2016年寒假辅导讲义(五)

初三数学专项练习5 (2016.1.28) 姓名 1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,3

2

sin =

A 则AC 的长为 ( ) A ．6

B ．52

C ．53

D ．132

2．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝a ，则弦AB 的长为( )

A ．2sin

2α

R B ．2R sin a C ．2

cos

2α

R D ．R sin a

3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．312 B ．12 C ．324 D ．348 4．若某人沿倾斜角为a 的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( )

A ．

m sin 100

α

B ．100sin a m

C ．

m cos 100

β

D ．100cos a m

5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )

A ．15m

B ．12m

C ．9m

D ．7m

6．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2a ，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )

A ．αα

tan sin R B ．α

αsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R

7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝a ，则AD 等于( )

A ．a sin 2a

B ．a cos 2a

C ．a sin a cos a

D ．a sin a tan a

8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么AB

DC

的值为( )

A ．sin ∠APC

B ．cos ∠AP

C C ．tan ∠APC

D ．APC

∠tan 1

第8题图 第9题图 第10题图 第11题图

9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )

A ．m )3828(+

B ．m )388(+

C ．m )33828(+

D ．m )3

3

88(+ 10．如图所示，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，

又要节省材料，则在库存的l 1＝5.2m 、l 2＝6.2m 、l 3＝7.8m 、l 4＝10m ，四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用( )

A ．l 1

B ．l 2

C ．l 3

D ．l 4 11、如图，客轮在海上以30km/h 的速度由向

航行，在处测得灯塔

的方位角为北偏东

，测得处的方位角为南偏东

，航行1小时后到达

处，在

处测得

的方位角为北偏东

，则

到

的距

离是（ ）

A ．k

B ．km

C ．km

D ．km

12．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为

33

50

，则∠A ＝______度．

14．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,3

1

sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝

______．

第14题图 第15题图 第16题图

15．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度m 330=AB ，拱形的半径R ＝30m ，则拱形的弧长为______． 16．如图所示，半径为r 的圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动，当⊙O 的移动到与AC 边相切时，OA 的长为______．

17.(1)sin 45cos 45tan 60sin 60?+? ; (2)223sin 30tan 45tan 30cos604

-+-

(3)cos45°?(－)－2

－(2

－)0

＋｜－

｜＋

(4)

18．已知：如图，△ABC 中，AC ＝10，,3

1

sin ,54sin ==

B C 求AB ．

19．已知：如图，在⊙O 中，∠A ＝∠C ，求证：AB ＝CD (利用三角函数证明)．

20．已知：如图，一艘渔船正在港口A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向．问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港(精确到1小时)(该船在C 岛停留半个小时)?)45.26,73.13,41.12(≈≈≈

21．如图①.②，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切。将这个游戏抽象为数学问题，如图②。已知铁环的半径为5个单位(每个单位为5cm)，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝3/5。

(1)求点M离地面AC的高度BM(单位：厘米)；

(2)设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度(单位：厘米)。

22．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．

(1)求AE的长及sin∠BEC的值；

(2)求△CDE的面积．

23、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的

关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；

（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．

23．已知：如图，斜坡PQ的坡度i＝1∶，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．

(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；(2)求此抛物线AMC的解析式；

(3)求｜x C－x B｜；(4)求B点与C点间的距离．

高等数学 简明二阶微分方程讲义

高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）.

物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程

(上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像

2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为

初三数学寒假讲义 第1讲.三角形 教师版

1中考第一轮复习 三角形 中考大纲剖析 本讲结构 1

2 一、等腰三角形 二、直角三角形 1．直角三角形的边角关系． ①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数． 2．特殊直角三角形 知识导航

3 三.尺规构造等腰三角形和直角三角形 四.全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL． 在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合. 五.相似三角形 相似三角形的性质： ⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比． 3

4 ⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定： ⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似； ⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型： (1)E D C B A (3)E D C B A (4) D C B A D C B A (6) E D C B A (2)E D C B A (5) E D C B A （10） （9） （8） A B D E A B C D E E D B A 【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求. 另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”. 【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是 两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的 个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 （2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △ 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ． （2010顺义一模） （3）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠， 点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =， 连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =． （2012海淀期中） 模块一 特殊三角形 夯实基础 A C F E D B

(完整word版)高等数学辅导讲义

第一部分函数极限连续

历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义域。 解: 由2 ()x f x e =知2 ()[()]1x f x e x ??==-,又()0x ?≥, 则()0x x ?=≤. 例2 (1990, 3分) 设函数1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,lim n n n x a y b →∞ =.

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）

（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

经典的考研数学辅导书比较

考研数学辅导书比较，一个比较经典的帖子，重温一下。 1.李永乐考研数学复习全书 题型很全面，内容很充实（线代和概率很不错，微积分稍逊）难度要高于真题，所谓的简单是命题的风格 很常规，没有什么剑走偏锋让人一下傻眼的题，考研真题不正是这样的吗？ 做熟练（我不知道怎么叫做透哈）120以上真不难，135以上就要看临场发挥。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.陈文灯考研数学复习指南 个别题其实已经很陈旧了，难度也有被夸大的嫌疑。很大一部分也是注重基础的题只是不像全书加以强调 和总结，微积分部分题型归纳很好，个别题有难度（真不多），但有助于锻炼思维。线代和概率内容显单 薄。 PS：无穷级数，积分，不等式证明，泰勒公式，中值定理等是精华，做过思路会很清晰。传说，考高分要 做指南，我想，是因为指南在你有一定基础之后，能对你的思维有一个提炼吧。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.蔡燧林考研数学标准全书 微积分部分例题精华，讲解很深入，给人醍醐灌顶的感觉。所谓精华就是不会边边角角都涉及到的意思， 所以还是要做点非精华的练习（比如全书？？^_^） 线代一般，概率一般，纸张一般，印刷一般。 ps ：章后练习很多，但一定要做，那个也是精华。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.水木艾迪微积分通用讲义 配合水木的视频，很好的哈。把解题中的疑难提出来，然后列举例题加以解决分析。章前的知识点讲解也 很好，选题很也典型。总之，比全书微积分要好，值得一读。 PS：多元微分，一元微积分非常好。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.赵达夫高等数学辅导讲义 体例不好，一堆知识点，一堆练习，一堆解答。章后练习选题还是很好的，不一定很难，但非常典型。但 PS：只靠这一本书是不够的。是不是叫不给力？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.黄庆怀高等数学辅导教材 同学们骂我书托吧，我做了这么多书，最想推荐的就是这本了。 体例好，内容全，例题典型，归纳完整，练习题保质保量。唯一稍差是讲解不够（全书和标

初中数学竞赛辅导讲义

初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 ［知识点击］ 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 ［例题选讲］ 例1?化简x^4r^ +厂只+ 厂九 1 + 1— (x 2)(x 3) (x 3)(x 4)1 1,1 --- — ---------- ---- 十 x 1 x 2 x 2 1,1 1 ----- 十 ------ — ----- x 3 x 3 x 4 例2. 解：原式二 i (x 1)(x 2)

x y kz(1) 解：易知：-一-= -―z= -一z = k 贝y x z ky(2) 亠z y x =2 或x+y+z=O y z kx(3) (1)+(2) +(3) 得: (k -2)(x+y+z)=0 k 若k =2贝9原式=k 3 = 8 若x + y + z =0,则原式二 k 3 =-1 例3.设 2 1， 求 x mx 1ft x 1 4 2 2 x m x 的值。 1 解：显然2 X 0,由已知x mx 1 “ =1 , x 贝y x +丄= x m + 1 4 2 2 .x m x 1 (2) x + 1) 2-2 x -m 2 2 ???原式二 一 2m 1 =(m +1) 2-2- m 2 = 2 m -1 例4.已知多项式3x3 +ax 2 +3x +1能被x2+1整除，求a的值

解: 1- a =0 二a =1 例5:设n为正整数，求证 1111 ++ …....+v 1 3 15(2n1)( 2 n 1) 2 证：左边=1(1 - 1 1-1 + ??…? +1-1 ) 23352n 12n 1 1(1-1) 22n1 1

高中物理竞赛辅导讲义_微积分初步

微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a =

（7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+?

九年级数学寒假班精品尖子班讲义

《全等三角形及三角形全等的条件》 【知识精讲】 全等三角形是研究图形的重要工具，掌握好全等三角形的内容是进一步学习四边形、圆的重要基础。本讲内容是了解全等三角形的概念及性质（对应边相等、对应角相等），能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；掌握三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式. 重视探究两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的部分条件时，两个三角形是否全等的过程.比如： (1) 满足一个条件? ? ?一角对应相等 一边对应相等 )2()1( (2) 满足两个条件???? ????????角对应相等②一边及这条边所对的一个角对应相等①一边及与这边相邻的一边、一角对应相等两角对应相等两边对应相等 )3()2()1( (3) 满足三个条件?????????????????对边对应相等②两角和其中一个角的应相等①两角和它们的夹边对两角及一边对应相等的角对应相等②两边及其中一边所对等①两边及其夹角对应相两边及一角对应相等三角对应相等 三边对应相等)4()3()2()1( 再如探究直角三角形全等条件的过程：由于直角三角形隐含了直角的条件，那么思考判定直角三角形全等的条件能否缩减为两个？ (1) 两边对应相等???(?))SAS 等一直角边、斜边对应相 两直角边对应相等（ (2) 两锐角对应相等（×） (3) 一边一锐角对应相等（ASA 或AAS ）

【典例剖析】 1．如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A ’B ’C ，A ’B ’交AC 于点D ，若∠A ’DC=90°,则∠A = °。 2．如图，已知△ABC 的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是( ) A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D 只有丙 3．如图，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。 b a c a c c a 丙 72? 50? 乙50?甲50? C B A 50?72?58?

高数辅导讲义(4)

第三章 一元函数积分学 §3．1 不定积分 甲 内容要点 一．基本概念与性质 1．原函数与不定积分的概念 设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间 I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()?dx x f 。其中?称 为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质 设 ()()C x F dx x f +=?，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。 则（1）()()C x F dx x F +='? 或 ()()? +=C x F x dF （2） ()[]()x f dx x f ='? 或 ()[]()dx x f dx x f d =? （3）()()? ? =dx x f k dx x kf （4） ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 3．原函数的存在性 设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如() ?dx x 2sin ，() ?dx x 2 cos ， ?dx x x sin ，?dx x x cos ，?x dx ln ，dx e x ?-2 等。被积函数有原函数， 但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

二．基本积分公式 1．C x dx x ++= ?+1 1 ααα ()，实常数1-≠α 2． ?+=C x dx x ln 1 3．?+=C a a dx a x x ln 1 ()1,0≠>a a C e dx e x x +=? 4．? +=C x xdx sin cos 5．? +-=C x xdx cos sin 6．C x dx x xdx +== ??tan cos 1 sec 22 7．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 2 2 8．C x xdx x +=? sec sec tan 9．C x xdx x +-=? csc csc cot 10．C x xdx +-=? cos ln tan 11．C x xdx +=? sin ln cot 12．C x x xdx ++=? tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 14． ? +=-C a x x a dx arcsin 2 2 ()0>a 15． C a x a x a dx +=+?arctan 122 ()0>a 16． C x a x a a x a dx +-+=-?ln 2122 ()0>a 17． C a x x a x dx +±+=±? 222 2ln () 0>a

寒假培优班初三数学

初三数学 图，直角坐标系中，直线L与x 轴、y 轴分别交于点A（4，0）和点B（0，3），点P沿直线L 由B 点向A点匀速运动，同时点Q沿x 轴由 A 点向坐标原点O匀速运动，两点运动的速度都是每秒1（单位长度），运动t 秒，它们到达图中所示的位置，连结P Q。 （1）当t 为多少时，? PAQ为直角三角形？ （2）当t 为多少时，? PAQ的面积最大？ （3）求（2）中? PAQ三个顶点P、A、Q确定的抛物线的函数表达式。 y B 0, 3 P A 4, 0 x O Q L 图，直角坐标系中，以P（1，1）为圆心， 5 为半径的⊙P 交x 轴于A、B 两点，交y 轴于C、D两点。 （1）直接写出A、B、C、D 四点的坐标（演算在草稿进行）； （2）分别过A、C两点作⊙P 的切线 a 和b，求a、b 的函数表达式（写出切线 a 的表达式的求解过程，切线 b 的表达式直接写出即可，演算在草稿进行。） （3）第（2）问中的a、b 两条切线是否互相垂直？若垂直，请写出证明；若不垂直，请说明理由。 y b C P(1，1) O A D B x a 图，直线AB与x 轴交于A（4，0），与y 轴交于B（0，2）；直线CD与x 轴交于C（2，0），与y 轴交于D（0，4）。 （1））求直线AB的函数表达式（要有过程）；写出直线CD的函数表达式（过程在草稿纸做）。（2））设AB与CD相交于点P，连结AD，求△ PAD的面积。

2 y 4 D B 2 P C A x O 2 4 如图， 二次函数 y = ax + bx + c 的 图 象与 x 轴 交于点 A （ 6，0）和点 B （2，0），与 y 轴交 于点 C （0， 2 3 ）；⊙P 经过 A 、B 、C 三点. （1） ）求二次函数的表达式； （2） ）求圆心 P 的坐标； （3） ）二次函数在第一象限内的图象上是否存在点 Q ，使得以 P 、Q 、A 、B 四点为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请求出点 Q 的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由。 y C ·P 2 3 2 3 O 2 B A x 2 6 图，以△ ABC 的边 AB 为直径的⊙ O 经过 BC 的中点 D ，过 D 作 DE ⊥AC 于 E 。（ 1）求证：AB=AC （ 2 分） A E O （2） 求证： DE 是⊙ O 的切线（ 3 分） （3） 若⊙ O 的半径为 3，切线长 DE= 2 B D C 2 ，求 cos ∠C 的值。（4 分） 图，在平面直角坐标系中有矩形 OABC ，O 是坐标系的原点， A 在 x 轴上，C 在 y 轴上，OA=6，

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第一部分函数极限连续 函数、极限、 连续 函数极限连续 函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质 函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质 函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点 性性唯一性 函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断 性有界性局部有界性点 收敛数列的函数极限的 保号性局部保号性 数列极限四函数极限与数 则运算法则列极限的关系 极限存在准函数极限四 则则运算法则 夹逼准则两个重要极 限 单调有界准无穷小的比 则较 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小

历年试题分类统计及考点分布 考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计 运算法则极限准则阶 年份 1987 1988 5 3 8 1989 1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998 1999 2000 5 5 2001 2002 2003 4 4 8 2004 4 4 2005 2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。

初中数学竞赛辅导讲义全

专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：

[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)

课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日

公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。

初中数学竞赛辅导讲义(初三)

1 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简2312++x x + 6512++x x + 1271 2++x x 解：原式= )2)(1(1 ++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1 ++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41 +x =)4)(1(3 ++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ) )()((+-+的值。

2 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 12+-mx x x =1，求 1 2242 +-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x m x x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2 = 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：

中考一轮2018-2019初中数学九年级教师一对一辅导讲义(全册)

2018-2019初中数学九年级教师一对一辅导讲义（全册） 学员编号：12345678 年级：九年级课时数：3 学员姓名： xxx 辅导科目：数学学科教师：授课类型一对一 教学目标掌握函数的概念、性质、图象、应用 星级★★★ 授课日期及时段 201x年月______日_______---______ 数形结合思想 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在初中数学学习中占重要的地位． 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以形助数”“以数助形”的角度来看，主要有以下两个结合点： （1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）； （2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题。 例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 典例：已知反比例函数y＝3 x (x>0)的图象经过点(m，y1)、(m＋1，ｙ 2 )、(m＋2，y3)， 则下列关于y1＋y3与2y2的大小关系正确的是( ) (A)y1＋y3 >2y2(B)y1＋y3 < 2y2 (C)y1＋y3＝2y2(D)不能确定法一：特殊值法 法二：做差法 法三：数形结合 课前检测

一轮复习3------函数的概念、性质、图象、应用 知识梳理 一、平面直角坐标系 1·平面直角坐标系 概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫__________，竖直的数轴叫__________，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限为象限。 注意：（1）坐标轴上的点不属于任何一个象限。 （2）建立的坐标系，可以选择适当的参照点为原点，在确定x轴、y轴的正方向； （3）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。记作（a ，b）； 注意：a、b的先后顺序对位置的影响。 2·坐标特征 ○1坐标轴上的点的坐标特征： ○2各象限内的点的坐标特征： ○3与坐标轴平行的直线上点的坐标特征： 平行于x轴： 平行于y轴： ○4各象限角平分线上点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标________， 第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标________． 3·点的平移 在平面直角坐标系中， 将点P(x，y)向右(或向左)平移a个单位，可以得到对应点(x＋a，y)[或(x－a，y)]； 将点P(x，y)向上(或向下)平移b个单位，可以得到对应点(x，y＋b)[或(x，y－b)]． 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 平移口诀：“” 4·点的对称（构造全等证明） 点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为__________；

初三数学反比例函数讲义

学科教师辅导讲义 一、 知识梳理 二、 知识概念 （一）反比例与反比例函数 1、成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x k y 中的两个变量必成反比例关系。 2、反比例函数 （1）定义 体系搭建

（2）反比例函数解析式的特征 ① 等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含 有自变量x ，且指数为1. ② 比例系数0≠k ③ 自变量x 的取值为一切非零实数。 ④ 函数y 的取值是一切非零实数。 （3）待定系数法 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）。 （二）反比例函数的图像与性质 1、图像的画法：描点法（列表、描点、连线） 2、图像特征： （1）反比例函数的图像是双曲线，x k y = （k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 （2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=），也是中心对称图形。 （3）系数k 的几何意义：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 （三）反比例函数与直线相交问题 1、解决直线与双曲线的交点问题时，就是将反比例函数与直线联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标；

2、判断直线与双曲线有无公共点，可用△=b 2 -4ac 来确定； 3、交点个数可以通过△的正负判断： 1）△＞0，有两个交点； 2）△=0，只有一个交点； 3）△＜0，没有交点。 （四）用反比例函数图解不等式 1、比较反比例函数的大小 1）利用反比例函数的增减性可以比较反比例函数值的大小，也可以利用反比例函数的图形比较大小； 2）根据反比例函数的增减性可以确定反比例函数系数的符号。 2、利用函数图像解不等式 模型建立：如图，一次函数y=kx+b 的图像与反比函数y=的图像相交于M,N 两 点。 1） 利用图中图像求反比例和一次函数的解析式； 2） 根据图像写出关于的方程y=kx+b=的解； 3） 根据图像写出关于x 的不等式：kx+b ＜的解集。 3、求线段的最值 1）给出x 与y 的取值范围，求线段最短或最长距离转换成求两点之间的距离，并结合反比例图像的对称性质计算； 2）求反比例函数外的点到反比例函数上点通过对称性质，转换到同一线段求解。 4、系数“K”的几何意义：求图形的面积或已知面积求K 值 1）反比例函数上的任意一个点的面积(向x 轴、y 轴作垂线形成的矩形，或者与原点形成的三角形面积分别为∣k ∣、∣k ∣2 ； 2）技巧：求解析式或面积都必须转换成反比例函数上的点计算。 考点一： 反比例函数的定义与表达式 例1、下列函数：xy=1，y=，y=，y= ，y=2x 2中，是y 关于x 的反比例函数的有（ ）个． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

解答金榜图书武忠祥 高等数学辅导讲义 练习题详解

《高等数学辅导讲义》练习题解答 第五章 多元函数微分学 1.应选（B）.,)0,(x e x f =该函数在0=x 处不可导，则)0,0(x f ′不存在；,),0(2 y e y f =该函数在0=y 处不可导，则)0,0(y f ′存在； 2.应选（D）. 由b y x f a y x f y x =′=′),(,),(0000知，一元函数),(),,(00y x f y x f 分别在 00,y y x x ==处连续，则),,(),(lim 0000 y x f y x f x x =→).,(),(lim 0000 y x f y x f y y =→ 3.应选（B）. ,000lim )0,0(0=Δ?=′→Δx f x x ,00 0lim )0,0(0=Δ?=′→Δx f y y 220 000)()(lim ])0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔΔ=Δ′+Δ′??ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ不存在， 则),(y x f 在点)0,0(处不可微，故应选（B）. 4.应选（D）. ,00)(1sin )(lim )0,0(220 =Δ?ΔΔ=′→Δx x x f x x ,00)(1sin )(lim )0,0(2 2 0=Δ?ΔΔ=′→Δy y y f y y 2 22 2220 0)()()()(1 sin ))()((lim ] )0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔ+ΔΔ+Δ=Δ′+Δ′??ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ ,0=则),(y x f 在点)0,0(处可微.当)0,0(),(≠y x 时， 2 222221 cos 21sin 2),(y x y x x y x x y x f x ++? += ,01sin 2lim 22) 0,0(),(=+→y x x y x 2222)0,0(),(1 cos 2lim y x y x x y x ++→不存在， 则 ),(lim ) 0,0(),(y x f x y x →不存在，即偏导数),(y x f x 在点)0,0(处不连续，故应选（D）. 5.应选（D）.由 0),(,0),(??y y x f x y x f 可知,),(y x f 关于变量x 是增函数,而关于变量y 是减函数,当 2121,y y x x ><时, ).,(),(),(112122y x f y x f y x f >>

初三上数学辅导讲义第一讲

初三上数学辅导讲义(一) 一元二次方程的解法 一、用配方法解方程 1．(1)x 2－2x －12＝0 (2)2x 2－4x －1＝0 二、用公式法解方程 2．(1)5x 2＋2x －1＝0 (2)6x 2＋13x ＋6＝0 三、用因式分解法解方程 3．(1)x 2－6x ＋9＝4 (2)9(x －2)2＝4(x ＋1)2 四、选择适当的方法解方程 4．(1)x 2－4x ＋1＝0 (2)3x (x －1)＝2x －2 五、利用一元二次方程根的定义解方程 5．(2014·济宁)若一元二次方程ax 2＝b(ab>0)的两根是m ＋1，2m －4，则b a ＝___． 6．(2014·内江)关于x 的方程m(x ＋h)2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是：x 1＝－3，x 2＝2，则方程m(x ＋h －3)2＋k ＝0的解是( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5 C ．x 1＝－3，x 2＝5 D ．x 1＝－6，x 2＝2 六、利用一元二次方程根的判别式解方程 7．关于x 的一元二次方程mx 2－(3m －1)x ＋2m －1＝0，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的解．

一元二次方程的根与系数的关系 知识点：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝____，x 1x 2＝____． 一、直接求两根之和与两根之积 1．一元二次方程x 2＋3x ＝1的两根之和与两根之积分别是( ) A ．3，1 B ．－3，－1 C ．3，－1 D ．－3，1 二、求相关对称式的值 2．设x 1x 2是一元二次方程2x 2－x －3＝0的两根，求下列代数式的值． (1)x 12＋x 22 (2)x 2x 1＋x 1 x 2 (3)x 12＋x 22－3x 1x 2 三、已知方程的一根求另一根与待定系数 3．已知x ＝3是关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0的一根，则另一根是__ __，m ＝__ __． 4．已知2＋3是关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根，求方程的另一个根，及m 的值． 四、与判别式结合求待定系数的值 5．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1和x 2. (1)求k 的取值范围； (2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值． 6．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋2k ＝0有两个实根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围； (2)是否存在实数k 使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．