第六章弯曲应力3

材料力学第2版 课后习题答案 第6章 弯曲应力

弯曲应力 6-1求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。 题6-1图 解：（a ）m KN M m m ?=?5.2m KN M ?=75.3max 4 88 44108.49064101064m d J x ??×=××==ππ（压） MPa A 37.20108.490104105.2823=××××=??σMPa 2.3810 8.4901051075.38 23max =××××=?? σ

（b ）m KN M m m ?=?60m KN M ?=5.67max 4 88 331058321210181212m bh J x ??×=××==（压）MPa A 73.6110583210610608 23=××××=??σMPa 2.104105832109105.678 23max =××××=??σ（c ）m KN M m m ?=?1m KN M ?=1max 48106.25m J x ?×=3 6108.7m W x ?×=cm y A 99.053.052.1=?=（压）MPa A 67.38106.251099.01018 23=××××=??σMPa 2.128106.251018 3 max =××=?σ6-2 图示为直径D ＝6cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。 解：) 1(32 43 1απ?=D W x

? ??????×××=?463)64(110326π3 61002.17m ?×=3 46332 1021.2132 10632m D W x ??×=××==ππMPa 88.521002.17109.063 1=××=?σMPa 26.5510 21.2110172.16 3 1=××=?σMPa 26.55max =σ6-3T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。已知I z =10170cm 4，h 1=9.65cm ，h 2=15.35cm 。 解：A 截面： （拉） Mpa 95.371065.910 1017010402 831 max =××××=??σ（压）Mpa 37.501035.1510 10170104028 3 1 min ?=××××?=??σE 截面

材料力学答案第六章

第六 弯曲应力 第六章答案 6.1钢丝直径d=0.4mm, 弹性模量E=200GPa, 若将钢丝弯成直径D=400mm 的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。（200MPa ） 解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为： EI M = ρ 1 则： ρ EI M = ，由弯曲正应力公式得ρ σmax max My = = ρ max Ey ，钢丝弯成圆弧后，产生的弯 曲变形，其中性层的曲率半径2 2D d D ≈+= ρ 2 )2(max D d E = σ==D Ed MPa 2004004.0102003 =?? 6.2 矩形截面梁如图所示。b = 8cm, h =12cm, 试求危险截面上a 、c 、d 三点的弯曲正应力。（20.8MPa, 10.4MPa, 0） 解：由平衡方程 0)(=∑F M A 得到： KN F F B A 4422 1 =??= = 危险截面在梁的中点处： KNm ql M 4428 1 8122max =??== I z = 121 2h b ??=4431011521208012 1mm ?=?? M P a I My MPa I My I My z d d z c c z a a 83.2010 11526010442.1010115230 1040 4 646=???===???====σσσ A F B F s F M M 机械 土木

6.3 从直径为d 的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h 和宽b 。(h= d 36, b=d 3 3) 解：最大弯曲正应力： z z W M y I M m a x m a x m a x m a x == σ h/b 的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。抗弯截面系数： )(6 1 )(616132222b b d b d b bh W -=-== 为b 为自变量的函数。 由 06 322=-=b d dt dW 3 6 333222d b d h d d b =-=== 6.4 图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布 图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。（3 2a 16ql 3, 3 2a 8ql 3） 解：做出梁的弯矩图如右所示： （1）对于整体截面梁： 3223 2 )2(3161a a a bh W z =?== 故：3232max max 1633 281a ql a ql W M z = == σ （2）对于两根方木叠置 由于这是两个相同的方木叠合而成， 且其之间不加任何的联系，故有 3 2163a ql 3 2163a ql M 1 机械 土木 M 8

第六章弯曲应力

第六章 弯曲应力 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 纯弯曲、横力弯曲、弯曲正应力、惯性矩、抗弯截面系数、弯曲刚度、弯曲切应力（剪应力）。应熟练理解和掌握这些基本概念。 1.2 平面弯曲 工程实际中的梁，大多数是具有一个纵向对称面的等截面直梁。 外载荷作用在梁的纵向对称面内，并垂直于梁的轴线，梁弯曲时轴线将在对称平面内弯曲成平面曲线，这种弯曲叫平面弯曲。当梁横截面上既有弯矩又有剪力时，梁的弯曲是横力弯曲（或剪切弯曲）；梁横截面上只有弯矩而没有剪力时，梁的弯曲是纯弯曲。 1.3 弯曲正应力 梁在纯弯曲时的正应力是综合运用变形几何关系、物理关系和静力平衡关系推导出来的，推导弯曲正应力公式的方法，与推导轴向拉压正应力公式和扭转切应力公式的方法相同。弯曲正应力公式 z I My = σ 式中M 为所研究截面的弯矩；z I 分为截面图形对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点到中性轴的距离。计算时，M 和y 均用代数值代入，由此得到所求点的应力符号，同样也可根据梁的变形情况来确定。梁弯曲正应力公式适用材料处于线弹性范围内的纯弯曲梁，可推广到横力弯曲以及小曲率杆的弯曲中。 1.4 弯曲切应力 弯曲切应力公式的推导不是按照变形几何关系、物理关系、平衡关系三方面进行的，而是根据分析对弯曲切应力的分布规律作出假定——平行于剪力F s 且沿截面厚度均匀分布，然后利用平衡关系直接导出矩形截面切应力公式 * z z F S bI τ=s 式中，F s 为截面上的剪力；z I 为整个截面对中性轴的惯性矩；b 为所求切应力处横截面的 宽度；* z S 为截面上距中性轴为y 的横线任一侧部分面积对中性轴的静矩。 1.5 弯曲强度条件 1 正应力强度条件

第六章-弯曲应力(2)

第六章 弯曲应力（Ⅱ） 6.2.1 下列各梁中，AB 段为纯弯曲的有（ ）。 2 2 6.2.2下列关于圆环截面几何性质的算式中正确的有（ ）。 （A ）()4 464 P I D d π =- （B ）()4 432P I D d π = - （C ）()4464 z I D d π =- （D ）()4 432 z I D d π = - （E ）()3 332 z W D d π = - （F ）() 4 432z W D d D π = - 6.2.3图示箱形截面梁的抗弯截面系数为（ ）。 （A ）2266z BH bh W =- （B ）331 ()6z W BH bh H =- （C ）33 1()12z W BH bh H =- （D ）331212z BH bh W =- 图6.2.2 图6.2.3

6.2.4图示截面的抗弯截面系数为（ ）。 （A ）3 2326z d bh W π=- （B ）43 6412 z d bh W π=- （C ）431326z d bh W d π??=- ??? （D ）431326z d bh W h π?? =- ??? 6.2.5用直径为d 的圆形木切割出一根高h ，宽b 的矩形截面梁，若使梁对z 轴 的抗弯截面系数为最大，则h /b 是（ ）。 （A ）2.0 （B （C ）1.5 （D 图6.2.4 图6.2.5 6.2.6悬臂梁由两根T 形截面叠起来放置（略去相互之间的摩擦力） ，受力如图所示。任一横截面上的正应力分布规律应是（ ）。 ( D ) ( C ) ( B ) ( A )图6.2.6 6.2.7圆形截面悬臂梁由圆筒B 套入实心圆杆A 而成，略去两接触面间的摩擦力，材料弹性模量2B A E E =。 （1）他们最大正应力的比 max max A B σσ是（ ）。 （A ）15/2 （ B ）1/2 （ C ）1/4 （ D ）1 （2）任一横截面上正应力的分布规律是（ ）。 ( A )( B )( C ) ( D ) 图6.2.7

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弯曲应力 从7题之后差一个题号！！ 6-1 求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。 题6-1图

解：（a ）m KN M m m ?=-5.2 m KN M ?=75.3max 4 88 44 108.49064 101064 m d J x --?=??= = ππ MPa A 37.2010 8.490104105.28 2 3=????=--σ （压） MPa 2.38108.4901051075.38 23max =????=--σ （b ）m KN M m m ?=-60 m KN M ?=5.67max 4 88 331058321210181212m bh J x --?=??== MPa A 73.6110583210610608 2 3=????=--σ （压） MPa 2.10410 5832109105.678 23max =????=--σ （c ）m KN M m m ?=-1 m KN M ?=1max 4 8 106.25m J x -?= 3 6108.7m W x -?= cm y A 99.053.052.1=-= MPa A 67.3810 6.251099.01018 2 3=????=--σ （压） MPa 2.12810 6.251018 3 max =??=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。

解：) 1(3243 1 απ-= D W x ? ?? ? ? -???= -463 )64(11032 6π 3 61002.17m -?= 3 46 33 2 1021.2132 10632 m D W x --?=??= = ππ MPa 88.521002.17109.063 1=??=-σ MPa 26.5510 21.2110172.16 3 1=??=-σ MPa 26.55max =σ

动画弯曲应力

第六章 弯曲应力 授课学时：6学时 主要内容：纯弯曲的正应力；横力弯曲切应力。 $6.1 梁的弯曲 1．横力弯曲 横截面上既有Q 又有M 的情况。如 AC 、DB 段。 2．纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD 段。 3．梁的纯弯曲实验 （1）现象：横向线a-b 变形后仍为直线，但有转动；纵向线变a a 变为曲线，且上面压缩下面拉伸；横向线与纵向线变形后仍垂直。 （2）中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 （3）中性轴：中性层与横截面的交线。 a a b b m m 纵向对称面

$6.2纯弯曲时的正应力 1．变形几何关系 从梁中截取出长为dx 的一个微段，横截面选用如图所示的z y -坐标系。图中，y 轴为横截面的对称轴，z 轴为中性轴。从图中可以看到，横截面间相对转过的角度为θd ，中 m m 性层' 'o o 曲率半径为ρ，距中性层为y 处的任一纵线（纵向纤维）' 'b b 为圆弧曲线。因此，纵线bb 的伸长为 θθρθρθρyd d d y dx d y l =-+=-+=?)()( 而其线应变为 ρ θρθεy d yd bb l ==?= 纵向纤维的应变与它到中性层的距离y 成正比。 2．物理关系 梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为 y E E ρ εσ= = m dA x z

该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比。中性轴z 上各点的正应力均为零，中性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 3．静力关系 横截面上坐标为),(z y 的点的正应力为σ，截面上各点的微内力dA σ组成与横截面垂直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量，即平行x 轴的轴力N ，对z 轴的力偶矩z M 和对轴的力偶矩y M ，分别为 ?=A dA N σ，?=A y dA z M σ，?=A z dA y M σ 考虑左侧平衡， ∑=0X ，∑=0y M ，得 ?==A dA N 0σ， ?==A y dA z M 0σ 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩z M ?? == =A A z M dA y E dA y M 2ρσ 式中积分 z A I dA y =? 2 是横截面对中性轴z 的惯性距，上式可写成为 EI M = ρ 1 式中，Z EI 越大，则曲率 ρ 1 越小。因此，Z EI 称为梁的抗弯刚度。将该式代入y E E ρ εσ= =，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式 z I My = σ 即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹入的一侧受压。 则截面上的最大正应力为

第六章 弯曲应力(习题解答)

6-3、图示矩形截面梁受集中力作用，试计算1-1横截面上a 、b 、c 、d 四点的正应力。 解：（1）外力分析，判变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直，沿水平方向。 （2）内力分析，弯矩图如图（b ）所示，1-1横截面的弯矩为： 1115230(M -=-?=-?kN m ) （3）应力分析，梁上边有弯矩图，上侧纤维受拉。1-1横截面上的a 点处于拉伸区，正应力为正；c 点处于中性层上，正应力为零；b 、d 两点处于压缩区，正应力为负。 3 111111m ax 2 301011.1110.1800.3 6 a a z z z M M M y y I I W σ---?= ?= ?= = =??P a M P a 。 11.11b a σσ=-=-M Pa 0c σ= 3 113 3010(0.1500.050)7.4110.1800.3 12 d d z M y I σ-?=- ?=- ?-=-??P a M P a 37 M kN V 图(kN ) (a) (c) (b) (c) (e) (d) 2 + q l /8 M kN ·m) (f) 180 q a a 题6-3图 题6-5图 6-5、两根矩形截面简支木梁受均布荷载q 作用，如图所示。梁的横截面有两种情况，一是如图(b)所示是整体，另一种情况如图(c)所示是由两根方木叠合而成（二方木间不加任何联系且不考虑摩擦）。若已知第一种情况整体时梁的最大正应力为10MPa ，试计算第二种情况时梁中的最大正应力，并分别画出危险截面上正应力沿高度的分布规律图示。 解：（1）外力分析，判变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。第一种情况中性层为过轴线的水平纵向面，中性轴z 轴过整体形心C 与载荷垂直，沿水平方向。而第二种情况，两根木梁以各自的水平纵向面为中性层发生弯曲，两根中性轴为与荷载垂直的水平形心主轴。如图所示。 （2）内力分析，判危险面：弯矩图如图（b ）所示，跨中截面为危险面。 （3）应力分析，判危险点：对于第一种情况，横截面为一个整体，跨中截面的上下边缘点正应力强度的危险点。而第二种情况，上下两块有各自的中性轴，因此，两根梁跨中的上下边缘均为正应力强度的危险点。 第一种情况：1 m ax m ax m ax m ax m ax 2 3 3310(2) 426 6 z M M M M a a a W a σ= = = = =?M P a

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弯曲应力 从7题之后差一个题号！！ 6-1 求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。 题 6-1图 解：（a ）m KN M m m ?=-5.2 m KN M ?=75.3max 488 44 108.49064 101064 m d J x --?=??= = ππ

MPa A 37.20108.490104105.2823=????=--σ （压） MPa 2.3810 8.4901051075.38 23max =????=--σ （b ）m KN M m m ?=-60 m KN M ?=5.67max 488 331058321210181212m bh J x --?=??== MPa A 73.6110 583210610608 2 3=????=--σ （压） MPa 2.104105832109105.678 23max =????=--σ （c ）m KN M m m ?=-1 m KN M ?=1max 4 8106.25m J x -?= 3 6108.7m W x -?= cm y A 99.053.052.1=-= MPa A 67.3810 6.251099.01018 2 3=????=--σ （压） MPa 2.128106.251018 3 max =??=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。

解：)1(32 43 1απ-= D W x ??? ? ? -???= -463 )64(11032 6π 3 6 1002.17m -?= 346 33 21021.2132 10632 m D W x --?=??= = ππ MPa 88.521002.17109.06 3 1=??=-σ MPa 26.551021.2110172.16 3 1=??= -σ M P a 26.55max =σ 6-3 T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。 已知I z =10170cm 4，h 1=9.65cm ，h 2=15.35cm 。 解：A 截面： M p a 95.371065.910 101701040283 1 max =????=--σ （拉）

第六章 弯曲应力(1)

第六章 弯曲应力（Ⅰ） 6.1.1 平面弯曲变形的定义是（ ）。 （A ）梁弯曲变形后横截面仍保持为平面 （B ）梁弯曲变形时荷载均匀作用在同一平面内 （C ）梁弯曲变形后的轴线是一条平面曲线 （D ）梁弯曲变形后的轴线与荷载作用在同一平面内 6.1.2在图示四种情况下，横截面上剪力Q 和弯矩M 均为负的是（ ）。 图 6.1.2 M ( D ) ( B ) M ( C ) ( A ) 6.1.3图示悬臂梁1-1、2-2和3-3横截面上的剪力和弯矩分别是 1Q = ，1M = ，2Q = ，2M = ，3Q = ，3M = 。 6.1.4简直梁的外力和支座反力如图所示。1-1、2-2和3-3横截面上的剪力和弯矩分别是1Q = ，1M = ， 2Q = ，2M = ，3Q = ，3M = 。 6.1.5在梁的集中力P 作用处，（ ）。 （A ）Q 图有突变，M 图光滑连续 （B ）Q 图有突变，M 图有尖角 （C ）Q 图无突变，M 图有突变 （D ）Q 图无突变，M 图有尖角 在集中力P 作用处两端横截面上剪力的突变值为 。 6.1.6在梁的集中力偶m 作用处，（ ）。 （A ）Q 图有突变，M 图无变化 （B ）Q 图有尖角，M 图有突变 （C ）Q 图无突变，M 图有突变 （D ）Q 图有尖角，M 图无突变 在集中力偶m 作用处两端横截面上弯矩的突变值为 。 6.1.7梁在某截面处的剪力0Q =时，则该截面处弯矩为（ ）。 （A ）极值 （B ）零值 （C ）最大值 （D ）最小值 6.1.8在梁的某段上无荷载作用时，则该梁段上的Q 图是一条（ ），M 图一般是一条（ ）。 （A ）水平直线 （B ）斜直线 （C ）上凸抛物线 （D ）下凸抛物线 图6.1.3 图6.1.4