2017考研数学二真题-新修正版
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
（1
）若函数0(),0x f x b x >=?≤?
在x=0连续，则 (A)12ab =
(B)1
2
ab =- (C)0ab = (D)2ab =
（2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则 (A)1
1()0f x dx ->? (B)1
2()0f x dx -
(C)
1
1
0()()f x dx f x dx ->?
?
(D)
1
1
1
0()()f x dx f x dx -
?
（3）设数列{}n x 收敛，则
(A)当limsin 0n n x →∞
=时，lim 0n n x →∞
=
(B)
当lim (0n n n x x →∞
= 时，则lim 0n n x →∞
=
(C)当2
lim()0n n n x x →∞
+=,lim 0n →∞
=
(D)当lim(sin )0n n n x x →∞
+=时，lim 0n n x →∞
=
（4）微分方程248(1cos 2)x
y y y e x '''-+=+ 的特解可设为k
y =
(A)22(cos 2sin 2)x
x Ae e B x C x ++ (B)22(cos 2sin 2)x
x Axe
e B x C x ++ (C)22(cos 2sin 2)x
x Ae
xe B x C x ++
(D)22(cos 2sin 2)x
x Axe
xe B x C x ++
（5）设),(y x f 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有,0)
,(,0),(??x
y x f x y x f 则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f < (C)(0,1)(1,0)f f >
(D)(0,1)(1,0)f f <
（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t =
(B)01520t << (C)025t = (D)025t >
（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得 1
000010002P AP -????=??????
，则123(,,)A ααα=
(A)12αα+
(B)232αα+
(C)23αα+
(D)122αα+
（8）已知矩阵200021001A ????=??????，210020001B ????=??????，100020000C ??
??=??????
，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似
(B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似
二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分. （9）曲线??
?
??+=x x y 2arcsin
1的斜渐近线方程为 （10）设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t
?=+?=?确定，则
20
2t d y
dx =
（11）
()
2
ln(1)
1x dx x +∞
++?
=
（12）设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()(),1,0,00y y df x y
ye dx x y e dy f =++=，则
(),f x y =
（13）
1
1
tan y
x
dy dx x
=?
?
（14）设矩阵41212311A a ??- ?= ? ?-??的一个特征向量为112??
?
? ???
，则a =
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
求+
→0
lim x
t x dt
（16）（本题满分10分）
设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，(
)
y ,x
f e cosx =,求
dy
d x x
=,220
d y d x x =
（17）（本题满分10分）
求21
lim
ln 1n
n k k k n n →∞=??+ ???∑
（18）（本题满分10分）
已知函数)(x y 由方程02333
3
=-+-+y x y x 确定，求)(x y 的极值 （19）（本题满分10分）
设函数()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()
(1)0,lim 0x f x f x
+
→><，证明 （1）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；
（2）方程2
)]([)()(x f x f x f '+'' 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.
（20）（本题满分11分）
已知平面区域(){}
2
2
,2D x y x
y
y =
+≤，计算二重积分()2
1D
x dxdy +??
（21）（本题满分11分）
设()y x 是区间3(0,)2
内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点(0,)P Y ，法线与x 轴相交于点(,0)P X ，若p P X Y =，求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程。
（22）（本题满分11分）
三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+ （1）证明()2r A =
（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解
（23）（本题满分11分）
设二次型13222
1232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为22
1122y y λλ+
求a 的值及一个正交矩阵Q .