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2.5 指数与指数函数

2.5 指数与指数函数
2.5 指数与指数函数

§2.5 指数与指数函数

2014高考会这样考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图像和性质;2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质;3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合,综合考查指数函数知识的应用.

复习备考要这样做 1.重视指数的运算,熟练的运算能力是高考得分的保证;2.掌握两种情况下指数函数的图像和性质,在解题中要善于分析,灵活使用;3.对有关的复合函数要搞清函数的结构.

1. 根式的性质

(1)(n

a )n =a .

(2)当n 为奇数时n

a n =a .

当n 为偶数时n

a n =?

????

a (a ≥0)-a (a <0)

2. 有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正整数指数幂:a n =a ·a ·…·a n

(n ∈N *

). ②零指数幂:a 0=1(a ≠0).

③负整数指数幂:a -

p =1a

p (a ≠0,p ∈N *).

④正分数指数幂:a m n =n

a m (a >0,m 、n ∈N *,且n >1).

⑤负分数指数幂:a -m n =1a m n =1

n

a m (a >0,m 、n ∈N *,且n >1).

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r +

s (a >0,r 、s ∈Q );

②(a r )s =a rs (a >0,r 、s ∈Q ); ③(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q ). 3.指数函数的图像与性质

y =a x

a >1 0

图像

定义域 (1)R 值域 (2)(0,+∞)

性质[来源:学#

科#网Z#X#X#K][来源:https://www.wendangku.net/doc/b213710091.html,

]

(3)过定点(0,1)[来源:https://www.wendangku.net/doc/b213710091.html,][来源:学+科+网][来源:学

科网][来源:https://www.wendangku.net/doc/b213710091.html,]

(4)当x >0时,y >1;x <0时,0

(5)当x >0时,01

(6)在(-∞,+∞)上是增函数

(7)在(-∞,+∞)上是减函数

[1. 根式与分数指数幂的实质是相同的,通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂

的运算,从而可以简化计算过程.

2. 指数函数的单调性是底数a 的大小决定的,因此解题时通常对底数a 按:01

进行分类讨论.

3. 比较指数式的大小方法:利用指数函数单调性、利用中间值.

1. (课本改编题)化简[(-2)6]1

2

-(-1)0的值为________.

答案 7

解析 [(-2)6]12-(-1)0=(26)1

2

-1=23-1=7.

2. 若函数y =(a 2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是__________.

答案 (-2,-1)∪(1,2)

解析 由y =(a 2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,得0

3. 若函数f (x )=a x -1 (a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a =________.

答案

3

解析 当a >1时,x ∈[0,2],y ∈[0,a 2-1]. 因定义域和值域一致,故a 2-1=2,即a = 3. 当0

综上,a = 3.

4. (2012·四川)函数y =a x -1

a

(a >0,且a ≠1)的图像可能是

( )

答案 D

解析 当a >1时,y =a x -1a 为增函数,且在y 轴上的截距为0<1-1

a <1,排除A ,B.

当0

a <0,故选D.

5. 设函数f (x )=a

-|x |

(a >0,且a ≠1),f (2)=4,则

( )

A .f (-2)>f (-1)

B .f (-1)>f (-2)

C .f (1)>f (2)

D .f (-2)>f (2)

答案 A 解析 ∵f (x )=a

-|x |

(a >0,且a ≠1),f (2)=4,

∴a -

2=4,∴a =12

∴f (x )=????12-|x |=2|x |

,∴f (-2)>f (-1),故选A.

题型一 指数幂的运算

例1 (1)计算:(124+223)12-2716+1634-2×(8-23

)-

1;

(2)已知x 12+x -1

2=3,求x 2+x -

2-2x 32+x -3

2

-3的值.

思维启迪:(1)本题是求指数幂的值,按指数幂的运算律运算即可; (2)注意x 2+x -

2、x 32+x -32与x 12+x -12之间的关系.

解 (1)(124+223)12-2716+1634-2×(8-23

)-

1

=(11+3)2×12-33×16+24×34-2×8-2

3×(-1)

=11+3-312+23-2×23×2

3

=11+3-3+8-8=11.

(2)∵x 12+x -12=3,∴(x 12+x -1

2)2=9,

∴x +2+x -

1=9,∴x +x -

1=7,

∴(x +x -

1)2=49,∴x 2+x -

2=47,

又∵x 32+x -32=(x 12+x -12)·(x -1+x -

1)

=3×(7-1)=18, ∴x 2+x -

2-2x 32+x -32

-3=47-218-3=3. 探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便,对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,如果有特殊要求,要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数.

计算下列各式的值:

(1)????-278-23+(0.002)-1

2-10(5-2)-1+(2-3)0; (2)

1

5+2

-(3-1)0-9-45; (3)a 3b 23ab 2

(a 14b 12)4a -13b 13

(a >0,b >0).

解 (1)原式=????-278-23+????1500-12-10

5-2+1 =????-82723+5001

2-10(5+2)+1 =49+105-105-20+1=-1679. (2)原式=5-2-1-(5-2)2 =(5-2)-1-(5-2)=-1.

(3)原式=(a 3b 2a 13b 23)

1

2ab 2a -13b

13=a 32+16-1+13b 1+13-2-13=ab -

1.

题型二 指数函数的图像、性质的应用

例2 (1)函数f (x )=a x

-b

的图像如图所示,其中a ,b 为常数,则下列 结论正确的是

( )

A .a >1,b <0

B .a >1,b >0

C .00

D .0

(2)求函数f (x )=3x 2-5x +4的定义域、值域及其单调区间.

思维启迪:对于和指数函数的图像、性质有关的问题,可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手. (1)答案 D 解析 由f (x )=a x -b 的图像可以观察出函数f (x )=a x

-b

在定义域上单调递减,所以0

函数f (x )=a x

-b

的图像是在f (x )=a x 的基础上向左平移得到的,所以b <0.

(2)解 依题意x 2-5x +4≥0,解得x ≥4或x ≤1, ∴f (x )的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞).

∵x 2-5x +4≥0,∴f (x )=3x 2-5x +4≥30=1, ∴函数f (x )的值域是[1,+∞). 令u =x 2-5x +4=

????x -522-94

,x ∈(-∞,1]∪[4,+∞), ∴当x ∈(-∞,1]时,u 是减函数, 当x ∈[4,+∞)时,u 是增函数.

而3>1,∴由复合函数的单调性,可知f (x )=3x 2-5x +4在(-∞,1]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数.

探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.

(2)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对其中的参数进行讨论.

(1)函数y =e x +e -

x

e x -e

-x 的图像大致为

( )

答案 A

解析 y =e x +e -

x e x -e -x =1+2

e 2x -1

,当x >0时,e 2x -1>0,且随着x 的增大而增大,故y =1

2

e 2x

-1

>1且随着x 的增大而减小,即函数y 在(0,+∞)上恒大于1且单调递减.又函数y 是奇函数,故只有A 正确.

(2)若函数f (x )=e -(x -μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ,且f (x )是偶函数,则m +μ=________. 答案 1

解析 由于f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ),

即e -(-x -μ)2=e -(x -μ)2,∴(x +μ)2=(x -μ)2,∴μ=0, ∴f (x )=e -x 2.又y =e x 是R 上的增函数,而-x 2≤0, ∴f (x )的最大值为e 0=1=m ,∴m +μ=1. 题型三 指数函数的综合应用

例3 (1)k 为何值时,方程|3x -1|=k 无解?有一解?有两解?

(2)已知定义在R 上的函数f (x )=2x -1

2|x |.

①若f (x )=3

2

,求x 的值;

②若2t f (2t )+mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围.

思维启迪:方程的解的问题可转为函数图像的交点问题;恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决.

解 (1)函数y =|3x -1|的图像是由函数y =3x 的图像向下平移

一个单位后,再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的,函数图像如图所示.

当k <0时,直线y =k 与函数y =|3x -1|的图像无交点,即方程 无解;当k =0或k ≥1时,直线y =k 与函数y =|3x -1|的图像有唯一的交点,所以方程

有一解;

当0

x ,

由2x -12x =3

2

,得2·22x -3·2x -2=0,

看成关于2x 的一元二次方程,解得2x =2或-1

2,

∵2x >0,∴x =1.

②当t ∈[1,2]时,2t ????22t -122t +m ???

?2t -1

2t ≥0, 即m (22t -1)≥-(24t -1),∵22t -1>0,∴m ≥-(22t +1), ∵t ∈[1,2],∴-(22t +1)∈[-17,-5], 故m 的取值范围是[-5,+∞).

探究提高 对指数函数的图像进行变换是利用图像的前提,方程f (x )=g (x )解的个数即为函数y =f (x )和y =g (x )图像交点的个数;复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数,搞清复合函数的结构.

已知f (x )=a a 2-1(a x -a -

x ) (a >0且a ≠1).

(1)判断f (x )的奇偶性; (2)讨论f (x )的单调性;

(3)当x ∈[-1,1]时,f (x )≥b 恒成立,求b 的取值范围. 解 (1)因为函数的定义域为R ,所以关于原点对称. 又因为f (-x )=a a 2-1(a -

x -a x )=-f (x ),

所以f (x )为奇函数.

(2)当a >1时,a 2-1>0,y =a x 为增函数,y =a -

x 为减函数,从而y =a x -a -

x 为增函数,

所以f (x )为增函数, 当0

y =a x 为减函数,y =a -

x 为增函数,

从而y =a x -a -

x 为减函数,所以f (x )为增函数.

故当a >0,且a ≠1时,f (x )在定义域内单调递增. (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数, 所以在区间[-1,1]上为增函数, 所以f (-1)≤f (x )≤f (1), 所以f (x )min =f (-1)=

a a 2

-1

(a -

1-a ) =a a 2-1·1-a 2

a

=-1, 所以要使f (x )≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需b ≤-1, 故b 的取值范围是(-∞,-1].

利用方程思想和转化思想求参数范围

典例:(14分)已知定义域为R 的函数f (x )=-2x +b

2x +1+a

是奇函数.

(1)求a ,b 的值;

(2)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立,求k 的取值范围. 审题视角 (1)f (x )是定义在R 上的奇函数,要求参数值,可考虑利用奇函数的性质,构建方程:f (0)=0,f (1)=-f (-1).

(2)可考虑将t 2-2t,2t 2-k 直接代入解析式化简,转化成关于t 的一元二次不等式.也可考虑先判断f (x )的单调性,由单调性直接转化为关于t 的一元二次不等式. 规范解答

解 (1)因为f (x )是R 上的奇函数, 所以f (0)=0,即-1+b

2+a =0,解得b =1,

从而有f (x )=-2x +1

2x +1+a

.[4分]

又由f (1)=-f (-1)知-2+1

4+a =--12+11+a

解得a =2.经检验,a =2,b =1符合题意,∴a =2,b =1.[7分] (2)方法一 由(1)知f (x )=-2x +1

2x +1+2

又由题设条件得-2t 2-2t +12t 2-2t +1+2+-22t 2-k +1

22t 2-k +1+2

<0,

即(22t 2-k +1+2)(-2t 2-2t +1)+(2t 2-2t +1+2)(-22t 2-k +1)<0.[9分] 整理得23t 2-2t -k >1,因底数2>1,故3t 2-2t -k >0.[12分] 上式对一切t ∈R 均成立,从而判别式Δ=4+12k <0, 解得k <-1

3

.[14分]

方法二 由(1)知f (x )=-2x +12x +1+2

=-12+1

2x +1,

由上式易知f (x )在R 上为减函数,又因为f (x )是奇函数,从而不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0等价于f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (-2t 2+k ).因为f (x )是R 上的减函数, 由上式推得t 2-2t >-2t 2+k .[12分] 即对一切t ∈R 有3t 2-2t -k >0,

从而Δ=4+12k <0,解得k <-1

3

.[14分]

温馨提醒 (1)根据f (x )的奇偶性,构建方程求参数体现了方程的思想;在构建方程时,利用了特殊值的方法,在这里要注意:有时利用两个特殊值确定的参数,并不能保证对所有的x 都成立.所以还要注意检验.

(2)数学解题的核心是转化,本题的关键是将f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立等价转化为t 2-2t >-2t 2+k 恒成立.这个转化易出错.其次,不等式t 2-2t >-2t 2+k 恒成立,即对一切t ∈R 有3t 2-2t -k >0,也可以这样做:k <3t 2-2t ,t ∈R ,只要k 比3t 2-2t 的最小值小即可,而3t 2-2t 的最小值为-13,所以k <-1

3

.

方法与技巧

1.判断指数函数图像上底数大小的问题,可以先通过令x =1得到底数的值再进行比较. 2.指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的性质和a 的取值有关,一定要分清a >1与0

1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域.

3.对可化为a 2x +b ·a x +c =0或a 2x +b ·a x +c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解

决,但应注意换元后“新元”的范围.

A 组 专项基础训练 (时间:35分钟,满分:57分)

一、选择题(每小题5分,共20分) 1. 设2a =5b =m ,且1a +1

b

=2,则m 等于

( )

A.10 B .10 C .20

D .100

答案 A

解析 ∵2a =5b =m ,∴a =log 2m ,b =log 5m , ∴1a +1b =1log 2m +1log 5m

=log m 2+log m 5=log m 10=2. ∴m =10.

2. 函数y =????12-x 2

+2x 的值域是

( )

A .R

B .(0,+∞)

C .(2,+∞)

D.????12,+∞

答案 D

解析 ∵-x 2+2x =-(x -1)2+1≤1, ∴????12-x 2+2x ≥1

2

,故选D. 3. 函数y =xa x

|x |

(0

( )

答案 D

解析 函数定义域为{x |x ∈R ,x ≠0},且y =xa x |x |=?

???

?

a x ,x >0-a x ,x <0.当x >0时,函数是一个指

数函数,因为0

4| (a >0,a ≠1),满足f (1)=19

,则f (x )的单调递减区间是

( )

A .(-∞,2]

B .[2,+∞)

C .[-2,+∞)

D .(-∞,-2]

答案 B

解析 由f (1)=19,得a 2=19,∴a =13 (a =-1

3舍去),

即f (x )=???

?13|2x -4|

. 由于y =|2x -4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以f (x )在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选B. 二、填空题(每小题5分,共15分) 5. 已知a =

5-1

2

,函数f (x )=a x ,若实数m 、n 满足f (m )>f (n ),则m 、n 的大小关系为________. 答案 m

解析 ∵0

5-1

2

<1,∴函数f (x )=a x 在R 上是减函数.又∵f (m )>f (n ),∴m 0,a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a

2

,则a 的值为__________.

答案 12或32

解析 当0

2或a =0(舍去).

当a >1时,a 2-a =a 2,∴a =3

2或a =0(舍去).

综上所述,a =12或3

2

.

7. 已知函数f (x )=a x +b (a >0且a ≠1)的图像如图所示,则a +b 的值是

________. 答案 -2

解析 ∵????? a 2+b =0a 0+b =-3,∴????

?

a =2

b =-4

, ∴a +b =-2. 三、解答题(共22分) 8. (10分)设函数f (x )=2|x

+1|-|x -1|

,求使f (x )≥22的x 的取值范围.

解 y =2x 是增函数,f (x )≥22等价于 |x +1|-|x -1|≥3

2

.①

(1)当x ≥1时,|x +1|-|x -1|=2,∴①式恒成立. (2)当-1

4

≤x <1.

(3)当x ≤-1时,|x +1|-|x -1|=-2,①式无解. 综上,x 的取值范围是???

?3

4,+∞. 9. (12分)设a >0且a ≠1,函数y =a 2x +2a x -1在[-1,1]上的最大值是14,求a 的值.

解 令t =a x (a >0且a ≠1), 则原函数化为y =(t +1)2-2 (t >0).

①当0

a , 此时f (t )在????a ,1

a 上为增函数. 所以f (t )max =f ????1a =????1a +12

-2=14.

所以????1a +12=16,所以a =-15或a =13. 又因为a >0,所以a =13

.

②当a >1时,x ∈[-1,1],t =a x ∈????

1a ,a , 此时f (t )在????1a ,a 上是增函数. 所以f (t )max =f (a )=(a +1)2-2=14, 解得a =3(a =-5舍去). 综上得a =1

3

或3.

B 组 专项能力提升 (时间:25分钟,满分:43分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1. 设函数f (x )=?????

1x (x >0),

e x (x ≤0),

若F (x )=f (x )+x ,x ∈R ,则F (x )的值域为

( )

A .(-∞,1]

B .[2,+∞)

C .(-∞,1]∪[2,+∞)

D .(-∞,1)∪(2,+∞)

答案 C

解析 当x >0时,F (x )=1

x

+x ≥2;

当x ≤0时,F (x )=e x +x ,根据指数函数与一次函数的单调性,F (x )是单调递增函数,F (x )≤F (0)=1,所以F (x )的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).

2. 若关于x 的方程|a x -1|=2a (a >0,a ≠1)有两个不等实根,则a 的取值范围是( )

A .(0,1)∪(1,+∞)

B .(0,1)

C .(1,+∞)

D.???

?0,12 答案 D

解析 方程|a x -1|=2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y =|a x -1|与y =2a 有两个交点.

①当0

2.

②当a >1时,如图(2),而y =2a >1不符合要求.

图(1) 图(2)

综上,0

2

.

3. 设函数f (x )=2x 1+2x -1

2

,[x ]表示不超过x 的最大整数,则函数y =[f (x )]的值域是( ) A .{0,1} B .{0,-1} C .{-1,1}

D .{1,1}

答案 B

解析 f (x )=1+2x -11+2x -12=12-1

1+2x . ∵1+2x >1,∴f (x )的值域是????-12,1

2. ∴y =[f (x )]的值域是{0,-1}. 二、填空题(每小题5分,共15分)

4. 函数f (x )=ax 2+2x -3+m (a >1)恒过点(1,10),则m =______.

答案 9

解析 f (x )=ax 2+2x -3+m 在x 2+2x -3=0时过定点(1,1+m )或(-3,1+m ),∴1+m =10,解得m =9.

5. 若函数f (x )=a x -x -a (a >0,且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是

________. 答案 (1,+∞)

解析 令a x -x -a =0即a x =x +a ,若01,y =a x 与y =x +a 的图像如图所示. 6. 关于x 的方程????32x =2+3a

5-a 有负数根,则实数a 的取值范围为__________.

答案 ???

?-23,3

4 解析 由题意,得x <0,所以0

<1, 从而0<2+3a 5-a <1,解得-23

三、解答题

7. (13分)设f (x )=e -

x a +a

e

-x 是定义在R 上的函数.

(1)f (x )可能是奇函数吗?

(2)若f (x )是偶函数,试研究其在(0,+∞)上的单调性. 解 (1)假设f (x )是奇函数,由于定义域为R , ∴f (-x )=-f (x ),即e x a +a e x =-? ????e -x

a +a e -x ,

整理得????a +1

a (e x +e -x )=0, 即a +1

a =0,即a 2+1=0显然无解.

∴f (x )不可能是奇函数.

(2)因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ), 即e x a +a e x =e -x

a +a e -x , 整理得????a -1

a (e x -e -x )=0, 又∵对任意x ∈R 都成立, ∴有a -1

a

=0,得a =±1.

当a =1时,f (x )=e -

x +e x ,以下讨论其单调性,

任取x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1

(e x 1-e x 2)(e x 1+x 2-1)

e x 1+x 2

∵x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1

∴e x 1+x 2>1,e x 1-e x 2<0,∴e x 1+x 2-1>0, ∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)

x a +a

e

-x ,

当a =1时,在(0,+∞)为增函数,

同理,当a =-1时,f (x )在(0,+∞)为减函数.

【高中数学题型归纳】2.5指数与指数函数

第五节 指数与指数函数 考纲解读 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算及性质. 3. 理解指数函数的概念和单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究 指数函数是中学数学中基本初等函数之一,这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主,主要考查指数函数的性质及应用,一般以选择题和填空题的形式出现,例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等,但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲 一、指数的运算性质 当a >0,b >0时,有 (1)a m a n =a m +n (m ,n ∈R ); (2)m m n n a a a -=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R ); (4)(ab )m =a m b m (m ∈R ); (5)p p a a -=1 (p ∈Q ) (6)m m n n a a =(m ,n ∈N +) 二、指数函数 (1)一般地,形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数; (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 00 y =1?x =0 y >1?x <0 (5)01?x >0 题型归纳及思路提示 题型23 指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示 利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =,()f x a b >,()f x a b <的形式常用“化同底”转化,再利用指数函数单调性解决;或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式,可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算 例2.48化简并求值.

2020高考数学一轮复习2.4指数与指数函数学案

第四节 指数与指数函数 突破点一 指数幂的运算 [基本知识] 1.根式 (1)根式的概念 若x n =a ,则x 叫做a 的n 次方根,其中n >1且n ∈N * .式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (2)a 的n 次方根的表示 x n =a ??? ? x = n a 当n 为奇数且n >1时,x =±n a 当n 为偶数且n >1时. 2.有理数指数幂 幂的有关概念 正分数指数幂:a m n =n a m (a >0,m ,n ∈N * ,且n >1) 负分数指数幂:a - m n = 1a m n = 1 n a m (a >0,m ,n ∈N * ,且n >1) 0的正分数指数幂等于_0_,0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质 a r a s =a r +s (a >0,r ,s ∈Q) (a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q) (ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q) 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1) 4 -a 4 =-a .( ) (2)(-a )24 =(-a )12 =-a .( ) (3)(n a )n =a .( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1.计算:π0 +2-2 ×? ?? ??2141 2=________.

答案:118 2.设a >0,将 a 2a ·3 a 2 表示成分数指数幂的形式,其结果是________. 解析: a 2 a ·3 a 2 = a 2a ·a 23 = a 2a 53 = a 2 a 51×32 =a 2 ·a - 56 =a - 526 =a 76 . 答案:a 76 3.若2a -12 = 3 1-2a 3 ,则实数a 的取值范围为________. 解析: 2a -1 2 =|2a -1|, 3 1-2a 3 =1-2a . 因为|2a -1|=1-2a . 故2a -1≤0,所以a ≤1 2. 答案:? ????-∞,12 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. [典例] (1) a 3a ·5 a 4 (a >0)的值是( ) A .1 B .a C .a 1 5 D .a 1710 (2)? ????2 350+2-2·? ????2 14-1 2-(0.01)0.5 =________. [解析] (1) a 3 a ·5 a 4= a 3 a 1 2 ·a 45 =a 143--25 =a 1710 .故选D.

指数运算、指数函数

§1.4指数运算、指数函数 【复习要点】 1.指数、对数的概念、运算法则; 2.指数函数的概念, 性质和图象. 【知识整理】 1.指数的概念;运算法则:n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(, )1,,,0(* >∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 2.指数函数的概念, 性质和图象如表: 其中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。 4.会求函数y =a f (x)的单调区间。 5.含参数的指数函数问题,是函数中的难点,应初步熟悉简单的分类讨论。 【基础训练】 1]4 3的结果为 ( ) A.5 B.5 C.-5 D.-5 2.将322-化为分数指数幂的形式为 ( ) A .2 1 2- B .3 12- C .2 12 - - D .6 52-

3.下列等式一定成立的是 ( ) A .2 33 1 a a ?=a B .2 12 1a a ?- =0 C .(a 3)2=a 9 D .6 13121a a a =÷ 4.下列命题中,正确命题的个数为 ( ) ①n n a =a ②若a ∈R ,则(a 2-a +1)0=1 ③y x y x +=+3 433 4 ④623)5(5-=- A .0 B .1 C .2 D .3 5.化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ???????????????????,结果是 ( ) A .1 1 321122--? ?- ? ?? B .1 132 12--??- ??? C .1 3212-- D .1321122-??- ??? 6 .4 4 等 于 ( ) A .16a B .8a C .4a D .2 a 【例题选讲】 1.设3 2212 ,-==x x a y a y ,其中a >0,a ≠1,问x 为何值时有 (1)y 1=y 2 ? (2)y 1<y 2? 2.比较下列各组数的大小,并说明理由 (1)431.1,434.1,3 21.1 (2)4 316.0- ,2 35 .0- ,8 325.6 (3)5 32 )1(+a ,4 32 )1(+a 3.已知函数3234+?-=x x y 的值域为[7,43],试确定x 的取值范围. 4.设01a <<,解关于x 的不等式2 2 232 223 x x x x a a -++->

2021年新课标新高考数学复习练习讲义:§3.4 指数与指数函数

§3.4 指数与指数函数 基础篇固本夯基 【基础集训】 考点 指数与指数函数 1.设a>0,将 2 √a ·√a 2 表示成分数指数幂的形式,其结果是( ) A.a 1 2 B.a 5 6 C.a 7 6 D.a 3 2 答案 C 2.函数 y=(12 )x 2-2x 的值域为( ) A.[1 2 ,+∞) B.(-∞,12 ] C.(0,12 ] D.(0,2] 答案 D 3.设函数f(x)=x 2-a 与g(x)=a x (a>1且a ≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2 与N=(1a ) 0.1 的大小关系是( ) A.M=N B.M ≤N C.MN 答案 D 4.[(0.0641 5)-2.5 ]23-√338 3 -π0 = . 答案 0 5.若“m>a ”是“函数f(x)=(13 )x +m-13 的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a 能取的最大整数为 . 答案 -1 综合篇知能转换 【综合集训】 考法一 指数式的大小比较 1.(2018黑龙江七台河月考,5)已知a=20.2 ,b=0.40.2 ,c=0.40.6 ,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 答案 A 2.(2018浙江杭州第二中学高三仿真考)已知0(1-a)b B.(1-a)b >(1-a )b 2 C.(1+a)a >(1+b)b D.(1-a)a >(1-b)b 答案 D 3.(2018福建厦门一模,5)已知a=(12)0.3,b=lo g 12 0.3,c=a b ,则a,b,c 的大小关系是( ) A.a

第2章第5讲 指数与指数函数

第5讲 指数与指数函数 基础知识整合 一、指数及指数运算 1.根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果□ 01x n =a ,那么x 叫做a 的n 次方根 — n >1且n ∈N * 当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个□ 02正数,负数的n 次方根是一个□ 03负数 n a 零的n 次方根是零 当n 为偶数时,正数的n 次方根有□04两个,它们互为□ 05相反数 ±n a (a >0) 负数没有偶次方 根 2.分数指数幂 (1)a m n =□ n a m (a >0,m ,n ∈N *,n >1); (2)a -m n =□ 071 a m n =□ 1 n a m (a >0,m ,n ∈N *,n >1); (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 3.有理数指数幂的运算性质 (1)a r ·a s =a r +s (a >0,r ,s ∈Q ); (2)(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q ); (3)(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q ). 二、指数函数及其性质 1.指数函数的概念 函数□ 09y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数,其中指数x 是自变量,函数的定义域是R ,a 是底数. 说明:形如y =ka x ,y =a x +k (k ∈R 且k ≠0,a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数.

2.指数函数的图象和性质 底数 a >1 00时,恒有y >1; 当x <0时,恒有00时,恒有01 函数在定义域R 上为增函数 函数在定义域R 上为减函数 1.(n a )n =a (n ∈N *且n >1). 2.n a n =??? ?? a ,n 为奇数且n >1,|a |=??? a ,a ≥0,-a ,a <0, n 为偶数且n >1. 3.底数对函数y =a x (a >0,且a ≠1)的函数值的影响如图(a 1>a 2>a 3>a 4),不论是a >1,还是00,且a ≠1时,函数y =a x 与函数y =? ?? ?? 1a x 的图象关于y 轴对称. 1.化简[(-2)6] 12 -(-1)0的结果为( ) A .-9 B .7 C .-10 D .9

指数与指数函数练习题及答案

! 2.1指数与指数函数习题 一、选择题(12*5分) 1.( 36 9a )4(6 3 9a )4等于( ) (A )a 16 (B )a 8 (C )a 4 (D )a 2 2.函数f (x )=(a 2-1)x 在R 上是减函数,则a 的取值范围是( ) (A )1>a (B )2b,ab 0≠下列不等式(1)a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31)b 中恒成立的有( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 5.函数y= 1 21 -x 的值域是( ) (A )(-1,∞) (B )(-,∞0)?(0,+∞) (C )(-1,+∞) (D )(-∞,-1)?(0,+∞) 6.下列函数中,定义域为R 的是( ) (A )y=5 x -21 (B )y=( 3 1)1-x . (C )y=1)2 1(-x (D )y=x 2 1- 7.下列关系中正确的是( ) (A )(21)32<(51)32<(21)31 (B )(21)31<(21 )32<(51)32 (C )(51)32<(21)31<(21)32 (D )(51)32<(21)32<(2 1 )31 8.若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点,则P 点坐标是( ) (A )(2,5) (B )(1,3) (C )(5,2) (D )(3,1) 9.函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是( ) (A )(0,+∞) (B )(5,+∞) )

指数与指数函数知识点

指数函数 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???=)(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根,()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0a 则a 的正的n 次方根记作n a ,a 的负的n 次方根,记作: n a -;(例如:8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±) ③若n 是偶数,且0a <则n a 没意义,即负数没有偶次方根; ④( )* ∈>=N n n n ,100 0=; ⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n . (二)分数指数幂 1() 102 5 0a a a ==>()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2)() n k kn a a =对分数指数幂也适用, 例如:若0a >,则3 223233a a a ???== ??? ,4 554544a a a ???== ???, 23 a =4 5 a =. 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。

指数与指数函数测试题

指数与指数函数测试题https://www.wendangku.net/doc/b213710091.html,work Information Technology Company.2020YEAR

指数与指数函数测试题 编制:陶业强 审核:高二数学组 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????,结果是( ) A 、1 132 112 2-- ? ?- ?? ? B 、 1 132 12-- ??- ?? ? C 、1 32 12-- D 、1321122-??- ??? 2 、44 等于( ) A 、16a B 、8 a C 、4a D 、2a 3、若1,0a b ><, 且b b a a -+=则b b a a --的值等于( ) A 、6 B 、2± C 、2- D 、2 4、函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数,则a 的取值范围是( ) A 、1>a B 、2≠,下列不等式(1)22a b >;(2)22a b >;(3) b a 1 1<;(4)1133 a b >;(5)1133a b ???? < ? ????? 中恒成立的有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 8、函数21 21 x x y -=+是( ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数

高一数学讲义-指数运算与指数函数

指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一:指数,指数幂的运算 (一)知识内容 1.整数指数 ⑴正整数指数幂:n a a a a =???,是n个a连乘的缩写(N n + ∈),n a叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数,这样的幂叫做正整数指数幂. ⑵整数指数幂:规定:01(0) a a =≠, 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N. 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲

2.分数指数 ⑴ n 次方根:如果存在实数x ,使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈,那么x 叫做a 的n 次方根. ⑵ 求a 的n 次方根,叫做a 开n 次方,称做开方运算. ① 当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.这时, a 的n 表示. ② 当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数.正数a 的正、负n 0)a >. ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根. 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0 0. n 叫做根指数,a 3.根式恒等式: n a =;当n a =;当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥. 4.分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为:1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为:1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5.整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质: ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6.n 次方根的定义及性质:n 为奇数时 a =,n 为偶数时 a =. 7. m n a = m n a - =(0a >,,*m n N ∈,且1n >) 零的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 8.指数的运算性质:r s r s a a a +=,()r r r ab a b =(其中,0a b >,,r s ∈R ) 9.无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数)是一个确定的实数. ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 10.一般地,当0a >,α为任意实数值时,实数指数幂a α都有意义. 对任意实数α,β,上述有理指数幂的运算法则仍然成立.

(完整版)指数和指数函数练习题及答案

指数和指数函数 一、选择题 1.( 36 9a )4(6 3 9a )4等于( ) (A )a 16 (B )a 8 (C )a 4 (D )a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于( ) (A )6 (B )±2 (C )-2 (D )2 3.函数f (x )=(a 2 -1)x 在R 上是减函数,则a 的取值范围是( ) (A )1>a (B )2b,ab 0≠下列不等式(1)a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31>b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 7.函数y=1 21 2+-x x 是( ) (A )奇函数 (B )偶函数 (C )既奇又偶函数 (D )非奇非偶函数 8.函数y= 1 21 -x 的值域是( ) (A )(-1,∞) (B )(-,∞0)?(0,+∞) (C )(-1,+∞) (D )(-∞,-1)?(0,+∞) 9.下列函数中,值域为R + 的是( ) (A )y=5 x -21 (B )y=( 3 1)1-x (C )y=1)21(-x (D )y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是( ) (A )奇函数且在R + 上是减函数 (B )偶函数且在R + 上是减函数 (C )奇函数且在R +上是增函数 (D )偶函数且在R + 上是增函数 11.下列关系中正确的是( ) (A )(21)32<(51)32<(21)31 (B )(21)31<(21)32<(51)32

指数计算与指数函数

指数计算与指数函数 一.选择题(共11小题) 1.已知2x>21﹣x,则x的取值范围是() A.R B.x<C.x>D.? 2.运算的结果是() A.3 B.﹣3 C.±3 D.以上都不正确 3.化简的结果是() A.a2B.a C.D. 4.已知,则的值是() A.3 B.5 C.7 D.9 5.函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)对于任意的实数x、y都有() A.f(xy)=f(x)?f(y)B.f(x+y)=f(x)?f(y)C.f(xy)=f(x)+f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y) 6.若2x=3,2y=4,则2x+y的值为() A.7 B.10 C.12 D.34 7.函数f(x)=(a2﹣3a+3)a x是指数函数,则a的值为() A.1 B.3 C.2 D.1或3 8.若a=log20.5,b=20.5,c=0.52,则a,b,c三个数的大小关系是() A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b 9.已知函数f(x)=2x﹣b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(3,1),则f(x)的值域为()A.[4,16] B.[2,10] C.[,2]D.[,+∞) 10.函数f(x)=的定义域是() A.[O,+∞)B.[1,+∞)C.(﹣∞,0]D.(﹣∞,1]

11.已知全集U=R,集合,B={x|x2﹣6x+8≤0},则图中阴影部分所表示的集合为() A.{x|x≤0}B.{x|2≤x≤4}C.{x|0<x≤2或x≥4} D.{x|0≤x<2或x>4} 二.填空题(共11小题) 12.=. 13.计算:=,8=. 14.计算:()﹣1+()0﹣9=. 15.若10x=3,10y=4,则10x+y=. 16.计算:的值是. 17.×÷=. 18.函数的单调增区间为. 19.函数的值域为. 20.函数y=2+a x﹣2(a>0且a≠1)的图象恒过定点,它的坐标为. 21.若函数f(x)=2x的值域是[4,+∞),则实数x的取值范围为. 22.函数的单调递增区间是. 三.解答题(共8小题) 23.计算:.

指数与指数函数

指数与指数函数 指数函数及其性质 (1)概念:函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数,其中指数x 是自变量,函数的定义域是R ,a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 a >1 00时,y >1; 当x <0时,01; 当x >0时,01)的值域是(0,+∞). ( ) 2.若函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)的图象经过? ?? ??2,13, 则f (-1)=( ) A.1 B.2 C. 3 D.3 3.某种产品的产量原来是a 件,在今后m 年内,计划使每年的产量比上一年增加p %,则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为( ) A.y =a (1+p %)x (0

C.y =a (1+xp %)(00,将 a 2 a ·3 a 2 表示成分数指数幂,其结果是( ) A.a 1 2 B.a 5 6 C.a 7 6 D.a 3 2 5. 已知函数f (x )=3x -? ?? ??13x ,则f (x )( ) A.是偶函数,且在R 上是增函数 B.是奇函数,且在R 上是增函数 C.是偶函数,且在R 上是减函数 D.是奇函数,且在R 上是减函数 6.设a =0.60.6 ,b =0.61.5 ,c =1.50.6 ,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.a 0,b >0). 【训练1】 化简下列各式: (1)[(0.0641 5)-2.5]2 3 - 3 338-π0; (2)56 a 1 3·b -2·(-3a -12b -1) ÷(4a 23·b -3 )1 2. 考点二 指数函数的图象及应用 【例2】 (1)(2019·镇海中学检测)不论a 为何值,函数y =(a -1)2x -a 2恒过定点,则这个定点的坐标是 ( )

指数运算与指数函数(学案)

指数运算与指数函数 高考要求 知识梳理 知识点一:有理数指数幂 1. n 次方根概念与表示 一般地,如果n x =a ,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且*N n . n

2.根式概念 式子a n 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 3.根式的性质 ① n a =. ② ||,a n a n ?=??,为奇数为偶数; 4.分数指数幂 正分数指数幂:a m n =√a m n (a >0,m,n ∈N ?,n >1) 负分数指数幂:a ? m n = 1 a m n = √a m n a >0,m,n ∈N ?,n >1) 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质 a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (a b )r =a r b r (a >0,s ∈Q ) 知识点二:指数函数的图像和性质 1.指数函数概念: 形如0(>=a a y x 且1≠a )函数叫指数函数,其中x 是自变量,函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质 R

知识点三:指数函数性质的运用(比较大小) 指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大 考点解析 典型习题一:指数幂(根式)的化简与计算 例1、已知当27=x ,64=y 时,化简并计算 例2、已知 01x <<,且1 3x x -+=,求112 2 x x - -的值. 典型习题二:指数函数的图像问题 例1、已知函数2 ()x f x m -=(0m >,且1m ≠)恒过定点(,)a b ,则在直角坐标系中函数 ||1 ()()x b g x a +=的图象为( ) )6 5 )(41(561 312112 13 2-----y x y x y x

高一指数与指数函数基础练习题

高一指数与指数函数基础练习试题 (一)指数 1、化简[3 2 )5(-]4 3的结果为 ( ) A .5 B .5 C .-5 D .-5 2、将322-化为分数指数幂的形式为( ) A .212- B .3 12- C .2 12 - - D .6 52- 3、化简 4 2 16 13 2 33 2)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是( ) A . a b B .ab C . b a D .a 2b 4、化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????,结果是( ) A 、1 132 112 2-- ? ?- ?? ? B 、1 132 12 -- ??- ?? ? C 、1 32 12-- D 、1321122-??- ??? 5、13256)7 1 (027 .0143 23 1+-+-----=__________. 6、 32 113 2132)(---- ÷a b b a b a b a =__________. 7、48373)27102(1.0)972(032 221 +-++--π=__________。 8、)3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。 9 、416 0.250 3 21648200549 -+---)()() =__________。

10、已知),0(),(21>>+= b a a b b a x 求1 22--x x ab 的值。 11、若32 12 1=+-x x ,求 2 3 222 32 3-+-+-- x x x x 的值。 (二)指数函数 一、指数函数的定义问题 1、一批设备价值a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低%b ,则n 年后这批设备的价值为( ) A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 2、若21(5)2x f x -=-,则(125)f = 。 3、若21025x =,则10x -等于 ( ) A 、 15 B 、15- C 、150 D 、1625 4、某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比 较,变化的情况是( ) A 、减少7.84% B 、增加7.84% C 、减少9.5% D 、不增不减 5、已知指数函数图像经过点)3,1(-p ,则=)3(f

指数与指数函数练习题及答案

2.1指数与指数函数习题 一、选择题(12*5分) 1.( 36 9a )4(6 3 9a )4等于( ) (A )a 16 (B )a 8 (C )a 4 (D )a 2 2.函数f (x )=(a 2-1)x 在R 上是减函数,则a 的取值范围是( ) (A )1>a (B )2b,ab 0≠下列不等式(1)a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 5.函数y= 1 21 -x 的值域是( ) (A )(-1,∞) (B )(-,∞0)?(0,+∞) (C )(-1,+∞) (D )(-∞,-1)?(0,+∞) 6.下列函数中,定义域为R 的是( ) (A )y=5 x -21 (B )y=( 3 1)1-x (C )y=1)2 1(-x (D )y=x 21- 7.下列关系中正确的是( ) (A )(21)32<(51)32<(21)31 (B )(21)31<(21)32<(51)32 (C )(51)32<(21)31<(21)32 (D )(51)32<(21)32<(2 1)31 8.若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点,则P 点坐标是( ) (A )(2,5) (B )(1,3) (C )(5,2) (D )(3,1) 9.函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是( ) (A )(0,+∞) (B )(5,+∞) (C )(6,+∞) (D )(-∞,+∞) 10.已知函数f(x)=a x +k,它的图像经过点(1,7),又知其反函数的图像经过点(4,0),则函数f(x)的表达式是( )

指数与指数函数题型归纳(非常全)

指数式及指数函数题型归纳(2019.10.25)一.指数幂与根式的互化: 题组一:根式化为分数指数幂 (1)化简=________.(2) 计算=________. (3)若a<0,则=________. (4)的值为() 题组二:运用分数指数幂进行化简: (1)下列各式中错误的是() 1. A. B. C. D. 2.化简()×(-)÷()的结果() A. 6a B. C. D. 3.(1)计算:(2)化简:. (3)(×)6+()-4()-×80.25-(-2009)0. 题组三:指数式的条件求值问题: 1.已知,求下列各式的值(写出过程): (1) (2) (3)= 2.(1)已知,求的值.(2)已知2x+2-x=3,则 4x+4-x= ______ .

题组四:利用指数函数比较大小; 1.下列各式比较大小正确的是: ;; 2.已知,则a,b,c三者的大小关系是 A. B. C. D. 3.已知,b=,c=,则() A. B. C. D. 题组五:指数函数过定点问题; 1.函数f(x)=2-a x+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点() A. B. C. D. 2.函数y=a x-3+1(a>0且a≠1)图象一定过点______ . 3.函数y(a>0,a≠1)的图象经过定点为______ 4.题组六:指数函数解方程(或不等式); 1.设集合A={x|-1<x<2},{x|<()x<1},则A∩B=() A. B. C. D. 2.(1)不等式的解集为________.(2)不等式2x-2>22x+4的解集为______ (3)求不等式a2x-7>a4x-1(a>0,且a≠1)中x的取值范围 3.方程4x-6×2x+8=0的解是______ . 题组七:指数函数有关图像问题; 1.函数其中且的图象一定不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若函数y=a x+b的部分图象如图所示,则() A. , B. , C. , D. ,

指数运算法则

指数运算法则 指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ,函数图形下凹,a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单 调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。要想使 得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得a的不同大小 影响函数图形的情况。 一、法则 在函数y=a^x中可以看到: (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提 是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得 函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a 等于0一般也不考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4) a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0, 则单调递减。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无 穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平 直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 (7)函数总是通过定点(0,1) (8)指数函数无界。 (9)指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

(10)当两个指数函数中的a互为倒数时,此函数图像是 偶函数。例1:下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数;⑵ y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数1对 数的概念如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那 么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b,其中a叫做对 数的底数,N叫做真数. 由定义知:①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特 别地,以10为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN;以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指 数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga(M/N)=logaM-logaN. (3)logaM n=nlogaM (n∈R). 二、记忆口决 有理数的指数幂,运算法则要记住。 指数加减底不变,同底数幂相乘除。 指数相乘底不变,幂的乘方要清楚。 积商乘方原指数,换底乘方再乘除。 非零数的零次幂,常值为 1不糊涂。 负整数的指数幂,指数转正求倒数。 看到分数指数幂,想到底数必非负。 乘方指数是分子,根指数要当分母。 看到分数指数幂,想到底数必非负。

指数运算和指数函数

第五讲 指数运算和指数函数 一、知识点 1.根式的性质 (1)当n 为奇数时,有a a n n = (2)当n 为偶数时,有? ? ?<-≥==)0(,) 0(,a a a a a a n n (3)负数没有偶次方根 (4)零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念 (1)正整数指数幂:)(.............*∈??=N n a a a a a n n (2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠= -N p a a a p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>= n N n m a a a n m n m 且 (5)负分数指数幂 n m n m a a 1 = -)1,,,0(>*∈>n N n m a 且 (6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>?= 4.指数函数定义:函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。

1.函数21 )2()5(- -+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><≤-=-0 ,0 ,12)(21x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 ( ) A .)1,1(- B . ),1(+∞- C .}20|{-<>x x x 或 D .}11|{-<>x x x 或 4.函数2 2 ) 21 (++-=x x y 得单调递增区间是 ( ) A .]2 1 ,1[- B .]1,(--∞ C .),2[+∞ D .]2,2 1 [ 5.已知2 )(x x e e x f --= ,则下列正确的是 ( ) A .奇函数,在R 上为增函数 B .偶函数,在R 上为增函数 C .奇函数,在R 上为减函数 D .偶函数,在R 上为减函数 二、填空题 6.已知函数f (x )的定义域是(1,2),则函数)2(x f 的定义域是 . 7.当a >0且a ≠1时,函数f (x )=a x -2-3必过定点 . 8.已知-1-+=a a a y x x 在区间[-1,1]上的最大值是14,求a 的值. 11.(12分)(1)已知m x f x +-= 1 32)(是奇函数,求常数m 的值; (2)画出函数|13|-=x y 的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方程|3X-1|=k 无 解?有一解?有两解? 12.已知函数f(x)= 1 1+-x x a a (a>0且a ≠1). (1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性.

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