一元一次不等式综合
【例题求解】
【例题1】(1)已知关于x 的不等式组???>-≥-0
025a x x 无解,则a 的取值范围是是___________。
思路点拨:从数轴上看,原不等式组种两个不等式的解集没有公共部分。
(2)已知不等式03≤-a x 的正整数解恰好是1、2、3,则a 的取值范围是___________。 思路点拨:由题意,结合数轴,理解3
a x ≤
。
【例题2】如果关于x 的不等式组?
??<-≥-0607n x m x 的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等式组的整数m 和n 的值是多少。
思路点拨:借助数轴,分别建立m 、n 的不等式,确定整数m 、n 的值。
【例题3】解下列不等式(组)
(1)n x m +<+332 (2)102≤-x
(3)求不等式321≤-+-x x 的所有整数解。
思路点拨:与方程类似,解含有字母系数的不等式(组)需要对字幕系数进行讨论;解含有绝对值符号的不等式(组)的关键是去掉绝对值符号,化为一般的不等式求解。
【例题4】已知三个非负数a 、b 、c 满足132523=-+=++c b a c b a 和,若c b a m 73-+=。求m 的最大值与最小值。
思路点拨:本体综合了方程、不等式组的丰富知识,解题的关键是通过解方程组,用含一个字母的代数式来表示m ,通过解不等式组,确定这个字母的取值范围,在约束条件下,求m 的最大值与最小值。
【课堂练习】
1、 若关于不等式组?????<++>+0
1456m x x x 的解集为4 2、 若不等式组?? ?>-<-3212b x a x 的解集是11<<-x ,则)1)(1(-+b a 的值是_____________。 3、 已知0 4、 对于整数a 、b 、c 、d ,符号dc ab 表示运算bd ac -,已知3411< 5、 若01<<<-b a ,则下列式子正确的是____________。 A 、-a<-b B 、 b a 11< C 、 b a < D 、22b a > 6、 若方程组?? ?=++=+3414y x k y x 的解满足条件10<+ 7、 已知a 、b 为常数,若0>+b ax 的解集是3 1< x ,则bx-a<0的解集是_____________。 8、解下列关于x 的不等式(组)。 (1) ab x b b x a +>+2 2 (2)312≤-x (3)?? ???+≥->+<-x x x x x 312113250104 (4)11->-ax ax 9、已知方程组?? ?=+=-6 2y mx y x ,若方程组有非负整数解,求正整数m 的的值。 10、如果???==2 1y x 是关于x 、y 的方程08)12(2=+--+--by ax by ax 的解,求不等式组?????+<-+>-3 3413x ax b x a x 的解集。 11、已知非负实数x 、y ,x 满足 433221-=-=-z y x ,记w=3x+4y+5z ,求w 的最大值与最小值。 【能力拓展】 12、已知1120<- 12-x 的取值范围是___________。 13、如果关于x 的不等式05)2(>---n m x n m 的解集为710 14、已知关于x 、y 的方程组?? ?=++=-a y x a y x 523的解满足0>>y x ,化简=-+a a 3________。 14、不等式0)2)((<-+x x x 的解集为______________。 15、关于x 的不等式组?????+>++- 231)3(32有四个整数解,则a 的取值范围是________。 16、已知a 为正整数,方程组? ??=+=+62384y x y ax 的解满足0,0<>y x ,则a 的值为__________。 18、若正数a 、b 、c 满足不等式?????????<+<<+<<+ b a c 41125352 32611,则a 、b 、c 的大小关系是? 初一数学培优讲义—不等式(答案) 一、例题选讲 4 x m8 x 1 例 1、已知关于x 的方程:37,当m为某些负整数时,方程的解为负整数,试求负整数m的最大值。 4 x m 1,可得 m 4 x 1 解:原方程化简整理得:2121 4 x 因为 m为负整数,所以21必为小于-1的负整数 4 x1, x 21,即x 5 1 所以214 4 4 x 而要使 21为负整数,x必是21的倍数,所以x 的最大值为 -21 因为当 x 取最大值时, m也取得最大值,所以m的最大值为 -3 4 x 例 2、已知 m、n 为实数,若不等式 (2m-n) x+3m-4n<0 的解集为9 , 求不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解。 解:由 (2m-n) x+3m-4n<0 得: (2m-n) x<4n-3m , 2m n 0 (1) x 4 4n 3m 4 (2) 9 ,所以有2m n 9 因为它的解集为 n 7 m 由(2) 得8 代入(1) 得 m<0 n 7 m 5m x 5m 把8 代入(m-4n) x+2m-3n>0 得 2 8 1 1 x x ∵ m<0 ∴ 4 所以,不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解集为 4 例 3、解不等式: (1) (2x+1)2-7<(x+m)2+3x (x-1) (2) x 4 2x 3 1 解: (1) 原不等式可化为: (7-2m) x 一元一次方程培优训练 基础篇 一、选择题 1.把方程 103 .02.017.07.0=--x x 中的分母化为整数,正确的是( ) A.13 2177=--x x B .13217710=--x x C .1032017710=--x x D .132017710=--x x 2.与方程x+2=3-2x 同解的方程是( ) A.2x+3=11 B.-3x+2=1 C.132 =- x D.23 1132-=+x x 3.甲、乙两人练习赛跑,甲每秒跑7m ,乙每秒跑6.5m,甲让乙先跑5m,设x秒后甲可追上乙,则下列四个方程中不正确的是( ) A.7x=6.5x+5 B.7x +5=6.5x C.(7-6.5)x=5 D .6.5x=7x-5 4.适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5.电视机售价连续两次降价10%,降价后每台电视机的售价为a 元,则该电视机的原价为( ) A.0.81a 元 B.1.21a 元 C.21 .1a 元 D.81.0a 元 6.一张试卷只有25道选择题,做对一题得4分,做错1题倒扣1分,某学生做了全部试题共得70分,他做对了( )道题。 A.17 B.18 C.19 D.20 7.在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米,速度为100千米/时的卡车,则轿车从开始追击到超越卡车,需要花费的时间约是( ) A.1.6秒?? B.4.32秒 ? C.5.76秒 ? D.345.6秒 8.一项工程,甲单独做需x 天完成,乙单独做需y天完成,两人合作这项工程需天数为( ) A . y x +1 B.y x 11+ C.xy 1 D. y x 111+ 9、若2x =-是关于x 的方程233x x a += -的解,则代数式21 a a -的值是( ) A、0 B 、28 3- C、29- D 、2 9 10、一个六位数左端的数字是1,如果把左端的数字移到右端,那么所得的六位数等于原数的3倍,则原数为( ) A 、142857 B 、157428 C 、124875 D、175248 二、填空题 11.当=a 时,关于x 的方程0121 4=+-a x 是一元一次方程。 七年级上册《一元一次方程》培优 专题一:一元一次方程概念的理解: 例:若()2219203m x x m -- +=+是关于x 的一元一次方程,则方程的解是 。 练习: 1.()()221180m x m x --+-=是关于x 的一元一次方程,则代数式()()199231101m m m +-++的值为 2.若方程()()321x k x -=+与62 k x k -=的解互为相反数,则k= 。 3.若k 为整数,则使得方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有( ) A.4个 B.8个 C.12个 D.16个 专题二:一元一次方程的解法 (一)利用一元一次方程的巧解: 例: (1)0.2?表示无限循环小数,你能运用方程的方法将0.2?化成分数吗? (2)0.23??表示无限循环小数,你能运用方程的方法将0.23??化成分数吗? (二)方程的解的分类讨论: 当方程中的系数是用字母表示时,这样的方程叫含字母系数的方程,含字母系数的一元一次方程总可以华为ax=b 的形式,继续求解时,一般要对字母系数a 、b 进行讨论。 (1)当0a ≠时,方程有唯一解b x a =; (2)当0,0a b =≠时,方程无解; (3)当0,0a b ==时,方程有无数个解。 例:已知关于x 的方程()2132a x x -=-无解,试求a 的值。 练习: 1.如果a ,b 为定值,关于x 的方程 2236kx a x bk +-=+,无论k 为何值,它的根总是1,求a ,b 的值。 2.解方程 11x x a b a b ab --+-= 3.对于任何a 值,关于x ,y 的方程()11ax a y a +-=+有一个与a 无关的解,这个解是( ) A.2,x y ==-1 B.2,1x y == C.2,1x y =-= D.2,1x y =-=- 4.问:当a 、b 满足什么条件时,方程251x a bx +-=-;(1)有唯一解;(2)有无数解; (3)无解 5.(1)a 为何值时,方程 ()112326 x x a x +=--有无数多个解?(2)a 为何值时,该方程无解? 6.若关于x 的方程()()311x x k x -+=-无解,则k= 。 专题四:绝对值方程: 例4:解方程:(1)35x -= (2)30x -= (3)235x -= 例5:解方程: (1)215x x -++= (2)213x x -++= (3)212x x -++= 练习:19.解方程:(1)2313x x -=- (2)2313x x -=- 一元一次不等式培优训练题 1、解不等式252133x -+-≤+≤- 2.求下列不等式组的整数解2(2)83373(2)82x x x x x x +<+??-≥-??-+>? 3、解不等式:(1) 0)2)(1(<+-x x (2) 0121>+-x x 4、对于1x ≥的一切有理数,不等式 ()12 x a a -≥都成立,求a 的取值范围。 5、已知1x =是不等式组()()352,2 3425x x a x a x -?≤-???-<+-? 的解,求a 的取值范围. 6、如果35x a =-是不等式 ()11233 x x -<-的解,求a 的取值范围。 7、若不等式组841,x x x m +<-?? >?的解集为3x >,求m 的取值范围。 8、如果不等式组237,635x a b b x a -? - 的解集为522x <<,求a 和b 的值。 9、不等式组?????<-<-6 22131m x m x 的解集是36+ 10、已知关于x 的不等式()12a x ->的解在2x <-的范围内,求a 的取值范围。 11、已知关于x 的不等式组010 x a x ->?? ->?,的整数解共有3个,求a 的取值范围。 12、已知关于x的不等式组 321 x a x -≥ ? ? -≥- ? 的整数解共有5个,求a的取值范围。 13、若关于x的不等式组 2145, x x x a ->+ ? ? > ? 无解,求a的取值范围。 14、设关于x的不等式组 22 321 x m x m -> ? ? -<- ? 无解,求m的取值范围 七年级上册一元一次方程综合培优训练 一.选择题 1.下列方程的变形,正确的是() A.由3+x=5,得x=5+3B.由7x=﹣4,得x= C.由y=0,得y=2D.由x+3=﹣2,得x=﹣2﹣3 2.关于x的方程8+2x=6的解为() A.x=﹣3B.x=﹣2C.x=﹣1D.x=1 3.受新冠肺炎疫情的影响,某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%,3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%,已知1月份电器的销售额为50万元.设3月份电器的销售额为a万元,则() A.a=50(1﹣20%﹣m%)B.a=50(1﹣20%)m% C.a=50﹣20%﹣m%D.a=50(1﹣20%)(1﹣m%) 4.已知关于x的方程=的解是x=2,则代数式﹣的值为()A.﹣B.0C.D.2 5.若关于x的方程3(x+4)=2a+5的解不小于方程x﹣3a=4x+2的解,则a的取值范围是()A.a>1B.a<1C.a≥1D.a≤1 6.在梯形面积公式中,已知S=50,a=6,b=a,则h的值是()A.B.C.10D.25 7.若代数式5﹣4x与的值互为相反数,则x的值是() A.B.C.1D.2 8.下列四个选项中,不一定成立的是() A.若x=y,则2x=x+y B.若ac=bc,则a=b C.若a=b,则a2=b2D.若x=y,则2x=2y 9.已知a为整数,关于x的一元一次方程的解也为整数,则所有满足条件的数a的和为() A.0B.24C.36D.48 10.定义运算“*”,其规则为a*b=,则方程4*x=4的解为() A.x=﹣3B.x=3C.x=2D.x=4 二.填空题 11.若代数式1﹣8x与9x﹣4的值互为相反数,则x=. 12.关于x的一元一次方程|a|x+2=0的解是x=﹣1,则a=. 13.“巴高是我家,创卫靠大家”某校七年级某班组织学生到街道清理完一堆垃圾,若只由女生清理完,则每位女生要清理36公斤;若只由男生清理完,则每位男生要清理45公斤,若全班同学同时参加清理完,则每人平均清理m公斤,这里的m=. 14.定义新运算:a?b=a﹣b+ab,例如:(﹣4)?3=﹣4﹣3+(﹣4)×3=﹣19,那么当(﹣x)?(﹣2)=2x时,x=. 15.小强在解方程时,不小心把一个数字用墨水污染成了x=1﹣,他翻阅了答案知道这个方程的解为x=1,于是他判断●应该是. 三.解答题 16.(1)计算:﹣32﹣|﹣6|﹣3×(﹣)+(﹣2)2÷; 元一次方程培优讲义 1 2 ①2x — 5= 1;②8-7= 1;③x + y :④ 1 x — y = x 2;⑤3x + y = 6; 2 ⑥5x + 3y + 4z = 0;⑦1 — 1 = 8;⑧x = 0。其中方程的个数是( ) m n A 5 B 、6 C 、7 D 8 举一反三: 方程的解的概念: 使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 (1) 解方程的概念:求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。 (2) 判断一个未知数的值是不是方程的解:将未知数的值代入方程,看左右两边的 值是否相等,能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。否则就不是方程 的解。 元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路 重点题 型总结 及应用 知识点 一:一元 一次方 程的概 念 例1、已 知下列 各式: 【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程:__________________ (1)-2X2+3=X(2) 3x-仁2y (3) x+ 1=2 (4) 2x2-1=1-2(2x-x 2) X 【变式2】若关于X的方程mx m 2 m 3 0是一个一元一次方程,则m ___________________ . k 2 【变式3】若关于X的方程k 2 X3 kx —0是一元一次方程,则k 2 【变式4】若关于X的方程m 2x m3 mx 5是一元一次方程,则m _____________________ . 【变式5】若关于X的方程m 2 (m 2)X2 (m 2)X5是一元一次方程, 贝 U m ______ . 【变式6】已知:(a —3)(2a + 5)X + (a —3)y + 6 = 0是关于X的一兀一次方程,a= 知识点二:方程的解 题型一:已知方程的解,求未知常数 例2、当k取何值时,关于X的方程化上5X 0.8 —的解为X 2 0.5 0.2 0.1 举一反三: 已知y m my m . (1)当m 4时,求y的值;(2)当y 4时,求m的值. 2 题型二:已知一方程的解,求另一方程的解 例3、已知X 1是关于X的方程1 - (m X)2X的解,解关于y的方程: 3 m(y 3) 2 m(2y 5). 题型三:同解问题例4、方程2x 3 3与1 3a x 0的解相同,求a的值. 一元一次不等式组练习题 一、选择题 1、已知方程? ??-=++=+②①m 1y 2x m 31y x 2满足0y x <+,则( ) A. 1m -> B. 1m > C. 1m -< D. 1m < 2、若不等式组? ??+>+<+1m x 1x 59x 的解集为2x >,则m 的取值范围是( ) A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m > 3、若不等式组? ??>+>-01x 0 x a 无解,则a 的取值范围是( ) A. 1a -≤ B. 1a -≥ C. 1a -< D. 1a -> 4、如果不等式组? ??<->-m x x x )2(312的解集是x <2,那么m 的取值范围是( ) A 、m=2 B 、m >2 C 、m <2 D 、m≥2 5、如果不等式组2223 x a x b ?+???-≥的解集是01x <≤,那么a b +的值为 . 6、若不等式组0,122x a x x +??->-? ≥有解,则a 的取值范围是( ) A .1a >- B .1a -≥ C .1a ≤ D .1a < 7、若不等式组530,0x x m -??-? ≥≥有实数解,则实数m 的取值范围是( ) A.m ≤53 B.m <53 C.m >53 D.m ≥53 8、关于x 的不等式组?????x +152>x -3 2x +23<x +a 只有4个整数解,则a 的取值范围是 ( ) A. -5≤a ≤-143 B. -5≤a <-143 C. -5<a ≤-143 D. -5<a <-143 二、填空题 1、关于x 的不等式组12x m x m >->+???的解集是1x >-,则m = . 一元一次不等式培优训练 例1、要使a 5<a 3<a <a 2<a 4成立,则a 的取值范围是( ) A.0<a <1 B. a >1 C.-1<a <0 D. a <-1 例2、已知6<a <10, 2 a ≤ b ≤a 2,b a c +=,则c 的取值范围是 。 例3、若不等式0432b <a x b a -+-)(的解集是49x >,则不等式的解集是0324b >a x b a -+-)( 。 例4、设7321x x x x ,,,,Λ均为自然数,且76321x x x x x <<<<<Λ,又2012721=+++x x x Λ,则21x x +的最大值是 。 例5、设实数a 、b 、c 满足a 当堂练习 一、选择题 1、如果a 、b 表示两个负数,且a <b ,则......................................( ). (A)1>b a (B)b a <1 (C)b a 11< (D)ab <1 2、a 、b 是有理数,下列各式中成立的是........................................( ). (A)若|a |≠|b |,则a ≠b (B)若a 2>b 2,则a >b (C)若a ≠b ,则|a |≠|b | (D)若a >b ,则a 2>b 2 3、|a |+a 的值一定是......................................................................( ). (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4、若不等式(a +1)x >a +1的解集是x <1,则a 必满足...............( ). (A)a <0 (B)a >-1 (C)a <1 (D)a <-1 5、若由x <y 可得到ax ≥ay ,应满足的条件是...............................( ). (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a >0 (D)a <0 6、某市出租车的收费标准是:起步价7元,超过3km 时,每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元,设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ,那么x 的最大值是........................................................( ). (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 7、若不等式组?? ?>≤ 二元一次方程组培优训练题 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:一元一次不等式培优带答案.doc
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