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2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A

【解析】60741513i i i i ?=?=-，共轭复数为i ，故选A ．

【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米

1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）（A ）134石（B ）169石（C ）338石（D ）1365石【答案】B

【解析】依题意，这批米内夹谷约为28

1534169254

?=石，故选B ．

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式

系数和为（）（A ）122

（B ）112 （C ）102 （D ）92

【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37

n n

C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091

222

?=，故选D ．

【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．

（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ ，2

22(,)Y N μσ ，这两个正态分布密

度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）

（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤

（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C

【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到

()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．

【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，

结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．

（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；

q ：2222222

1212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ，则（）

（A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件（B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件（C ）p 是q 的充分必要条件（D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A

【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()1

3n n a

q n a -=≥且0n a ≠；

对命题q ，①当时，成立； ②当时，根据柯西不等式，等式成

立，则

，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．故选A ．

0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ 0≠n a 2222222

1212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ n

n a a a a a a 132

21-=???==12,,,n a a a

（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >??

==??-

()f x 是R 上的增函数，

()()()(1)g x f x f ax a =->，则（）

（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，

由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >??==??-

sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >??

===-??-

，故选B ．

（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1

x y +≥

”的概率，2p 为事件“1

||2x y -≤

”的概率，3p 为事件“12

xy ≤”的概率，则（）（A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B

【解析】因为[],0,1x y ∈，

对事件“1

2x y -≥

”如图（1）阴影部分1S ，对事件“1

2x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，

对事件“1

xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，

由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111?=，根据几何概型公式可

得231p p p <<，故选B ．

【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面

积的大小即可比较大小．

（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >

个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）

（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <

（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D

【解析】依题意，1e =，

2e = 因为()()()

m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >，当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22

b b m a a m +????< ? ?+????

，所以12e e <；

当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22

b b m a a m +????

> ? ?+????

，所以12e e >．

所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，

定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则

B ⊕中元素的个数为（）

（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30

【答案】C

【解析】因为集合(){}

2,1,,A x y x

y x y =

+≤∈Z ，

所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合

12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D

中的整点（除去四个顶点），即77445?-=个，故选C ．

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重

复的元素．

（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，

…，[]n t n =同时成立．．．．

，则正整数n 的最大值是（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

【答案】B

【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由4

3t ??=??得445t ≤<，可得22t ≤<所以22t ≤<

由3[]3t =得334t ≤<，所以56t ≤<5

5t ??=??

得556t ≤<，与56t ≤

【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．

二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）

（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥ ，||3OA = ，则OA OB ?= ．【答案】9

【解析】因为OA AB ⊥ ，3OA =

，()

22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ?=?+=+?=== ．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．

（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π

()4cos cos()2sin |ln(1)|22

x f x x x x =---+的零点个

数为．【答案】2

【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ??

=----=+--+=-+ ???

，

所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．

【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．

（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处

时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m ．

【答案】【解析】依题意，30BAC ∠=?，105ABC ∠=?，在ABC ?中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=?，

所以45ACB ∠=?，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC

??，即300BC =m ，在Rt BCD ?中，

因为30CBD ∠=?，BC =，所以tan30

CD BC ?==

，所以CD =m ．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通

过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．

（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的

上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NB

=； ②

2NB MA NA

=；

③

NB MA NA

其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）【答案】（1）(

)(2

12x y -+=；

（2）①②③ 【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =

，所以r =

(C ，

故圆的标准方程为(

)(2

12x y -+-=．

（2）解法一：联立方程组(

)(2

12x x y =??

?-+=??

，

解得01x y =???=??

或0

x y =???=??，因为B 在A 的上方，

所以(

)1A

，()

1B ，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，

所以MA

2MB =+

2NA =

NB =

1NA NB

，

1MA MB

=，

所以NA MA NB MB =

所以)

112NB MA NA

-=-

=，

)

11NB MA NA

解法二：

因为圆心(C

，(E ∴，又2AB = ，且E 为AB 中点，

∴()1A

，

()

1B ， M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，

NA ∴

，

NB ∴

，

NA NB

∴=

，同理1MA MB

=．所以NA MA

=，

所以

)

112NB MA NA MB -==

=，

)

11NB MA NA

=+=

正确结论的序号是①②③．

【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积

累，属于难题．

（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框

用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2015年湖北，理15

，5

分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的

割线，且3BC PB =，则AB

=_______．

【答案】

【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =?=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ??∽，所以1

AB PB AC PA ==．【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为

1,1x t t

y t t ?=-???

?=+

( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．

【答案】

【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t t

y t t ?

=-????=+

，消去t

得22

4y x -=，联立方程组2234y x y x =??-=?，

解得x y ?=????

=??

x y ?=????=??，

即A ??

，B ? ??，

由两点间的距离公式得AB = 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基

础的计算题．

三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ω?=+π

(0,||)2

ω?><在某一个周期

（1．．．．．．．．．．．

（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图

象的一个对称中心为5π

(,0)12

，求θ的最小值．

解：（1）根据表中已知数据，解得π

5,2,

A ω?===-．数据补全如下表：

且函数表达式为π

()5sin(2)6f x x =-．

（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π

()5s i n (22)6

gx x θ=+-

．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．

由于函数()y g x =的图象关于点5π

(,0)12

成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6

．【点评】本题主要考查了由()sin y A x ω?=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ω?=+的图象变换规律的

应用，属于基本知识的考查．

（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已

知11b a =，22b =，q d =，10100S =．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）当1d >时，记n n n

c b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=??=?，即1129202a d a d +=??=?，得112a d =??=?或1929a d =???=??，故1

212n n n a n b -=-???=??或()112799299n n n a n b -?=+??

????= ?????

．（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故121

n n n c --=，

于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 234511357921

2222222n n n T -=+++++ ②

由①-②可得234521111111212323222222222n n n n

n n T --+=++++++-=- ，故123

n n n T -+=-．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有

一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作 EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．

（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直

角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC

的值．

解：解法一：

（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D = ，

所以BC PCD ⊥平面．而DE PCD ?平面，所以BC DE ⊥．又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，

所以DE PC ⊥．而PC BC C = ，所以DE ⊥平面PBC ．而PB PBC ?平面，所以PB DE ⊥．又PB EF ⊥，DE EF E = ，所以PB ⊥平面DEF ．

由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，

EFB DFB ∠∠，．（2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．

由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥．又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥．而PD PB P = ，所以DG PBD ⊥平面．

故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，

有BD Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π

DPF FDB ∠=∠=,

则

πtan tan 3BD

DPF PD

=∠==

解得λ=

所以

1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π

时，DC BC = 解法二：

（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角

坐标系．设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ， (,1,1)PB λ=- ，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11

(0,,)22

DE = ，于是

0PB DE ?=

，即PB DE ⊥．又已知EF PB ⊥，而DE EF E = ，所以

PB DEF ⊥平面．因(0,1,1)PC =-

, 0DE PC ?= , 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，

四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，

EFB DFB ∠∠，．（2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =

是平面ABCD 的一个法向量；

由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--

是平面DEF 的一个法向量．

若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π

，则π1cos 32||||BP DP BP DP ?===?

，

解得λ

所以

1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π

时，DC BC = 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属

于难题．

（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛

奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利 1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时．

Z （单位：元）是一个随机变量．

（1）求Z 的分布列和均值；

（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.

x y W x y x y x y +≤??+≤?

-≥??≥≥? （1）目标函数为 10001200z x y =+．

当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．

将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x

==时，直线l ：561200

y x =-+在y 轴上

的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==?+?=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．

将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200

y x =-+在y 轴上的截

距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==?+?=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，

四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为561200

y x =-+，

当6,4x y ==时，直线l ：561200

y x =-+在y 轴上的截距最大，

最大获利max 610004120010800Z z ==?+?=．

（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，

由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3

311110.30.973p p =--=-=．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析

问题解决问题的能力．

（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，

长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；

（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于

,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，

2MD DN = ，且||||1DN ON ==

，

所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22

0022

0()1,

1.x t y x y ?-+=??+=?? 即0022,

2.t x x t y y -=-??=-?

且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N

也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42

x y x y ==-，

代入22

001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164

x y +=

（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有1

4482OPQ S ?=??=．

②当直线l 的斜率存在时，设直线1

:()2l y kx m k =+≠±，由22

,416,

y kx m x y =+??+=? 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ?=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,

y kx

m x y =+??-=? 可得2

(,)1212m m P k k --；同理可得2

(,)1212m m

Q k k -++．

由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得

111222||||||||222121214OPQ

P Q m m m S PQ d m x x m k k k ?=?=-=?+=-+-． ② 将①代入②得，22

2241281441

OPQ

k m S k k ?+==--．当2

4k >时，2224128()8(1)84141

OPQ k S k k ?+==+>--；

当21

04k ≤<时，2

4128()8(1)1414OPQ k S k k ?+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以2

8(1)814OPQ

S k ?=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ?的最小值为8．

综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．

【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决

本题的关键．综合性较强，运算量较大．

（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1

(1)()n n n b n a n n

+=+∈N ，e 为自然对数的

底数．

（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1

(1)n n

+与e 的大小；

（2）计算11b a ，1212b b

a a ，123123

b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；

（3）令1

12()n

n n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．

解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x

f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；

当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减．故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．

当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x

x +<．令1x n

=，得1

11e n n +<，即1

(1)e n n +<． ①

（2）11111(1)1121b a =?+=+=；222121212121

22(1)(21)32b b b b a a a a =?=?+=+=；

23331233121231231

33(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =?=?+=+=．由此推测：1212(1).n n n

b b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．

①当1n =时，左边=右边2=，②成立．

②假设当n k =时，②成立，即12

12(1)k k

k b b b k a a a =+ ．当1n k =+时，1

111(1)(1)1

k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 1

1121121

121121

1(1)(1)(1)(2)1

k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=?

=+++=++ ．所以当1n k =+时，②也成立．

根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．

（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得

123n n T c c c c =++++= 111131*********()()()()n

n a a a a a a a a a ++++

11113

12312112()()()()

2341n

n b b b b b b b b b n =

+++++

121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++???+??++

1211111(1)()()1211

n b b b n n n n =-

+-++-+++ 1212n b b b n <+++ 1212111

(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++ 12e e e n a a a <+++ =e n S ．即e n n T S <．

【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、

运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．

2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)及答案

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）

A．B．C．1 D． 6．（5分）已知a=，b=，c=，则（） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣ 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A．18+36B．54+18C．90 D．81 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A．4πB． C．6πD． 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（） A．B．C．D． 12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（） A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．

2015年湖北数学高考卷理科(含答案)

绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i为虚数单位，607 i的共轭．．为．．复数 A．i B．i-C．1 D．1- 2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A．134石B．169石C．338石D．1365石 3．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A．122B．112C．102D．92

4．设211(,)X N μσ，2 22(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B ．21()()P X P X σσ≤≤≤ C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 5．设12,, ,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,, ,n a a a 成等比数列； q ：22 222 2 21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++ +=+++，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 6．已知符号函数1,0, sgn 0,0,1,0.x x x x >?? ==??-，则 A ．sgn[()]sgn g x x = B ．sgn[()]sgn g x x =- C ．sgn[()]sgn[()]g x f x = D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12 x y +≥”的概率，2p 为事件“1 ||2x y -≤”的概率，3p 为事件“1 2 xy ≤”的概率，则 A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p << D ．321p p p << 8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12 121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则 A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49 C ．45 D ．30 10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 第4题图

2015年高考山东理科数学试题及答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则A B =I （）（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 （2）【2015年山东，理2】若复数z 满足 i 1i z =-，其中i 是虚数单位，则z =（）（A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ （3）【2015年山东，理3】要得到函数sin(4)3 y x π =-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（）（A ）向左平移 12π 个单位（B ）向右平移 12 π 个单位（C ）向左平移 3π个单位（D ）向右平移3 π 个单位（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o ，则BD ?????? ·CD ????? =（）（A ）232a - （B ）234a - （C ）234a （D ）23 2 a （5）【2015年山东，理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是（）（A ）(,4)-∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,4) （D ）(1,5) （6）【2015年山东，理6】已知,x y 满足约束条件0 20x y x y y -≥?? +≤??≥? 若z ax y =+的最大值为4，则a =（）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 （7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2 ABC π ∠= ，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A ）23π （B ）43π （C ）53 π （D ）2π （8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则 ()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% （9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A ）53-或35 - （B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或3 4- （10）【2015年山东，理10】设函数31,1, ()2, 1.x x x f x x -

[历年真题]2014年湖北省高考数学试卷(理科)

2014年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）i为虚数单位,（）2=（） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 2．（5分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84,则实数a=（）A．2 B．C．1 D． 3．（5分）设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A?C,B??U C”是“A∩B=?”的（） A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．（5分）根据如下样本数据,得到回归方程=bx+a,则（） x345678 y 4.0 2.5﹣0.50.5﹣2.0﹣3.0 A．a＞0,b＞0 B．a＞0,b＜0 C．a＜0,b＞0 D．a＜0,b＜0 5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为（0,0,2）,（2,2,0）,（1,2,1）,（2,2,2）,给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为（） A．①和②B．③和①C．④和③D．④和② 6．（5分）若函数f（x）,g（x）满足f（x）g（x）dx=0,则f（x）,g（x）为区

间[﹣1,1]上的一组正交函数,给出三组函数: ①f（x）=sin x,g（x）=cos x； ②f（x）=x+1,g（x）=x﹣1； ③f（x）=x,g（x）=x2, 其中为区间[﹣1,1]上的正交函数的组数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D． 8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D． 9．（5分）已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3 D．2 10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2）,若?x∈R,f（x﹣1）≤f（x）,则实数a的取值范围为（）A．[﹣,]B．[﹣,] C．[﹣,]D．[﹣,] 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分． 11．（5分）设向量=（3,3）,=（1,﹣1）,若（+λ）⊥（﹣λ）,则实数λ=．12．（5分）直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,

2016年高考数学全国二卷(理科)

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）()31-，（B ）()13-，（C ）()1,∞+ （D ）()3∞--，（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =U （A ）{}1 （B ）{12}，（C ）{}0123，，，（D ）{10123}-，，，，（3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ， =，且()a b b +⊥r r r ，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 （4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4 - （C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ 26k x k =+∈Z （C ）()ππ 212 Z k x k = -∈ （D ）()ππ212Z k x k = +∈ （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =， 2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若π3 cos 45 α??-= ???，则sin 2α= （A ） 725 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - （10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…， (),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为

湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷(解析版)

湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷（解析版）一、选择题 1．已知复数∈+=a ai z (21R ），i z 212-=，若2 1 z z 为纯虚数，则=||1z （） A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 【答案】D 【解析】由于 ()()()5 422521221221i a a i ai i ai z z ++-=++=-+=为纯虚数，则1=a ，则=1z 5，故选择D. 考点：复数的概念，复数的代数运算，复数的模 2．如图给出的是计算11112462014 ++++L 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（） A ．2013≤i B ．2015≤i C ．2017≤i D ．2019≤i 【答案】B 【解析】由程序知道，2,4,6,2014i =L 都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择B. 考点：算法，程序框图 3．设2 2 4a x dx π ππ-? ?=+ ????，则二项式6(展开式中含2x 项的系数是（） A ．192- B ．193 C ．6- D ．7 【答案】A 【解析】由于()2 2222 22 2 cos sin cos sin 24a x dx x x dx xdx x π ππππππππ- --- ? ?=+=-=== ???? ?? 则6( 含2x 项的系数为192)1(25 16-=-C ，故选择A.

考点：定积分，二项式定理 4．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（） A ． 314 B ．4 C ．3 10 D ．3 【答案】B 【解析】几何体如图，体积为：422 1 3=?，故选择B 考点：三视图，几何体的体积 5．“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分条件也非必要条件【答案】D 【解析】5≠a 且5-≠b 推不出0≠+b a ，例如2,2-==b a 时0=+b a 0≠+b a 推不出5≠a 且5-≠b ，例如6,5-==b a ，故“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的既不充分又不必要条件，故选择D 考点：充要条件 6．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的（） A ．若03>a ，则02013a ，则02014 a ，则02013>S