高数下期末模拟试题

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.设,0)0,0(=f 当)0,0(),(≠y x 时,2

2

),(y

x xy y x f +=

，则),(y x f 在)0,0(处( ).

A.不连续

B.连续但不可导

C.不可微

D. 可微但不可导 2.设平面区域D 由直线1,2

1

,0,0=+=

+==y x y x y x 围成.下列二重积分中，数值最大的是 ( )

A. ??+D

d y x σ)ln( B. ??+D

d y x σ)(

C.

??+D

d y x σ2

)( D. ??+D

d y x σ)(2

2

3.设L 是从点)0,0(O 起沿摆线t y t t x cos 1,sin -=-=到点)0,2(πA 的有向曲线，则对

坐标的曲线积分?

=-L

ydx xdy ( ).

A.π6-

B.π6

C.0

D.π-

4.设L 从点)1,1(A 到点)2,0(B 且与x 轴无公共点的有向曲线，则

=+-?L

y

x y

dy

x xydx 2

22

2( ).

A. 33-

B. 21-

C.

5-π D. 21+

5.下列级数中，条件收敛的是( ).

A.∑∞

=+-021)1(n n n B.∑∞

=+-1

21arctan )

1(n n

n n n n C.

∑

∞

=0

1

n n D.∑∞

=-++0

)1sin(n n n n π 二、填空题(每小题3分，共15分)

1.曲线???=++=++0

6

222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的法平面方程是( ).

2.二重积分?

?-=10

arcsin arcsin y

y

xdx dy

π( ).

3.已知

??????-Ω=h

x x dz z y x f dy dx dv z y x f xyz

20

2

),,(),,(2，

在选用柱坐标计算该三重积分时，xyz Ω

被变换为z ρθΩ. 其中,z ,,ρθ的变化范围分别为,2

0π

θ≤

≤( ). 4.设∑:

14

32=++z

y x 在第一卦限的部分，∑在xoy 面的投影面积为3，则对面积的曲面积分

=++??∑

dS z y x )346(( ).

5. 一阶微分方程12

=+'xy y x 的满足初始条件12==x y 的特解是 ( ). 三、(10分)设函数),(y x z z =由方程0,=???

?

??++

x z y y z x F 确定，计算y z y x z x ??+??. 四、(10分)求原点到曲面4:2

+-+=∑y x xy z 的最短距离. 五、(10分)设2

2

2

2

2

2

2

,:R z y x y x z ≤+++≥Ω，计算三重积分.2

???Ω

=dv z I 六、(10分) 设L 为从)0,0(O 起沿22x x y -=

到点)1,1(A 的有向曲线，

计算对坐标的曲线积分.)()(2?

-++=L

y

y dx xy e dy x xe I

七、(10分)设∑是锥面2

22y x z +=在01≤≤-z 的部分的上侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上

任一点处法线的方向余弦，计算曲面积分

??∑

++dS z y x )cos cos cos (3

33γβα. 八、(10分)将函数21ln arctan )(x x x x f +-=展开为x 的幂级数，确定该幂级数的收敛

半径，指出在收敛区间端点处收敛或发散的判定依据，并求级数∑∞

=++-0

)12)(1()1(n n

n n 的和.

九、(10分)设函数)(x y y =满足1)0(,)](sin 6[1)(0

2

=-+='?

y dt t y t x y x

，求).(x y

答案

一、(1)C (2)B (3)A (4)B (5)D

二、(1)0=-z x (2)]cos cos [0

sin 0

?

??+-=π

π

π

πxdx x x dy xdx x

(3).0,cos 20h z ≤≤≤≤θρ (4)6112 (5) ).2ln ln 2(1

-+=

x x

y 三、设,,x

z

y v y z x u +=+

=在()0,=v u F 两边对y x ,求导,并视z 为y x ,的函数,得: ???????=??? ??+?+???? ??-?=??? ??-?+???? ??+?010

122x z F y z y z F x z x z F y z F x v y u x v x u ，由此方程可以解出：???

????+-=??+-=??v x u y v u y z

v

x u y u v

x z

F F F F y z F F F F x z 11

112，进而得到v u v u F x

F y y x z F x y z F y z y x z x

11+???

??-+???? ??-?=??+??xy z x

F y F x F y F xy x F y F z v

u v u v u -=+????

??+-???? ??+=. 四、目标函数：,),,(2

2

2

z y x z y x f ++=约束条件：042

=-+--y x xy z ，拉格朗日乘数函数为)4(),,,(2

2

2

2

-+--+++=y x xy z z y x z y x L λλ.

按求解条件极值的方法，对),,,(λz y x L 求偏导，得：

??????

?====0000λ

L L L L z y x ， ???????=-+--=+=+-+=+-?040220)1(20

)1(22y x xy z z z x y y x λλλ?????±==-=?311z y x ?????---?)3,1,1()3,1,1(21P P 根据问题的实际意义，最短距离存在，且应在驻点1P 或2P 上达到。因=1

P d ,52

=P d 故最

短距离为5.

五、作图。记0,,:2

2

2

2

2

2

2

1≥≤+++≥Ωz R z y x y x z ，利用被积函数及积分区域的对称

性，有.212

???Ω=dv z I 选用球面坐标进行计算. 在球面坐标下, ??

?????≤≤≤≤≤≤Ωπθπ?ρ20400:1R

,于是有

???

? ??-===???????Ω421152sin cos 52sin cos 502

054

0220244

1R d R d d d dv z R

π???πρρ???θπ

π

π

，由此

得到???Ω=1

22

dv z I ???

?

??-=4211545R π 六、解：设区域,10,2:2≤≤-≤

≤x x x y x D 则D 的沿逆时针方向的边界曲线由L -及

10,:≤≤=x x y l 构成(作图),且????+????

??

+=-l

l

L L .对于等式右边第二项，有 -+=+=??10

1

)1()1(x x

l

e

x dx e x e dx e x =?1

对于等式右边第一项，记2

,x xe Q xy e P y

y

+=-=，则

,2,x e x

Q

x e y P y y +=??-=??从而有x Q ??.3x y

P

=??-利用格林公式有 dxdy y P x Q D l L ???????? ????-??-=+-dxdy x D

??-=3??--=2

21

03x x x

dy xdx

dx x x x x )2(32

21

---=? 1

)1(132

1

+---=?dx x x ππ

43

21cos )sin 1(320

sin 12

-=++-=?-+=tdt t t

x

故π4

3

2-

+=e I 七、记,1,1:2

2

1≤+-=∑y x z 法向朝下，则

??????∑∑

∑+∑-=1

1

.

在1∑上，1cos ,0cos cos ,1-===-=γβαz ，故π==????≤+∑1

221

y x dxdy . 对于??∑+∑1

,依两

类曲面积分之间的关系及高斯公式，有

??∑+∑=1

?????Ω

∑+∑++=++dv z y x

dxdy z dzdx y dydz x )(3222

3331

109sec 103cos sin 65sin 34

3334

5

sec 0420π?π???ρρ??θπ

ππ

π?πππ=-=-==????-d d d d 最后得到

.10

1091

1

??????∑∑

∑+∑-=-=

-=

π

ππ 八、?+='='+=''=='x

dt t x f f x x f f x x f 0

2211

)(;0)0(,11)(;0)0(,arctan )(;

;1,)1(11202

<-=+∑∞=x x x n n n ∑?∞

=-='00

2)1()(n x

n

n dt t x f 1,12)1(012≤+-=∑∞=+x n x n n n ； =)(x f ='?

x

dt t f 0

)(=

+-∑?∞

=+00

1

212)1(n x

n n

dt n t .)22)(12()1(0

2

2∑∞

=+++-n n n

n n x 记,)22)(12()1(++-=n n a n n 则,1lim 1=+∞→n

n n a a

故收敛半径为,1=R 说明该级数在)1,1(-内

收敛；

当1±=x 时，级数为∑∞

=++-0)

22)(12()1(n n

n n ，属于一般项单调下降趋向于0的交错级数，

根据莱布尼茨判别法，级数收敛，故收敛域为].1,1[-

在上式中令,1=x 得∑∞

=++-=-=0)

22)(12()1(2ln 214)1(n n n n f π

∑∞=++-=0)12)(1()1(21n n

n n ，

因此.2ln 2)

12)(1()1(0-=++-∑

∞

=π

n n n n 九、在原方程中令,0=x 得.1)0(='y 在原方程两边对x 求导，得微分方程

x y y 2

sin 6=+''，由此将问题转化为初值问题??

?=='=+''1

)0(,1)0(sin 62y y x

y y .其中，齐次方程0=+''y y 的特征根为i r ±=，通解=y .sin cos 21x c x c +为求原方程特解，将其改写成x y y 2cos 33-=+''，并分解为 (1)3=+''y y 和(2)x y y 2cos 3-=+''两个方程. 其中,方

程(1)的特解为3)1(=y .为获得方程(2)的特解，令,2cos 2sin 21)2(x a x a y +=代入方程(2),

则+'')2(

y .2cos 32sin 321)2(x a x a y --=可见，要使)2(y 是(2)的特解,只须取1,021==a a ，此时.2cos )2(x y =由此得到原方程的一个特解x y y y 2cos 3)2()1(*

+=+=，进而得到原方程的通解.32cos sin cos 21+++=x x c x c y

利用1)0(,1)0(='=y y 得.1,221=-=c c 最终得.32cos cos 3sin )(++-=x x x x y

1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )

A ．(,)f x y 在P 连续

B ．(,)f x y 在P 可微

C ． 0

0lim (,)x x f x y →及 0

0lim (,)y y f x y →都存在 D ．

00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y →存在

2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．

ln ln ln ln .x x y y y y

A x y +

ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x

y y C y

ydx dy x + ln ln ln ln .x x y y y x

D dx dy x y

+

3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=???Ω

dxdydz z y x f ）

． 21

2

cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz

π

θ

θθθ?

?

?

21

2

cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π

θ

θθθ?

?

?

21

2

2

cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz

π

θ

πθθθ-??

?

21

cos .(cos ,sin ,)x

D d rdr f r r z dz πθθθ??

?

4． 4．若

1

(1)

n

n n a x ∞

=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．

A ． 条件收敛

B ． 绝对收敛

C ． 发散

D ． 敛散性不能确定

5．曲线22

2

x y z z x y

-+=??

=+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）

二、填空题（共15分，每小题3分）

1

．

设

2x y x y z

+-=，则'(

1,1

)x z = . 2．交 换ln 1

(,)e

x

I dx f x y dy =

?

?

的积分次序后，I =_____________________．

3．设2

2z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .

4. 已知

0!

n

x

n x e n ∞

==∑，则

x xe -= .

5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 .

三、解答题（共54分，每小题6--7分）

1.（本小题满分6分）设arctan

y z y x =, 求z x ??,z y

??. 2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.

3. （本小题满分7分）求函数2

2

z x y =+在点(1,2)

处沿向量12l i j = 方向的方向导

数。

4. （本小题满分7分）将x

x f 1

)(=

展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。 5．（本小题满分7分）求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数

),(y x z z =的极值。

6．（本小题满分7分）计算二重积分1

,1,1,)(222

=-=--=+??y y y x D d y x

D

由曲线σ及2-=x 围成.

7.（本小题满分7分）利用格林公式计算?

-L

x y x y xy d d 22，

其中L 是圆周2

22a y x =+（按逆时针方向）

8.（本小题满分7分）计算

???Ω

z y x xy d d d ，其中Ω是由柱面12

2=+y x 及平面

0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.

.

四、综合题（共16分，每小题8分）

1．（本小题满分8分）设级数

1

1

,n n n n u v ∞

∞

==∑∑都收敛，证明级数2

1

()n n n u v ∞

=+∑收敛。 2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2

R 内具有一阶连续偏导数，且

2f

x x

?=?，

证明曲线积分

2(,)L

xydx f x y dy +?

与路径无关．若对任意的t 恒有

(,1)

(1,)

(0,0)

(0,0)

2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+?

?

，求),(y x f 的表达式．

参考答案及评分标准

一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1.-1 2. I =

10

(,)y

e

e dy

f x y dx ??

3. →

→

→

-+-k j i 242 4 1

(1)!n n n x n +∞

=-∑ 5. (2,2) 三、解答题（共54分，每小题6--7分）

1．解：2

2

2

y

x y x z +-=??; (3分) y

z

??=x y arctan +2

2y x xy + ( 6分). 2. 解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =

满足：

000

23232

x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112

232

x y z -+-==- ( 6分) 3. 解：(1,2)(2,4)f ?= ( 3分),

(1,2)

1f l

?=+? ( 7分) 4. 解：)3(31

)(-+=

x x f =)3

3(1131-+?x , ( 2分)

因为

∑∞

=+=

-0

11

)

1(n n n

x

x ，)1,1(-∈x ,所以∑∞

=-?-=-+?0

)33(31)1()3

3(113

1n n n x x =∑∞=+--0

1)3()31()1(n n n n x ,其中1331<-<-x ，即60<

当0=x 时，级数为∑∞

=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞

=?-0

31)1(n n 发散,故

x 1=∑∞=+--01)3()3

1

()1(n n n n x ，)6,0(∈x ， ( 7分) 5. 解：由401284(2)0128z

x x z y z y z y z y

??==??--?

??+?==??--?, 得到0=x 与02=+z y , ( 2分)

再代入08822222=+-+++z yz z y x ，得到0872

=-+z z 即8

1,7

z =-

。 由此可知隐函数(,)z z x y =的驻点为(0,2)-与16

(0,

)7

。 ( 4分) 由224128z x z y ?=?--，20z

x y

?=??，224128z y z y ?=

?--，可知在驻点(0,2)-与16(0,)7有0H >。( 5分) 在(0,2)-点，1z =，因此 224

015

z x ?=

>?，所以(0,2)-为极小值点，极小值为1z =；( 6分)

在16(0,)7点，87z =-，因此 224

015

z x ?=-

( 7分)

6. 解：记?????≤≤-≤≤--???≤≤-≤≤-1

10

1:1102:221y x y D y x D ，则21D D D -=.（2分） 故

σσσd y x d y x d y x

D D D

??????+-+=+2

1

)()()(222222

( 4分)

-=

-+=????--320)(2

32

1

311

2

2

2π

πθdr r d dx y x dy 4

π

（7分） 7. 解：L 所围区域D ：2

22a y x ≤+,由格林公式，可得

?

-L

x y x y xy d d 22=

y x y y x x xy D d d ))()((22???-?-??=??+D

y x y x d d )(2

2=4π20022πd a r r r d a ??=?θ.(7分)

8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，?

????≤≤≤≤≤≤,

10,2π

0,10:r z θΩ所以

????????=Ω

θθθr r r r z z y x xy d sin cos d d d d d 01

2π0

1 ( 4分)

=

??

r r d d 2sin 213

010

2πθθ=8

1

4)42cos (1

42

π

=?-r θ. (7分) 四、综合题（共16分，每小题8分） 1．证明：因为lim 0,lim 0n n n n u v →∞

→∞

==，（2分）

故存在N ，当n N >时，222

()23n n n n n n n u v u v u v u +=++≤，因此2

1

()n n

n u

v ∞

=+∑收敛。（8分）

2．证明：因为2f

x x ?=?，且22()xy x y

?=?，故曲线积分 2(,)L xydx f x y dy +?与路径无

关．（4分）

因此设)(),(2y g x y x f +=，从而

(,1)

11

22 (0,0)

2(,)0[()]()t t xydx f x y dy dx t g y dy t g y dy +=++=+?

???，（5分）

(1,)

1 (0,0) 0

2(,)0[1()]()t t t

xydx f x y dy dx g y dy t g y dy +=++=+?

???，（6分）

由此得 1

2

()t g y dy +

?

()t

t g y dy =+?对任意t 成立，于是12)(-=t t g ，即

12)(),(22-+=+=y x y g x y x f ．

（8

一、选择题（每小题3分，共计15分）

1．二阶齐次线性微分方程06=-'-''y y y 的通解为（ B ） A ．x x

e C e C y 3221--+= B ．x x e C e C y 3221+=-

C ．x x e C e

C y 3221-+=

D ．x x e C e C y 3221+=

2．过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ A ）

A ．04573=-+-z y x

B ．01573=-+-z y x

C ．0423=-+-z y x

D ．0123=-+-z y x 3．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质：

①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（ A ）

A ．②?③?①

B ．③?②?①

C ．③?④?①

D ．③?①?④ 4. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ C ）

A B C D

5．下列级数中，收敛的是（ D ） A ．∑

∞

=1

1i n

B ．

∑

∞

=1

3

21

i n

C ．∑∞

=11i n D ．∑∞

=-11)1(i n n

二、填空题：（每小题3分，共计15分）

1. 一阶微分方程02=-'xy y 的通解为=y ．（答案：2

x Ce y =） 2.

=+→xy y

x y x 2lim

)2,1(),( ．（答案：2）

3. 2

2

2y x z +=表示空间曲面 ．（答案：抛物面） 4．

??=1

010

xydy dx ．（答案：41

） 5. 若L 表示抛物线2

x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧，则第一类曲线积分

?

L

ds y = ．

（答案：)155(12

1

-）

三、计算题：（每小题6分，共计48分）

1．设22

21y x z +=

，求全微分dz . 解：x x

z

=?? ……………………………………………………………….2分 y y

z

2=??……………………………………………………………….2分 ydy xdx dz 2+=………………………………………………………2分 2．设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ?和b a ?． 解：

51)2(10)3(1-=?-+?+-?=?b a (3)

分

}1,5,2{521

13201=++=--=?k j i k

j

i

b a ………………………..3分

3．求过点()132,，-且平行于直线??

?=-+=+-0

250

32z y x z y x 的直线方程.

解：直线

??

?=-+=+-0

25032z y x z y x 的

方

向

向

量

为

k j i k

j i 1352

51132++=-- …………………………………….4分 所求直线方程为

13

1

5312-=-=+z y x ……………………………….2分 4．设z xy x z y x f +-=23),,(，求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ?及f ?. 解：k j i k f j f i f f z y x +-=++=?22 ………………………………….4分

31)2(222=+-+=?f …………………………………………….2分

5．计算二重积分

σd xy ??D

，其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭区域.

解：把D 看成X 型区域{}

x y x y x ≤≤≤≤1,21),(………..……………2分

8

9

)(212132

1

1D

=-==??

???dx x x xydy dx d xy x

σ………………………….4分

6．计算三重积分

dV x e y )2sin (2

???Ω

+，其中Ω：10,10,11≤≤≤≤≤≤-z y x . 解：注意到积分区域Ω关于YOZ 面对称，x e y sin 2

为x 的奇函数…….2分

4112212sin )2sin (2

2

=???=+=+?????????Ω

Ω

Ω

dV dV x e dV x e y

y …...4分 7．L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ，求

?

-L

ydx x dy xy 22.

解：y x P 2-=，2xy Q =………………………………………………….2分

由格林公式

?

-L

ydx x dy xy 22σσd y x d y P

x Q D

D ????+=??-??=)()(

22 ??=

?=π

π

ρρρθ20

1

22

d d …..………………4分

8．判断级数πn n n n

cos 2)12(1

2

∑∞

=+的敛散性. 解：注意到πn n n n cos 2)12(12∑∞

=+≤∑∞=+1

2

2)12(n n

n …………………………….2分 而级数∑∞

=+1

2

2)12(n n

n 利用比值审敛法，得 121

lim

1<=+∞→n

n n u u ………………………....2分

则由比较审敛法，级数πn n n n

cos 2)12(1

2

∑∞

=+收敛.…………………....2分

四、解答题（每小题8分，共计16分） 1. 求二阶非齐次线性微分方程x

e

y y y 244-=+'+''的通解.

解：注意到右端项为x m e x P x f λ)()(=型（其中2,1)(-==λx P m ）…….2分 且原方程对应的齐次方程的特征方程为0442

=++r r ,

特征根2-=λ为二重根.......................................................................................2分 设原方程的一个特解为x

e ax y 22*

-=代入原方程解出2

1

=

a ………………....2分 则原方程通解为()x

x

e x e

x C C y 222212

1--+

+=....................................................2分

2．设)(x f 的周期为π2，且在],[ππ-上2)(x x f =，试将)(x f 展开成傅里叶级数. 解：依题)(x f 在],[∞-∞上连续，且满足狄利克雷收敛定理条件，则 0=n b ),2,1( =n ,…………………………………………....2分

3

22

2

2

0ππ

π

==?

dx x a ,…………………………………….……2分

?

?

?

=

=

=

π

π

π

π

π

π

20

20

sin 2cos 2

cos )(2

nx d x n dx nx x dx nx x f a n

?

?=??????-=

π

πππ

π0

2002cos 4

sin 2sin 2nx xd n dx nx x nx x n

2

002)1(4cos cos 4n nxdx nx x n n -=??????-=?πππ ),2,1( =n ……2分

由收敛性定理可知， ∑∞

=-+=

1

2

2

2

c o s

)1(43

n n

n

nx x π …………….……………….……2分 五、应用题（本题6分）

某养殖场饲养两种鱼。若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为x y x )23(--和y y x )24(--，求放养数x 和y 为多少时 产鱼总量获得最大？

解：依题产鱼总量=),(y x f x y x )23(--+y y x )24(--

y x xy y x 4322222++---=……………….....2分

则???

????==??????=+--==+--=653

10442032400y x y x f y x f y x ,…………………………………….….…2分

由原问题最大值一定存在，且驻点唯一，可知2007

级《高等数学》（下）期末试

卷A

一、 单选题（每小题4分,共40分） 1.记C y x f B

y x f A y x f yy xy xx ===),(),(,),(000000，那么当函数),(y x f 在其

驻点),(00y x 处符合（ ）时，),(00y x f 必是极小值。

)A ( 002><-A AC B ； )B ( 002<<-A AC B ； )C ( 002>>-A AC B ； )D ( 002<>-A AC B

2. 设曲面063

33=-+++xyz z y x ，则在点)1,2,1(-处的切平面方程为 （ ）

)A (018511=-++z y x ； )B (018511=-+-z y x ；

)C (018511=--+z y x ； )D ( 018511=+++z y x

3. 若区域D 由x y x 22

2-=+所围成，则

dxdy

y x y x D

??++22)

(=（ ）

（A ）

dxdy

x y x D

??+2)( ； （B ）

??

-

-+2

2

cos 20

3)cos (sin π

π

θθθθdr

r d ；

（C ）

?

?

-+ππθθθθ2

cos 20

3

)cos (sin 2dr

r d ；（D ）

?

?

-+2

32

cos 20

3)cos (sin π

π

θθθθdr

r d

4．方程45sin5x

y y y e x -'''--=+的一个特解形式是( ).

(A) 12sin5;x y Ae

A x -=+ (B) 123sin5cos5;x

y Ae A x A x -=++ (C) 12sin5;x y A xe A x -=+ (D)

123sin5cos5.x

y A xe A x A x -=++ 5．幂级数1

1

1(1)n n

n x

n ∞

-=-∑的收敛域为（ ）

(A) )1,1(-； (B) ]1,1(-； (C) )1,1[-； (D) ]1,1[-. 6．设xyz

e

u =,则 =du ( ).

(A) dz e xy

； (B)

)(zdx ydz xdy e xyz ++；

(C) )(xydz xzdy yzdx u ++； (D) xydz xzdy yzdx ++

7．若L 是星形线

???==t a y t a x 33sin cos 上半部（取顺时针方向）,?+L

ydy

xdx 的值为( ).

(A)0； (B) 2

2a π； (C) 22a π-； (D) 2

2a π

8. 设α

为常数，则级数∑∞

=???? ??-+-1

22

11)1(n n

n α (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；

(C) 发散； (D) 收敛性与α的取值有关

9．设幂级数∑∞

=-1

22)1(n n

n

x a

在31=x 时条件收敛，则该级数的收敛半径R 为

（ ）

(A)2=R ； (B) 2=R ； (C) 3=R ； (D) 3=R

10．微分方程

3x y dx dy

x

=-的通解是=y ( ).

(A) x C x +43； (B) Cx x +23； (C) C x +23 (D) Cx

x +43

二、填空题（每小题4分, 共20分）

1. xoz 坐标面上的抛物线x z 5=绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 。

2. 过点)5,1,3(-M ，且同时垂直x 轴和y 轴的直线方程为 。

3. 方程05'4''=+-y y y 通解为 。

4. 已知

??∑

=zdxdy

I ，其中∑是锥面 22y x z +=

和10=z 围成的整个立体

的表面内侧，则=I 。 5. 设)(x ?具有连续的导函数，且0)0(=?，积分

?+L

dy x y dx xy )(2

?与路径无关的

充分必要条件为)(x ?= 。

三、（8分） 计算曲面积分??∑

++=I dS

z c y b x a )(222222, 其中

2222:x y z R ∑++=。

四、（8分）计算重积分:

dxdydz z y x ???Ω

++2

)(, 其中Ω是

由2

222:R z y x =++∑所围之立体。

五、（8分）求球面

1222=++z y x 到点)1,1,1(的最近距离和最远距离。

六 、（8分）计算积分

??∑

++=

zdxdy

ydzdx xdydz I ，其中∑是曲面

22y x z +=（40≤≤z ）的上侧。

七、（8分）求幂级数n

n n x ∑∞

=+-01)12(的和函数。

2007级《高等数学》（下）期末试卷答案

一、单选题（每小题4分,共40分）

二、填空题（每小题4分, 共20分）

1.

)(25222y x z += 2. ???==13y x ，或者

150103+=-=-z y x 3. )sin cos (212x C x C e y x

+=

4.

31000π-

5. 2

x

三、（8分） 解 根据轮换对称性

dS z y x dS x I ????∑

∑

++=

=)(312

2220 ---------------------4

dS R ??∑

=

231

344342

2R R R ππ== ----------------------6

4

22202020234

)(R c b a c b a π?++=I +I +I =I ----------------------8

四、（8分）

解 d x d y d z xz yz xy z y x dxdydz z y x )222()(2

222??????ΩΩ+++++=++

dxdydz

xz yz xy dxdydz z y x )222()(222??????Ω

Ω

+++++=

Ω关于0=y 对称，y z x )22(+是关于y 的奇函数0

)22(=+???Ω

ydxdydz z x

Ω关于0=x 对称，xz 是关于x 的奇函数02=???Ω

xzdxdydz ---------------------3

由积分区域的对称性得

??????Ω

Ω

++=++dxdydz

z y x

dxdydz z y x )()(222

2

---------------------6

??????=++Ω

R

dr r d d dxdydz z y x 0

4

20

2sin )(π

π

??θ

5

54R π=

---------------------8

五、（8分） 解法一

2222)1()1()1(-+-+-=z y x d ----------1

令)1()1()1()1(),,(2

2

2

2

2

2

-+++-+-+-=z y x z y x z y x F λ ----------2

??????

?=++=+-==+-==+-=1022202220

222222z y x z z F y y F x x F z y x λλλ ----------4

解得

)31,31,31(---， )

31,31,31( ----------6 所以球面上点

)

31

,31,31(---

到)1,1,1(距离最远31+。

所以球面上点

)

31

,

3

1,

31(

到)1,1,1(距离最近13- -----------8

解法二 或 222)1()1()1(-+-+-=

z y x d ----------1

令

)1()1()1()1(),,(2

22222-+++-+-+-=z y x z y x z y x F λ ----------2 ??????????

??

?

=++=+-+-+--==+-+-+--==+-+-+--=10

2)1()1()1(102)1()1()1(102)1()1()1(12

22

2

222

222

22z y x z z y x z F y z y x y F x z y x x F z y x λλλ ----------4

解得

)31

,3

1,3

1(-

-

-

， )

31

,

31

,

31

(

----------6

所以球面上点

)

31,31,31(---到)1,1,1(距离最远31+。 所以球面上点)

31,31,3

1(到)1,1,1(距离最近13- -----------8 注：本题用初等数学解法的，说明充分给8分，说明不充分给4分，没有说明，只给出结果

的没有分数。

六 、（8分）

解 补充平面4:0=∑z ，取下侧 --------------1

????

∑∑+∑++-

=

zdxdy

ydzdx xdydz I --------------3

?????+-=Ω

xy

D dxdy

dV 43 --------------5

ππ1624+-= ---------------7 π8-= ---------------8

七、（8分）

解

21

1212lim 211=--=+++∞→n n n n n a a ，所以收敛半径21=R ， --------------2 由于

21±

=x 时，幂级数都发散，幂级数的收敛域是?

?? ??-21,21， --------------4

当

?

?? ??-∈21,21x 时，有

()()∑∞

=+-=0

1

12

n n

n x x S ∑∑∞

=∞=-=0

)2(2n n

n

n x x --------------6

x x --

-=

11

212 --------------8 时取

一. 填空题(每小题4分, 共36分)

1.微分方程2

2x x e xy y -=+'满足初始条件0)0(=y 的特解为y =____________. 2.微分方程09)4(=''+y y 的通解为y =________________.

3.1||||==b a , a 与b 夹角等于3

π, 则|32|b a

-=_____________.

4.过直线???=-=+21

:z y y x L 且平行于}4,1,2{--=l 的平面方程是____________

5.设),4()(2)4(t e t f t F -+=, 其中1),(C y x f ∈且有a f =-)1,2(及b f =-')1,2(1, c f =-')1,2(2, 则)0(F '=______________

6.设函数),(y x z z =由方程xz xy e z y x -=-+32确定, 则)0,0(dz =_____________.

7.σd y x y x y x ??≤++++1

222222

2

)(1)(=______________.

8.广义积分dx x x ?

+∞

+1

)

1(1

=_______________.

9.极坐标系下心脏线)cos 1(2?ρ+=所围成区域D 的面积为

A =_______________.

二. 选择题(每小题4分, 共32分)

1.椭圆122≤+y x 绕x 轴和y 轴旋转所得的体积分别是上x V 和y V , 则 ( ) (A)y x V V 49=; (B)y x V V 32=; (C)y x V V 94=; (D)y x V V 23=.

2.函数Cx y =是微分方程032=+'-''y y x y x 的 ( ) (A)通解; (B)特解; (C)是解, 但既不是通解, 也不是特解; (D)以上都不对.

3.若a 与b 不平行, 且μλ≠, 则b a

λ+与b a μ+ ( ) (A)必不平行; (B)模不相等; (C)必不垂直(正交); (D)不排除有平行的可能性;

4.“函数),(y x f 在),(00y x 点两个一阶偏导数都存在”是“函数),(y x f 在),(00y x 点 可微”的 ( ) (A)充分条件, 但不是必要条件; (B)必要条件, 但不是充分条件;

(C)必要条件; (D)既不是充分条件, 也不是必要条件. 5.设

2

C

f ∈, ),,2(xz z y y x f u -+=, 则

y

x u ???2=

( )

(A)1311

22f z f ''+''; (B)23131122f z f z f ''+''+''; (C)23131211

22f z f z f f ''+''+''+''; (D)23131211222f z f z f f ''+''+''+'' 6.C

f ∈, 则

?

?

?

?

π

ρρρρ?ρ?cos 2sec 4

)sin ,cos (d f d =

( )

(A)?

?--1

111

2

),(y dx y x f dy ; (B)?

?-2

212

1),(x x dy y x f dx ; (C)?

?-2

20

2

),(x x dy y x f dx ; (D)?

?-+2

111

10

),(y dx y x f dy .

7.下列极限中等于0的是 ( ) (A)dx e n n

n x

n ?

+∞→1

2

lim ; (B)dx e n n

n x

n ?

+∞

→12

lim ; (C)dx e n n

n x

n ?

+∞

→12

lim ;

(D)dx e n n

n x

n ?+∞→1

222

lim .

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案

高等数学（B2）期末模拟试卷（一） 一、选择题（本大题共 小题，每题 ，共 ） ? ) 1ln(41222 2 -++--= y x y x z ，其定义域为 ?????????????????????????????????（?） ? { } 41),(2 2<+

???????????????????（?） ? 5- ? 1- ? 1 ? 5 ? 设05432:=+++∏z y x ，4 1 321:-= =-z y x L ，则∏与直L 的关系为 ??（ ?） ? L 与∏垂直 ? L 与∏斜交 ? L 与∏平行 ? L 落于∏内 ? 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{} 40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D )(2 2y x f +为 D 上的连续函数，则 σ d y x f D )(22?? +可化为 ?????????????????????????????????????????????? ????（ ） ? σd y x f D )(1 22?? + ? σd y x f D )(21 22??+ σd y x f D )( 4 1 22??+ ? σd y x f D )(81 22??+ ? 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解 ?????????????????????????????????????????????（ ?） ? x e cx y += ? x e c y x c +=+21 x c e c y x 21+= ? )(21x e x c c y += ? 下 列 哪 个 级 数 收 敛 ?????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????（ ） ? ∑∞ =-1 ) 1(n n ? ∑ ∞ =+1 1001 n n ? ∑∞ =+1100n n n ? ∑∞ =1100100 n n ? 若 ??=D d 4 σ，其中 ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数

高数 下 期末考试试卷及答案

2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数 21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数 21 n n a ∞ =∑发散，则级数 1 n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=? 与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

2.《高等数学》(二)期末模拟试题(含标准答案)

【注】 高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二) 地点:主教楼１6０1教室 以下题目供同学们复习参考用！！！! 《高等数学》(二）期末模拟试题 一、填空题：(15分） 1．设,y x z =则=??x z .1-y yx 2. 积分=??D xydxdy ．其中Ｄ为40,20≤≤≤≤y x 。 16 3． L 为2x y =点(０,0)到(１,1)的一段弧，则=? ds y L .121 55- 4. 级数∑∞ =-1)1(n p n n 当p 满足 时条件收敛.10≤

（C)?? ?+----2 22 2 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ; (D ）??? 1 1 0 2 0 dz rdr d π θ。 5.方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为 。B （A ）x e b ax )(+ （B)x cxe b ax ++ (C ）x ce b ax ++ (D ）x xe b ax )(+ 三、),(2 2 x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数,求22x z ??.(８分) 解：)2(x f x z -?'=?? )2()2(222-?'+-?''=??f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2 xy y x f z ?-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x y z ???2． x f f y z ?'?'+-?'=???21)1( ]2[1211 2y f x f x y z ?'?''+?''-=????x y f x f ?'??'?''+?''+??]2[2221??' ?'+??''?'+22f x y f 11 22)(f x xy f ''-''+'?'=??222122)2(f xy f y x ''?'+''?'-+?? 四、计算?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (,L 为由点A （1,０）到B(0,1），再到 C(-1,0)的有向折线。（8分） 解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P x x y e x Q y e y P x x cos ,2cos =??-=?? .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式 ?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (???-+--??-??=CA x x D dy y e dx y y e dxdy y P x Q )2cos ()2sin ()( 02-=??dxdy D =2 五、计算 ?? ∑ ++dxdy zx dzdx yz dydz xy 2 22,其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +≥的公共部分的外表面。(８分） 解：,围成的空间区域为由设∑Ω

大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳[1]河南理工大学

河北科技大学 高等数学（下）考试试题3 一、 填空题(每题4分,共16分) 1.(4分) 级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件是 . 2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)y dy f x y dx ??= . 3. (4分) 微分方程2442x y y y xe '''-+=的一个特解形式可以设为 . 4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= . 二、 选择题(每题4分,共16分) 1. (4分) 已知曲面22 4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面 2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ). A. (1,-1,2); B. (-1,1,2); C. (1,1,2); D. (-1,-1,2). 2. (4分) 级数1 312 1(1) n n n ∞ -=-∑为（ ）. A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定. 3. (4分) 若∑是锥面222 x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分2 2 ()x y dS ∑ +=??( ). A. 1200d r rdr πθ???; B. 21 2 00d r rdr πθ???; C. 1200 d r rdr π θ??; D. 21200 d r rdr π θ??. 4. (4分) 幂级数1(1)n n n n ∞ -=-∑的收敛半径为( ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1 .3 R = 三、 解答题(每题7分,共63分)

1．(7分) 设sin(),xy z x y e =++求dz . 2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω =???其中Ω为三个坐标面及平面 21x y z ++=所围成的闭区域. 3． (7分) 求(1)I y z dS ∑ =++??,其中∑是平面5y z +=被圆柱面 2225x y +=截出的有限部分. 4． (7分) 求幂级数1 (1)(1)n n n x n ∞ =--∑的收敛域. 5． (7分) 将2 1 ()2f x x x = --展开为麦克劳林级数. 6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)x x L I e y y dx e y dy =-+-?,其中L 为 22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周. 7． (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解. 8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =+++++?? , 其中∑为曲面222 4x y z ++=的内侧. 9．(7分) 计算曲线积分()L I x y ds =+?,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1) A B 为顶点的三角形折线. 四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分 222222 ()()t t C x x y x x y I dx dy y y ++=-?与路径无关，其中C 是该区域上一条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值

C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。

四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则

大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

关于大学高等数学期末考试试题与答案

关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020

（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、

5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x

大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)

大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在

二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。

高数下期末复习题(解答题)

1.求曲面6322 2 2 =++z y x 在点 ()1,1,1P 处的切平面方程和法线方程. 2.设z=z(x,y)由方程y z z x ln =所确 定，求y z x z ????, 3.设 g ,f y x g )xy (f z 其中 ??? ? ??++=为可微函数，求 y x z ????z ， 4. 设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足 2222 1f f u v ??+=??，又 )](2 1,[),(2 2y x xy f y x g -=,求.22 22y g x g ??+?? 5.将正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大. 6.设长方体内接于半径为R 的半球,问长

方体各边为多少时,其体积为最大. 7.求椭球面 142222=++z y x 与平面07=-++z y x 之间的最短距离. 8.设),(y x z z =是由0),(=++nz y mz x F 确定的函数，其中F 是可微函数,m 、n 是常数,求y z n x z m ??+?? 9.计算二重积分?? +D dxdy y x 22 ， 其中 D 是由圆周 y y x 22 2 =+所围成的闭区域. 10.设函数)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程，dxdy y x f e t f t y x t )2 1()(2 222 422 4?? ≤+++ =π求)(t f . 11.求三重积分??? Ω zdxdydz ，其中Ω为 球面42 22 =++z y x 与抛物面 z y x 32 2 =+所围成的闭区域

12.求由曲面2 2 5y x z --=与 物面z y x 42 2 =+所围成的立体 体积。 13.计算 ?-+++-=L dy x y dx y x I )635()42(，其中L 为三顶点分别为(0, 0)、(3, 0)和 （3， 2）的三角形正向边界. 14.计算? L xds ,其中曲线L 为直线y=x 及 抛物线2 x y =所围成的区域的边界 15.计算曲线积分 ?-+++- L dy x y dx y x )635()42(其中L 为从点(0,0)到点(3,2)再到点(4,0)的折线段. 16.问当 a 取何值时,曲线积分 ? --+-) 2,1() 0,1(2232dy )y x 2xy (a dx )y xy 6(与路径无 关,并计算此曲线积分的值. 17.设函数)(x f 在),(∞+∞-内具有一阶连续

大一上学期高数期末考试题0001

大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。).

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABI

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答 案） 一、解答题 1．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为R == 设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解： πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x =+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -??????==+=-+?????? ?? 以π,1x y ==代入上式得π1c =-， 故所求特解为 1(π1cos )y x x =--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x ='+-== . 解：2 2323d 3ln x x x x c x --=--+? 2 2 223323d 23 +3ln d 3ln e e e d e d x x x x x x x x x x y x c x c -------??????∴==++???????? 2223311e .e e 22x x x x x c c ----????=?=++ ? ????? 以x =1,y =0代入上式，得12e c =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -??=- ??? . 3．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功． 解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =??=?，t ：0→π2

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .