DPS统计
红色为试验报告应抄写的部分，作业运算后应抄写相应的方差分析表和字母标记结果。
实验四统计软件应用（二）- DPS进行方差分析
一、目的要求：通过本试验，要求掌握DPS统计软件的应用。
二、方法原理：DPS统计软件。
三、主要实验仪器及材料：计算机、DPS统计软件。
四、掌握要点：掌握DPS统计软件中测验，方差分析，卡方检验。
五、实验内容：
（一）在桌面上寻找DPS统计软件并双击打开。
1、单因素的方差分析（完全随机试验）（P111例题）
数据按列输入
处理观察值(y ij)(克/盆)
选中数据不转换
选中多重比较方法中的Duncan
按确定
结果即输出。如下
处理样本数均值标准差
处理1 4 27.0000 2.5820
处理2 4 24.5000 2.6458
处理3 4 28.5000 2.6458
处理4 4 31.5000 2.3805
处理5 4 20.0000 2.7080
方差分析表
变异来源平方和自由度均方 F 值显着水平
处理间301.2000 4 75.3000 11.183 0.0002
处理内101.0000 15 6.7333
总变异402.2000 19
Duncan多重比较(下叁角为均值差,上叁角为显着水平)
No. 均值 4 3 1 2 5
4 31.50000 0.1229 0.0333 0.0027 0.0000
3 28.50000 3.0000 0.426
4 0.0552 0.0006
1 27.00000 4.5000 1.5000 0.1931 0.0023
2 24.50000 7.0000 4.0000 2.5000 0.0269
5 20.00000 11.5000 8.5000 7.0000 4.5000
字母标记表示结果
处理均值5%显着水平1%极显着水平
处理4 31.50000 a A
处理3 28.50000 ab AB
处理1 27.00000 b AB
处理2 24.50000 b BC
处理5 20.00000 c C
2.巢式试验资料分析
在温室内以4种培养液(l=4)培养某作物,每种3盆(m=3)，每盆4株(n=4)，一个月后测定其株高生长量(mm)，得结果于表6.19，试作方差分析。(注意数据输入方式)
A A1 50 55 40 35
A2 35 35 30 40
A3 45 40 40 50
B B1 50 45 50 45
B2 55 60 50 50
B3 55 45 65 55
C C1 85 60 90 85
C2 65 70 80 65
C3 70 70 70 70
D D1 60 55 35 70
D2 60 85 45 75
D3 65 65 85 75
按照上述排列方式输入数据
在工具栏内试验统计选择完全随机的系统分组资料分析
出现对话框处理组数,本例选 4 后按OK
出现多重比较对话框可以根据需要选择.本例题选DUNCAN
按确定后结果输出在新的工作表内.结果如下.
方差分析表
变异来源平方和自由度均方 F 值显着水平
处理(组)间7126.5625 3 2375.5208 15.05281 0.00118
组内亚组间1262.5 8 157.8125 1.77193 0.11536
处理内3206.25 36 89.0625
总变异11595.313 47
处理(组)间多重比较
Duncan多重比较(下叁角为均值差,上叁角为显着水平)
No. 均值 3 4 2 1
3 73.33333 0.126
4 0.004 0.0004
4 64.58333 8.7
5 0.0407 0.0024
2 52.0833
3 21.25 12.5 0.0676
1 41.25 32.0833 23.3333 10.8333
字母标记表示结果
处理均值5%显着水平1%极显着水平
3 73.33333 a A
4 64.58333 a AB
2 52.0833
3 b BC
1 41.25 b C
3.随机区组的试验统计分析
[例6.13] 采用5种生长素处理豌豆，未处理为对照，待种子发芽后，分别每盆中移植4株，每组为6盆，每盆一个处理，试验共有4组24盆，并按组排于温室中，使同组各盆的环境条件一致。当各盆见第一朵花时记录4株豌豆的总节间数，结果列于表6.25，试作方差分析。
表6.25生长素处理豌豆的试验结果
处理 (A)
组 (B)
总和·i T平均·i y ⅠⅡⅢⅣ
未处理(CK) 60 62 61 60 243 60.8 赤霉素65 65 68 65 263 65.8 动力精63 61 61 60 245 61.3 吲哚乙酸64 67 63 61 255 63.8 硫酸腺嘌吟62 65 62 64 253 63.3 马来酸61 62 62 65 250 62.5
总和j T·375 382 377 375 T=1509
将数据直接输入.
在工具栏内选随机区组的单因素方差分析
出现对话框,选择数据装换方式和多重比较方法.(本例题选择不转换和DUNCAN方法)
施用A1、A2、A3 3种肥料于B1、B2、B3 3种土壤，以小麦为指示作物，每处理组合种3盆，得产量结果(g)于表6.31。试作方差分析。
(注意数据输入方式)
重复1 重复2 重复3
A1B1 21.4 21.2 20.1
A1B2 19.6 18.8 16.4
A1B3 17.6 16.6 17.5
A2B1 12 14.2 12.1
A2B2 13 13.7 12
A2B3 13.3 14 13.9
A3B1 12.8 13.8 13.7
A3B2 14.2 13.6 13.3
A3B3 12 14.6 14
在工具栏内选完全随机中的两因素有重复实验统计分析
出现对话框处理A 数
数据B 数,分别输入3.后点击确认
出现对话框数据转换方式,可以根据需要选者相应的数字.(例如数据需进行反正弦转换就输入3). 本例题选择不转换.后按确定
出现多重比较对话框,根据情况选. 本例题选DUNCAN法.
六作业（所有作业必须方差分析表、字母标记结果，并对不同数据比较的差异显著性进行说明）
1.计算P128页6.6题、
2.计算P128页6.8题，
3.计算P246 题12.6（采用随机区组设计，采用SNK多重比较方法）
4.为了从3种不同原料和3种不同温度中选择使酒精产量最高的水平组合，设计了两因素试验，每一水平组合重复4次，结果如下表，试进行方差分析。
用不同原料及不同温度发酵的酒精产量
原料
温度B
B1(30℃) B2(35℃) B3(40℃)
A141 49 23 25 11 12 25 24 6 22 26 11 A247 59 50 40 43 38 33 36 8 22 18 14 A348 35 53 59 55 38 47 44 30 33 26 19
张亨整理 四个常用统计软件SAS,STATA,SPSS,R语言分析比较及其他统计软件概述题库
四个常用统计软件SAS,STATA,SPSS,R语言分析比较及其他统计软件概述 一、SAS,STATA,SPSS,R语言简介 （一）SAS简介 SAS（全称Statistical Analysis System，简称SAS,翻译成汉语是统计分析系统）是全球最大的软件公司之一，是由美国NORTH CAROLINA州立大学1966年开发的统计分析软件。1976年SAS软件研究所（SAS INSTITUTE INC）成立，开始进行SAS系统的维护、开发、销售和培训工作。期间经历了许多版本，并经过多年来的完善和发展，SAS系统在国际上已被誉为统计分析的标准软件，在各个领域得到广泛应用。 其网址是：https://www.wendangku.net/doc/bb16201009.html,/ （二）STSTA简介 STATA统计软件由美国计算机资源中心（Computer Resource Center）1985年研制。STATA 是一套提供其使用者数据分析、数据管理以及绘制专业图表的完整及整合性统计软件。它提供许许多多功能，包含线性混合模型、均衡重复反复及多项式普罗比模式。 新版本的STATA采用最具亲和力的窗口接口，使用者自行建立程序时，软件能提供具有直接命令式的语法。STATA提供完整的使用手册，包含统计样本建立、解释、模型与语法、文献等超过一万余页的出版品。 除此之外，STATA软件可以透过网络实时更新每天的最新功能，更可以得知世界各地的使用者对于STATA公司提出的问题与解决之道。使用者也可以透过STATA Journal 获得许许多多的相关讯息以及书籍介绍等。另外一个获取庞大资源的管道就是STATAlist，它是一个独立的listserver，每月交替提供使用者超过1000个讯息以及50个程序。 其网址是：https://www.wendangku.net/doc/bb16201009.html,/ （三）SPSS简介 SPSS（Statistical Product and Service Solutions），“统计产品与服务解决方案”软件。最初软件全称为“社会科学统计软件包”（Statistical Package for the Social Sciences），但是随着SPSS产品服务领域的扩大和服务深度的增加，SPSS公司已于2000年正式将英文全称更改为“统计产品与服务解决方案”，标志着SPSS 的战略方向正在做出重大调整。为IBM公司推出的一系列用于统计学分析运算、数据挖掘、预测分析和决策支持任务的软件产品及相关服务的总称SPSS，有Windows和Mac OS X等版本。 1984年SPSS总部首先推出了世界上第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS微机系列产品的开发方向，极大地扩充了它的应用范围，并使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域。世界上许多有影响的报刊杂志纷纷就SPSS的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价。 SPSS是世界上最早的统计分析软件，由美国斯坦福大学的三位研究生Norman H. Nie、C. Hadlai (Tex) Hull 和Dale H. Bent于1968年研究开发成功，同时成立了SPSS公司，并于1975年成立法人组织、在芝加哥组建了SPSS总部。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知
? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为
求矩阵的基本运算
求矩阵的基本运算 #include 什么软件可以统计数据 【篇一：什么软件可以统计数据】 用replace pioneer,简单极了。注意是英文版，但是处理中文文档没有任何问题。 1. 按ctrl-o打开要统计的文件 2. 按ctrl-h打开replace对话框，设置如下： 1) 把replace unit设置成 line ,表示按行处理 2）在 search for pattern 下面填.*(注 .* 表示所有行）: 3）在 replace with pattern 下 面填： $match count($match, [12345] ) n 注：$match表示匹配的原文，count($match, [12345] )表示 计算12345出现的次数， n表示回车符 3. 点击 replace ,完成！处理结果如下： 14793685 4 2586973 3 369258 4 4 7894563 3 replace pioneer下载：注意安装时不要装在中文路径下参考资料： 【篇二：什么软件可以统计数据】 《概率论与数理统计》是一门实践性很强的课程。但是,目前在国内, 大多侧重基本方法的介绍,而忽视了统计实验的教学。这样既不利于 提高学生创新精神和实践能力,也使得这门课程的教学显得枯燥无味。为此,我们介绍一些常用的统计软件，以使学生对统计软件有初步的 认识,为以后应用统计方法解决实际问题奠定初步的基础。 一、统计软件的种类 1.sas 是目前国际上最为流行的一种大型统计分析系统，被誉为统计分析 的标准软件。尽管价格不菲，sas已被广泛应用于政府行政管理，科研，教育，生产和金融等不同领域，并且发挥着愈来愈重要的作用。目前sas已在全球100多个国家和地区拥有29000多个客户群，直 接用户超过300万人。在我国，国家信息中心，国家统计局，卫生部，中国科学院等都是sas系统的大用户。尽管现在已经尽量“傻瓜化”，但是仍然需要一定的训练才可以使用。因此,该统计软件主要适 合于统计工作者和科研工作者使用。 2.spss spss作为仅次于sas的统计软件工具包，在社会科学领域有着广泛 的应用。spss是世界上最早的统计分析软件，由美国斯坦福大学的 三位研究生于20世纪60年代末研制。由于spss容易操作，输出漂亮，功能齐全，价格合理,所以很快地应用于自然科学、技术科学、 社会科学的各个领域，世界上许多有影响的报刊杂志纷纷就spss的 自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予 了高度的评价与称赞。迄今spss软件已有30余年的成长历史。全 球约有25万家产品用户，它们分布于通讯、医疗、银行、证券、保险、制造、商业、市场研究、科研教育等多个领域和行业，是世界 DPS数据处理系统使用要点 一..基本参数估计、异常值检 基本参数估计 将数据在电子表格区（即数据编辑器）输入后，定义成数据块，然后点数据分析→基本参数估计。就会立即得到基本参数。 异常值检验 先将待检验数据输入—→定义为数据块—→点数据分析—→点异常值检验。 如果有异常数据，则异常数据就会变为红色。 （异常值检验） ?二、次数分布及t 检验 1．样本次数分布 DPS作次数分布表步骤： （1）输入数据并定义成数据块 （2）试验统计→次数分布及平均数比较→次数分布→OK→输出样本次数分布表结果 ?2．单样本均数与总体均数比较的t检验 ?步骤： ?按行输入7个数，第二行输入总体平均数→定义数据块→选试验统计→ 单样本平均数检验→在弹出的对话框中输入总体平均数→OK（不能做） ?3．配对样本t检验 ?步骤： ?输入数据→定义数据块→选试验统计→两样本比较→配对两处理t检 验→输出结果 配对样本t检验（不能做） 4．两样本均值差异t检验 方法：（1）将两个处理的样本观察值分两行输入，并定义成数据块。 （2）试验统计→次数分布及平均数比较→student t检验→输出结果（两样本t检验） 5．小样本均值差异检验 方法：（1）输入数据，并定义成数据块 （2）试验统计→次数分布及平均数比较→样本较少时平均数差异检验→输出（显示）结果。 三、试验设计及统计分析 一）全面试验设计 （一）单因素完全随机设计 1．试验方案设计 用DPS 系统产生随机数： 为安排试验中所有试验次数的试验随机顺序，DPS 系统操作步骤如下： 试验设计→完全随机及随机区组设计→完全随机分组→弹出“完全随机试验设计”对话框→输入“实验样本数”和“分组组数”→确认后就输出要试验的次数的随机顺序。(样本数和分组数一般是一样的) DPS 单因素试验设计步骤(可以不看) 因素水平按列排列 A1 A2 . Am 定义数据块 → 试验设计→完全随机及随机区组设计→单因素随机区组设计→在弹 出对话框中输入重复数→OK 2．统计分析(方差分析方法) 用DPS 对单因素试验资料分析步骤 ①数据输入格式 在数据编辑器中按规定格式将试验资料整理表中的数据输入。对a 个水平，m 个重复的数据资料，其数据排列顺序为： 重 复 水 平 m x x x 11211 —1水平的m 个重复数据 m x x x 22221 —2水平的m 个重复数据 …… …… am a a x x x 2 1 a 水平的m 个重复数据 ②将m x x x 112 11 ,m x x x 222 21 ,…,am a a x x x 2 1 常用统计软件介绍 常用统计软件介绍 《概率论与数理统计》是一门实践性很强的课程。但是,目前在国内,大多侧重基本方法的介绍,而忽视了统计实验的教学。这样既不利于提高学生创新精神和实践能力,也使得这门课程的教学显得枯燥无味。为此,我们介绍一些常用的统计软件，以使学生对统计软件有初步的认识,为以后应用统计方法解决实际问题奠定初步的基础。 一、统计软件的种类 1.SAS 是目前国际上最为流行的一种大型统计分析系统，被誉为统计分析的标准软件。尽管价格不菲，SAS已被广泛应用于政府行政管理，科研，教育，生产和金融等不同领域，并且发挥着愈来愈重要的作用。目前SAS已在全球100多个国家和地区拥有29000多个客户群，直接用户超过300万人。在我国，国家信息中心，国家统计局，卫生部，中国科学院等都是SAS系统的大用户。尽管现在已经尽量“傻瓜化”，但是仍然需要一定的训练才可以使用。因此,该统计软件主要适合于统计工作者和科研工作者使用。 2.SPSS SPSS作为仅次于SAS的统计软件工具包，在社会科学领域有着广泛的应用。SPSS是世界上最早的统计分析软件，由美国斯坦福大学的三位研究生于20世纪60年代末研制。由于SPSS容易操作，输出漂亮，功能齐全，价格合理,所以很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域，世界上许多有影响的报刊杂志纷纷就SPSS 的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价与称赞。迄今SPSS软件已有30余年的成长历史。全球 约有25万家产品用户，它们分布于通讯、医疗、银行、证券、保险、制造、商业、市场研究、科研教育等多个领域和行业，是世界上应用最广泛的专业统计软件。在国际学术界有条不成文的规定，即在国际学术交流中，凡是用SPSS软件完成的计算和统计分析，可以不必说明算法，由此可见其影响之大和信誉之高。因此,对于非统计工作者是很好的选择。 3.Excel 它严格说来并不是统计软件，但作为数据表格软件，必然有一定统计计算功能。而且凡是有Microsoft Office的计算机，基本上都装有Excel。但要注意，有时在装 Office时没有装数据分析的功能，那就必须装了才行。当然，画图功能是都具备的。对于简单分析，Excel 还算方便，但随着问题的深入，Excel就不那么“傻瓜”，需要使用函数，甚至根本没有相应的方法了。多数专门一些的统计推断问题还需要其他专门的统计软件来处理。 4.S-plus 这是统计学家喜爱的软件。不仅由于其功能齐全，而且由于其强大的编程功能，使得研究人员可以编制自己的程序来实现自己的理论和方法。它也在进行“傻瓜化”,以争取顾客。但仍然以编程方便为顾客所青睐。 5.Minitab 这个软件是很方便的功能强大而又齐全的软件，也已经“傻瓜化”，在我国用的不如SPSS与SAS那么普遍。 一、Excel的数组、数组名和矩阵函数的设置 1 矩阵不是一个数，而是一个数组。在Excel里，数组占用一片单元域，单元域用大括号表示，例如{A1：C3}，以便和普通单元域A1：C3相区别。设置时先选定单元域，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，大括弧即自动产生，数组域得以确认。 2 Excel的一个单元格就是一个变量，一片单元域也可以视为一组变量。为了计算上的方便，一组变量最好给一个数组名。例如A={A1：C3}、B={E1:G3}等。数组名的设置步骤是：选定数组域，点“插入”菜单下的“名称”，然后选择“定义”，输入数组名如A或B等，单击“确定”即可。 3 矩阵函数是Excel进行矩阵计算的专用模块。常用的矩阵函数有MDETERM(计算一个矩阵的行列式)、MINVERSE(计算一个矩阵的逆矩阵)、MMULT(计算两个矩阵的乘积)、SUMPRODUCT(计算所有矩阵对应元素乘积之和)……函数可以通过点击“=”号，然后用键盘输入，可以通过点击“插入”菜单下的“函数”，或点击fx图标，然后选择“粘贴函数”中相应的函数输入。 二、矩阵的基本计算 数组计算和矩阵计算有很大的区别，我们用具体例子说明。 已知A={3 -2 5，6 0 3，1 5 4}，B={2 3 -1，4 1 0，5 2 -1}，将这些数据输入Excel相应的单元格，可设置成图1的形状，并作好数组的命名，即第一个数组命名为A，第二个数组命名为B。计算时先选定矩阵计算结果的输出域，3×3的矩阵，输出仍是3×3个单元格，然后输入公式，公式前必须加上=号，例如=A ＋B、=A－B、=A＊B等。A＋B、A－B数组运算和矩阵运算没有区别，“=A＊B”是数组相乘计算公式，而“=MMULT(A，B)”则是矩阵相乘计算公式，“=A/B”是数组A除数组B的计算公式，而矩阵相除是矩阵A乘B的逆矩阵，所以计算公式是“=MMULT(A,MINVERSE(B))”。公式输入后，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键得到计算结果。图1中的数组乘除写作A＊B、A/B，矩阵乘除写作A·B、A÷B，以示区别。 三、矩阵计算的应用 下面让我们来计算一个灰色预测模型。 灰色预测是华中理工大学邓聚龙教授创立的理论，其中关键的计算公式是计算微分方程＋B1x=B2的解，{B1，B2}=(X T X)－1(X T Y)，式中：XT是矩阵X的转置。 作为例子，已知X={-45.5 1，-79 1，-113.5 1，-149.5 1}Y={33，34，35，37} 在Excel表格中，{B2：C5}输入X，{E2：H3}输入X的转置。处理转置的方法是：选定原数组{B2：C5}，点“编辑”菜单的“复制”，再选定数组转置区域{E2：H3}，点“编辑”菜单的“选择性粘贴”，再点“转置”即可。{J2：J5}输入Y，然后选取{L2：L3}为B1、B2的输出区域，然后输入公式：=MMULT(MINVERSE(MMULT(E2:H3,B2:C5)),MMULT(E2:H3,J2:J5)) 公式输入完毕，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，B1、B2的答案就出来了，如图2。 如果计算的矩阵更复杂一些，就必须分步计算。不过，使用Excel也是很方便的。 浅谈矩阵计算 一丶引言 矩阵是高等代数学中的常见的工具。在应用数学，物理学，计算机科学中都有很大的作用。研究矩阵的计算，可以简化运算，并深入理解矩阵的性质。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久，发展也是历久弥新，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。 作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。 矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。 矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。 无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。 二、矩阵的介绍与基本运算 由m×n个数a ij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m ×n矩阵。只有一行的矩阵A=(a1,a2…a n)称为行矩阵或行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。这一问题在数学上虽然简单，但从计算上来看却是十分丰富的。矩阵相乘可以有好几种不同的形式，还将引入矩阵划分的概念，并将其用来刻画计 矩阵的基本运算 （摘自：华东师范大学数学系；https://www.wendangku.net/doc/bb16201009.html,/）§3.1 加和减 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算 §3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩 §3.1 加和减 如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回： C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍． §3.2.1 矩阵的普通乘法 矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同． 如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B， 结果为 C=×== 即Matlab返回： C = 19 22 43 50 如果A或B是标量，则A*B返回标量A（或B）乘上矩阵B（或A）的每一个元素所得的矩阵． §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为： 由上面的式子可以看出，Kronecker乘积A B表示矩阵A的所有元素与 B之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A则完全类似．A B和B A均为np ×mq矩阵，但一般情况下A B B A．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker乘 法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A和B： A= B= 则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 世界三大统计分析软件的比较： 2007-04-10 SAS（多变量数据分析技术与统计软件） SAS是美国SAS(赛仕)软件研究所研制的一套大型集成应用软件系统，具有比较完备的数据存取、数据管理、数据分析和数据展现的系列功能。尤其是它的创业产品—统计分析系统部分，由于具有强大的数据分析能力，一直是业界中比较著名的应用软件，在数据处理方法和统计分析领域，被誉为国际上的标准软件和最具权威的优秀统计软件包，SAS系统中提供的主要分析功能包括统计分析、经济计量分析、时间序列分析、决策分析、财务分析和全面质量管理工具等。 SAS系统是一个组合的软件系统，它由多个功能模块配合而成，其基本部分是BASE SAS模块。BASE SAS模块是SAS系统的核心，承担着主要的数据管理任务，并管理着用户使用环境，进行用户语言的处理，调用其他SAS模块和产品。也就是说，SAS系统的运行，首先必须启动BASE SAS模块，它除了本身所具有数据管理、程序设计及描述统计计算功能以外，还是SAS系统的中央调度室。它除了可单独存在外，也可与其他产品或模块共同构成一个完整的系统。各模块的安装及更新都可通过其安装程序比较方便地进行。 SAS系统具有比较灵活的功能扩展接口和强大的功能模块，在BASE SAS的基础上，还可以增加如下不同的模块而增加不同的功能：SAS/STAT（统计分析模块）、SAS/GRAPH （绘图模块）、SAS/QC（质量控制模块）、SAS/ETS（经济计量学和时间序列分析模块）、SAS/OR（运筹学模块）、SAS/IML（交互式矩阵程序设计语言模块）、SAS/FSP （快速数据处理的交互式菜单系统模块）、SAS/AF（交互式全屏幕软件应用系统模块）等等。 SAS提供的绘图系统，不仅能绘各种统计图，还能绘出地图。SAS提供多个统计过程，每个过程均含有极丰富的任选项。用户还可以通过对数据集的一连串加工，实现更为复杂的统计分析。此外，SAS还提供了各类概率分析函数、分位数函数、样本统计函数和随机数生成函数，使用户能方便地实现特殊统计要求。 目前SAS软件对Windows和Unix两种平台都提供支持，最新版本分别为8.X和6.X。与以往的版本比较，6.X版的SAS系统除了在功能和性能方面得到增加和提高外，GUI界面也进一步加强。在6.12版中，SAS系统增加了一个PC平台和三个新的UNIX平台，使SAS 系统这一支持多硬件厂商，跨平台的大家族又增加了新成员。SAS 6.12的另一个显著特征是通过对ODBC、OLE和MailAPIs等业界标准的支持，大大加强了SAS系统和其它软件厂商的应用系统之间相互操作的能力，为各应用系统之间的信息共享和交流奠定了坚实的基础。 虽然在我国SAS的逐步应用还是近几年的事，但是随着计算机应用的普及和信息事业的不断发展，越来越多的单位采用了SAS软件。尤其在教育、科研领域等大型机构，SAS软件已成为专业研究人员实用的进行统计分析的标准软件。 然而，由于SAS系统是从大型机上的系统发展而来，其操作至今仍以编程为主，人机对话界面不太友好，系统地学习和掌握SAS，需要花费一定的精力。而对大多数实际部门工作者而言，需要掌握的仅是如何利用统计分析软件来解决自己的实际问题，因此往往会与大型SAS软件系统失之交臂。但不管怎样，SAS作为专业统计分析软件中的巨无霸，现在鲜有软件在规模系列上与之抗衡。 矩阵的运算 （一） 矩阵的线性运算 特殊乘法:222()A B A AB BA B +=+++ 2 22 ()()() A B A B A B A B =≠ （二） 关于逆矩阵的运算规律 111 1 1 11 1 1(1)()(2)() /(3)( )( )(4)()( ) T T n n A B B A k A A k A A A A ---------==== （三） 关于矩阵转置的运算规律 (1)()(2)()T T T T T T A B B A A B B A =+=+ （四） 关于伴随矩阵的运算规律 **1 *2 ***1* **1*11**1(1)(2)(2)(3)()(4)(), ()(5)()1,()1 0,()2(6)()()()n n n AA A A A E A A n A A A kA k A n r A n r A r A n r A n A A A A A A A A A -------===≥===?? ==-??≤-?= ==若若若若可逆，则，， （五） 关于分块矩阵的运算法则 1 1 1 110000(2)000 0T T T T T A B A C C D B D B B B C C C C B -----?? ?? =????????????????==????????????????(1)；， （六） 求变换矩阵 ()121 1 2 11121311111121222321121121313233313131100(a )(2)i n n i i i ij i i i i A T TAT T P P P AP P A a a a p p p a a a p p P p a a a p p p AP P P i λλλλλλλ--?? ? ?= ? ? ? ?===???????? ??? ? ? =→= ??? ? ? ??? ? ?????????=+≥已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1 T T -由求 （七） 特征值与矩阵 一、描述统计 描述性统计是指运用制表和分类，图形以及计筠概括性数据来描述数据的集中趋势、离散趋势、偏度、峰度。 1、缺失值填充：常用方法：剔除法、均值法、最小邻居法、比率回归法、决策树法。 2、正态性检验：很多统计方法都要求数值服从或近似服从正态分布，所以之前需要进行正态性检验。常用方法：非参数检验的K-量检验、P-P图、Q-Q图、W检验、动差法。 二、假设检验 1、参数检验 参数检验是在已知总体分布的条件下（一股要求总体服从正态分布）对一些主要的参数(如均值、百分数、方差、相关系数等）进行的检验。 1）U验使用条件：当样本含量n较大时，样本值符合正态分布 2）T检验使用条件：当样本含量n较小时，样本值符合正态分布 A 单样本t检验：推断该样本来自的总体均数μ与已知的某一总体均数μ0 (常为理论值或标准值)有无差别； B 配对样本t检验：当总体均数未知时，且两个样本可以配对，同对中的两者在可能会影响处理效果的各种条件方面扱为相似； C 两独立样本t检验：无法找到在各方面极为相似的两样本作配对比较时使用。 2、非参数检验 非参数检验则不考虑总体分布是否已知，常常也不是针对总体参数，而是针对总体的某些一股性假设（如总体分布的位罝是否相同，总体分布是否正态）进行检验。 适用情况：顺序类型的数据资料，这类数据的分布形态一般是未知的。 A 虽然是连续数据，但总体分布形态未知或者非正态； B 体分布虽然正态，数据也是连续类型，但样本容量极小，如10以下； 主要方法包括：卡方检验、秩和检验、二项检验、游程检验、K-量检验等。 三、信度分析 检査测量的可信度，例如调查问卷的真实性。 矩阵的基本运算法则 1、矩阵的加法 矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m n ?矩阵，其中m 和n 均为已知的正整数）： （1）交换律：+=+A B B A （2）结合律：()()++++A B C =A B C 注意：只有当两个矩阵为同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）时，这两个矩阵才能进行加法运算。 2、数与矩阵相乘 数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 是m n ?矩阵，λ和μ为数）： （1）结合律：()λμλμ=A A （2）分配律：()λμλμ+=+A A A （3）分配律：()λλλ+=+A B A B 注意：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。 3、矩阵与矩阵相乘 矩阵与矩阵的乘法不满足交换律、但是满足结合律和分配率（假设运算都是可行的）： （1）交换律：≠AB BA （不满足） （2）结合律：()()=AB C A BC （3）结合律：()()()λλλλ==其中为数AB A B A B （4）分配律：()(),+=++=+A B C AB AC B C A BA CA 4、矩阵的转置 矩阵的转置满足下述运算规律（假设运算都是可行的，符号()T g 表示转置）： （1）()T T =A A （2）()T T T +=+A B A B （3）()T T λλ=A A （4）()T T T =AB B A 5、方阵的行列式 由A 确定A 这个运算满足下述运算法则（设A 、B 是n 阶方阵，λ为数）： （1）T =A A （2）n λλ=A A （3）=AB A B 6、共轭矩阵 共轭矩阵满足下述运算法则（设A 、B 是复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）： （1）+=+A B A B （2）λλ=A A （3）=AB AB 7、逆矩阵 方阵的逆矩阵满足下述运算规律： （1）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且()11--=A A （2）若A 可逆，数0λ≠，则λA 可逆，且()111 λλ--=A A （3）若A 、B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111---=AB B A 参考文献： 【1】线性代数（第五版），同济大学 1.1矩阵的表示 1.2矩阵运算 1.2.14特殊运算 1．矩阵对角线元素的抽取 函数diag 格式X = diag(v,k)% 以向量 v 的元素作为矩阵 X 的第 k 条对角线元素，当 k=0 时， v 为 X 的主对角线；当 k>0 时，v 为上方第 k 条对角线；当 k<0 时， v 为下方第 k 条对角线。 X = diag(v)% 以 v 为主对角线元素，其余元素为 0 构成 X。 v = diag(X,k)%抽取 X 的第 k 条对角线元素构成向量 v。k=0：抽取主对角线元素； k>0 ：抽取上方第 k 条对角线元素；k<0 抽取下方第 k 条对角线元素。 v = diag(X)% 抽取主对角线元素构成向量 v。 2．上三角阵和下三角阵的抽取 函数tril% 取下三角部分 格式L = tril(X)%抽取 X 的主对角线的下三角部分构成矩阵L L = tril(X,k)% 抽取 X 的第 k 条对角线的下三角部分； k=0 为主对角线； k>0 为主对角线以上； k<0 为主对角线以下。 函数triu% 取上三角部分 格式U = triu(X)%抽取 X 的主对角线的上三角部分构成矩阵U U = triu(X,k)% 抽取 X 的第 k 条对角线的上三角部分； k=0 为主对角线； k>0 为主对角线以上； k<0 为主对角线以下。3．矩阵的变维 矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape，”前者主要针对 2 个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对 于一个矩阵的操作。 （1）“：”变维 （2）Reshape 函数变维 格式 B = reshape(A,m,n)%返回以矩阵 A 的元素构成的 m×n 矩阵 B B = reshape(A,m,n,p,)% 将矩阵 A 变维为 m×n×p× B = reshape(A,[m n p])%同上 B = reshape(A,siz)% 由 siz 决定变维的大小，元素个数与 A 中元素个数 相同。 （5）复制和平铺矩阵 函数repmat 格式 B = repmat(A,m,n)% 将矩阵 A 复制 m×n 块，即 B 由 m×n 块 A 平铺而成。 B = repmat(A,[m n])%与上面一致 B = repmat(A,[m n p]) %B 由 m×n×p× 个 A 块平铺而成 repmat(A,m,n)%当 A 是一个数 a 时，该命令产生一个全由 a 组成的 m×n 矩阵。 1.3矩阵分解 1.3.1Cholesky 分解 函数chol 格式R = chol(X)% 如果 X 为 n 阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足 R'*R = X ；若 X 非正定，则产生错误信息。 [R,p] = chol(X)% 不产生任何错误信息，若X 为正定阵，则p=0 ，R 与上相同；若X 非正定，则p 为正整数， R 是有序的上三角阵。 1.3.2 LU 分解 第三章 矩阵与线性代数计算 MATLAB ，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本章从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB 的命令及其用法。 3.1矩阵的定义 由m×n 个元素a ij (i=1,2,…m;j=1,2,…n)排列成的矩形阵称为一个m 行n 列的矩阵,或m×n 阶矩阵，可以简记为A=(a ij ) m×n ，其中的a ij 叫做矩阵的第i 行第j 列元素。 ???? ? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 当m=n 时，称A 为n 阶方阵，也叫n 阶矩阵； 当m=1,n ≥2时，即A 中只有一行时，称A 为行矩阵，或行向量（1维数组）； 当m ≥2,n=1时，即A 中只有一列时，称A 为列矩阵，或列向量； 当m=1,n=1时，即A 中只有一个元素时，称A 为标量或数量（0维数组）。 3.2矩阵的生成 1.实数值矩阵输入 MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。 不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： 【例3－１】矩阵的生成例。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] b=[1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9; 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9; 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9] Null_M = [ ] %生成一个空矩阵 第三节矩阵的基本运算 §3.1 加和减 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算 §3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩 §3.1 加和减 如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回： C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍． §3.2.1 矩阵的普通乘法 矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同． 如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B ， 结果为 C=×== 即Matlab 返回： C = 19 22 43 50 如果A 或B 是标量，则A*B 返回标量A （或B ）乘上矩阵B （或A ）的每一个元素所得的矩阵． §3.2.2 矩阵的Kronecker 乘法 对n ×m 阶矩阵A 和p ×q 阶矩阵B ，A 和B 的Kronecher 乘法运算可定义为： 由上面的式子可以看出，Kronecker 乘积A B 表示矩阵A 的所有元素与B 之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A 则完全类似．A B 和B A 均为np ×mq 矩阵，但一般情况下A B B A ．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker 乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker 乘法的Matlab 命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A 和B ： A= B= 则由以下命令可以求出A 和B 的Kronecker 乘积C ： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 作为比较，可以计算B 和A 的Kronecker 乘积D ，可以看出C 、D 是不同的： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A) D = 1 2 3 6 2 4 3 4 9 12 6 8 2 4 4 8 6 12 6 8 12 16 18 24 §3.3 矩阵除法 在Matlab 中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A 矩阵是非奇异方阵，则A\B 是A 的逆矩阵乘B ，即inv(A)*B ；而B/A 是B 乘A 的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算． 通常： ???? ??4321???? ??8765???? ???+??+??+??+?8463745382617251???? ??50432219??????? ??=?=B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A C nm n n m m (2122221) 11211 ?????≠?1234?? ???132246?? ???什么软件可以统计数据
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第三章矩阵与线性代数计算
三矩阵的基本运算