??=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？
解：把m 作为已知数，解方程组得???
????-=--=82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y 是整数,∴m －8取2的约数±1，±2.
取它们的公共部分，m －8＝±1，±2.
解得 9，7，10，6.
经检验9，7,10,6时，方程组的解都是整数。
例4(古代问题)用100枚铜板买桃,李,榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板,而榄橄7粒1枚铜板.问桃，李，榄橄各买几粒？
解：设桃，李，榄橄分别买x ， y ， z 粒,依题意得
??
???=++=++)2(1007143)1(100z y x z y x 由（1）得 100－y －z (3)
把（3）代入(2），整理得
－200+3z －7
z 设k z =7
(k 为整数） 得7k, －200+20k, 300－27k ∵都是正整数∴?????>>+->-07020200027300k k k 解得???
????>><0.10.9100k k k (k 是整数）
∴10＜k 〈9
111, ∵k 是整数， ∴11 即3(桃）, 20（李)， 77（榄橄） （答略)
丙练习11
1．不解方程组，判定下列方程组解的情况：
① ???=-=-96332y x y x ②???=-=-3
2432y x y x ③???=-=+153153y x y x 2．a 取什么值时方程组?????+-=--+=+229691322a a y x a a y x 的解是正数?
3．a 取哪些正整数值，方程组?
??=--=+a y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？ 4．要使方程组???=-=+1
2y x k ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？
5．(古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少?
初中数学竞赛辅导资料（12）
用交集解题
甲内容提要
1．某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作{6的正约数｝＝{1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6;除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数}＝｛1，4，7,10……｝,它的个元素有无数多个。
2．由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A ＝{1，2,3，6｝，10的正约数集合B ＝{1，2，5，10}，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝,集合C 是集合A 和集合B 的交集。
3．几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合，
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组?
??<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是 不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x 〉3. 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解(即解的集合）分别求出来,它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案.(如例2）
乙例题
例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。
解:除以3余2的自然数集合A ＝｛2，5，8，11,14，17,20，23，26,……}
除以5余3的自然数集B ＝{3，8，13，18,23，28，……｝
除以7余2自然数集合C ＝｛2，9，16，23，30，……｝
集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数.
例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同，求这两
个数。
解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1,3,7，9，即符合条件的质数
它们的个位数的集合是｛1，3,7,9｝；
其中差等于6的有:1和7；3和9；13和7，三组；
平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。
同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组
故所求质数是：23,17； 43，37； 53，47； 73，67共四组。
例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人，订阅B 种刊物的有21人，其中
6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A 种、只订B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？
解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A 、B 两种都订的人数集合）。
∴只订A 种刊物的人数是28－6＝22
只订B 刊物的人数是21－6＝15小组总人数是22＋15＋6＋1＝44设N ，N （A ）,N （B),N （)，N
分别表示总人数，订A 种、B 种、两种、都不订的人数，则得
［公式一］N ＝N + N （A ）(B ）－N （)。
例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人,篮球有18人，排球有10人，
同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人,
问:有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？ 解：仿公式一,得［公式二］：
N ＝N + N （A)(B ）（C ）－N （）－N ①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15②求N （）可用公式二:
∵40＝24＋18＋10－6－4－N(）＋1 ∴N(）＝3， 即同时会打篮球和排球的是3③只会打排球的是10－3－1＝6（人） 例5。 十进制中，六位数8719xy 能被33解：∵0≤x,y ≤9， ∴0≤≤18, －9≤x －y ≤9，>x －y
∵33＝3×11，
∴1＋9＋8＋7的和是3的倍数,故2，5,8,11，14，17
(18）－(97）是11的倍数， 故x －－4，7
∵和x －y 是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解： ???-=-=+48y x y x ???-=-=+414y x y x ???=-=+711y x y x ???=-=+7
17y x y x
解得???==62y x ???==95y x ???==29y x ?
??==512y x （12不合题意舍去）答：26或59或92
丙练习12
1．负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿
2．等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。
3．12的正约数集合A ＝｛ ｝，30的正约数集合B ＝｛ } 12和30的公约数集合C ＝｛ }，集合C 是集合A 和集合B 的＿＿
4．解下列不等式组并把解集(不是空集）表示在数轴上：
①???-<->563x x ②???<>-052x x ③ ??
???->-->22131x x ④???<+>-0202x x 5．某数除以3余1，除以5余1，除以7余2,求某数的最小值。
6．九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1,丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？
7．求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同.
8．据30名学生统计,会打篮球的有22人,其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？
9．100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A 和B 进行表决，赞成A 的有52票，赞成B 的有60票，其中A 、B 都赞成的有36人，问对A 、B 都不赞成的有几人?
10。 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计,数学24人，物理18人，化学10人;按两科统计,参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？）
11。 053=+-+-+y x y x
12。 十进制中,六位数2851xy 能被21整除，求的值（仿例5）
初中数学竞赛辅导资料（13）
用枚举法解题
甲内容提要
有一类问题的解答，可依题意一一列举,并从中找出规律.列举解答要注意: ① 按一定的顺序,有系统地进行;
② 分类列举时,要做到既不重复又不违漏；
③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 乙例题
例1 如图由西向东走, 从A 处到B 处有几 种走法？ 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目,例如 从A 到C 有三种走法,在C 处标上3， 从A 到M （N ）有3＋1＝4种， 从A 到P 有3＋4＋4＝11种,这样逐步累计到B ，可得1＋1＋11＝13（种走法)
例2 写出由字母X ，Y ，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为1)的所有
四次单项式。
解法一：按X 4，X 3，X 2，X ，以及不含X 的项的顺序列出（如左）
解法二:按X →Y →Z →X 的顺序轮换写出（如右）
X 4 ， X 4 ， Y 4 ， Z 4
X 3Y , X 3Z, X 3Y , Y 3Z , Z 3X
X 2Y 2， X 2Z 2， X 2， X 3Z ， Y 3X ， Z 3Y
3， 3， 2Z ， 2， X 2Y 2， Y 2Z 2 , Z 2X 2
Y 4， Z 4 Y 3Z ， Y 2Z 2， 3。 X 2, Y 2， Z 2
解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略） 例3 讨论不等式
当a 〉0时，解集是x 〈a ， 当a 〈0时，解集是x 〉a
, 当0>0时，解集是所有学过的数,
当0≤0时，解集是空集（即无解）
例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三
角形个数
解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位, 再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况,边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在上的△有:1+2+3=6
边长2单位,顶点在下的▽有:1
边长3单位,顶点在上的△有：1+2=3
边长4单位，顶点在上的△有:1
合计共27个
丙练习13
1．己知x ，y 都是整数，且6,那么适合等式解共个，它们是＿＿＿
2．37，适合等式的非负整数解共组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 13A B
3．6，写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿
4．如图线段上有B，C,D，E四点，试分别写出以A，B,C，D,E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。
A B C D E F
5。写出以中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的所有三次单项式 .
6.除以4余1 两位数共有几个？
7.从1到10这十个自然数中每次取两个,其和要大于10，共有几种不同取法？8。把边长等于4的正方形各边4等分,連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5等分呢?10等分呢？
9.右图是街道的一部分，纵横各有5
A到B（只能从北向南，从西向东)
10。列表讨论不等式>b的解集.
11.一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6
则这个正整数的最小值是＿＿
初中数学竞赛辅导资料（14）
经验归纳法
甲内容提要
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法.
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如
①由（－ 1）2＝ 1 ，（－ 1 ）3＝－ 1 ,（－ 1 )4＝ 1 ，……,
归纳出－ 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂是 1 .
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 )，
三位数从 100 到 999 共900个（9×102），
四位数有9×103＝9000个(9×103）,
…………
归纳出n 位数共有9×101（个）
③由1+3=22，1+3+5=32,1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等.
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。
2。经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）
乙例题
例1 平面内n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点?
解:两条直线只有一个交点， 1 2
第3条直线和前两条直线都相交,增加了2个交点,得1＋2 3
第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点,得1＋2＋3
第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4
………
第n 条直线和前n －1条直线都相交，增加了n －1个交点
由此断定n 条直线两两相交,最多有交点1＋2＋3＋……n －1（个），
这里n ≥2，其和可表示为[1+（1）］×21+n , 即2
)1(-n n 个交点。
例2．符号n ！表示正整数从1到n 的連乘积，读作n 的阶乘.例如
5!＝1×2×3×4×5。试比较3n 与（1)！的大小(n 是正整数)
解：当n ＝1时，3n ＝3, （n ＋1）！＝1×2＝2
当n ＝2时，3n ＝9， （n ＋1）！＝1×2×3＝6
当n ＝3时,3n ＝27， （n ＋1）！＝1×2×3×4＝24
当n ＝4时，3n ＝81， （n ＋1）!＝1×2×3×4×5＝120
当n ＝5时,3n ＝243, （n ＋1）!＝6！＝720 ……
猜想其结论是：当n ＝1,2,3时，3n ＞（n ＋1)！，当n 〉3时3n ＜(n ＋1）!。 例3 求适合等式x 123＋…20031x 2x 3…x 2003的正整数解。
分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等,要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。 解:x 121x 2的正整数解是x 12=2
x 1231x 2x 3的正整数解是x 1=12=23=3
x 12341x 2x 3x 4的正整数解是x 12=13=24=4
x 123451x 2x 3x 4x 5的正整数解是x 123=14=25=5
xx 2x 3x 4x 5x 6的正整数解是x 1234=15=26=6
…………
由此猜想结论是：适合等式x 123＋…20031x 2x 3…x 2003的正整数解为x 123＝……2001=1， x 2002=2， x 2003=2003.
丙练习14
1．除以3余1的正整数中,一位数有＿＿个,二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n 位数有＿＿＿＿个。
2．十进制的两位数21a a 可记作10a 1＋a 2，三位数321a a a 记作100a 1+10a 23，四位数4321a a a a 记作＿＿＿＿，n 位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿
3．由13＋23＝（1＋2）2,13＋23＋33＝（1＋2＋3）2,13＋23＋33＋43
＝（＿＿＿）2 ，13＋＿＿＿＿＿＿＝152,13＋23＋…＋n 3=( )2。
4．用经验归纳法猜想下列各数的结论(是什么正整数的平方)
①－个 1101111 252222个＝（＿＿＿）2；； 121111n 个－
2
2222n 个＝( ＿＿)2。 ② 位91111
位95655＝（＿＿＿＿)2； n 位
n 位56551111＝（＿＿＿)2
5．把自然数1到100一个个地排下去：123......91011 (99100)
① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少
6．计算12111?＋13121?＋14131?＋…＋20
191?＝ (提示把每个分数写成两个分数的差）
7．a 是正整数，试比较1和(1）a 的大小。
8．。 如图把长方形的四条边涂上红色,然
后把宽3等分，把长8等分，分成24个
小长方形,那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。
本题如果改为把宽m 等分，长n 等分（都是大于1的自然数)那么这个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分,切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。
本题如果改为把长m 等分，宽n 等分，高p 等分，（都是大于2的自然数）那么这个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。
10．一个西瓜按横,纵,垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。
11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。
初中数学竞赛辅导资料（15)
乘法公式
甲内容提要
1．乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，
直接应用.
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式.
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式.
完全平方公式：(a±b)22±22，
平方差公式：(）（a－b）2－b2
立方和(差)公式：（a±b）(a2 2）3±b3
3.公式的推广：
①多项式平方公式：()22222+222222
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理:(a±b）33±3a232±b3
(a±b)44±4a36a2b2±434)
（a±b）55±5a410a3b2 ±10a2b3＋54±b5)
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
(）(a3－a22－b3）4－b4
()(a4－a32b2－34)55
（)(a5－a43b2－a2b34－b5）6－b6
…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下，可归纳如下:设n为正整数
（)(a2n－1－a2n－22n－3b2－…＋2n－2－b2n－1）2n－b2n
（）(a2n－a2n－12n－2b2－…－2n－12n）2121
类似地:
（a－b）(－1－2－3b2+…＋－2－1）－
4.公式的变形及其逆运算
由（)22+22得 a22=（)2－2
由（)33+3a232333+3(）得 a33=()3－3()
由公式的推广③可知:当n为正整数时
－能被a－b整除,
a2121能被整除,
a2n－b2n能被及a－b整除.
乙例题
例1。己知
求①x22②x33③x44④x55
解:①x22＝（）2－2＝a2－2b
②x33＝()3－3（）＝a3－3
③x44＝（)4－4（x22）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2
④x55＝（)(x4－x32y2－34)
=()［x44－（x22)2y2]
［a4－4a22b2－b（a2－2b）2]
＝a5－5a352
例2.求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方. 证明：设这四个数分别为a, 1, 2， 3（a为整数）
a（1）(2)(3)+1(3）（1）(2）+1=（a2+3a)（a2+32）+1
=(a 2+3a)2+2(a 2+3a ）+1=(a 2+31）2
∵a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数
∴a 2+31是整数 证毕
例3. 求证：2222＋3111能被7整除
证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111
根据 a 2121能被整除，（见内容提要4）
∴4111＋3111能被 4＋3整除
∴2222＋3111能被7整除
例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数"的计算规律 解：∵（105）2=100a 2+2×10a ×5+25=100a(1）+25
∴“个位数字为5的两位数的平方数"的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。
如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 252=625 （6=2×3）,
352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)
……
丙练习15
1．填空:
①a 22=（)2－ ②()2=（a －b)2
③a 33=（)3－3（） ④a 44=(a 22）2－
,⑤a 55=(）（a 44）－ ⑥a 55=(a 22）（a 33)－
2．填空:
①（）（）4－y 4 ②（x －y)()4－y 4
③（)( ）55 ④（x －y ）（）5－y 5
3。计算：
①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=
4。 计算下列各题 ，你发现什么规律
⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=
5。。已知x 13, 求①x 2+21x ②x 3+31x ③x 4+41x
的值
6。化简：①（)2（a －b)2
②()(a 2－2）
③（a －b ）（()3－2(a 2－b 2)
④（）（－c ）（a －）（－)
7.己知1, 求证:a 33－31
8.己知a 21，求代数式a 5－52的值
9.求证：233＋1能被9整除
10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方
11
的直径分别是
①求证:
②
初中数学竞赛辅导资料（16）
整数的一种分类
甲内容提要
1．余数的定义:在等式A＝＋r中，如果A、B是整数,m是正整数，
r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数.
即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数（0≤余数<除数)
例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1
（∵－1＝5（－1）＋4。－9＝5（－2）＋1。）
2．显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种.
例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数,分为m类，称为按模m分类。例如：
2时,分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝，｛2k－1}（k为整数）
3时，分为三类，记作｛3k｝，{31｝,｛32｝.
或｛3k｝,｛31｝，｛3k－1｝其中{3k－1｝表示除以3余2。
5时，分为五类，｛5k}.｛51},｛52}，｛53｝,｛54}
或｛5k｝，｛5k±1｝，｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。
4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运
算规律.
举例如下：
①（3k1+1）+（3k2+1）=3（k12)+2 (余数1＋1＝2)
②（4k1+1）(4k2+3）=4(4k1k2+3k12)+3（余数1×3＝3)
③（5k±2)2＝25k2±204=5（5k2±4k)+4（余数22＝4)
以上等式可叙述为:
①两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。
②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。
③如果整数除以5,余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是
4或9。
余数的乘方,包括一切正整数次幂。
如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 (26＝64)
5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。
乙例题
例1. 今天是星期日，99天后是星期几？
分析：一星期是7天，选用模7, 求99除以7的余数
解：99＝(7＋2）9，它的余数与29的余数相同，
29＝（23)3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同，
∴99天后是星期一。
又解:设｛A｝表示A除以7的余数，
｛99｝＝｛（7＋2）9}＝｛29}＝{83｝＝{（7＋1）3｝＝｛13｝＝1 例2。设n为正整数，求43 1 除以9的余数。
分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式
解：43 1＝4×434×（43)4×（64)n＝4×(9×7＋1)n
∵（9×7＋1)n除以9的余数是11
∴43 1 除以9的余数是4。
例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数
解：设三个连续整数为n－11
（n－1)33+（1)3=3n（n2+2)
把整数n按模3，分为三类讨论。
当3k （k为整数，下同)时，M＝3×3k［(3k）2+2］=9k（9k2+2）当31时，M＝3（31）［（31）2+2］＝3（31）(9k2+63)
=9（31)（3k2+21)
当32时，M＝3（32）［(32)2+2］＝3（32）(9k2+126）
＝9(32）(3k2+42)
∴对任意整数n,M都是9的倍数。
例4. 求证：方程x2－3y2=17没有整数解
证明：设整数x按模3分类讨论，
①当x＝3k时，（3k）2－3y2=17， 3(3k2－y2)=17
⑵当3k±1时，（3k±1）2－3y2=17 3（3k2±2k－y2）=16
由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数，∴上述等式都不能成立，因此,方程x2－3y2=17没有整数解
例5. 求证：不论n取什么整数值，n21都不能被5整除
证明:把n按模5分类讨论，
当5k时，n21=(5k）2+51=5(5k2)+1
当5k±1 时，n21＝（5k±1）2＋5k±1＋1
＝25k2±101+5k±1＋1＝5(5k2±2k＋k)＋2±1
当5k±2时，n21＝（5k±2)2＋5k±2＋1
＝25k2±204+5k±2＋1＝5（5k2±41）±2
综上所述，不论n取什么整数值,n21都不能被5整除
又证：n21＝n(1)+1
∵n(1）是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6
∴n21的个位数只能是1，3，7,故都不能被5整除.
丙练习16
1.已知31, 32， 3k （都是整数)
填写表中各数除以3的余数。
2。 376÷7的余数是＿＿＿＿＿
3．今天是星期日,第2天是星期一，那么第2111天是星期几？
4．已知都是正整数，求证:3(n 2+2）
5. 已知a 是奇数但不是3的倍数,求证:24（a 2－1）
（提示a 可表示为除以6余1或5，即6k ±1）
6．把正整数按表中的规律排下去，问100 将排在哪一列？答：＿＿＿ 7．已知正整数n 不是4的倍数 求证:1n ＋2n ＋3n ＋4n 是10的倍数 8. 任给5个整数，必能从中找到3个,
其和能被10整除，这是为什么？ 9对任意两个整数，它们的和、差、积中 至少有一个是3的倍数，试说明理由。 10．任意10个整数中，必有两个，它们的差是9的倍
数。这是为什么？如果改为任意n ＋1个，则必有两个，它们的差是n 的倍
数，试说明理由。
11.证明 x 22-86没有整数解 （1990年德化县初中数学竞赛题）
12.从1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止 即
位1981234 那么这个数用9除之，余数是＿＿＿（1987年全国初中数学联赛题）
