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2012届江西省临川一中高考五月模拟考试(一)理科数学试卷

江西省临川一中2012届高考五月模拟考试（一）

理科数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的） 1. 设集合101x A x

x -??

，{}

1B x x a =-<，则“1a =”是“A B ≠? ”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不是充分条件也不是必要条件

2．已知Z 表示复数Z 的共轭复数，已知i Z +=1，则=3)(

Z （）

A ．1-

B ．1

C ．

D ．i -

3．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

．

4．已知α是第二象限角，其终边上一点)5,(x P ，且x 4

cos =

α，则)2sin(πα+=

．-

． C

5．在等比数列中，已知2431538

1=a a a ，则11

a a 的值为（）

A ．3

B ．9

C ．27

D ．81

6.ABC ?的外接圆的圆心为O ，半径为2，0=++AC AB OA 且||||AB OA =，则向量CA 在

上的射影的数量为（）

（A ）3 （B ）3 （C ）3- （D ）3-

7．已知椭圆2

214

x y +=的焦点为F 1、F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ?<

的M 点的概率为（）

俯视图

D ．

8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（）

A ．0

．9．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，并满足：（1）()2(),(0,1)x

f x a

g x a a =>≠；（2）()0g x ≠；（3）'

()()()()f x g x f x g x <且

(1)(1)

5(1)(1)

f f

g g -+=-，则a =

（）

A ．

B ．2

C ．

D ．2或

10．已知直线)3(-=x k y 与双曲线12722=-y m x ，有如下信息：联立方程组?

??=--=127

)

3(2

2y m x x k y 消去y 后得到方程02=++C Bx Ax ，分类讨论：（1）当0=A 时，该方程恒有一解；（2）当0≠A 时，042≥-=?AC B 恒成立。在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是

（）

A ．[9,)+∞

B ．(1,9]

C ．(1,2]

D ．[2,)+∞

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上。） 11．已知幂函数223

()m m y x

m N --*=∈的图象与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则

m =___________。

．已知11

(1a dx -=

，则61

[(2a x x

-展开式中的常数项为___________ 13．现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到

4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有_____种.

14．在正方体1111ABCD A BC D -中,下列命题中正确的是___________.

8题

①点P 在线段1BC 上运动时,三棱锥1C D AP -的体积不变;

②点P 在线段1BC 上运动时,直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变; ③点P 在线段1BC 上运动时,二面角1P AD C --的大小不变; ④点P 在线段1BC 上运动时,1||||PD PA =恒成立.

三．选做题（共5分，只能从下面两小题中选做一题，两题全做的，只计第一小题得分） 15．①在极坐标系中，点A(2,3

)到直线l ：1)6

cos(=-

θρ的距离为

②(不等式选讲选做题) 设函数f(x)=|x-2|+x ，g(x)=|x+1|，则g(x)

四、解答题：(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分12分）已知函数2()22cos f x x x m =+-。

（1）若方程()0f x =在[0,

x π

∈上有解，求m 的取值范围；

（2）在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，当（1）中的m 取最大值，且

()1,2f A b c =-+=时，求a 的最小值。

17．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工

序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有,A B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级

时，产品为一等品，其余均为二等品。

（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为

A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、

乙产品为一等品的概率,P P 甲乙；

（2）已知一件产品的利润如表二所示，用,ξη分别

表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求,ξη的分布列及,E E ξη；

（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如

60万元。设,x y 分别表示生产甲、乙产品的

数量，在（2）的条件下，,x y 为何值时， z xE yE ξη=+最大？最大值是多少？（解答时须给出图示说明）

18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，P 为11A C 的

中点，且AB BC kPA ==，（1）当1k =时，求证：1PA B C ⊥；

（2）当k 为何值时，直线PA 与平面11BB C C 所成的角

的正弦值为1

，并求此时二面角C PA B --的余弦值。

19．（12分）设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合： ①

++≤+n n n a a a ②M a n ≤，其中n ∈N *，M 是与n 无关的常数 (1)若{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3=4，S 3=18，试探究{S n }与集合W 之间的关

系；

(2)设数列{b n }的通项为b n =5n-2n ，且{b n }∈W ，M 的最小值为m ，求m 的值； (3)在(2)的条件下，设2])5([5

+-+=

n n n m b C ，求证：数列{C n }中任意不同的三项都不能成为等比数列． 20．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，

已知12((,),(,1),(,2)A A P x y M x N x -，若实

数λ使得2

12OM ON A P A P λ?=?

（O 为坐标原点）

（1）求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型；（2

）当λ=

时，若过点(0,2)B 的直线与（1）中P 点的轨迹交于不同的两点,E F （E 在,B F 之间），试求OBE ?与OBF 面积之比的取值范围。

21．（本小题满分14分）

C C

A B 1

B P

已知函数1()ln x

f x x ax

+ （1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；（2）讨论函数()f x 的单调性；

（3）当1a =时，求证：对大于1的任意正整数n ，都有1111ln 234n n

++++ 。江西省临川一中2012届高考五月模拟考试（一）

理科数学试卷参考答案

11． 2 12．-160 13． 1080 14.①③④

三、选做题（共5分） 15．① 1 ②),3()1,3(+∞?-

16．解：（1）()2sin(216

f x x m π

+-，2sin(216m x π

∴=+

+在0,2π??

????

内有解 (3)

7022

6x x π

π≤≤

∴

≤+

≤

02sin(23,036

x m π

∴≤+≤∴≤≤ …5 （2）3,()2sin(2216

m f A A π

=∴=+

-=- ，

1sin(2),226

266

A A k π

ππ

π∴+

∴+=+或

522,()6

6A k k Z π

ππ+

+∈(0,)3

A A π

π∈∴= (7)

,23

A b c π

∴=

+=≥ b c =时bc 有最大值1。 (9)

22222cos ()343a b c bc A b c bc bc =+-=+-=-， (10)

a ∴有最小值1，此时1b c == (12)

17．解：（1）解：.6.08.075.0,68.085.08.0=?=?=乙甲P P (2)

（2）解：随机变量ξ、η的分别列是

,2.432.05.268.05=?+?=ξE .1.24.05.16.05.2=?+?=ηE (6)

（3）解：由题设知?????

?≥≥≤+≤+.

0,0,4028,60105y x y x y x 目标函数为 (8)

.1.22.4y x yE xE z +=+=ηξ (9)

作出可行域（如图），作直线:l ,01.22.4=+y x 将l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上的点M 点与原点距离最大，此时y x z 1.22.4+= (10)

取最大值．解方程组?

??=+=+.4028,

60105y x y x

得.4,4==y x 即4,4==y x 时，z 取最大值25．2。 (12)

18．解：（1

）设111,AB PA A P AA ===

如图建系，则

111(,(1,0,0),(0,1,0)22P A B C

, 11(,,22PA =-

,1(0,1,B C =-

110,PA B C PA B C ∴?=∴⊥

…．．．

（2）设1(0,0,z B ）则11

A(1,0,0),P(,,z 22），11PA=(,-,-z 22

易知面11BB C C 的法向量1n 1,0,0= （）设直线PA 与平面11BB C C 所成角为α，

则1sin 4α=

，2

7z 2∴=

，z>0∴ ，

11(,22P ∴，

11(,,22PA ∴=-

||22,2

PA AB k =

==∴= ．．．8

(1,0,0)AB =- 设面ABP 的法向量1(,,)n x y z =

011022x x y z -=??

∴?--

=??

则0,1x y z ===，

1(0,n ∴=

．．．．．．9

(1,1,0)AC =- 设面APC 的法向量2(,,)n x y z =

011022x y x y -+=??

∴?--

=??则

1,1,0x y z ===，2(1,1,0)n ∴=

设二面角C PA B --的大小为θ则

cos θ=

∴二面角C PA B --

．．．12

19（12分）解：(1) S n =-n 2+9n

++<+n n n S S S 满足① 4

)29(2+--=n S n 当n=4或5时，S n 取最大值20

∴S n ≤20满足② ∴{S n }∈W …………4分 (2) b n+1-b n =5-2n 可知{b n }中最大项是b 3=7

∴ M ≥7 M 的最小值为7 …………8分

(3) 2+=n C n ，假设{C n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b q 2=b p ·b r ∴ )2)(2()2(2++=+r p q

∴ 02)2()(2=--+-r p q pr q

∵ p 、q 、r ∈N *

???=--=0

22r p q pr

∴ p=r 与p ≠r 矛盾

∴ {C n }中任意不同的三项都不能成为等比数列 …………12分 20．（1

）12(,1),(,2),(),()OM x ON x A P x y A P x y ==-=+=-

12OM ON A P A P

λ?=?

2222

(2)2x x y λ∴-=-+ 化简得：

2222(1)2(1)x y λλ-+=-．．．．．．2 ○1．1λ=±时方程为0y = 轨迹为一条直线．．．．．．3

③．0λ=时方程为22

2x y +=轨迹为圆．．．．．．4

③．(1,0)(0,1)λ∈-?时方程为22

2122(1)x y λ+=-轨迹为椭圆．．．．．．．5

④．(,1)(1,)λ∈-∞-?+∞时方程为22

2122(1)

x y λ-=-轨迹为双曲线。．．．．6 （2

）P λ=∴ 点轨迹方程为

2212x y +=， 1211

2,222

OBE OBF S x S x ??∴=

??=?? 12::OBE OBF S S x x ??∴= ．．．．．．7

设直线EF 直线方程为2y kx =+，联立方程可得：2

(12)860k x kx +++=。

22236424480,.2k k k ∴?=-->∴>

12122286

,,1212k x x x x k k

+=-?=++

2222

121222122112()64364162,,(4,)

6(12)26(12)31

(,1)(1,3)3

x x x x k k k x x k x x k x x +∴==++>∴∈?++∴

∈? ．10

由题意可知：OBE OBF S S ??<，所以

(,1)3

OBE OBF S S ??∈ ．．．．．12 21．解：（1）∵ 1()ln x f x x ax -=+ ∴ ()2

()0ax f x a ax -'=> ．

．．．．．1

∵ 函数()f x 在[)1,+∞上为增函数 ∴ 2

()0ax f x ax

-'=≥对[)1,x ∈+∞恒成立

10ax -≥对[)1,x ∈+∞恒成立，即1

a x

≥

对[)1,x ∈+∞恒成立∴ 1a ≥ 4分（2）0a ≠ 2211()'(),0a x x a a f x x ax x

==>，

当0a <时，'()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立，()f x ∴的增区间为(0,)+∞ ．．．．．．5

当0a >时，1'()0f x x a >?>

，1

'()0f x x a

()f x ∴的增区间为1(,)a +∞，减区间为（1

0,a

）

．．．．．．6 （3）当1a =时，1()ln x f x x x -=+，21

()x f x x

-'=，故()f x 在[)1,+∞上为增函数。

当1n >时，令1n

x n =

-，则1x >，故()(1)0f x f >= ．．．．．．8

∴ 01ln 11ln 1111>-+-=-+---

? ??-n n n n n n n n n n n f ，即1ln 1n n n >- ∴ >n ln 2341111

ln ln ln ln 1231234n n n +++???+>+++???+