等价无穷小在解题中的应用

等价无穷小在解题中的应用

工程与设计学院 数学111本

摘要:本文重点研究解决极限问题中的等价无穷小的应用，在高等数学学习中这对于学习和解决极限问题的能力有促进作用．

关键字:等价无穷小;极限;替换;应用

1 引言

极限理论与计算是高等数学的重要内容之一，而等价无穷小在求极限的运算过程中具有极好的性质．因此，必须掌握等价无穷小的概念并充分利用好的它的性质，可以使一些复杂

的极限计算问题简单化，达到简化目的.比如，求这样一个极限问题，2

0(1cos )lim (1)sin x x x x e x →--,

它是一个0

型的不定式极限，若用洛必达法则求极限则原式=22201cos lim

2cos (sin 2cos )x x x xsinx x x e x x x →-+-+,在对分子分母求一阶导后仍然是一个0

型的

极限，再用洛必达法则，对分子分母进行第二次求导，则原式=22222202sin cos lim

2cos 4sin [(14)sin (42)cos ]

x x x x x

x x x e x x x x →+---++，显然二 阶导后依然是

型不定式极限，继续求，计算过程将会相当繁琐，并且很难求出结果。但是，若果用等价无穷小替换求此极限，则原式=2

2

02

lim x x x x x →?

?=

1

2

．由上面的解题过程可见，在用等价无穷小替换求解两步即可，明显优于洛必达法则求极限．所以在求解函数极限的过程中必须熟练并准确运用等价无穷小性质解题，便可达到事半功倍的效果。本文就是通过对等价无穷小概念及其性质的理解，讨论等价无穷小在乘除运算、和差运算、幂指函数、变上限积分和级数敛散性中极限函数的应用及其相关注意点．

2 等价无穷小在解题中的应用

2.1 等价无穷小在乘除极限运算中的代换

根据等价无穷小的定义,在求0

型的乘除式极限里,其因子可用等价因子代替,极限不变.下面给出最常用的等价关系: 当0x →时

()si n t an arct an arcsi n ln 1

x x x x x x +

()1111ln b

x

x

x a e a b

+--- （其中a >0,0b ≠）.还有()211cos 2x x - 定理[1]

1 设函数(),(),()f x g x h x 在00()U x 上有定义，且有

0()~()()f x g x x x →.

（1）若0

lim ()()x x f x h x A →=，则0

lim ()()x x g x h x A →=；

（2）若0

()lim

()

x x h x B f x →=，则0()

lim ()x x h x B g x →=.

证 （i ）0

()

lim ()()lim

lim ()()1()x x x x x x g x g x h x f x h x A A f x →→→=?=?=. （ii ）0

00()()()

lim

lim lim 1()()()

x x x x x x h x h x f x B B g x f x g x →→→=?=?=. 例1 求0arctan lim

sin 4x x

x

→.

解 由于()arctan 0x x x → ,sin 44x x ()0x →.故由定理1得

0arctan 1

lim

lim sin 444

x x x x x x →→∞==.

例2 利用等价无穷小代换求极限

30tan sin lim

sin x x x

x →-.

解 由于()sin tan sin 1cos cos x

x x x x

-=- ,而

()sin 0x x x → ()2

,1cos 0,2

x x x -→ ()33sin 0x x x → .

故有

30t a n s i n l i m sin x x x x →-23112cos 2

x x x x ?=?

= . 2.2等价无穷小在和差运算中的代换

对

型乘除运算求极限,利用等价无穷小代换简便而有效.而对加减运算则需格外谨慎. 如，在利用等价无穷小代换求极限时,应注意:只有对所求极限中相乘或相除的因子才能用等价无穷小替换,而对极限式中相加或想减的部分则不能随意替换.如在例4中,若因有

()t a n 0,x x x → ()s i n 0x x x → ,

而推出3

tan sin lim

sin x x x x →-=

30lim 0sin x x x

x →-=,则得到的是错误的结果 下面定理给出了加减运算求极限是施行等价无穷小代换的条件. 定理[3]

2

设11,,,f f g g 均为0x x →时的无穷小函数,且11,f f g g ,0

lim

x x f

g

→存在,但不等于-1,则11f g f g ++ ()0x x →.

证 需证0

11lim 10x x f g f g →??

+-

= ?+?

?或()011lim 0x x f g f g f g →+-+??= ?+??.因为

()11f g f g f g

+-++=11

f f

g g f g f g --+++, 注意到0

lim

1x x f

g

→≠-,故有 00001

11

1lim

lim lim 01lim 1x x x x x x x

x f f f f f f g f g g f f f →→→→---===+??+?+ ??

?,

0000111

1lim

lim lim 01lim 1x x x x x x x

x g g g g g g f f g f g g

g →→→→---===+??+?+ ???

.

注 显然条件0

lim

1x x f

g →≠-可换为011

lim 1x x f g →≠-.易知若无穷小f 与g (或1f 与1g )同时

为正(负),且极限0

lim

x x f

g →或011

lim x x f g →存在,则11f g f g ++ ()0x x →. 推论 1. 设11,,,f f g g 均为0x x →时的无穷小函数,且11,f f g g ,0

lim x x f

g

→存在,但不等于1,则11f g f g -- ()0x x →.

由定理1同理可证 推论

2 设

1111,,,,,,,f f g g h h k k 均为0x x →时的无穷小函数,

且1111,,,f f g g h h k k ,0

lim

x x f

g →0,lim x x h k →存在,但不等于1,则0lim x x f g h k →--=01111

lim x x f g h k →--.

若不等于-1,则0

lim

x x f g h k →++=011

11

lim x x f g h k →++. 推论2可有定理2和推论1直接证得 例3 求 ()0tan sin sin 2lim

tan 2arcsin 2x x x

x x

→+-.

解 因为0x →是()tan sin x x ,tan x x ,2arcsin 24x x -- ,且

()0tan sin 1lim

1sin 22

x x x →=≠-,01

lim 144x x x →=-≠--, 所以 原式=0

2lim

14x x x

x x

→+=--.

例4

求0

x → 解 因为0x →时

,1→

1,由拉格朗日中值定理导出的若干等

价代换)e e αβαβαβ??

--- ??

?

可得

原式=()01

tan sin 2lim 2tan sin x x x x x

→+- ()

01

2

lim 21.

x x x x x →+=-=. 例5 求2320sin 1cos lim

.1cos tan x x x

x x

→+--- 解 由等价关系可得()3

1cos 31cos x x -- ,且

2

0s i n l i m 1.1c o s x x x →≠-- ()2031cos lim

1.tan x x x →-≠ 所以 原式=()22

2

012lim 31cos x x x x x →+

--

2022

32lim

132

3.

x x x x →=?-=

例6 求()

()()

01cos 2lim

.tan 2sin sin 2x

x x x

x x x x →+---

解 由于()()

ln 11x

x x x e

++=,()()ln 11ln 1x x

e x x +-+ ,()211cos 222

x x -

且 ()()0002ln 1tan 2sin 2lim

1,lim 1,lim 1.1sin 22

x x x x x x x

x x

x →→→+≠-≠≠ 所以 原式=()()()

ln 1011cos 2lim .tan 2sin sin 2x x

x e x

x x x x +→-+---

=()()22

1ln 122lim

x x x x x →++

=22

202lim

3.

x x x x →+=

2.3等价无穷小在幂指函数极限中的代换

定义[4]

1

设f ，g ：A R R ?→是两个函数，且x A ?∈，()0f x >，则称形如

()

()

g x f x 的函数为幂指函数.幂指函数与对数的转换公式()

()

g x f x =()()

ln g x f x e

.

在求函数极限过程中，常常会碰到0

0、1∞

和0

∞三种不定式极限问题，若能在这些幂指函数求极限过程中，利用等价无穷小代换,可将复杂问题简单化。下面先给出一个基本定理及其证明过程,接着进一步阐述三类不定式极限中等价无穷小的代换. 定理

[4]3

设两个连续函数()f x ,()g x 在()0U

x

上有定义,且()f x >0

,

()0lim x x f x a →=,()0lim x x g x b →=,则()()

0lim g x b x x f x a →=???

?,其中0a ≠.

证:令()

()

g x f x =y ,则()()ln ln y g x f x =,

所以 ()()0

lim ln lim ln x x x x y g x f x →→=, 即 ()()0

ln lim lim lim ln x x x x x x y g x f x →→→=,

又因为 ()0

lim x x f x a →=,()0

lim x x g x b →=,

所以 ()()0

ln lim lim lim ln x x x x x x y g x f x →→→==ln b a

即 ()()

0lim g x b x x f x a →=???

?.

2.3.1 等价无穷小在幂指函数1∞型极限中的代换

对于1∞

型幂指函数极限,首先必须熟悉重要极限()1

lim 1x

x x →+=e 及其变形公式

1lim 1x x x →∞??+ ???=e .如lim 1x

x k x →∞

??

+ ???=lim 1x

k k

x k x ?→∞??+ ???

=k

e .

引理1 设函数()f x ，()g x 在()0U

x

上有定义,且为0x x →时的无穷小，若

()

()

l i m

x x f x A g x →=,则()()01lim 1g x x x f x →+????

=()()

lim

x x

f x

g x e

→ = A

e .

证明 ()()01l i m 1g x x x f x →+???

?=

()()

ln 1lim f x g x x x e

+????

→=()()

ln 1lim

x x

f x

g x e

→+????

由于()0f x →()0x x → 所以 ()()ln 1f x f x +????

()()01

lim 1g x x x f x →+???

?=

()()

lim

x x

f x

g x e

→=A

e .

例7 求极限1

sin lim x x x x →?? ??? 解 因为0sin lim

1x x x

→=，201

lim x x →=∞所以为1∞型 原式可变形为1

0sin lim 11x x x x →??+

- ???

， 满足引理的条件，所以2

1

0sin lim x x x x →?? ???

=2

sin 10lim x

x x x e -→=3

sin 0

lim x x

x x e

-→=

2

1

30

lim cosx x

x e

-→=sin 60

lim x x

x e

-→=16

e

-

（用两次洛必达法则可得到）

例8 求极限()10

lim 1sin x

x x →-.

解 因为0

lim(1sin )

1x x →-=，0

1

lim

x x

→=∞所以为1∞型 原式可变形为()

1

lim 1(sin )x x x →+-，

满足引理的条件，所以()10

lim 1sin x

x x →-=sin 0

lim x x

x e

-→=

1e

. 例9 求极限1

1lim sin cos x

x x x →∞??+ ???.

解 1

1lim sin cos x

x x x →∞??+ ??

?

=1

111lim 1sin

cos 1x

x x x →∞

??++- ???

=11sin cos 11lim x x x

x e

+-→∞

因为 1

c o s 1

l i m 11

s i n x x x

→∞-≠-

所以 1

1lim sin cos x

x x x →∞??+ ??

?=2

1112lim x x x

x e

??

- ???

→∞=112lim x

x e

-

→∞

=e .

定理4 设函数1f ，2f ，1g ，2g 在()0U

x

上有定义,且为0x x →时的无穷小，若

()()12f x f x ,()()12g x g x ，且()()022

lim x

x f x g x →=A

e ，

则有 ()()101

1lim 1g x x x f x →+????=()()201

2lim 1g x x x f x →+???

?=A

e . 证明 由引理得()()

10

11lim 1g x x x f x →+????

=()

()

11

0lim

x x

f x

g x e

→,()()

20

12lim 1g x x x f x →+????

=()()

220

lim

x x

f x

g x e

→

而()()12f x f x ，()()12g x g x 所以由等价无穷小代换的性质可得

()()011lim x x f x g x →=()()022

lim x x f x g x → 所以 ()()101

1lim 1g x x x f x →+???

?=()

()

11

0lim

x x

f x

g x e →=()()

220

lim

x x

f x

g x e

→=()()20

1

2lim 1g x x x f x →+????=A

e .

例10 求极限()1

sin 0

lim 1ln 1x

x x →++????

.

因为 ()0

l i m 1l n 11x x →+

+=????

，01

lim

sin x x

→=∞，为1∞型

且 ()l n 1x x + ，sin x x ()0x x →

由定理可得

()1

sin 0lim 1ln 1x

x x →++???

?=x

x

e =e .

2.3.2 等价无穷小在幂指函数00型极限中的代换

定理5 设两个连续函数()f x ,()g x 在()0U

x

上有定义,且()f x >0 , ()1g x ，()2g x 为

等价无穷小，即()()12g x g x ()0x x → ,则()()

20

lim g x x x f x →????=()()

10

lim g x x x f x →????

.

证: 因为 ()()

10lim g x x x f x →???

?存在,则()()

10

ln lim g x f x x x e

→存在,

即 ()()0

1lim ln x x g x f x →存在.由等价无穷小代换可得 ()()0

1lim ln x x g x f x →=()()0

2lim ln x x g x f x →,

所以

()()

20

ln lim g x f x x x e

→=()()

10

ln lim g x f x x x e

→,

即 ()

()

20

lim g x x x f x →=()

()

10

lim g x x x f x →.

定理6 设两个连续函数()f x ,()g x 在()0U x

上有定义,且()f x >0 , 且当()

0x x →时，1f ，2f 均为无穷小量，()()12f x f x ,

则 ()()

1l i m g x x x f x →????

=()()

2lim g x x x f x →????

证明()()

1lim g x x x f x →????

=()()

10

ln lim g x f x x x e

→

=()()()()1220

ln lim f x g x f x f x x x e

??

???

????

→=()()()()1220

ln ln lim f x g x f x f x x x e

??

+??

????

→

=()()

()

()()

1220

ln

ln lim f x g x f x g x f x x x e

e

→?

因为()()12f x f x ，所以()()

1lim g x x x f x →????

=()()

20

ln lim g x f x x x e

→=()()

2lim g x x x f x →????

.

推理3 设连续函数()1f x ,()2f x ，()1g x ，()2g x 在()0U x 上有定义,且

()i f x >0()1,2i =，当()0x x →时，1f ，2f ，1g ，2g 均为无穷小量， ()()12f x f x ，()()12g x g x ()0x x →，则()()

10

1lim g x x x f x →????

=()()

20

2lim g x x x f x →????

.

由定理和定理 推得 例11 求极限()()

sin 0

lim ln 12x

x x +

→+.

解 由于()0

lim ln 120x x +

→+=，0

lim sin 0x x +→= 所以此极限为0

0型

当0x +

→时 因为()ln 122x x + ，sin x x

所以 由推理 可得 ()()

s i n

l i m l n 12x x x +

→+=()0

lim 2x

x x +

→=ln 20

lim x x

x e +→

=0ln 2lim 1

x x

x

e

+→=()'

'

0ln 2lim

1x x x e

+

→?? ???

=0

e =1.

2.3.3 等价无穷小在幂指函数0∞型极限中的代换

定理7 设连续函数()1f x ,()2f x ，()1g x ，()2g x 在()0U

x

上有定义,且

()i f x >0()1,2i =，当()0x x →时，1f ，2f ，1g ，2g 均为无穷小量， ()()12f x f x ，()()12g x g x ()0x x →，则()()

1011lim g x x x f x →??

????

=()()

2021lim g x x x f x →??

????

.

由推理1 可得定理

例12 求极限()tan 01

lim ln 1x

x x +→????+??

.

由于()

1

lim ln 1x x +

→=∞+，0lim tan 0x x +

→= 所以此极限为0

∞型

当0x +

→时 因为()ln 1x x + ，tan x x

所以 由推理 可得

()t a n

01

l i m l n 1x x x +→????+??

=01lim x

x x +→??

???

=1

ln 0lim x x x e +→ =01

ln lim 1

x x x

e +→='

01ln lim 1x x x e

+→??

???

??

???

=0

e =1.

例13 设()f x 在x =0处二阶可导,且()13

0lim 1x

x f x x e x →??++=????,求 ()0f ,()'0f ,()''0f 并计算()1

0lim 1x

x f x x →??

+????

.

此题利用泰勒展开和幂指函数等价代换,综合性较高, 解 由()01lim ln 13x f x x x x e

e →?

?++???

?=得

()0ln 1lim 3x f x x x x →??++????=即()0limln 10x f x x x →??++=????

即

()0l i m 0x f x x x →??

+=???? 所以

()()0

0l i m 0x f f x →==.

()()ln 1f x f x x x x x ??+++

???

? ()0x →等价无穷小代换 所以 ()0ln 1lim

x f x x x x

→??

++????

()

lim

x f x x x x

→+= =()20lim 1x f x x →??+???

?

=()()()()'''222010002lim 1x f f x f x x x ο→??+++??+????

??

=3（()f x 的泰勒展开） 所以 ()()()()'''22

2010002l i m x f f x f x x x ο→??+++???????

?

=2

所以

()0f =()'0f =0,

()''

1022

f =

()10lim 1x

x f x x →??+???

? =()()()()1

'''222010002lim 1x

x f f x f x x x ο→??+++??+

??????

=()()()21

20

lim 12x x x x x

x x x οοο

+?

+→?++???

=2

e .

2.4等价无穷小在变上限积分中的代换

定理[7]

8

设函数()f x 在[]0,a 上连续，且满足下列条件：

()1 ()0

lim

0x f x →=；

()2()()f x g x ，(0)x →. 则有

()()0

x

x

f x dx

g x dx ?

? ，(0)x →.

证明： 由洛必达法则得，()()0

lim x

x x f t dt g t dt

→??=()()0

lim x f x g x →=1.

例14：求极限()0

3

1cos lim

x

x t dt x

→-?.

解法1： 利用定理1可得

()0

3

1cos lim x

x t dt x →-?=2

30

2lim

x

x t dt

x →?=3306lim x x x →=16.

()03

01cos lim x

x t dt x →-?=201cos lim

3x x x →-=2

202lim 3x x x →=16. 例15：求极限()0

ln 1lim (1)x

x

x t t dt e dt →+-??.

解法1：利用定理1可得

()0

ln 1lim (1)x x

x t

t dt e dt →+-??=0

lim 1x

x x tdt tdt

→=??

.

解法2：直接用洛必达法则

()0

ln 1lim (1)x

x

x t

t dt e dt

→+-??= ()0

ln 1lim 1x

x x e →+-= 0

lim 1x x x →=.

定理[7]

9

设函数()f x 在[]0,a 上连续，且()x ?，()g x 足下列条件：

()1 ()0

lim 0x x ?

→=；

()2()()x g x ? ，(0)x → 则有

()()

()()

x g x f x dx f x dx ??

?

，(0)x →.

证明：()()

()()

00

lim x g x x f t dt f t dt

?→??

=()()()

()

10

02lim

lim 1x x f x f g x ξ?ξ→→= 其中()()10,x ξ?∈ ，()()

20,g x ξ∈.

例16 极限()tan 0

3

1cos lim x

x t dt x →-?

解法1： 利用定理2得

()tan 0

3

1cos lim

x

x t dt

x

→-?= ()0

3

1cos lim x

x t dt x →-?

=2

30

2lim

x

x t dt

x →?

=3306lim x x x →=16.

()tan 0

3

1cos lim x

x t dt x →-?=2

2

1cos(tan )1

lim 3cos x x x x

→-?

=2201

tan 2lim 3x x

x →?=1

6.

推论4：若'

αα ，'

ββ

， ()()f x g x ，0()x x →，'

'

α

β≠，极限()()'

'

00

lim

x x f t dt g t dt

βα→??存在，且不等于-1，则有

()()'

'

f t dt

g t dt β

βαα?? ，0

()x x →.

证明：由和差代换中的定理1和定积分性质可得

()()'

'

lim x x g t dt f t dt βα

β

α→??

=()()()'

'

lim x x g t dt g t dt f t dt

βα

β

α→+??? =()()()0

00

lim x x f t dt f t dt f t dt β

α

β

α→+???

=()()0

lim x x f t dt f t dt β

α

β

α→??

=1.

例17：求极限()()

2

ln 1arcsin 3

1cos lim

x x

x t dt

x

+→-?.

解法1： 利用推论得

()()

2

ln 1arcsin 3

1cos lim

x x

x t dt

x +→-?=2

2

30

2lim

x x

x t dt

x →?

=633066lim x x x x →-= 1

6-.

解法2：直接用洛必达法则

()()

2

ln 1arcsin 3

1cos lim

x x

x t dt

x

+→-?

=2

2

2002[1cosln(1)]1lim 3x x x x x x →→-+?+- =2201

arcsin 2lim 3x x

x

→- =1

6-

.

由此可见，利用等价无穷小求极限可先突破积分符号代换再求解.

2.5等价无穷小在级数敛散中的应用

定理[1]

10 设有正项级数

1

n

n u

∞

=∑和级数

1

n

n v

∞

=∑，且n u ，n v 为等价无穷小()n →∞，则

1

n n u ∞=∑和1

n

n v

∞

=∑有相同的敛散性.

证：由正项级数的比较审敛法可知，若lim n n n

u

l v →∞=，且0l <<∞时，级数

1

n

n u

∞

=∑和级

数

1

n

n v

∞

=∑同时收敛或同时发散，而由题意可得lim

1n

n n

u v →∞=，即证定理.

例18：判别级数21

1

ln(1)n n

∞

=+

∑的敛散性. 解： 因为 当n →∞时，21ln(1)0n +

→ ，210n

→ 且 22

1ln(1)lim

11

n n n →∞

+

=

而级数

211n n

∞

=∑ 收敛

∴ 级数21

1

ln(1)n n ∞

=+∑收敛

例19：设n a =ln 1n

p n n ?

?- ???，讨论n a ∑的敛散性.

解 因为 n a =ln 1n

p n n ??- ??

?=ln ln 1n

p n n e ??

- ?

?

?，

而

ln lim

0x n

n

→∞=

所以 l n l n l n 1p n p n n n ??--

???

即

n a ln ln 1n

p n n e

??- ?

?

?=p

n

-

所以 当

1p >时级数n a ∑收敛，当1p ≤时级数n a ∑发散.

3 总结

综上所述，利用等价无穷小在求极限运算时有相当广泛的应用．等价无穷小替换可以使极限问题化繁为简，化难为易．但是不是所有的均可用等价无穷小直接替换，代换是有条件的.所以解题时应注意使用条件是否满足，并选用恰当的等价无穷小替换进行求解方可达到事半功倍的效果．

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析上、下册第三版[M].高等教育出版社, 2001年6月第3版. [2]刘三阳，于力，李光明.学分析选讲[M]，北京科学出版社，2007.

[3]同济大学数学系.高等数学(上册)[M].第六版.北京:高等教育出版社,2007:60.

[4]孙清华、孙昊武.数学分析内容、方法与技巧（上）.武汉华中科技大学出版社，2003年7月. [5]沐国宝.等价无穷小在求幂指函数极限中的应用[J].上海应用技术学院学报,2002,6. [6]冯变英.幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨[J].运城学院学报,2006,10.

[7]屈红萍,赵文燕.等价无穷小代换求极限的方法推广[J].保山学院学报,2011,(2):54一57. [8]周玉霞.关于正项级数敛散性判定的一类方法[J].大学数学.2006,23(01):109-110. [9]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:36.

[10]钱吉林等.数学分析题解精粹[M].第二版.武汉:崇文书局,2009:85.

[11]吉林师范大学数学系.数学分析讲义（第4版）[M].北京：高等教育出版社.

[12]杨文泰. 等价无穷小量代换定理的推广[J]. 甘肃高师学报,2005,10(2).

[13]陈文灯.高等数学复习指导[M].北京:清华大学出版社,2003.

Application of equivalent infinitesimal in problem solving

Engineering and Design Math 111 Wu YuLan Director: Lan ChunXia

Abstract:Application of the equivalent this paper focuses on solving the limit of infinitesimal, in higher mathematics learning for learning and the ability to solve problems to promote the role of limit.

Keywords:Equivalent infinitesimal；Limit；Replace；Application

致谢

等价无穷小替换_极限的计算

无穷小 极限的简单计算 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+ →0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞ →+∞→∞→∞ →∈00 0x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即 ()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都 不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即 ()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0l i m =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim ()()(),x x x f x A f x A x α? =? +其中)(x α是自变量在同一变化过程 0x x →（或∞→x ）中的无穷小.

考研数学1.1利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题

2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题． 考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。 下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。 例1：求极限30tan sin lim x x x x →- 解：3300tan sin lim lim 0x x x x x x x x →→--== 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题． 若~',~'ααββ,则~''αβαβ--.考察这个命题， lim lim lim 11αβααβαβββαββαααβββ ''''-?-''-==---，当lim 1αβ≠时,这个命题是真命题；当lim 1αβ =时,命题是假命题． 对于例1，因为， sin ,tan ,''x x x αβαβ====，00sin lim lim 1tan x x x x αβ→→== 所以，证明的结论是错误的． 正确解答: 2 333000tan sin tan (1cos )12lim lim lim 2 x x x x x x x x x x x x →→→--==. 例2：求201sin(sin )lim x x x x → 错误解答: 2200011sin(sin )sin 1lim lim lim sin 0x x x x x x x x x x x →→→=== 错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换： ()2211sin sin sin ,0x x x x x ?? → ?? ?:

(完整word)高等数学等价替换公式

无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x Θ .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。

高等数学等价无穷小替换

无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ） 函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n

定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系:

高等数学等价无穷小替换_极限的计算

讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用

→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim () ()(),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α ).()(x A x f α+=∴

三角函数极限等价无穷小公式

三角函数公式整合： 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB- cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB- cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα

大学高等数学等价无穷小#(精选.)

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。 如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！ 问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。 比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)， 所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。 但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)， 此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。 碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。

关于高等数学等价无穷小替换极限的计算

讲义 无穷小极限的简单计算【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{} -+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即 ()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时，Λ、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷

考研数学等价无穷小代换

考研数学等价无穷小代换 更多技巧尽在考研数学（https://www.wendangku.net/doc/bc12944879.html,/u/2461250915）每周至少更新两次 众所周知，考研数学里面一部分题目需要求极限，大多数同学处理这类问题的方法是洛必达法则，但是，运用洛必达法则运算量大，运算步骤繁琐，因而也就容易出错，稍有不慎，则会算错，尤其对于选择填空题，一旦算错，一分也没有，而且，洛必达法则需要的时间也较多，如果一味的使用洛必达法则，则有可能浪费大量的时间，得不偿失。这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧，基本上可以涵盖所有的求极限题目，因为，我们所学的初等函数有五类，反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，简称反对幂三指，以下是这五类函数的无穷小代换。以下x均趋近于0 常见代换：x~sin x~tan x~arctan x~arcsin x 幂函数代换：(1+x)λ~λx+1 λ可以取整数也可以取分数 指数函数代换：e x ~x + 1 a x ~ lna·x + 1 对数代换：ln(1+x) ~ x log a(1+x) ~ x/lna 差代换：1.二次的：1－cos x ~ x2/2 x－ln(1+x) ~ x2/2 2三次的：(1)三角的：x －sin x ~ x3/6 tan x －x ~ x3/3 tan x －sin x ~ x3/2 (2)反三角的：arcsin x －x ~ x3/6 x －arctan x ~ x3/3 arcsin x －arctan x ~x3/2 下面来举几个例子简单的说一下这些技巧怎么用 例如：求：当x→0时，lim(arcsin x－arctan x)/ x3的值。 当求这个极限的值的时候，如果用洛必达法则，计算量则会很大，这里不再赘述运用洛必达法则如何求解，只介绍如何使用上述技巧。 lim(arcsin x－arctan x)/ x3=lim(1/2 x3)/ x3=1/2 大家可以自己做一下洛必达法则的方法，对比一下两者之间的差别。 需要注意的是，等价无穷小的运用往往不止一次，只要发现运用洛必达法则运算困难，则可以尝试等价无穷小代换。

等价无穷小公式大全

1，x\sim \tan x\sim \sin x\sim \arcsin x\sim (e^x-1)\sim\arctan x\sim ln(1+x)\sim ln(x+\sqrt{1+x^2})x～tanx～sinx～arcsinx～(ex?1)～arctanx～ln(1+x)～ln(x+1+x2) 2，(1-\cos x)\sim\frac{1}{2}x^2(1?cosx)～21x2 3，log_a(1+x)\sim\frac{x}{lna}loga(1+x)～lnax 4，(x - \sin x)\sim\frac{1}{6}x^3\sim(\arcsin x-x)(x?sinx)～61x3～(arcsinx?x) 5，(\tan x -x)\sim\frac{1}{3}x^3\sim(x-\arctan x)(tanx?x)～31x3～(x?arctanx) 6，(1+bx)^a-1\sim abx(1+bx)a?1～abx 7，(\tan x-\sin x)\sim \frac{1}{2}x^3(tanx?sinx)～21x3 8，a^x-1\sim xlnaax?1～xlna 9，(\sqrt[n]{1+x}-1)\sim \frac{x}{n}(n1+x?1)～nx 等价无穷小替换公式如下: 以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

等价无穷小是无穷小的一种，也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。 扩展资料: 求极限时，使用等价无穷小的条件： 1. 被代换的量，在取极限的时候极限值为0； 2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换。

关于高等数学等价无穷小替换极限的计算

关于高等数学等价无穷小替换极限的计算 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极 限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用

→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即 ()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1 为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 0 lim () () (),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0 x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α （充分性）设() (),f x A x α其中()x α是当0x x 时的无穷小，则 【意义】 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

高等数学等价无穷小替换

无穷小极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如,,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。

高等数学等价无穷小替换_极限的计算

讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+ →0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用

→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } -+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小 是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()() (),x x x f x A f x A x α? =?+其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim (),x x f x A ?=令()(),x f x A α=-则有0 lim ()0,x x x α?= ).()(x A x f α+=∴

等价无穷小在求函数极限中的应用

等价无穷小在求函数极限中的应用 XX (XX 学院XX 学院 山西XX ) 摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误． 关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言 在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质 定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小． 定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 0)(≠x g ，如果1) () (lim =x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：

当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~1-，22 1 ~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1 -+． 关于等价无穷小，有三个重要性质： 性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为 )(ααβo +=． 性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ'' lim 存在，则 αβαβ' '=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →?→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换 定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化． 例1 求极限2 0sin )1() cos 1(lim x e x x x x --→． 解 当0→x 时，2 2 1~ cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22 021lim x x x x x ?-?→＝2 1-． 例2 求极限) cos 1cos(11lim 4 x x e x x ---→． 解 )cos 1cos(11 lim 4 x x e x x ---→＝42 121lim )cos 1(21lim 224 024 0=?=-→→x x x x x x x x ． 注意0→x 时，424 1 ~)cos 1(21~ )cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小

高等数学等价替换公式

根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。x→0，时x→sinx ; x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1); [(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx →0tanx-sinxx3 给你举几个利用无穷小的例子例1 limx→0tanx-sinxx3 解：原式=limx →0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)=12 此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。例 2 limx→0e2x-31+xx+sinx2 解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53 例3 limx→0(1x2-cot2x) 解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x =limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4 =limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵sinx～x) =limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2 =limx→012x2·(1+cosx)x2=1 解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x =limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4 =limx→02x(tanx-x)x44 (∵tanx～x) =limx→02(tanx-x)x3 =limx→02(sec2x-1)3x2 =23limx→0tan2xx2=23 (∵tanx～x) 例4［3］limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx) =limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。∵x～sinx～tanx(x →0) ∴原式=limx→0+xx=1而得解。

学术论文 14021198 程浩关于等价无穷小替换法则在何种情况下适用于加减法的若干探讨

关于等价无穷小替换法则在何种情况下适用于加减 法的若干探讨 程浩 北京航空航天大学，电子信息工程学院，北京，100191 薛玉梅 北京航空航天大学，数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京， 100191 摘要：本文对等价无穷小替换法则适用于加减法的情形做了 一些探究，并在最后以泰勒公式做了一些推广. 关键字：等价无穷小 替换 泰勒公式 一、引言 我们已经知道，等价无穷小替换法则适用于乘除法，即： 设函数()()()x h x g x f ,,在0x 附近有定义，且()()()0~x x x g x f → 则：若()()a x h x f x x =→0 lim ，则()()a x h x x x =→g lim 0 ； 若()() a x f x h x x =→0 lim ，则()()a x x h x x =→g lim 0.（在0x 附近()()0,0≠≠x g x f ） 那么等价无穷小替换法则在何时适用于加减法呢？当然我们可以轻易推得： 若()()()0~x x x g x f →，则()()()()()()x h x g x h x f x x x x ±=±→→0 lim lim （若两极限存在）但 在参与一些较复杂的运算时就不一定成立了.如： 例1计算x x x x 30 sin sin tan lim -→ 正解 303030sin cos sin lim sin tan lim sin sin tan lim x x x x x x x x x x x x x -=-=-→→→

()21 sin 21cos cos 1sin lim 2230==-=→x x x x x x x 错解 0sin tan tan lim sin sin tan lim 3030=-=-→→x x x x x x x x 究竟是什么原因导致了错误呢？ 原来若我们所求极限是 型极限的话，我们轻易替换可能出现错误，不难验证若分子分母函数的极限都存在且不等于0时，等价无穷小可以适用于加减.因此我 们主要探讨0 型极限.我们只讨论减法运算. 二、从无穷小阶量化角度得到的结论 笔者从无穷小量化的角度得到了如下结论： 定理1设()()()0~x x x g x f →，()0lim 0 =→x h x x ，()0lim 0 =→x F x x ，()()() a x F x h x f x x =-→0 lim , （1）当()x f 和()x h ()0x x →不是等价无穷小量，则 ()()()()()() a x F x h x f x F x h x g x x x x =-=-→→00 l i m l i m ； （2）当()()()0~x x x h x f →，则 ()()()()()() a x F x h x f x F x h x g x x x x =-=-→→00 lim lim 成立当且仅当()()x g x f -是()x F 的高阶无穷小量. 证明 以下设()x h 的阶数为m ，()x f 的阶数为n ，()()x h x f -的阶数为p ，()x F 的阶数为 q ， ()()x g x f -的阶数为s.

利用等价无穷小求极限(修订版)

利用等价无穷小求极限 常见等价无穷小： ①u u ~sin ,②u u ~tan ,③)2 11~(cos 21~cos 122u u u u --,④u u ~arcsin , ⑤u u ~arctan ,⑥u u ~)1ln(+,⑦)1~(~1+-u e u e u u ,⑧1~)1(++u u αα ,⑨121~ 1++u u . ⑩f g e f f g g ln ~11ln -=-(利用了对数的定义和⑦)1~(~1+-u e u e u u ). 解题方法：1.利用等价无穷小代换定理将复杂函数转换成易求极限值的函数。 2.某些地方无法求下去时可以考虑洛必达法则。 3.使用一些化简技巧使得函数变成可以利用的等价无穷小模型。 例1.x x e x x cos 1sin )1(lim 20--→求. 解:由x e x 2~12-⑦,x x ~sin ①,221~cos 1x x -③,42 12lim 20=?=→x x x x 原式. 例2..)1(sin lim 20--→x x e x x x 求 解：由2~12x e x -⑦,221~ cos 1x x -③, 6 1321lim 3cos 1lim sin lim 2202020==-?-=→→→x x x x x x x x x x x 洛必达原式. 例3.求11 sin 1lim 20--+→x x e x x . 解：由1sin 2 1~sin 1++x x x x ⑨,2~12x e x -⑦, 原式=.2 1sin lim 21sin 21lim 11sin 21lim 0020===-+→→→x x x x x x x x x x 例4.求.)(lim 20x a x a x x x -+→

三角函数、极限、等价无穷小公式

三角函数、极限、等价 无穷小公式 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角函数公式整合： 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα