高中数学教案(3.1 函数单调性与最值 第1课时)
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
整体设计
教学分析
在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.
由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.
三维目标
1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.
3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.
4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.
重点难点
教学重点:函数的单调性和最值.
教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.
课时安排
2课时
设计方案（一）
教学过程
第1课时函数的单调性
导入新课
思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据.
时间间隔t 0分钟20分钟60分钟8~9小时1天2天6天一个月记忆量y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象）
图1-3-1-1
学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.
思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?
图1-3-1-2
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？
③如何理解图象是上升的？
④对于二次函数y=x2，列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)=x2
表(1)
⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？
⑥增函数的定义中，把“当x1
⑦增函数的定义中，“当x1 ⑧增函数的几何意义是什么？ ⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？ ⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？ 讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的. ②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x 时对应的函数值的大小. ③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大. ④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1 ⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 ⑥可以.增函数的定义：由于当x1 ⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的. ⑧从左向右看,图象是上升的. ⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 ⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的. 应用示例 思路1 例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 图1-3-1-3 活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数. 解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数. 点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性. 图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 变式训练 课本P 32练习1、3. 例2物理学中的玻意耳定律p=V k （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明. 活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V 减少时，压强p 将增大是指函数p=V k 是减函数；刻画体积V 减少时，压强p 将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决. 解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=V k 在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性. 定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取． 两个自变量x 1和x 2,通常令x 1 较f(x 1)和f(x 2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再． 归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”,因此简称为：“去比赛．．． ”. 变式训练 课本P 32练习4. 思路2 例1（1）画出已知函数f(x)=-x 2+2x+3的图象； （2）证明函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数； （3）当函数f(x)在区间(-∞,m ］上是增函数时，求实数m 的取值范围. 图1-3-1-4 解：（1）函数f(x)=-x 2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示. (2)设x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1 f(x 1)-f(x 2)=(-x 12+2x 1+3)-(-x 22+2x 2+3) =(x 22-x 12)+2(x 1-x 2) =(x 1-x 2)(2-x 1-x 2). ∵x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1 ∴2-x 1-x 2>0.∴f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1) ∴函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数. （3）函数f(x)=-x 2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m ］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m 的取值范围是(-∞,1］. 点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的 单调性相反；二次函数在区间D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内. 判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明. 判断函数单调性的三部曲： 第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势； 第二步，结合图象来发现函数的单调区间； 第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论. 函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型. 变式训练 已知函数f(x)是R 上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x). (1)用函数单调性定义证明F(x)是R 上的增函数； (2)证明函数y=F(x)的图象关于点(2 a ,0)成中心对称图形. 活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点( 2a ,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可. 解：（1）设x 1、x 2∈R ，且x 1 F(x 1)-F(x 2)=［f(x 1)-f(a-x 1)］-［f(x 2)-f(a-x 2)］ =［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］. 又∵函数f(x)是R 上的增函数，x 1 ∴f(x 1) ∴［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］<0. ∴F(x 1) （2）设点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x 0,F(x 0))关于点( 2a ,0)的对称点M′(a -x 0,-F(x 0)). 又∵F(a-x 0)=f(a-x 0)-f(a-(a-x 0)) ＝f(a-x 0)-f(x 0) ＝-［f(x 0)-f(a-x 0)］ =-F(x 0), ∴点M′(a -x 0,-F(x 0))也在函数F(x)图象上， 又∵点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点， ∴函数y=F(x)的图象关于点(2 a ,0)成中心对称图形. 例2(1)写出函数y=x 2-2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点? (2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点? 图1-3-1-5 (3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点? (4)由以上你发现了什么结论?试加以证明. 活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示: （1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明. 解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反. (2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反. (3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6. 图1-3-1-6 函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反. (4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下: 不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］. 由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x). 设2m-b≤x1 f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2). 又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0. ∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2). ∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数. ∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反. 因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m 对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性. 点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力. 变式训练 函数y=f(x)满足以下条件: ①定义域是R ; ②图象关于直线x=1对称; ③在区间［2,+∞)上是增函数. 试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况). 活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出. 解：定义域是R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0). 结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有： 形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一. 知能训练 课本P 32练习2. 【补充练习】 1.利用图象法写出基本初等函数的单调性. 解：①正比例函数：y=kx(k≠0) 当k>0时，函数y=kx 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx 在定义域R 上是减函数. ②反比例函数：y= x k (k≠0) 当k>0时，函数y=x k 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=x k 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数：y=kx+b(k≠0) 当k>0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是减函数. ④二次函数：y=ax 2+bx+c(a≠0) 当a>0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是(-∞,a b 2- ］，单调递增区间是［a b 2-,+∞)； 当a<0时，函数y=ax 2+bx+ c 的单调递减区间是［a b 2-,+∞)，单调递增区间是(-∞,a b 2-］. 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度. 2.已知函数y=kx+2在R 上是增函数，求实数k 的取值范围. 答案：k ∈(0,+∞). 3.二次函数f(x)=x 2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a 的值. 答案：a=2. 4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a 2+a+1) 分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞)， ∴?????>+>++0. 14a -3a 0,1a 2a 22解得a<31或a>1. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数， ∴2a 2+a+1>3a 2-4a+1.∴a 2-5a<0. ∴0 31或1 1)∪(1,5) 点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式. 拓展提升 问题：1.画出函数y= x 1的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？ （1）函数y=x 1是减函数；（2）函数y=x 1的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.对函数y=x 1,取x 1=-1 3.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解？ 解答：1.（1）是错误的，从左向右看,函数y= x 1的图象不是下降的. （2）是错误的，函数y=x 1的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=x 1的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的. 2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x 1、x 2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替. 3.函数单调性定义中的x 1、x 2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性. 点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增（减）函数，那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定. 课堂小结 本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法. 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价. 引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结. 作业 课本P 39习题1.3A 组2、3、4. 设计感想 “函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材. 本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔. (设计者：张建国) 设计方案（二） 教学过程 第1课时函数的单调性 导入新课 思路1. 为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 图1-3-1-7 问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？ (1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小. 思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 图1-3-1-8 随x 的增大，y 的值有什么变化？ 引导学生回答，点拨提示，引出课题. 设计意图:创设情景，引起学生兴趣. 推进新课 新知探究 提出问题 问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x 2,y= x 1的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律. 如图1-3-1-9所示: 图1-3-1-9 问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知. 问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+ x 2(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ 图1-3-1-10 设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数？ 设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫. 问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质. 问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精 确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究. 问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1、x 2. 问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义. 归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么在区间D 上的图象是上升的（下降的）. 2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数. 讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而减小.(2)函数y=x 2，在［0,+∞)上y 随x 的增大而增大，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.(3)函数y=x 1，在(0,+∞)上y 随x 的增大而减小，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小. ②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数. ③不能. ④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数. (2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数. (3)任取x 1、x 2∈［0,+∞),且x 1 ⑤略 应用示例 思路1 例1课本P 29页例1. 思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答. 点评：本题主要考查函数单调性的几何意义. 图象法求函数单调区间的步骤: ①画函数的图象； ②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法. 答案：略. 变式训练 课本P 32练习4. 例2课本P 32页例2. 思路分析：按题意，只要证明函数p=V k 在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明. 点评：本题主要考查函数的单调性. 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：（定义法） ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 ②作差f(x 1)－f(x 2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）. 易错分析：错取两个特殊值x 1、x 2来证明. 答案：略. 变式训练 判断下列说法是否正确： ①已知f(x)=x 1,因为f(-1) ③若函数f(x)在区间(1,2］和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数. ④因为函数f(x)=x 1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，所以f(x)=x 1在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数. 活动：教师强调以下三点后,让学生判断. 1.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. 2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数). 3.函数在定义域内的两个区间A 、B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A ∪B 上是增（或减）函数. 答案：这四个判断都是错误的. 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可.也就是说，只要找到两个特殊的自变量，不符合定义就行. 思路2 例1证明函数f(x)=x+x 2在(2,+∞)上是增函数. 思路分析：利用单调性的定义证明.可以利用信息技术，先画出函数的图象，体会一下再证明. 点评：本题主要考查函数的单调性. 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论. 答案：略. 变式训练 证明函数f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数. 思路分析：此函数是一个具体的函数，用定义法证明. 思考：除了用定义外，如果证得对任意的x 1、x 2∈(a,b)，且x 1≠x 2有分 f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1式>0，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗? 活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数. 讨论结果：能. 例2用计算机画出函数y=2x x -2 的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明. 思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明. 教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 点评：讨论函数单调性的三部曲： 第一步，画函数的图象； 第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间； 第三步，利用定义加以证明. 答案：略. 变式训练 画出函数y=1 21-+x x 的图象，根据图象指出单调区间. 活动：教师引导学生利用变换法（也可以用计算机）画出图象，根据单调性的几何意义写出单调区间，再利用定义法证明. 答案：略. 知能训练 课本P 32练习2. 拓展提升 试分析函数y=x+x 1的单调性. 活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明. 答案：略. 课堂小结 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结. (1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论. (3)数学思想方法：数形结合. (4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的. 设计感想 本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识. 考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔. 作业:课本P 39习题1.3A 组2、3、4. (设计者：张新军) 《函数的单调性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： 1、知识目标： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2、能力目标： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与 函数的单调性教案 一、研究教材 1.认知基础分析：在初中通过对两个变量之间的数量关系的探究认识了函数的概念，学习了一元一次函数、一元二次函数、正比例函数与反比例函数的概念，初步掌握了这些函数图象的画法及其图象特征，能应用图象研究这些简单函数的基本性质，通过图象的升降关系（单调性的图象特征）了解函数值的变化与自变量的变化关系（单调性的定性描述）.在高中通过对两个非空数集之间的对应关系以及映射的研究深化了对函数概念的理解，进一步学习了函数的三种表示方法，实现从初中的形象思维逐步过渡到逻辑思维，从具体向抽象的代数推理过渡. 2.地位与作用： 函数的单调性是函数的重要性质, 它既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在解决函数的值域、定义域、不等式、比较两个实数的大小等具体问题中有着广泛的应用. 函数单调性概念的形成过程中蕴涵作许多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其它性质起作启发与示范作用. 二、教学目标 1.知识与技能 （1）理解函数的单调性的概念及其几何意义； （2）能应用函数的图象和单调性的定义判断或证明简单函数的单调性； （3）学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，突出数形结合思想在研究函数性质中的重要性. 2. 过程与方法 （1）首先是通过初中已经学习过的函数特别是二次函数图象的直观感悟，让学生获得图象的上升与下降来刻画函数的单调性的特征（单调性的几何语言），第二利用列表法，启发学生获得“函数的增、减性就是随着自变量的值的增大，函数值也随之增大（或减小）”（单调性的文字语言）；第三通过交流合作，将文字语言转化为抽象的符号语言（形式化的精确定义）； （2）通过函数的单调性的学习，体会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化； （3）通过函数的单调性概念的形成过程的学习，让学生领悟到从观察具体特例的图象到归纳猜想再到推理论证的科学思维方法. 3．情感、态度与价格观 在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美. 三、教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成 与定义的应用. 四、教法与学法 重视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中体现“教师为主导、学生为主体”，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质. 高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； 课题：§1.3.1函数的单调性 教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？ ○2能否看出函数的最大、最小值？ ○3函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 《函数的单调性与极值》教学案设计 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学过程： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比 《函数的单调性》说课稿 北大附中深圳南山分校：马立明 一、教材分析-----教学内容、地位和作用 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。总课时安排为3课时，《函数的单调性》是本节中的第一课时。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 按现行教材结构体系，该内容安排在学习了函数的现代定义及函数的三种表示方法之后，了解了在生活实践中函数关系的普遍性，另外学生已在初中学过一次函数、反比例函数、二次函数等初等函数。 在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势； 在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、学情分析 教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。 不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。 我所教授的班级的学生具体学情 具体到我们班级学生而言有以下特点：学生多才多艺，个性张扬，但学科成绩不很理想，参差不齐； 经受不住挫折，需要经常受到鼓励和安慰，否则就不能坚持不懈的学习；学习习惯不好，小动作较多，学习时注意力抗干扰能力不强，易被外界因素所影响，需要不断的引导；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。 三、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： (一)三维目标 1 知识与技能： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力； 2 过程与方法： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。。 （二）重点、难点 重点：函数单调性的概念: 为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为： 一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ） A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为（ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ） A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12．判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明． 《函数单调性的应用》教案 一、教材分析-----教学内容、地位和作用 本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第三节《函数的单调性》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值。总课时安排为3课时，《函数单调性的应用》是本节中的第三课时。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、最值，比较两个函数值的大小或自变量的大小、求参变量的取值范围以及解函数不等式等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性的应用考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 在本节课是以函数的单调性的应用为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。 二、学情分析 教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。 我所教授的班级的学生具体学情具体到我们班级学生而言有以下特点：学习习惯不太好，需要不断的引导和规范；数学基本功不太扎实，演算不能做到又准又快；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。 三、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： (一)三维目标 1 知识与技能： （1）.会利用函数单调性求最值或值域. （2）.会利用函数单调性比较两个函数值或两个自变量的大小. （3）.会利用函数单调性求参变量的取值范围. （4）.会利用函数单调性解函数不等式. （5) .通过函数单调性应用的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力； 2 过程与方法： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过合作探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。。（二）重点、难点 重点：利用函数单调性求最值或值域，求参变量的取值范围 第三节 函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1， x 2 当x 1 3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x (1－x )的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.43 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m 课题：1.3.1函数的单调性 教学目标 （一）、知识目标 1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念； 2、初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法； （二）、能力目标 1、对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力； 2、对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． （三）、情感目标 1、由知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯； 2、让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，感受数形结合的美． 教学重点：函数单调性的概念、判断及证明函数的单调性． 教学难点：归纳抽象函数单调性的定义，用定义证明函数的单调性． 教学用具：直尺，彩色粉笔，小黑板 课型：新授课. 课时：第1课时. 教学方法：探究研讨法，讲练结合法。 教学过程： （一）创设情境，引入课题 这是某市2010年元旦这一天24小时的温度变化图，观察这个温度变化图， （1） 什么时候温度最低，什么时候温度最高 （4点最低，14点的时候最高） （2）从0点到14点，温度是怎样变化的，从4点到14点，温度有事随着时间怎样变化的（0点到4点，逐渐下降，4点到14点逐渐上升的） 随着时间的推移，气温先下降，后上升再下降. 这里的上升和下降在数学中就反映出函数的一个基本性质-单调性. （二）讲授新课 函数，我们在初中的时候都已经学过了，也学过函数的增减性，那对于一个函数的“上升”和“下降”的性质，我们是如何知道的呢？通过观察图像 那我们先来看一下几个简单的函数图像，画出 2y x =+，2y x =-+，2y x =函数的图像 大家先观察第一个图像，从左至右上升 第二个图像，从左至右下降 那对于第三个图像呢，(,0)-∞下降，(0,)+∞上升，图像这种上升和下降的性质描述的就是单调性，也就是说函数的单调性描述的是函数图像的上升和下降，那思考一下，如何来描述函数的单调性呢？我们先来看一下2y x =这个图像，我们可以再y 轴右边取一些 通过这个表格，我们可以发现， 自变量x 增大时，函数值y 也相应的增大，那如果我们在y 轴右边不是取的一些整数点，而是任意的取两点，1x ，2x ，同学们思考一下是不是有 22 12 x x <，函数2()f x x =图象在y 轴左侧从左至右“下降”，函数图象在y 轴右侧从左至右 高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0` 课题：函数的单调性 授课教师：王青 【教学目标】 1.知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用 函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性的方法，了解函数单调区间的概念。 2.过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法， 培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。 3.情感态度与价值观：在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣。【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【使用教具】多媒体教学 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 1、下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题： (1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (3)哪些时段温度升高？哪些时段温度降低？ 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数1+=x y ，1+-=x y ，2)(x x f =的图象，并且思考 （1） 函数1+=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上) (x f 的值随x 的增大而_______ （2） 函数1+-=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上 )(x f 的值随x 的增大而_______ （3） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而增大 （4） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而减小 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．抽象思维，形成概念 问题：你能用数学符号语言描述第（3）（4）题吗？ 任取2121),,0[,x x x x <+∞∈且,因为0))((21212 221<-+=-x x x x x x ,即2 221x x <，所以()()21x f x f > 任意的x 1，x 2∈（0-，∞），x 1 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 函数的单调性与最 值 、函数的单调性 1．单调函数的定义 2. 单调区间的定义 如果函数 y＝f(x) 在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A为单调区间． 3 求函数单调区间的两个注意点： (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 4 必记结论 1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设 x1，x2∈[a ，b] ，那么 f x1 － f x2 ① 1 － 2 >0? f(x) 在[a ，b]上是增函数； x1－x2 x1－x2 <0? f(x) 在[a ，b] 上是减函数． f x1 －f x2 ②(x 1－x 2)[f(x 1) － f(x 2)]>0 ? f(x) 在[a ，b] 上是增函数； (x 1－x 2)[f(x 1) －f(x 2)]<0 ? f(x) 在[a ，b] 上是减函数． 2．复合函数 y ＝f[g(x)] 的单调性规律是“同则增，异则减”，即 y ＝f(u) 与 u ＝g(x) 若具有相同的单调性，则 y ＝f[g(x)] 为增函数，若具有不同的单调性， 则 y ＝ f[g(x)] 必为减函数． 考点一 函数单调性的判断 1．下列四个函数中，在 (0 ，＋∞) 上为增函数的是 ( 解析：当 x>0 时，f (x)＝3－x 为减函数； 32 当 x ∈ 0，2 时，f(x)＝x 2－3x 为减函数， 3 当 x ∈ 2，＋∞ 时，f(x)＝x 2 －3x 为增函数； 1 当 x ∈ (0 ，＋∞ )时， f (x)＝－x ＋1为增函数； 当 x ∈ (0 ，＋∞ )时， f (x)＝－| x| 为减函数．故选 C.答案： C －2x 2．判断函数 g(x) ＝ 在(1 ，＋∞ )上的单调性． x －1 解：法一：定义法 任取 x 1，x 2∈(1 ，＋∞ )，且 x 1 课题函数的单调性 教学目标 1。函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 2。理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。 3。能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性。 教材分析重点函数的单调性。 难点增函数、减函数形式化定义的形成。教具记号笔、白板、多媒体教具 教学过程 导入新课 德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850—1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵。经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准。他经过对自己的测试，得到了一些数据。 时间间 隔t 0分钟 20分 钟 60分 钟 8～9 小时 1天2天6天 一个 月 记忆量 y(百分 比) 100% 58。2% 44。2% 35。 8% 33。7% 27。8% 25。 4% 21。1% 观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数。当自变量(时间间隔t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图像的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)。从左向右看，图像是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图像) 学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1所示。 图1 遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律。随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆。教师提示、点拨，并引出本节课题。 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图2所示的是一次函数y＝x，二次函数y＝x2和y＝－x2的图像，它们的图像有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？ 第二节 函数的单调性与最值 1．函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义． 知识点一 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1 (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 必记结论 1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 >0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 <0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数． [自测练习] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________． 3．已知函数f (x )＝???? ? －x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．[－3，－2]高中数学《函数的单调性》教案
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