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特殊四边形中常添加的辅助线

特殊四边形---作辅助线

添加辅助线解特殊四边形

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和

四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.

知识点一:平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有

某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的

平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三

角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:

(1)连对角线或平移对角线:

(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形

(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造

线段平行或中位线

(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等

积三角形。

(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.

第一类:连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1 、 如图1,在平行四边形ABCD 中,点F E ,在对角线AC 上,且CF AE =,

请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明

它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)

⑴连结BF ⑵DE BF =

⑶证明:连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O

∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==,

∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE =

∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =

特殊四边形中常添加的辅助线

特殊四边形中常添加的辅助线

图2图1

E C

A

A

B 第二类:平移对角线,把平行四边形转化为梯形。

例2、如图2,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,如果

12=AC ,10=BD ,m AB =,那么m 的取值范围是( )

A 111<

B 222<

C 1210<

D 65<

解:将线段DB 沿DC 方向平移,使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE

为平行四边形,∵在ACE ?中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==

∴101221012+<<-m ,即2222<

第三类:过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形

问题。

例3、已知:如图3,四边形ABCD 为平行四边形

求证:222222DA CD BC AB BD AC +++=+

证明:过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ,BC DF ⊥的延长线于点F

∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ?-+=-+-=+=2)(22222222

CF BC BC CD CF BC CF CD BF DF BD ?++=++-=+=2)()(22222222

则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ?-?++++=+22222222

∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD =

∴DCF ABC ∠=∠ ∵090=∠=∠DFC AEB ∴DCF ABE ??? ∴CF BE = ∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+

特殊四边形中常添加的辅助线

特殊四边形中常添加的辅助线

图4图3K

C

F B B 第四类:延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。

例4:已知:如图4,在正方形ABCD 中,F E ,分别是CD 、DA 的中点,BE 与CF

交于P 点,求证:AB AP =

证明:延长CF 交BA 的延长线于点K , ∵四边形ABCD 为正方形

∴AB ∥CD 且CD AB =,AD CD =,090=∠=∠=∠D BCD BAD

∴K ∠=∠1 又∵090=∠=∠DAK D ,AF DF = ∴CDF ?≌KAF ?

∴AB CD AK == ∵AD DF CD CE 2

1,21== ∴DF CE = ∵090=∠=∠D BCD ∴BCE ?≌CDF ? ∴21∠=∠ ∵09031=∠+∠

∴09032=∠+∠ ∴090=∠CPB ,则090=∠KPB ∴AB AP =

第五类:延长一边上一点与一顶点连线,把平行四边形转化为平行线型相似三

角形。

例5、如图5,在平行四边形ABCD 中,点E 为边CD 上任一点,请你在该图基

础上,适当添加辅助线找出两对相似三角形。

解:延长AE 与BC 的延长线相交于F ,则有AED ?∽FEC ?,

FAB ?∽FEC ?, AED ?∽FAB ?

特殊四边形中常添加的辅助线

特殊四边形中常添加的辅助线

图6图5

D

B B F

第六类:把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线

例6、已知:如图6,在平行四边形ABCD 中,BN AN =,BC BE 3

1=

,NE 交BD 于F ,求BD BF :

解:连结AC 交BD 于点O ,连结ON ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴2,BD OD OB OC OA =

== ∵BN AN = ∴ON ∥BC 21且BC ON 21= ∴FO

BF ON BE = ∵BC BE 31= ∴3:2:=ON BE ∴3

2=FO BF ∴5

2=BO BF ∴5:1:=BD BF 综上所述,平行四边形中常添加辅助线是:连对角线,平移对角线,延长一

边中点与顶点连线等,这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形)、矩

形(梯形)等图形,为证明解决问题创造条件。 知识点二:和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或

性质定定理解决问题.

例7 、如图7,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,E 是AB

上一点,且AE=AC ,EF//BC 交AD 于点F ,求证:四边形CDEF 是菱形.

分析:要证明四边形CDEF 是菱形,根据已知条件,本题有两种判定方法,一是

证明四边相等的四边形是菱形,二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

根据AD 是∠BAC 的平分线,AE=AC ,可通过连接CE ,构造等腰三角形,借助三线

合一证明AD 垂直CE. 求AD 平分CE.

证明:连结CE 交AD 于点O ,由AC=AE ,得△ACE 是等腰三角形,

因为AO平分∠CAE,所以AO⊥CE,且OC=OE,因为EF//CD,所以∠1=∠2,

又因为∠EOF=∠COD,所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成,所以OF=OD,所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形.

特殊四边形中常添加的辅助线

特殊四边形中常添加的辅助线

图7 图8

例8、如图8,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点,F是AC上一个动点,求证EF+BF的最小值等于DE长.

分析:要证明EF+BF的最小值是DE的长,可以通过连结菱形的对角线BD,借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF,然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.

证明:连结BD、DF.因为AC、BD是菱形的对角线,所以AC垂直BD且平分BD,所以BF=DF,所以EF+BF=EF+DF≥DE,

当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时,上式等号成立,所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长.

综上所述,菱形是一种特殊的平行四边形,和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多,常见的几种辅助线的方法有:

(1)作菱形的高;(2)连结菱形的对角线.

知识点三:与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种:(1)计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;(2)证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

例9、如图9,已知矩形ABCD内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求 PD的长.

分析:要利用已知条件,因为矩形ABCD,可过P分别作两组对边的平行线,构造直角三角形借助勾股定理解决问题.

解:过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E,交CD于F,交BC于点H,交AD于G.因为四边形ABCD是矩形,

所以PF 2=CH 2=PC 2-PH 2,DF 2=AE 2=AP 2-EP 2,PH 2+PE 2=BP 2,

所以PD 2=PC 2-PH 2+AP 2-EP 2=PC 2+AP 2-PB 2=52+32-42=18,所以PD=32.

特殊四边形中常添加的辅助线

特殊四边形中常添加的辅助线

图9 图10 说明:本题主要是借助矩形的四个角都是直角,通过作平行线构造四个小矩形,

然后根据对角线得到直角三角形,利用勾股定理找到PD 与PA 、PB 、PC 之间的

关系,进而求到PD 的长.

知识点四:与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关

正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解

决正方形问题的常用辅助线.

例10、如图10,过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ,且AE=AC ,又CF//AE.求

证:∠BCF=21

∠AEB.

分析:由BE//AC ,CF//AE ,AE=AC ,可知四边形AEFC 是菱形,作AH ⊥BE 于H ,

根据正方形的性质可知四边形AHBO 是正方形,从AH=OB=21

AC ,可算出∠E=∠

ACF=30°,∠BCF=15°.

证明:连接BD 交AC 于O ,作AH ⊥BE 交BE 于H.

在正方形ABCD 中,AC ⊥BD ,AO=BO ,又BE//AC ,AH ⊥BE ,所以BO ⊥AC ,

所以四边形AOBH 为正方形,所以AH=AO=21

AC ,因为AE=AC ,所以∠AEH=30°,

因为BE//AC ,AE//CF ,所以ACFE 是菱形,所以∠AEF=∠ACF=30°,因为AC 是

正方形的对角线,所以∠ACB=45°,所以∠BCF=15°,所以∠BCF=21

∠AEB.

说明:本题是一道综合题,既涉及正方形的性质,又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO ,进一步得到菱形,借助菱形的性质解决题. 知识点五:与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:

(1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形;(2)作梯形的高,构造矩形和直角三角形;(3)作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形;(4) 延长两腰构成三角形;(5)作两腰的平行线等.

例11 、已知如图11,在梯形ABCD 中,AD//BC ,AB=AC ,∠BAC=90°,BD=BC ,BD 交AC 于点0.求证:CO=CD.

分析:要证明CO=CD ,可证明∠COD=∠CDO ,由于已知∠BAC=90°,所以可通过作梯形高构造矩形,借助直角三角形的性质解决问题.

证明:过点A 、D 分别作AE ⊥BC ,DF ⊥BC ,垂足分别是E 、F ,则四边形AEFD 为矩形,因为AE=DF ,AB=AC ,AE ⊥BC ,∠BAC=90°,

所以AE=BE=CE=21BC ,∠ACB=45°,所以AE=DF=21

又DF ⊥BC ,所以在Rt △DFB 中,∠DBC=30°,

又BD=BC ,所以∠BDC=∠BCD=?=∠-?752180DBC ,

所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°.所以∠BDC=∠DOC ,所以C0=CD.

特殊四边形中常添加的辅助线

特殊四边形中常添加的辅助线

图11 图12 说明:在证明线段相等时,一般利用等角对等边来证明,本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形,进而根据直角三角形知识解决.

例12 、如图12,在等腰梯形ABCD 中,AD//BC ,AC ⊥BD ,AD+BC=10,DE ⊥BC 于E.求DE 的长.

分析:根据本题的已知条件,可通过平移一条对角线,把梯形转化为平行四边形和直角三角形,借助勾股定理解决.

解:过点D 作DF//AC ,交BC 的延长线于F ,则四边形ACFD 为平行四边形,所以AC=DF ,AD=CF ,因为四边形ABCD 为等腰梯形,所以AC=DB , BD=FD ,因为

DE ⊥BC ,所以BE=EF=21BF=21(BC+CF)=21(BC+AD) =21

×10=5.

因为AC//DF,BD ⊥AC,所以BD ⊥DF,

因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE 的长为5.

说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决.

知识点六:和中位线有关辅助线的作法

例13、 如图13,在四边形ABCD 中,AC 于BD 交于点0,AC=BD ,E 、F 分别是AB 、CD 中点,EF 分别交AC 、BD 于点H 、G.求证:OG=OH.

分析:欲证0G=OH ,而OG 、OH 为同一个三角形的两边,又E 、F 分别是AB 、CD 中点,所以可试想作辅助线,构造三角形中位线解决问题.

证明:取AD 中点P ,连结PE ,PF.因为E 是AB 的中点,F 是CD 的中点,所以PE//BD ,

且PE=21BD ,PF//AC ,且PF=21

AC ,

所以∠PEF=∠PFE ,又∠PEF=∠OGH ,∠PFE=∠OHG ,所以∠OGH=∠OHG , 所以OG=OH.

特殊四边形中常添加的辅助线

图13

说明:遇中点,常作中位线,借助中位线的性质解题.