平行四边形性质分类练习题

平行四边形的性质分类练习题

一、角的计算问题

1.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（）

A.1∶2∶3∶4

B.1∶2∶2∶1

C.1∶1∶2∶2

D.2∶1∶2∶1

2.在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）

A.60°

B.80°

C.100°

D.120°

3.在平行四边形ABCD中，已知∠A＝40°，则∠B ＝，∠C＝

，

∠D＝ .

4.在中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝，∠C＝，∠D

＝．

5.在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______.

6.如图，在平行四边形ABCD中，∠-∠=?

A B70，求平行四边形各角的度数。

7.如图，在中，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．求∠ADE，∠EDF，∠FDC的度数．

二、边长计算问题

1.□ABCD的周长为36 cm，AB=7

5

BC，则较长边的长为（）

A.15 cm

B.7.5 cm

C.21 cm

D.10.5 cm

2.如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF 的周长为（）

A.8.3

B.9.6

C.12.6

D.13.6

3.在□ABCD中，AB=3，BC=4，则□ABCD的周长等于_______.

4.在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，周长等于24，则BC＝，CD ＝，AD＝．

5．已知的周长为28cm，AB：BC＝3：4，则AB＝，BC

＝，CD＝，AD＝．

6.在中，∠A＝30°，AB＝7 cm，AD＝6 cm，则＝____________．

7.平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________

8.平行四边形邻边长是4 cm和8cm，一边上的高是5 cm，则另一边上的高是

____________．

9.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且。

（1）说明是等腰三角形。

（2）的哪两边之和等于平行四边形ABCD的周长，为什么？

E

A D

F B C

三、对角线问题

1.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（）

A.2

B.4

C.6

D.8

2.中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，△OAB比△OBC的周长多4，则边AB＝____________，BC＝____________．

3.如图，中，对角线AC长为10 cm，∠CAB＝30°，AB长为6 cm，则

的面积是____________．

4.如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ΔAOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC和BD的和是多少？

5.如图，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长．

6.如图，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么

的周长为多少？

1.如图，在□ABCD中，AB=AC，若□ABCD的周长为38 cm，△ABC的周长比□ABCD 的周长少10 cm，求□ABCD的一组邻边的长.

2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MN是过O点的直线，交BC 于M，交AD于N，BM=2，AN=2.8，求BC和AD的长.

3.如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？

说明理由.

4.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？

角角相似三角形的判定练习

相似三角形的判定练习 【知能点分类训练】 知能点1 角角识别法 1．如图1，（1）若OA OB =_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________． （2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边． （3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______． (1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________，?AC=_______． 4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．5．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）． A．45° B．60° C．75° D．90° (4) (5) (6) 7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________． 8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．

9．如图，D ，E 是AB 边上的三等分点，F ，G 是AC 边上的三等分点，?写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比． 10．如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，4），在坐标轴上找到点C （1，0）?和点D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标，并说明理由． 【综合应用提高】 11．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，?上檐边缘射入的光线照在距窗户 2.5m 处，已知窗户AB 高为2m ，B 点距地面高为1.2m ，求下檐光线的落地点N?与窗户的距离NC ． 12．如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC ． 13．在ABCD 中，M ，N 为对角线BD 的三等分点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD 于F ．（1）试说明△AMD ∽△EMB ；（2）求FN NE 的值．

等腰三角形中的分类讨论问题

关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形”一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cm。 解（2）当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周 长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。 注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 分析：题目没有指明“顶角是底角的4倍”，还是“底角是顶角的4倍”因此必须进行分类讨论。

相似三角形分类整理超全

第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。 ②合比性质：如果 d c b a =，那么d d c b b a ±=±。

等腰三角形中的分类讨论 教案

等腰三角形中的分类讨论（A层）教案 华舍中学盛金华 【教学目标】 1、知识目标：了解“分类讨论思想”的意义；理解分类讨论的步骤以及分类讨论法解题必须遵循总的原则；感受“分类讨论思想”在解决特殊三角形问题中的作用。 2、能力目标：通过“情景—感知—概括—运用—反思”的途径培养学生的观察、发现、类比、归纳、概括、发散以及进行合情推理的能力； 3、情感目标：体验数学学习活动中的成功与快乐，增强他们的求知欲及学好数学的信心；又通过联系与发展、对立与统一的思考方法向学生渗透辩证唯物主义认识论的思想。 【重点】让学生逐步领会等腰三角形中分类讨论思想的应用，建构用分类讨论思想解决问题的模型。 【难点】概括得到用分类讨论思想解决问题的步骤，及提高练习。 【教学手段】多媒体 【教学过程】 一、创设情境，引出分类 1、已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是 2、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为 3、等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是 设计说明：用简单的中考题引出本节课的主题，让学生能在这些题中初步回忆并感受分类讨论思想。 二、观察分析，探究分类 例1 关于角的分类 一个等腰三角形的一个外角等于110 ，则这个三角形的三个角应该为。设计说明：本节课例题主要是围绕两条主线，一是关于角的分类，二是关于边的分类，因为平时接触到的角的分类都比较简单，边的分类则比较复杂，所以重心放在边的分类上面。 变式1：等腰三角形的一个内角为140o，则等腰三角形的底角为 变式2：等腰三角形的一个外角为40o，则等腰三角形的顶角为 变式3：等腰三角形ABC，∠A=40o，则∠B= 例2 关于边的分类 1、已知实数x=4，y=8，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对 2、等腰三角形一腰上的中线把周长分成15和11两部分，则它的底边长等于 小结解分类讨论问题的步骤： (1)分类的原因（为何分类）：条件不确定时 (2)分类的标准（如何分类）：对不确定的条件进行合理分类 (3)逐类讨论：对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)检验总结：将各类情况总结归纳。

平行四边形优题与易错题答案与解析

第6章平行四边形优题与易错题答案与解析 1.在?ABCD中，AB与CD的关系为： AB=CD且AB∥CD 2．考点：三角形中位线定理。 专题：规律型。 分析：十等分点那么三角形中就有9条线段，每条线段分别长，…，让它们相加即可． 解答： 解：根据题意： 图（1），有1条等分线，等分线的总长=；图（2），有2条等分线，等分线的总长=a； 图（3），有3条等分线，等分线的总长=a；… 图（4），有9条等分线，等分线的总长=a=a．故答案为a． 3．考点：三角形中位线定理。 分析：作CF中点G，连接DG，由于D、G是BC、CF中点，所以DG是△CBF的中位线，在△ADG中利用三角 形中位线定理可求AF=FG，同理在△CBF中，也有CG=FG，那么有AF=CF． 解答：解：作CF的中点G，连接DG，则FG=GC 又∵BD=DC∴DG∥BF ∵AE=ED∴AF=FG∴=．故答案为． 4．考点：三角形中位线定理。 分析：根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半． 解答：解：∵点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE，EF，DF分别是原三角形三边的一半， ∴ DEF与△ABC的周长之比=1：2．故答案为1：2． 5．一个任意三角形的三边长分别是6cm，8 cm，12cm，它的三条中位线把它分成三个平行四边形，则它们中周长最小是14 cm．考点：三角形中位线定理。 分析：周长最小的应该是中位线与最短边围成的平行四边形． 解答：解：如图：AB=6cm，AC=8cm，BC=12cm，D，F，E分别为三角形各边中点． 三条中位线把它分成三个平行四边形，则它们中周长最小的应该是中位线与最短边围成的平行四边形即?ADEF． AD=EF=3cm，DE=AF=4cm，其周长为2×3+2×4=14（cm） 故答案为14． 6.考点：三角形中位线定理。

相似三角形基本类型

相似三角形基本类型一、“X”型. B C B C 二、“子母”，“A型”，“斜A ”. B B B （双垂直K型）三、“K”型

C B （三垂直K 型） A C D B C A B D 四、共享型 A B E C D

A B E B B 1.在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE. A B E

1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证∠ABE=∠ACD. A B D 2. A B P 3.如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为斜边并且在AB 的 同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ，连结AE 交CD 于点M ，连结BD 交CE 于点N ，给出以下三个结论：①MN ∥AB ；②1MN ＝1AC ＋1 BC ；③M N≤14AB ，其中正确结论的个数 是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

F E C B B' C' 4．如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ， CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ； （2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全 等三角形，并说明理由． 5.

A D B 6.在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为_________. A B C D 7. 0 90A E ∠=∠=°, 1 2 EDB C ∠= ∠. (1)当AB=AC 时,①∠EBF=_________.

中考数学《相似三角形判定》专题练习含解析考点分类汇编.doc

2019-2020 年中考数学《相似三角形的判定》专题练习含解析考点分类汇编 学习要求 1．掌握相似三角形的判定定理． 2．能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算． 课堂学习检测 一、填空题 1． ______三角形一边的______和其他两边 ______，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果两个三角形的______对应边的 ______，那么这两个三角形相似． 3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似． 5．在△ ABC 和△ A′B′ C′中，如果∠ A＝ 56°，∠ B＝28°，∠ A′＝ 56°，∠ C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是 ________________．6．在△ ABC 和△ A'B′ C′中，如果∠ A＝ 48°，∠ C＝102°，∠ A′＝ 48°，∠ B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是 ________________．7．在△ ABC 和△ A'B′ C′中，如果∠ A＝ 34°， AC＝ 5cm， AB＝ 4cm，∠ A′＝ 34°，A'C′＝ 2cm， A′B′＝ 1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________ ． 8．在△ ABC 和△ DEF 中，如果 AB＝ 4，BC＝ 3，AC＝6；DE＝ 2.4，EF＝ 1.2，FD ＝ 1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是 __________________．9．如图所示，△ABC 的高 AD ，BE 交于点 F，则图中的相似三角形共有______对． 第 9 题图第 10 题图 10．如图所示，□ABCD 中， G 是 BC 延长线上的一点， AG 与 BD 交于点 E，与 DC 交于点 F ，此图中的相似三角形共有______对． 二、选择题 11．如图所示，不能判定△ ABC∽△ DAC 的条件是 ( ) A ．∠ B＝∠ DAC B．∠ BAC＝∠ ADC C． AC 2＝ DC· BC D． AD2＝ BD· BC 第 11 题第 12 题 12．如图，在平行四边形 ABCD 中， AB＝ 10， AD＝ 6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F ，使△ CBF ∽△ CDE ，则 BF 的长是 ( ) A ． 5 B ． 8.2 C． 6.4 D ． 1.8 13．如图所示，小正方形的边长均为 1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是 ( )

三角形中的分类讨论(含答案)

【中考数学必备专题】分类讨论专题：三 角形中的分类讨论 一、单选题(共1道，每道20分) 1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（） A.75°或15° B.36°或60° C.75° D.30° 答案：A 解题思路：①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， ②当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部， 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 二、填空题(共5道，每道20分) 1.（2011四川凉山）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若

DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是_______． 答案：或 解题思路：首先根据题意作图，注意分为：E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案． 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 2.在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是________. 答案：-4或6 解题思路：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值． 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 3.如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝ 2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______． 答案：80或120 解题思路：本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问

题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B?，第二次交直角边AC于B?，此时DB?=DB，DB?=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB?的度数，在Rt△B?CD中，解直角三角形求∠CDB?，可得旋转角∠BDB?的度数． 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 4.腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为______． 答案：6或2或4 解题思路：分为①底边上的高，②腰上的高——在内部，③腰上的高——在外部； 试题难度：三颗星知识点：勾股定理 5.已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，O为边BC的中点，把△ABC绕点O顺时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始△ABC的边上，那么m=________, 答案：40或140 解题思路：分为点B落在AB上，点B落在AC上两种情况，根据等腰三角形的性质分别求m的值． ①当△ABC绕O点旋转到△A?B?C?位置时，B?落在AB上， 则OB=OB?，旋转角∠BOB?=m=180°-2∠B=40°， ②当△ABC绕O点旋转到△A?B?C?位置时，B?落在AC上，

(精心整理)相似三角形分类讨论

D C B A D C B A C B A C B A C B C P 《相似三角形中分类讨论思想的运用》 一、温故知新： 1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，如果△DEF 与△ABC 相似，则相似比为 2.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中一个三角形一边上的高是6，那么另一个三角形对应边上的高为 3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？ 二、新知学习： 题组一: 1.例1.如图所示，在ABC ?中，AB=6,AC=4,P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若使APQ ?与ABC ?相似，则AQ 的长为 2.变式一：如图所示， 在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?交AB 于点Q ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线有 条. 3. 变式二：如图所示，在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条. 探究：如果ABC ?是直角三角形，点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？等腰三角形呢？ 题组二: 1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE ＝1，联结BE 与对角 线AC 相交于点M ，则MC AM = C B C B C B

2.变式一: 等腰ABC 中，AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上，若PA 与腰垂直，则BP= . 3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三 1.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（点P 与点B 、C 都不重合）， 2．已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长． 三、课后反思： 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论？分类的原则是什么？ 2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题. A C D A C D

相似三角形的判定

相似三角形的判定 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 相似三角形的由来 两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的实际高度，于是，命令祭司们去丈量．可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问题面前，祭司们个个束手无策．既然，人是不可能爬到那么高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来量呢？一时，金字塔的高度成了一个难题．国王一气之下，杀死了几个祭司，同时悬赏求解答． 有一个叫法涅斯的学者，看到国王的招字后，决心解決这个难题．他想了好几个解题的方案，但都行不通．失败并没使他灰心．法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解決的辦法，以致撞到树上．于是，他转了个圈，又走下去．太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里．这时，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向，法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖著一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那么，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度怩？﹁他自言自

语起来． 想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起來．经过几天的观察、测量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度．于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来．然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的招字．国王得到“有人揭下招字”的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待，一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式．测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一起来到金字塔旁．看热闹的人黑压压一片，喧闹着，拥挤著，他们等待着壮观的一刻到来，法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视着自己的影子．看看时间快到了，太阳光给每一个在旁的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子．当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。这时，助手们立即测出了金字塔的阴影CD 的长．接着，法涅斯十分准确地算出了金字塔的高度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告訴大家．场上，发出一阵热烈的观呼声．当然，法涅斯利用了相似三角形的原理测得了塔高．在法捏斯以前，还沒有人知道这个原理呢！法捏斯第一次发现、利用这个原理．在那个时代，这是一个伟大的创举！ 在这个基础上，法涅斯进一步研究，得出一个法则：在任意两個对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等．从而，找到了在任何季节里，在任何时候都能测塔高的方法． 例题精讲 模块一 相似三角形的判定 ?角对应相等、边对应成比例，三角形相似 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，在ABC △与A B C '''△中，',','A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠， ''''''AB BC AC A B B C A C == ，则ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于” ． A ' B ' C ' C B A 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 【例1】 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形．求证：MEF MBA △∽△． M F E D C B A

动点问题中的平行四边形.doc

动点问题中的平行四边形

动点问题中的平行四边形 教学内容：动点问题中的平行四边形 教学要求： 1、利用平行四边形的有关知识解决动点中的相关问题 2、领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在动点问题中的应用. 教学过程 一、复习： 1、平行四边形的性质与判定 2、几何作图的关键 二、新课 1、情境引入，探究已知三点确定平行四边形的第四个顶点。 1．1、张大伯家有一个直角三角形的池塘，如图 1 所示，张大伯打算把池塘在 原有的基础上，把面积扩大一倍后变成一个平行四边形，你能帮张大伯找到这 个平行四边形的第四个顶点么？并说出你的理由！ B B y C A O A x 图1图2 1.2、小结方法：如何确定平行四边形的第四个顶点，你的依据是什么？ 1.3、趁热打铁： 如图 2，在平面直角坐标系中，点 A （1，0） , B（ 0， 2），则 平行四边形 AOBC 的顶点 C 的坐标为 __________________

1.4、变式练习： 如图 2，在平面直角坐标系中，点A（1，0）B（0，2），求以 A、O、 B、 C 为顶点的平行四边形的顶点 C 坐标，则点 C 的坐标为 ____________________ ________________________________. 小结：如何求点的位置，你的依据是什么？ 1.5、举一返三 1、如图 3，在梯形 ABCD 中， AD∥BC, 在 AD边上有一点 P 从点 A 到点 D运动， 速度为每秒 1 个单位，在 CB边上有一点 Q从点 C 向点 B 运动，速度为每秒 2 个 单位，已知 AD=8,BC=12,若 P、Q 同时运动，当四边形ABQP是平行四边形时， P 运动多少秒时 ? A D C B 图 3

等腰三角形分类讨论专题复习

等腰三角形分类讨论专题复习 日期：第页姓名： 一、等腰三角形的分类 1、边分类 2、角分类 3、外角分类 4、一腰上的高与另一腰的夹角 5、一腰上的中线分三角形的周长为两部分 6、一腰上的中垂线与另一腰的夹角 思考：在A B C三边所在的直线上找一点D，使得A B D为等腰三角形，画图说明点D所在的位置 B B B B B B

二、练习姓名： 1、如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是． 2、已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于 3、已知等腰三角形的一边等于5，周长为12，则一边等于 4、已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为 5、等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长 6、在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为 7、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，则顶角的度数为 8、等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是． 9、若一个等腰三角形有一个角为100o，则另两个角为 10、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长 11、一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数 12、(1)等腰三角形的顶角和一个底角的度数的比是4:1，则这个三角形三个内角的度数分别为________，_______，______________.

(2)在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________. 13、等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰的夹角为50o，求底角为 14、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 15、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角 ∠B=____________ 16、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 17、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数。 18、等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，则周长。

相似三角形的判定分类习题集

相似三角形的判定的习题分类编选 一、利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明三角形相似. 1．如图，（1）当∠C=_________时，△OAC∽△OBD．（2）当∠B=_________时，△OAC∽△ODB。 (3）当∠A=_____________，△OAC与△OBD相似． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_____,_∽△_______，△_____∽△______． 3．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 4．如图3，已知A（2，0），B（0，4），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________ 5．如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么与△ABC相似的三角形有______个 图1 图2 图3 图4 图5 图 6 6在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线最多有_____条．7．如图5，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，则图中的相似三角形有_______对． 8．如图6，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，图中有______对相似三角形 9．如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上， 则图中与△DBE相似的三角形是________． 10、如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE． 写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；并证明这两对三角形相似． 11、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F. (1)求证：⊿ABD≌⊿BCE。 (2)求证：⊿AEF∽⊿BEA (3)求证：BD2=AD·DF。 12、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. （1）求证：△ADF∽△DEC。（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长. 13如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD?于点E． 求证：△CDE∽△FAE．

平行四边形的专题应用

专题平行四边形中的简单证明 一、平行四边形的性质 ?沿AC对折，使点B落在B’处，AB’和CD相交于点1．在平行四边形ABCD中，将ABC O，求证：OD=OB’。 ∠=∠ 2．如图，在 ABCD中，点E、F是AC上两点，且AE=CF，求证：EBF FDE 3．如图，在 ABCD的纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处。 （1）求证：AE=AF； ??? （2）求证：ABE AGF 二、平行四边形的判定 4．如图，在 ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，且BF=DE，连AF、CE、BE、DF、AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点，求证：四边形FMEN为平行四边形。

5．如图，AF 与BE 互相平分，EC 与DF 互相平分，求证：四边形ABCD 为平行四边形。 6．如图所示，已知E 为 ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE=DC ，连AE 分别交BC ，BD 于F ，G ，连AC 交BD 于O 点，连OF 。 （1）求证：AF=EF ； （2）DE=4OF 专题 平行四边形中的面积问题 【方法归纳】：充分利用平行四边形的性质及常用的数学思维方法解决与面积有关的问题 一、方程的思想 1． 如图，在 ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，已知AE=4，AF=6， ABCD 的周长为40，求 ABCD 的面积。 2． 如图，E 是 ABCD 内任一点，若6ABCD S = ，则ABE CDE S S ??+=______

二、分类讨论的思想 3．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF 的值为（ ） A ．11+ B ．11- C ．11+11 D ．11或1 三、数形结合的思想 4．基本图形：如图，在 ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 任作直线分别交AD ，BC 于E ，F 。 基本结论：（1）图中的全等三角形有：____________ （2）图中相等的线段有：____________ （3）与四边形ABEF 周长相等的四边形是_____________ （4）过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分， 即ABFE S =四_____ 应用：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为平行四边形，A （5,0），C （1,4）， 过点P （0，-2）的直线分别交于OA ，BC 于M 、N ，且将 OABC 的面积分成 相等的两部分，求点M 、N 的坐标。

等腰三角形分类讨论综合

等腰三角形分类讨论综合 1.理解等腰三角形的性质和判定定理； 2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明； 3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想； 4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形； 5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。 知识结构 【备注】： 1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图； 2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型； 3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟左右。 一．等腰三角形的性质： 二．等腰三角形常见题型分类：

三．函数背景下的等腰三角形的考点分析： 1.求解相应函数的解析式； 2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标； 3.根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类； 4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。 【备注】： 1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考； 2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读 题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量 等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；Array 3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合； 注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题 的分析中来； 4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学生分析题目，边讲 边让学生书写，每个问题后面有答案提示； 5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等； 6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评； 7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题 在时间足够的情况下讲解。

相似三角形详细讲义

知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：

BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若

相似三角形分类整理(超全)上课讲义

相似三角形分类整理 (超全)

第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。

平行四边形对点坐标关系

平行四边形对点坐标关系(线段平移规律) 平行四边形的综合性习题较多，平行四边形的相对两点坐标关系是解决平行四边形存在问题的一种万能方法，这种方法避免了画图不全面而容易丢解的弊端，是一种好的方法！ 教学过程如下： 题目：平面直角坐标系中，已知点M （2,3），N （-3,4），P （-2，-1），请求出点Q 的坐标，使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形。 由于此题的四边形的顶点顺序没有明确给出，所以此题就会出现多种情况，学生遇到的难点会有两个，一个是考虑问题不周，造成丢解；一个是问题考虑全面，但是求解困难，为此，借助几何画板帮助学生更快地找到解决问题的方法。 几何画板演示：平面直角坐标系中线段AB ，A （2,1）B （3,4），将线段AB 进行平移，即左移4个单位长度，上移2个单位长度，得到线段CD 。（A 、B 、C 、D 四个点的坐标在画板中要标注好，便于发现坐标之间的关系） 如此平移之后，利用平移的性质可知四边形ABCD 为平行四边形，通过坐标平移规律引导学生发现平行四边形四个顶点的坐标关系。 由于只进行了一次平移，学生很难发现，所以利用几何画板再进行不断地演示，直至学生发现：平行四边形相对两点的横、纵坐标之和均相等这一规律。在发现规律的过程中，几何画板的演示起到了帮助加速学生发现规律的作用。 在发现及归纳规律之后，引导学生利用数学知识进行验证，即利用三角形全等的知识进行证明！ 在学生通过几何画板的“形”的直观，发现猜想，到利用数学知识验证所得的猜想正确后，还要引导学生总结三个定点构成平行四边形问题可以通过分类讨论的思想，利用对点坐标的关系快速求解，就省去了画图的步骤，从而全面快速解决问题！ 情况一：NP 为相对的两个顶点

中考专题复习等腰三角形的分类讨论

P y 中考专题复习等腰三角形的分类讨论 一、遇角需讨论 1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为( A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 二、遇边需讨论 2、(1一个等腰三角形两边长分别为4和5,则它的周长等于_________。 (2一个等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长等于。 3、(1如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为10,则另两边长为。 (2如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为6,则另两边长为。 三、遇中线需讨论 4、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分,求这个等腰三角形的底和腰的长。

四、遇高需讨论 5、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数。 5、为美化环境,计划在某小区内用2 30m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。 五、遇中垂线需讨论 7、在ΔABC 中,AB=AC ,AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=____________。 六、动点与等腰三角形(重点,考点 类型之一:三角形中已经有一边确定 8、在直角坐标系中,O 为坐标原点,A (1,1;在坐标轴上确定一点P ,使ΔAOP 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有( A 、4个 B 、6个 C 、8个 D 、1个 9、已知:O 为坐标原点,四边形OABC 为矩形,A (10,0,C (0,4,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当ΔODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为。 10、如图,直线33+=x y 交x 轴于A 点,交y 轴于B 点,过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3,0.