四 面体OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等 ④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D (A )①② (B )②③ (C )③ (D )③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中,P 为正方形 1111A B C D 四边上的动点,O 为底面正方形ABCD 的中心, ,M N 分别为,AB BC 中点,点Q 为平面ABCD 内一点,线段1D Q 与OP 互相平分,则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r 的实数λ的值 有 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做 A B C D E 1A 1 D 1 B 1 C O A B D C A 1 D 1 A 1 C 1 B D C B O P N M Q
高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解: (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1,a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1, y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2), 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0, 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2
高考数学选择题专项训练(二) 1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是( )。 (A )x =-2π (B )x =-4π (C )x =8 π (D )x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线,过l 作平面α与m 垂直,则直线n 与平面α的关系是( )。 (A )n //α (B )n //α或n ?α (C )n ?α或n 不平行于α (D )n ?α 3、已知a 、b 、c 成等比数列,a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列,且xy ≠0,那么y c x a +的值为( )。 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 4、如果在区间[1, 3]上,函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x + 21x 在同一点取得相同的最小值,那么下列说法不对.. 的是( )。 (A )f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) (B )f (x )≤4 (x ∈[1, 2]) (C )f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 (D )f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数 5、在(2+43)100展开式中,有理数的项共有( )。 (A )4项 (B )6项 (C )25项 (D )26项 6、等比数列{a n }的公比q <0,前n 项和为S n , T n =n n a S ,则有( )。 (A )T 1
7、设集合A =ο/,集合B ={0},则下列关系中正确的是( ) (A )A =B (B )A ?B (C )A ?B (D )A ?B 8、已知直线l 过点M (-1,0),并且斜率为1,则直线l 的方程是( ) (A ) x +y +1=0 (B )x -y +1=0 (C )x +y -1=0 (D )x ―y ―1=0 9、已知集合A ={整数},B ={非负整数},f 是从集合A 到集合B 的映射,且f :x → y =x 2(x ∈A ,y ∈B ),那么在f 的作用下象是4的原象是( ) (A )16 (B )±16 (C )2 (D )±2 10、已知函数y =1 -x x ,那么( ) (A )当x ∈(-∞,1)或x ∈(1,+∞)时,函数单调递减 (B )当x ∈(-∞,1)∪(1,+∞)时,函数单调递增 (C )当x ∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)时,函数单调递减 (D )当x ∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)时,函数单调递增 11、在(2-x )8的展开式中,第七项是( ) (A )112x 3 (B )-112x 3 (C )16x 3x (D )-16x 3x 12、设A ={x | x 2+px +q =0},B ={x | x 2+(p -1)x +2q =0}, 若A ∩B ={1},则( )。 (A ) A ?B (B )A ?B (C )A ∪B ={1, 1, 2} (D )A ∪B =(1,-2)