2020高考数学第一轮复习求复数的辐角、辐角主值专项练习

求复数的辐角、辐角主值 知识要点：

一、基础知识

1）复数的三角形式

①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ+ i sin θ）

其中z r = θ为复数z 的辐角。

②非零复数z 辐角θ的多值性。

以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ

叫复数z=a+bi 的辐角

因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ）

③辐角主值

表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。

定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

④不等于零的复数的模z r =是唯一的。

⑤z =0时，其辐角是任意的。

⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）

这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。

2）复数的向量表示

在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2（如图）

何量oz z 11→对应于

何量oz z 22→对应于

何量z z z z z 1221→-=对应于

与复数z 2－z 1对应的向量为oz →

显然oz ∥z 1z 2

则arg z 1=∠xoz 1=θ1

arg z 2=∠xoz 2=θ2

arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ

3）复数运算的几何意义

主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化

如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）

①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]

如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→

显然积对应的辐角是θ1+θ2

< 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角

模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

②除法 '=÷==-+-z z z z z r r i 121212

1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：

< 1 >θθ210>→

时顺时针旋转角２oz 。 < 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→01oz 。 二、基本方法

求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法：

1）化复数为三角形式

如 求复数１２（）的辐角，辐角主值cos sin ππ44

-i １２（）＝１２［（－４）＋（－４

）］cos sin cos sin ππππ44-i i 这样化成三角式 ∴复数的辐角是２k ππ

-4（k z ∈）

辐角主值为74

π ∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为

1 2

7

4

7

4

（）

cos sin

ππ

+i

2）直接求辐角及主值

主要是使用复数代数式、三角式的互化：

若z=a+bi （a,b∈R）

则r a b

=+

22辐角为θ则t

b

a

gθ=，θ依点z（a,b）所在象限确定。

如上例z i i

=-=-

1

244

2

4

2

4

（）

cos sin

ππ

设辐角为θ则tgθ=－1

∵点z（

2

4

2

4

,-）在第四象限∴tg θ=tg

7

4

π

θ

π

π

=+∈

7

4

2k k z

（）

而arg z=

7

4

π

3）数形结合

主要是复数运算的几何意义得到的解法

高考文科数学二轮专题复习：11 复数

专题11 复数 本章内容主要是复数的概念、复数的运算．引入虚数，这是中学阶段对数集的最终扩充．需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系，掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除)，了解复数的几何表示．由于向量已经单独学习，因此复数的向量形式与三角形式就不作要求，主要解决代数形式． 【知识要点】 1．复数的概念中，重要的是复数相等的概念．明确利用“转化”的思想，把虚数问题转化为实数问题加以解决，而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现． 2．复数的代数形式：z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．应该注意到a ，b ∈R 是与z ＝a ＋bi 为一个整体，解决虚数问题实际上是通过a ，b ∈R 在实数集内解决实数问题． 3．复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算． 【复习要求】 1．了解数系的扩充过程．理解复数的基本概念与复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义． 3．能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 【例题分析】 例1 m (m ∈R )取什么值时，复数z ＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零? 【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决． 解：(1)当m 2－5m －6＝0，即m ＝－1或m ＝6时，复数z 为实数； (2)当，即m ＝4时，复数z 为纯虚数； (3)当，即m ＝－1时，复数z 为零． 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义，需要对复数的实部、虚部加以研究．应该注意到复数的实部、虚部都是实数，解决复数的问题时实际上是在进行实数运算．这一点大家在后面的运算中更加能够体会到． 例2 判断下列命题的对错： ?????= /--=--06504322m m m m ?????=--=--0 6504322m m m m

高中数学复数专题知识点整理

专题二 复数 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解

14.求复数的辐角、辐角主值

求复数的辐角、辐角主值 知识要点： 一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （cosθ+ i sinθ）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cosθ+ i sinθ） 其中z r =θ为复数z的辐角。 ②非零复数z辐角θ的多值性。 为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角 因此复数z的辐角是θ+2kπ（k∈z） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值。

定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

何量z z z z z 1221→ -=对应于 与复数z 2－z 1对应的向量为oz → 显然oz ∥z 1z 2 则arg z 1=∠xoz 1=θ1 arg z 2=∠xoz 2=θ2 arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→

高考数学复数专题复习(专题训练)百度文库

一、复数选择题 1．复数2 1i =+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ??? 3．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．6．设1z 是虚数，211 1 z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22?? - ??? ? C ．[]22-, D ．11,00,22 ????-?? ????? ? 7．设2i z i +=，则||z =（ ） A B C ．2 D ．5 8．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 9．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若2 2 (2)4x y ++=，则（ ） A ．22z += B ．22z i += C ．24z += D ．24z i += 10．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-1 11．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知i 是虚数单位，2i z i ?=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ） A ．5 B C D ．3

浙江省名校协作体高考数学复数专题复习(专题训练)

一、复数选择题 1．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ． 12 B ． 22 C ．2 D ．2 2．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 3．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ） A 2 B ．2 C ．2 D ．8 4．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A 5B ．52C ．32D ．255．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B 5 C 5 D ．5 6．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 7．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 2，则z 为（ ） A ．1 B 2 C ．2 D ．4 8．若复数()4 1i 34i z += +，则z =（ ） A ． 4 5 B ． 35 C ． 25 D ． 25 9．若1i i z ，则2z z i ?-=（ ）

A ． B ．4 C ． D ．8 10．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．1- 12．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i + B ．68i - C ．68i -- D ．68i -+ 13．已知i 是虚数单位，设复数22i a bi i -+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A ．7 5 B ．75- C ． 15 D ．15 - 14．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ） A B C D 15．题目文 件丢失！ 二、多选题 16．已知复数2020 11i z i += -(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ） A ．z 的实部为2 B ．z 的虚部为1 C ．z i = D ．||z =17．已知复数z 满足2 20z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0 B ．2- C ．2i D ．2i+1- 18．已知复数z 满足2 20z z +=，则z 可能为（ ） A ．0 B ．2- C ．2i D ．2i - 19．下面是关于复数2 1i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ） A ．||z = B ．22z i = C ．z 的共轭复数为1i -+ D ．z 的虚部为1- 20．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ） A ．1z z ?= B ．2z z = C ．31z =- D ．2020122 z =- + 21．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．2 0z B ．z 的虚部是yi

高考数学复数专题

高考专题：复 数 1、 已知0

高考数学第一轮复习求复数的辐角、辐角主值专项练习

求复数的辐角、辐角主值 知识要点： 一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ+ i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ 叫复数z=a+bi 的辐角 因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

arg z 2=∠xoz 2=θ 2 arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→ 显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ 2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角 模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。 为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 ②除法 '=÷==-+-z z z z z r r i 121212 1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下： < 1 >θθ210>→ 时顺时针旋转角２oz 。 < 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→01oz 。 二、基本方法 求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法： 1）化复数为三角形式 如 求复数１２（）的辐角，辐角主值cos sin ππ44 -i １２（）＝１２［（－４）＋（－４ ）］cos sin cos sin ππππ44-i i 这样化成三角式 ∴复数的辐角是２k ππ -4（k z ∈） 辐角主值为74 π ∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为

高考数学压轴专题最新备战高考《复数》真题汇编及答案

【最新】数学《复数》高考复习知识点(1) 一、选择题 1．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()22288z m m m m =-+++-，若z 为负实数， 则m 的取值集合为（ ） A ．{}0 B ．{}8 C ．()2,4- D ．()4,2- 【答案】B 【解析】由题设可得2280{280 m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。 2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v 向左平移一个单位后得到00 O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( ) A ．1－i B ．1－2i C ．－1－i D ．－i 【答案】D 【解析】 【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000 OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数 【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0 OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题． 3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】

设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】 设()z x yi x y R =+∈、， 1x yi ++= ，()11iz i x yi +=++= y x =-， 所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题． 4．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A B C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】 () 11z i i i =-=+，故z = A. 5．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1 B ．2 C D ．3 【答案】D 【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D. 6．已知复数z 满足()1i z i += ，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A 【解析】 因为|2(1)11(1)(1) i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 7．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于

复数的三角形式及乘除运算

复数得三角形式及乘除运算 一、主要内容: 复数得三角形式,模与辐角得概念及几何意义,用三角形式进行复数乘除运算及几何意义、 二、学习要求： 1、熟练进行复数得代数形式与三角形式得互化,会求复数得模、辐角及辐角主值、 2、深刻理解复数三角形式得结构特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式、 3、能够利用复数模及辐角主值得几何意义求它们得范围（最值）、 5、注意多 4、利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算得几何意义解决相关问题、? 种解题方法得灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法、 三、重点: 复数得代数形式向三角形式得转换，复数模及复数乘除运算几何意义得综合运用、 四、学习建议: １、复数得三角形式就就是彻底解决复数乘、除、乘方与开方问题得桥梁,相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式得转化就就是非常有必要得、 前面已经学习过了复数得另两种表示、一就就是代数表示,即Z=a+bｉ(a,b∈R)、二就就是几何表示,复数Z 既可以用复平面上得点Ｚ(a,b)表示，也可以用复平面上得向量来表示、现在需要学习复数得三角表示、既用复数Z得模与辐角来表示,设其模为r,辐角为θ，则Z=ｒ(cosθ+isinθ)(r≥0)、 既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在得联系并能够进行互化、 代数形式r=三角形式 Ｚ＝a+ｂｉ(a,ｂ∈R) Z=r(cosθ＋iｓinθ)(r≥0） 复数三角形式得结构特征就就是:模非负,角相同,余弦前,加号连、否则不就就是三角形式、三角形式中θ应就就是复数Ｚ得一个辐角,不一定就就是辐角主值、 五、基础知识 ?１)复数得三角形式 ?①定义:复数z＝a+bi (a，b∈Ｒ)表示成ｒ(cosθ+ iｓiｎθ)得形式叫复数z得三角形式。即z=r(cｏsθ+ i sin θ） 其中θ为复数z得辐角。 ?②非零复数z辐角θ得多值性。 以oｘ轴正半轴为始边,向量所在得射线为终边得角θ叫复数ｚ=a＋bi得辐角 因此复数z得辐角就就是θ＋2ｋ(k∈ｚ) ③辐角主值 表示法;用ａｒｇz表示复数z得辐角主值。 定义:适合[０,２)得角θ叫辐角主值 唯一性：复数z得辐角主值就就是确定得,唯一得。 ④不等于零得复数得模就就是唯一得。 ?⑤z=0时,其辐角就就是任意得。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值得确定。(求法） ?这就就是复数计算中必定要解决得问题,物别就就是复数三角形式得乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其就就是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式就就是复数运算中极为重要得内容（也就就是解题术)复数在化三角式得过程中其模得求法就就是比较容易得。辐角得求法,辐角主值得确定就就是难点,也就就是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值得求法。 ?2)复数得向量表示 ?在复平面内与复数ｚ１、z2对应得点分别为ｚ1、z2（如图） 何量

高考数学复习 专题17 复数(解析版)

专题17 复数 考纲解读三年高考分析 1.复数的概念(1)理解复数的基本概念. (2)理解复数相等的充要条件. (3)了解复数的代数表示法及其几何意义. 2.复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则运算. (2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 复数的运算是考查的重点，解题时常用到复 数的运算法则、复数的模的计算、共轭复数的概 念，考查学生的数学数学运算能力，题型以选择 题，较小难度. 主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、 共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件， 考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数 的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减 法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思 想．一般以选择题、填空题形式出现，难度为低 档. 1．【2019年新课标3理科02】若z（1+i）＝2i，则z＝（） A ．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i 【解答】解：由z（1+i）＝2i，得 z ＝1+i． 故选：D． 2．【2019年全国新课标2理科02】设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 【解答】解：∵z＝﹣3+2i， ∴， ∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限． 故选：C．

3．【2019年新课标1理科02】设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1 【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y）， ∴z＝x+yi， ∴z﹣i＝x+（y﹣1）i， ∴|z﹣i|， ∴x2+（y﹣1）2＝1， 故选：C． 4．【2019年北京理科01】已知复数z＝2+i，则z?（） A．B．C．3 D．5 【解答】解：∵z＝2+i， ∴z?． 故选：D． 5．【2018年新课标1理科01】设z2i，则|z|＝（） A．0 B．C．1 D． 【解答】解：z2i2i＝﹣i+2i＝i， 则|z|＝1． 故选：C． 6．【2018年新课标2理科01】（） A．i B．C．D． 【解答】解：． 故选：D． 7．【2018年新课标3理科02】（1+i）（2﹣i）＝（） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【解答】解：（1+i）（2﹣i）＝3+i． 故选：D．

高考数学专题讲解：复数

高考数学专题讲解：复数 第一部分：n i 和 n i 1的题型 【题型一】：计算n i 。 第一种类型：当n 为偶数时： 2 22 2)(n n n i i i ==?，2 222)1()(1n n n i i i -==?-=。 第一种：当2n 为奇数：1)1(1)1(22-=-=?-=-n n n i 。 第二种：当2n 为偶数：1)1(1)1(22=-=?=-n n n i 。 第二种类型：当n 为奇数时： i i i i i i i n n n n ?=?=?=--? -2 12 2 121 ) (，i i i i i n n n ?-=?=?-=--2 12 12 2) 1() (1。 第一种：当21 -n 为奇数：i i i i n n n -=?-=?-=?-=---1)1(1) 1(2 12 1。 第二种：当21 -n 为偶数：i i i i n n n =?=?-=?=---1) 1(1) 1(2 12 1。 例题一：化简：2020i 。 本题解析：1)1()(101010102101022 202022020 =-====?? i i i i 。 例题二：化简：999i 。 本题解析：i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(499499249922 9982998 999 。 【训练】：化简下列复数关系式。 （Ⅰ）1482i ；（Ⅱ）383i ；（Ⅲ）1405i ；（Ⅳ）88i 。 【训练参考答案】：（Ⅰ）1)1()(741741274122 1482 21482 -=-====?? i i i i ； （Ⅱ）i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(191191219122 3822382 383 ；

数学物理方法

第一章 复数与复变函数 §1-1 复数和复数运算 一、复数的基本概念 1、复数及其表示：对“数”的基本运算，仅有实数域R 是不够的，如16 世纪Cardaro 指出，二次方程x 2+2x+2=0 根为11?±?，这就产生了虚数的1?概念，记为：1?=i 。 定义：虚数I ，其单位为i ，满足运算关系： 1;;1;1432=?=?=?=i i i i i [1] 实数R 与虚数I 构成复数域C 。其中的元素c ∈C ，记为： c= a + ib [2] 其中a,b ∈R。分别称为c 的实部和虚部，记为： c b c a Im ;Re == [3] 共轭复数：定义c 的共轭复数c *： c *=a-ib [4] 显然，c 和c *互为共轭，它们关于实轴对称。 复数的模：如同实数的绝对值，复数的“大小”由模来表示，定义： 2/1*2/122)()(c c b a c ?=+= [5] 注：22c c ≠ 2、复变数及其表示：复数采用变量z 表示： ⑴ 代数式表示法： z=x+iy (x,y ∈R，z∈C ) [1] 它还有其他表示。 ⑵ 坐标表示法：二维有序实数集R ×R ： z=(x,y) [2] 如i= (0,1)。其共轭复数和模分别表示为： 22*);,(y x z y x z +=?= [3] ⑶ 指数式表示法： φρi e z = [4]

ρ即为复数的模；φ=Arg(z)为辐角。z 具有周期性：T Φ=2π。对应辐角φ具有多值性： φ=Arg(z)=arg(z)+ k2π (k∈Z) [5] 规定主辐角arg(z)范围： πρ2arg 0;0<≤∞≤≤z [6]（[-π，π]对称性更好） 的z 值为主值。不特指，一般只写主值。如2πi e i =。 共轭和模分别表示为： ρρφ==?z e z i ;* [7] 这两种表示法有鲜明的几何意义：复数可以由平 面直角或极坐标坐标系中的一个点来表示，这个平面 通常称为复平面。如图1所示：X 轴称为实轴；Y 轴 为虚轴。由坐标之间的转换，两者的关系： ???==φρφρsin cos y x 或 ?????=+=x y tg y x /22φρ [8] 此外从图中可以看出：⑴ 共轭复数z 和z *关于实 数轴(X-轴)对称；⑵ 模为复数点到原点的距离（线 段）。 规定：|z|=0,∞时，即复数在原点或无穷远点，辐角不定。它们也称支点。这可以由复数球给以解释。（同事物的不同表示方法，在数学上称为“同构”）。 3、复数公式： ⑴ 欧拉公式：由第[8]式和代数式表示： )sin (cos φφρi z += 与指数式比较，即有： φφφsin cos i e i += [9] [9]式是著名的欧拉公式。 ⑵ 隶美弗定理：反映了指数与三角函数之间的关系，同时可以用在一些计算中，如： )(221121)sin )(cos sin (cos φφφφφφ+=++i e i i [10] [10]式为隶美弗定理。

14.求复数的辐角、辐角主值

求复数的辐角、辐角主值 知识要点： 一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ+ i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 以ox 轴正半轴为始边，向量oz → 所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

高考数学《复数》专项练习(含答案).doc

《复数》专项练习参考答案 1．（2016全国Ⅰ卷，文2，5分）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) （A ）?3 （B ）?2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由已知，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ． 2．（2016全国Ⅰ卷，理2，5分）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B 【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |2,x x y x y x x y +==+=所以故故 选B ． 3．（2016全国Ⅱ卷，文2，5分）设复数z 满足i 3i z +=-，则z ＝( ) （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C ． 4．（2016全国Ⅱ卷，理1，5分）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限， 则实数m 的取值范围是( ) （A ）(31) -， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 5．（2016全国Ⅲ卷，文2，5分）若43i z =+，则|| z z ＝( ) （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55+ （D ）43 i 55 - 【答案】D 【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，|z |＝2234+．则2243i ||5543 z z ==-+，故选D ． 6．（2016全国Ⅲ卷，理2，5分）若z ＝1＋2i ，则 4i 1 zz =-( ) (A)1 (B)?1 (C)i (D)?i 【答案】C 【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，则 4i 4i i (12i)(12i)1 1zz ==+---，故选C ． 7．（2015全国Ⅰ卷，文3，5分）已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i 【答案】C 【解析一】(z －1)i ＝1＋i ? zi －i ＝1＋i ? zi ＝1＋2i ? z ＝＝ ＝ 2－i ．故选C ． 【解析二】(z －1)i ＝1＋i ? z －1＝ ? z ＝ ＋1 ?z ＝ ＋1＝2－i ．故

复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算 一、主要内容: 复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求: 1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）. 4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点: 复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议: 1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示，复数Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量 来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z 的 模和辐角来表示，设其模为r ，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r= 三角形式 Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0) 复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ + i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 始边，向量oz → 所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 以ox 轴正半轴为因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 2π）的角θ叫辐角主值 02≤

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版

【１】复数的基本概念 (1)形如a + ｂi 的数叫做复数(其中)；复数的单位为ｉ,它的平方等于-1，即.其中a 叫做复数的实部，ｂ叫做虚部 实数:当b = ０时复数a + ｂi 为实数 虚数:当时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数：当a = 0且时的复数a ＋ ｂｉ为纯虚数 （2)两个复数相等的定义： (３)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （４)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习) (5)复数的模：对于复数z a bi =+ ，把z = 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; （2） 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi += ?≠+，当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是ｚ可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位)， R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且

高考数学复数专题复习(专题训练)百度文库

一、复数选择题 1．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 2．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 3．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 4．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ． 35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 5．已知复数3 1i z i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 6．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．7．设1z 是虚数，211 1 z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22?? - ??? ? C ．[]22-, D ．11,00,22 ????-?? ????? ? 8．若复数z 满足()322i z i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ． 35 B ．35i - C ．35 D ．35 i 9．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 11．若1i i z ，则2z z i ?-=（ ） A ． B ．4 C ． D ．8 12．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ）

2019年高考数学真题分类汇编-专题15-复数-理科及答案

专题十五 复数 1.【2015高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 【考点定位】复数的运算． 【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题． 2.【2015高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i -( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i 【答案】C 【解析】 32222i i i i i i i i -=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算. 【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可. 3.【2015高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ） A ．32i - B ．32i + C ．23i + D ．23i - 【答案】D ． 【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ． 【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念． 【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-． 4.【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z +-=i ，则|z|=( ) （A ）1 （B （C （D ）2 【答案】A

高考数学专题 复数

第91炼 复数 一、基础知识： 复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )， 2、几类特殊的复数： （1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等 （2）实数： 0b = 3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈ （1）2 1i =- （2）()()12z z a c b d i ±=+++ （3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ?=+?+=+++=-++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =- （4）()()()()()()122 2a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。 4、共轭复数：z a bi =-， 对于z 而言，实部相同，虚部相反 5、复数的模：22z a b =+ 2z z z =? (2 2z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等 7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。 8、处理复数要注意的几点： （1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈ （2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等 二、典型例题