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2018中考数学几何辅助线题

中考压轴题专题几何（辅助线）

图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线加一倍。

梯等式子比例换，寻找相似很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，弦高公式是关键。计算半径与弦长，弦心距来站中间。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内切圆，内角平分线梦园。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

若是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

精选1.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为

．精选2．如图，△ABC中，∠C＝60°，∠CAB与∠CBA的平分线AE，BF相交于点D，

求证：DE＝DF．

精选3.已知：如图，⊙O的直径AB=8cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC．

(1)若∠ACP=120°，求阴影部分的面积；

(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数。

精选4、如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC 边交于点P，

（1）当OA=时，求点O 到BC 的距离；（2）如图1，当OA=

时，求证：直线BC 与⊙O 相切；此时线段AP 的长是多少？

（3）若BC 边与⊙O 有公共点，直接写出OA 的取值范围；（4）若CO 平分∠ACB ，则线段AP 的长是多少？

．

精选5．如图，已知△ABC 为等边三角形，∠BDC ＝120°，AD 平分∠BDC ，

求证：BD +DC ＝AD ．

精选6、已知矩形ABCD 的一条边AD =8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．

（第6题图）

（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、O A ． ①求证：△OCP ∽△PDA ；

②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；（3）如图2，

，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A

不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN =PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．

E B

精选7、如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．

（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；

（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

精选8、等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ；（1）如图（1），若A （0，1），B （2，0），求C 点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt △ABC 运动到使点D 恰为AC 中点时，连接DE ，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt △ABC 不断运动的过程中，若满足BD 始终是∠ABC 的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．

精选9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h 123(000)h h h >>>，，．（1）求证：31h h =；

（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：2

2121

()S h h h =++；

（3）若123

h h +=，当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积

S 随1h 的变化情况．

l 1 l 2 l 3 l 4

h 3

h 2

h 1 A

D B

第题图

参考答案

精选1

解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC ===5，

∵DE垂直平分AC，垂足为O，

∴OA =AC =，∠AOD=∠B=90°，

∵AD∥BC，

∴∠A=∠C，

∴△AOD∽△CBA，

∴=，即=，解得AD =．

故答案为：．

精选2

证明：在AB上截取AG，使AG=AF，

易证△ADF≌△ADG（SAS）．

∴DF＝DG．∵∠C＝60°，

AD，BD是角平分线，易证∠ADB=120°．

∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°．

易证△BDE≌△BDG（ASA）．

∴DE＝DG＝DF．

精选3、

解：（1）连接OC．

∵PC为⊙O的切线，

∴PC⊥OC．

∴∠PCO=90度．

∵∠ACP=120°

∴∠ACO=30°

∵OC=OA，

∴∠A=∠ACO=30度．

∴∠BOC=60°

∵OC=4

∴

∴S阴影=S△OPC﹣S扇形BOC =；

（2）∠CMP的大小不变，∠CMP=45°

由（1）知∠BOC+∠OPC=90°

∵PM平分∠APC

∴∠APM=∠APC

E F

∵∠A=∠BOC

∴∠PMC=∠A+∠APM=（∠BOC+∠OPC）=45°．

精选4、

解：（1）在Rt△ABE中，．（1分）

过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，

∴△ODB∽△ACB，∴，∴，∴，

∴点O到BC的距离为．（3分）

（2）证明：过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，

∵△OEB∽△ACB，∴∴，∴．

∴直线BC与⊙O相切．（5分）

此时，四边形OECF为矩形，

∴AF=AC﹣FC=3﹣=，

∵OF⊥AC，∴AP=2AF=．（7分）

（3）；（9分）

（4）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，

则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，

又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10分）

设正方形OGCH的边长为x，则AG=3﹣x，

∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，

∴，∴，

∴，∴，∴AP=2AG=．（12分）

精选5、

证法1：（截长）如图，截DF=DB，易证△DBF为等边三角，然后证△BDC≌△BFA即可；证法2：（截长）如图，截DF=DC，易证△DCF为等边三角，然后证△BDC≌△AFC即可；证法3：（补短）如图，延长BD至F，使DF=DC，此时BD+DC=BD+DF=BF，

易证△DCF为等边△，再证△BCF≌△ACD即可．

证法4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆．

设AB＝AC＝BC＝a，根据（圆内接四边形）托勒密定理：

CD·a＋BD·a＝AD·a，得证．

精选6、

解：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．

∴∠APO=90°．

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C．

∵∠D=∠C，∠APD=∠PO C．

∴△OCP∽△PD A．

②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴====．

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．

∵AD=8，∴CP=4，BC=8．

设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．

在Rt△PCO中，

∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，

∴x2=（8﹣x）2+42．

解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10．

∴边AB的长为10．

（2）如图1，

∵P是CD边的中点，

∴DP=D C．

∵DC=AB，AB=AP，

∴DP=AP．

∵∠D=90°，

∴sin∠DAP==．

∴∠DAP=30°．

∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．

∴∠OAB的度数为30°．

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．

∴MP=MQ．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴PE=EQ=PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，

∴BN=QM．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

．

∴△MFQ≌△NF B．

∴QF=BF．

∴QF=Q B．

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=P B．

由（1）中的结论可得：

PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB==4．

∴EF=PB=2．

∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．

精选7、

解：（1）DF=DE．理由如下：

如答图1，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠A=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（2）DF=DE．理由如下：

如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠A=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF与△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．

依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．即y=（x+1）2+．∵＞0，

∴该抛物线的开口方向向上，

∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=．

精选8、

（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，

∴∠AFC=90°，

∴∠CAF+∠ACF=90°．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，

∴∠ACF=∠BAO．

在△ACF和△ABO中，

，

∴△ACF≌△ABO（AAS）

∴CF=OA=1，AF=OB=2

∴OF=1

∴C（﹣1，﹣1）；

（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，

∴∠ACG=∠BAC=90°，

∴∠AGC+∠GAC=90°．

∵∠CAG+∠BAO=90°，

∴∠AGC=∠BAO．

∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，

∴∠ADO=∠BAO，

∴∠AGC=∠ADO．

在△ACG和△ABD中

∴△ACG≌△ABD（AAS），

∴CG=AD=CD．

∵∠ACB=∠ABC=45°，

∴∠DCE=∠GCE=45°，

在△DCE和△GCE中，

，

∴△DCE≌△GCE（SAS），

∴∠CDE=∠G，

∴∠ADB=∠CDE；

（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH 由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．

∵∠ADH=∠BAO．

∴∠BAO=∠AHD．

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABO=∠EBO，

∵∠AOB=∠EOB=90°．

在△AOB和△EOB中，

，

∴△AOB≌△EOB（ASA），

∴AB=EB，AO=EO，

∴∠BAO=∠BEO，

∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．

∴∠AEC=∠BHA．

在△AEC和△BHA中，

，

∴△ACE≌△BAH（AAS）

∴AE=BH=2OA

∵DH=2OD

∴BD=2（OA+OD）．

精选9、

（1）证：设2AD l 与交于点E ，BC 与3l 交于点F ，由已知BF ED BE FD ∥，∥，

∴四边形BEDF 是平行四边形，BE DF ∴=．

又CDF Rt ABE Rt CD AB ??∴=≌，．31h h =∴ （2）证：作44BG l DH l ⊥⊥，，垂足分别为G H 、，在Rt Rt BGC CHD △和△中，

1809090BCG DCH BCD CDH DCH ∠+∠=?-∠=?∠+∠=?，． BCG CDH ∴∠=∠．

又90BGC CHD BC CD ∠=∠=?=，，

2Rt Rt BGC CHD CG DH h ∴==△≌△，．

又22222223232121()()BG h h BC BG CG h h h h h h =+∴=+=++=+，

， 222121()S BC h h h ∴==++．

（3）解：

1221331122

h h h h +=∴=-，， 2

22121111355241124455S h h h h h h ?

???∴=+-+=-+=-+ ? ?????

，

121132

0010023

h h h h >>∴->∴<<，，，．

∴当1205h <<时，S 随1h 的增大而减小；当122

h <<时，S 随1h 的增大而增大．

l l l l h 3

h 2 h 1 A

E H l l l l h 3

h 2

h 1 A

D B F