高等数学第十二章答案 同济五版12-9
习题12-9
1. 求下列各微分方程的通解:
(1)2y ''+y '-y =2e x ;
解 微分方程的特征方程为
2r 2+r -1=0, 其根为2
11=r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211.
因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y *=Ae x ,
代入原方程得
2Ae x +Ae x -Ae x =2e x ,
解得A =1, 从而y *=e x .
因此, 原方程的通解为
x x x e e C e C y ++=-2211.
(2)y ''+a 2y =e x ;
解 微分方程的特征方程为
r 2+a 2=0,
其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为
Y =C 1cos ax +C 2sin ax .
因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y *=Ae x ,
代入原方程得
Ae x +a 2Ae x =e x , 解得211
a
A +=, 从而21*a e
y x +=. 因此, 原方程的通解为
2
211s i n c o s a e ax C ax C y x +++=.
(3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1;
解 微分方程的特征方程为
2r 2+5r =0,
其根为r 1=0, 2
52-=r , 故对应的齐次方程的通解为 x e C C Y 2521-+=.
因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根,
故原方程的特解设为
y *=x (Ax 2+Bx +C ),
代入原方程并整理得
15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 25
75331*23+-=. 因此, 原方程的通解为
x x x e C C y x 25
7533123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ;
解 微分方程的特征方程为
r 2+3r +2=0,
其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为
Y =C 1e -x +C 2e -2x .
因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根,
故原方程的特解设为
y *=x (Ax +B )e -x ,
代入原方程并整理得
2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)32
3(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为
)32
3(2221x x e e C e C y x x x -++=---. (5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ;
解 微分方程的特征方程为
r 2-2r +5=0,
其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为
Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ).
因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y *=xe x (A cos2x +B sin2x ),
代入原方程得
e x [4B cos2x -4A sin2x ]=e x sin2x , 比较系数得41-=A , B =0, 从而x xe y x 2cos 4
1*-=. 因此, 原方程的通解为
x xe x C x C e y x x 2cos 4
1)2sin 2cos (21-+=. (6)y ''-6y '+9y =(x +1)e 3x ;
解 微分方程的特征方程为
r 2-6r +9=0,
其根为r 1=r 2=3, 故对应的齐次方程的通解为
Y =e 3x (C 1+C 2x ).
因为f (x )=(x +1)e 3x , λ=3是特征方程的重根,
故原方程的特解设为
y *=x 2e 3x (Ax +B ),
代入原方程得
e 3x (6Ax +2B )=e 3x (x +1), 比较系数得61=A , 21=B , 从而)2
161(*233x x e y x +=. 因此, 原方程的通解为
)2
161()(233213x x e x C C e y x x +++=. (7)y ''+5y '+4y =3-2x ;
解 微分方程的特征方程为
r 2+5r +4=0,
其根为r 1=-1, r 2=-4, 故对应的齐次方程的通解为
Y =C 1e -x +C 2e -4x .
因为f (x )=3-2x =(3-2x )e 0x , λ=0不是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y *=Ax +B ,
代入原方程得
4Ax +(5A +4B )=-2x +3, 比较系数得21-=A , 811=B , 从而8
1121*+-=x y . 因此, 原方程的通解为
8
1121421+-+=--x e C e C y x x . (8)y ''+4y =x cos x ;
解 微分方程的特征方程为
r 2+4=0,
其根为r =±2i , 故对应的齐次方程的通解为
Y =C 1cos2x +C 2sin2x .
因为f (x )= x cos x =e 0x (x ?cos x +0?sin x ), λ+i ω=i 不是特征方程的根, 故原方程的特解设为
y *=(Ax +B )cos x +(Cx +D )sin x ,
代入原方程得
(3Ax +3B +2C )cos x +(3Cx -2A +3D )sin x =x cos x , 比较系数得31=A , B =0, C =0,9
2=D , 从而x x x y sin 92cos 31*+=. 因此, 原方程的通解为
x x x x C x C y s i n 9
2c o s 31s i n 2c o s 21+++=. (9)y ''+y =e x +cos x ;
解 微分方程的特征方程为
r 2+1=0,
其根为r =±i , 故对应的齐次方程的通解为
Y =C 1cos x +C 2sin x .
因为f (x )=f 1(x )+f 2(x ), 其中f 1(x )=e x , f 2(x )=cos x , 而
方程y ''+y =e x 具有Ae x 形式的特解;
方程y ''+y =cos x 具有x (B cos x +C sin x )形式的特解,
故原方程的特解设为
y *=Ae x +x (B cos x +C sin x ),
代入原方程得
2Ae x +2C cos x -2B sin x =e x +cos x , 比较系数得21=A , B =0,21=C , 从而x x e y x sin 2
21*+=. 因此, 原方程的通解为
x x e x C x C y x s i n 2
21s i n c o s 21+++=. (10)y ''-y =sin 2x .
解 微分方程的特征方程为
r 2-1=0,
其根为r 1=-1, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为
Y =C 1e -x +C 2e x .
因为x x x f 2cos 2
121sin )(2-==, 而
方程2
1=-''y y 的特解为常数A ; 方程x y y 2cos 2
1-=-''具有B cos2x +C sin2x 形式的特解, 故原方程的特解设为
y *=A +B cos2x +C sin2x ,
代入原方程得
x x C x B A 2c o s 2
1212s i n 52c o s 5-=---, 比较系数得21-=A ,101=B , C =0, 从而x y 2cos 10
121*+-=. 因此, 原方程的通解为
2
12c o s 10121-++=-x e C e C y x x . 2. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:
(1)y ''+y +sin x =0, y |x =π=1, y '|x =π=1;
解 微分方程的特征方程为
r 2+1=0,
其根为r =±i , 故对应的齐次方程的通解为
Y =C 1cos x +C 2sin x .
因为f (x )=-sin2x =e 0x (0?cos2x -sin2x ), λ+i ω=i 是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y *=A cos2x +B sin2x ,
代入原方程得
-3A cos 2x -3B sin2x =-sin2x ,
解得A =0, 31=B , 从而x y 2sin 3
1*=. 因此, 原方程的通解为
x x C x C y 2s i n 3
1s i n c o s 21++=. 由y |x =π=1, y '|x =π=1得C 1=-1, 3
12-=C , 故满足初始条件的特解为
x x x y 2s i n 3
1s i n 31c o s +-+-=. (2)y ''-3y '+2y =5, y |x =0=1, y '|x =0=2;
解 微分方程的特征方程为
r 2-3r +2=0,
其根为r 1=1, r 2=2, 故对应的齐次方程的通解为
Y =C 1e x +C 2e 2x .
容易看出2
5*=y 为非齐次方程的一个特解, 故原方程的通解为
2
5221++=x x e C e C y . 由y |x =0=1, y '|x =0=2得
?????=+=++2
21252121C C C C , 解之得C 1=-5, 2
72=C . 因此满足初始条件的特解为 2
527521++-=x x e e y . (3)y ''-10y '+9y =e 2x , 76|0==x y , 7
33|0='=x y ; 解 微分方程的特征方程为
r 2-10r +9=0,
其根为r 1=1, r 2=9, 故对应的齐次方程的通解为
Y =C 1e x +C 2e 9x .
因为f (x )=e 2x , λ=2不是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y *=Ae 2x ,
代入原方程得
(4A -20A +9A )e 2x =e 2x , 解得71-=A , 从而x e y 27
1*-=. 因此, 原方程的通解为
x x x e e C e C y 29217
1-+=. 由76|0==x y , 7
33|0='=x y 得2121==C C . 因此满足初始条件的特解为
x x x e e e y 297
12121-+=.
(4)y ''-y =4xe x , y |x =0=0, y '|x =0=1;
解 微分方程的特征方程为
r 2-1=0,
其根为r 1=-1, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为
Y =C 1e -x +C 2e x .
因为f (x )=4xe x , λ=1是特征方程的单根,
故原方程的特解设为
y *=xe x (Ax +B ),
代入原方程得
(4Ax +2A +2B )e x =4xe x ,
比较系数得A =1, B =-1, 从而y *=xe x (x -1).
因此, 原方程的通解为
y *=C 1e -x +C 2e x +xe x (x -1).
由y |x =0=0, y '|x =0=1得
???=--=+1102
121C C C C , 解之得C 1=1, C 2=-1. 因此满足初始条件的特解为
y =e -x -e x +xe x (x -1).
(5)y ''-4y '=5, y |x =0=1, y '|x =0=0.
解 微分方程的特征方程为
r 2-4r =0,
其根为r 1=0, r 2=4, 故对应的齐次方程的通解为
Y =C 1+C 2e 4x .
因为f (x )=5=5e 0?x , λ=0是特征方程的单根,
故原方程的特解设为
y *=Ax ,
代入原方程得
-4A =5, 4
5-=A , 从而x y 4
5*-=. 因此, 原方程的通解为
x e C C y x 4
5421-+=. 由y |x =0=1, y '|x =0=0得16111=C , 16
52=C . 因此满足初始条件的特解为
x e y x 4
516516114-+=. 3. 大炮以仰角α、初速度v 0发射炮弹, 若不计空气阻力, 求弹道曲线. 解 取炮口为原点, 炮弹前进的水平方向为x 轴, 铅直向上为y 轴, 弹道运动的微分方程为
?????=-=02dt
dx g dt y d ,
且满足初始条件
???='=='=====ααc o s | ,0|s i n | ,0|000
000v x x v y y t t t t . 易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为
??
???-?=?=20021s i n c o s gt t v y t v x αα. 4. 在R 、L 、C 含源串联电路中, 电动势为E 的电源对电容器C 充电. 已知E =20V , C =0.2μF(微法), L =0.1H(亨), R =1000Ω, 试求合上开关K 后电流i (t )及电压u c (t ).
解 (1)列方程. 由回路定律可知
E u u C R u C L c c c
=+'??+''??, 即 LC
E u LC u L R u c c c =+'+''1, 且当t =0时, u c =0, u c '=0.
已知R =1000Ω, L =0.1H , C =0.2μF , 故
4101
.01000==L R , 7610510
2.01.011?=??=-LC , 9771020105105=??=?=E LC
E . 因此微分方程为9741010510=?+'+''c c c
u u u . (2)解方程. 微分方程的特征方程为r 2+104r +5?107=0,
其根为r 1, 2=-5?103±5?103i . 因此对应的齐次方程的通解为
])105sin()105cos([32311053
t C t C e u t c ?+?=?-.
由观察法易知y *=20为非齐次方程的一个特解.
因此非齐次方程的通解为
20])105sin()105cos([32311053+?+?=?-t C t C e u t c .
由t =0时, u c =0, u c '=0, 得C 1=-20, C 2=-20. 因此
])105sin()105[cos(2020331053t t e u t c ?+?-=?-(V), )]105sin(104102.0)(3105263t e u u C t i t c c
??='?='=?---(A).
5. 一链条悬挂在一钉子上, 起动时一端离开钉子8m 另一端离开钉子12m , 分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间:
(1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力;
解 设在时刻t 时, 链条上较长的一段垂下x m , 且设链条的密度为ρ, 则向下拉链条下滑的作用力
F =x ρg -(20-x )ρg =2ρg (x -10).
由牛顿第二定律, 有
20ρx ''=2ρg (x -10), 即g x g x -=-''10
. 微分方程的特征方程为
010
2=-g r , 其根为101g r -=,10
2g r =, 故对应的齐次方程的通解为 t g t g e C e C x 102101+=-.
由观察法易知x *=10为非齐次方程的一个特解, 故通解为
10102101++=-t g t g e C e C x .
由x (0)=12及x '(0)=0得C 1=C 2=1. 因此特解为
101010++=-t g t g e e x .
当x =20, 即链条完全滑下来时有101010=+-t g t g e e
,
解之得所需时间
)625l n (10+=g
t s. (2)若摩擦力为1m 长的链条的重量. 解 此时向下拉链条的作用力变为
F =x ρg -(20-x )ρg -1ρg =2ρgx -21ρg 由牛顿第二定律, 有
20ρx ''=2ρgx -21ρg , 即g x g x 05.110
-=-''. 微分方程的通解为
5.10102101++=-t g t g e C e C x .
由x (0)=12及x '(0)=0得4
321==C C . 因此特解为 5.10)(431010++=-t g t g e e x .
当x =20, 即链条完全滑下来时有5.9)(431010=+-t g t g e e ,
解之得所需时间
)3
224319ln(10+=g t s. 6. 设函数?(x )连续, 且满足
??-+=x
x x dt t x dt t t e x 00)()()(???, 求?(x ).
解 等式两边对x 求导得
?-='x
x dt t e x 0)()(??, 再求导得微分方程
?''(x )=e x -?(x ), 即?''(x )+?(x )=e x . 微分方程的特征方程为
r 2+1=0,
其根为r 1, 2=±i , 故对应的齐次方程的通解为 ?=C 1cos x +C 2sin x .
易知x e 2
1*=?是非齐次方程的一个特解, 故非齐次方程的通解为
x e x C x C 2
1s i n c o s 21++=?. 由所给等式知?(0)=1, ?'(0)=1, 由此得2121==C C . 因此
)s i n (c o s 21
x e x x ++=?.