数学中考压轴题大全(含答案、详细解析版)

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（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p(100－x)，请说明：当p ＝1

2

时，这种变换满足上

述两个要求；

（2）若按关系式y=a(x －h)2

＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

【解】（1）当P=

12时，y=x ＋()11002x -,即y=1

502

x +。 ∴y 随着x 的增大而增大，即P=

1

2

时，满足条件（Ⅱ）……3分 又当x=20时，y=

1

100502

?+=100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=1

2

时，这种变换满足要求；……6分

（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=()2

20a x k -+,……8分

∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 ① 令x=100,y=100，得a ×802

＋k=100 ②

由①②解得1160

60a k ?=?

??=?

， ∴()212060160y x =-+。………14分 2、（常州）已知(1)A m -，

与(2B m +，是反比例函数

k

y x

=

图象上的两个点． （1）求k 的值；

（2）若点(10)C -，，则在反比例函数k

y x

=

图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，

求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由(1)2(33)m m -=

+，得m

=-k = ······ 2分

（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则

3CE =，

BE =BC =30BCE =∠．

由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ， 故不符题意． ······························ 3分 当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．

由于30DAF =∠，设11(0)DF m m

=>，则1AF =，12AD m

=，

由点(1A -

-，

，得点11(1)D m --

，．

因此11(1)(23)m --+=

解之得1m =

10m =舍去）

，因此点6D ? ??

．

5分

如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足， 则60DCH =∠，设22(0)CH m m =>，则2DH =，22CD m = 由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此22(1)

3m m -+=．

解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形． ········· 7分 如图3，当过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时，

同理可得，点(2D -，，四边形ABCD 是梯形． ·············· 9分

综上所述，函数y x

=

图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐图1

图2

标为：6D ? ??

或(1D

或(2D --，． ··············· 10分

3、（福建龙岩）如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴55

22

a x a -=-=………2分

（2）(30)A -，

(54)B ， (04)C ，…………5分 把点A 坐标代入2

54y ax ax =-+中，解得1

6

a =-

………6分 215

466

y x x ∴=-++…………………………………………7分

图3

（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ． 过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =，

5.5AN =，5

2

BM =

① ········································································································ 以AB 为腰且顶角为角

A 的PA

B △有1个：1P AB △．

222228480AB AQ BQ ∴=+=+= ················· 8分

在1Rt ANP △

中，1

2

PN ====

1522P ??∴- ? ??

?， ························· 9分 ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．

在2Rt BMP △

中，2MP ====10分

252P ?∴ ??

······················· 11分

③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．

画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．

过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3

Rt Rt PCK BAQ △∽△． 312

P K BQ CK AQ ∴

==．

3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK = ··············· 13分 3(2.51)P ∴-， ·························· 14分

注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分． 4、（福州）如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)k

y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）若双曲线(0)k

y k x

=

>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x

=>于P Q ，两

点（P 点在第

一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点

P 的坐标．

解：(1)∵点A 横坐标为4 , ∴当 x = 4时，y = 2 .

∴ 点A 的坐标为（ 4，2 ）.

∵ 点A 是直线 与双曲线 （k>0）的交点 , ∴ k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一：如图12-1，

∵ 点C 在双曲线上，当y = 8时，x = 1

∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON . S 矩形ONDM = 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 . S △AOC = S 矩形ONDM - S △ONC - S △CDA - S △OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二：如图12-2，

过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ，

图12

x y 21x

y 8

=

∵ 点C 在双曲线8

y x

=

上，当y = 8时，x = 1 . ∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ). ∵ 点C 、A 都在双曲线8

y x

=

上 , ∴ S △COE = S △AOF = 4 。 ∴ S △COE + S 梯形CEFA = S △COA + S △AOF . ∴ S △COA = S 梯形CEFA . ∵ S 梯形CEFA = 1

2

×（2+8）×3 = 15 ,

∴ S △COA = 15 .

（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形 , ∴ OP=OQ ，OA=OB .

∴ 四边形APBQ 是平行四边形 .

∴ S △POA = S 平行四边形APBQ =

×24 = 6 . 设点P 的横坐标为m （m > 0且4m ≠）,

得P ( m , ) .

过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点P 、A 在双曲线上，∴S △POE = S △AOF = 4 . 若0＜m ＜4，如图12-3， ∵ S △POE + S 梯形PEFA = S △POA + S △AOF , ∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 .

4

1

41

m

8

∴

18

(2)(4)62m m

+?-=. 解得m = 2，m = - 8(舍去) .

∴ P （2，4）. 若 m ＞ 4，如图12-4， ∵ S △AOF + S 梯形AFEP = S △AOP + S △POE , ∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 . ∴

18

(2)(4)62m m

+?-=， 解得m = 8，m = - 2 (舍去) . ∴ P （8，1）.

∴ 点P 的坐标是P （2，4）或P （8，1）.

5、（甘肃陇南）如图，抛物线2

12

y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A 的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．

(1)求m 、n 的值； (2）求直线PC 的解析式；

(3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线

PC 的位置关系，并说明理由．(

参考数： 1.41≈

， 1.73≈

2.24≈)

解： (1)由已知条件可知： 抛物线2

12

y x mx n =

++经过A (-3，0)、B (1，0)两点． ∴ 903,210.2

m n m n ?=-+????=++?? ……………………………………2分

解得 3

1,2

m n ==-． ………………………3分

(2) ∵21322y x x =

+-， ∴ P (-1，-2)，C 3

(0,)2

-． …………………4分 设直线PC 的解析式是y kx b =+，则2,

3.2

k b b -=-+???=-?? 解得13

,22k b ==-．

∴ 直线PC 的解析式是13

22y x =

-． …………………………6分 说明：只要求对1

32

2

k b ==-，，不写最后一步，不扣分． (3) 如图，过点A 作AE ⊥PC ，垂足为E ．

设直线PC 与x 轴交于点D ，则点D 的坐标为(3，0)． ………………………7分 在Rt△O CD 中，∵ O C =32

，3OD =，

∴ CD =． …………8分 ∵ O A =3，3OD =，∴AD =6． …………9分 ∵ ∠C O D =∠AED =90o

，∠CD O 公用，

∴ △C O D ∽△AED ． ……………10分

∴ OC CD AE AD =， 即3226AE =

∴ AE =． …………………11分

2.688 2.5>，

∴ 以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 相离． …………12分

6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）．（3分）

（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）

（3）当

O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）

解：（1）连接BC ，由勾股定理求得：

AB AC ==················ 1分

2

1

3602

n R S π=

=π ················ 2分 （2）连接AO 并延长，与弧BC 和O 交于E F ，，

2EF AF AE =-=························ 1分

弧BC

的长：1802

n R l π=

=π ······················ 2分 222

r π=

π ∴圆锥的底面直径为：22

r =

····················· 3分

22-<

，∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． ·· 4分

（3）由勾股定理求得：AB AC ==

弧BC 的长：1802

n R l R π=

=π ····················· 1分 2

22

r R π=

π ∴圆锥的底面直径为：22

r R =

···················· 2分

2(2EF AF AE R R =-==-

222

-<

且0R >

B

(2R R

∴<··························3分

即无论半径R为何值，2

EF r

<·····················4分∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

7、（河南）如图，对称轴为直线x＝

2

7

的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；

若不存在，请说明理由．

8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B

的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设(08)

t t

<≤秒后，直线PQ交OB于点D.

（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（3

）当3,

a OD

==t的值及此时直线PQ的解析式；

（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB

?相似？当a为何值

时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB

?不相似？请给出你的结论，并加以证明.

9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．

(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．

解：(1)由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF

重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°．又∠APB ＋

∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ．

∴Rt △POE ∽Rt △BPA ．…………………………………………………………2分

∴

PO BA OE AP =

．即34x y x =-．∴y =2114

(4)333

x x x x -=-+(0＜x ＜4)． 且当x =2时，y 有最大值1

3

．…………………………………………………4分

(2)由已知，△PAB 、△POE 均为等腰三角形，可得P (1，0)，E (0，1)，B (4，3)．……6分

设过此三点的抛物线为y =ax 2

＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =??++=??++=?∴1,23,21.

a b c ?=??

?=-??

=???

y =213

122

x x -+．…………………………………………………………8分 (3)由(2)知∠EPB =90°，即点Q 与点B 重合时满足条件．……………………9分 直线PB 为y =x －1，与y 轴交于点(0，－1)． 将PB 向上平移2个单位则过点E (0，1)，

∴该直线为y =x ＋1．……………………………………………………………10分

由21,

13

1,22y x y x x =+??

?=-+??

得5,6.x y =??=?∴Q(5，6)．

故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12分

（2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA

于点E ．

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为

6

5

，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

26．解：（1）由已知，得(30)C ，

，(22)D ，， 90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠°，

1

tan 2tan 212

AE AD ADE BCD ∴=∠=?∠=?=．

∴(01)E ，． ··························································································································· （1分）

设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2

(0)y ax bx c a =++≠． 将点E 的坐标代入，得1c =．

将1c =和点D C 、的坐标分别代入，得

42129310.

a b a b ++=??

++=?，

······································································································

··········· （2分） 26题

x

解这个方程组，得56136a b ?=-???

?=??

故抛物线的解析式为2513

166

y x x =-

++． ·

·································································· （3分） （2）2EF GO =成立． ····································································································· （4分） 点M 在该抛物线上，且它的横坐标为

6

5

， ∴点M 的纵坐标为

12

5

． ··································································································· （5分） 设DM 的解析式为1(0)y kx b k =+≠， 将点D M 、的坐标分别代入，得

1122612

.5

5k b k b +=???+=??， 解得1123k b ?=-?

??=?，． ∴DM 的解析式为1

32

y x =-+． ·················································································· （6分）

∴(03)F ，，2EF =． ········································································································ （7分）

过点D 作DK OC ⊥于点K ， 则DA DK =．

90ADK FDG ∠=∠=°， FDA GDK ∴∠=∠．

又90FAD GKD ∠=∠=°， DAF DKG ∴△≌△． 1KG AF ∴==．

1GO ∴=． ·

························································································································· （8分） 2EF GO ∴=． （3）

点P 在AB 上，(1

0)G ，，(30)C ，，则设(12)P ，． ∴222(1)2PG t =-+，222(3)2PC t =-+，2GC =．

①若PG PC =，则2

2

2

2

(1)2(3)2t t -+=-+，

解得2t =．∴(22)P ，

，此时点Q 与点P 重合． ∴(22)Q ，． ·························································································································· （9分）

②若PG GC =，则2

2

(1)22t 2

-+=，

x

解得 1t =，(12)P ∴，，此时GP x ⊥轴．

GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，

∴点Q 的纵坐标为

7

3

． ∴713Q ?? ???

，． ····················································································································· （10分）

③若PC GC =，则2

2

2

(3)22t -+=，

解得3t =，(32)P ∴，，此时2PC GC ==，PCG △是等腰直角三角形． 过点Q 作QH x ⊥轴于点H ， 则QH GH =，设QH h =，

(1)Q h h ∴+，．

2513

(1)(1)166

h h h ∴-++++=．

解得127

25

h h ==-，（舍去）．

12755Q ??∴ ???

，． ················································· （12分）

综上所述，存在三个满足条件的点Q ，

即(22)Q ，

或713Q ??

???，或12755Q ??

???

，．

（2009年重庆綦江县）26．（11

分）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连

接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ

*26．解：（1）抛物线2

(1)0)

y a x a

=-+≠经过点(

20)

A-，，

09

3

a a

∴=+=-·······································································································1分

∴二次函数的解析式为：2

333

y x x

=-++ ·························································3分（2）D为抛物线的顶点(1

D

∴过D作DN OB

⊥于N，则DN=

3660

AN AD DAO

=∴==∴∠=

，°···························································4分OM AD

∥

①当AD OP

=时，四边形DAOP是平行四边形

66(s)

OP t

∴=∴=······················································· 5分

②当DP OM

⊥时，四边形DAOP是直角梯形

过O作OH AD

⊥于H，2

AO=，则1

AH=

（如果没求出60

DAO

∠=°可由Rt Rt

OHA DNA

△∽△求AH

55(s)

OP DH t

∴===··········································································································6分③当PD OA

=时，四边形DAOP是等腰梯形

26244(s)

OP AD AH t

∴=-=-=∴=

综上所述：当6

t=、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．··7分（3）由（2）及已知，60

COB OC OB OCB

∠==

°，，△是等边三角形

则6262(03)

OB OC AD OP t BQ t OQ t t

=====∴=-<<

，，，

过P作PE OQ

⊥于E，则PE= ···················································································8分

11

6(62)

22

BCPQ

S t

∴=???-

2

32t ?-???··············································································································· 9分 当32t =

时，BCPQ S

············································································ 10分 ∴

此时33

39

3324

44

OQ OP OE QE PE ==

∴=-

==

，=，

2PQ ∴===······························································ 11分

（2009年河北省）26．（本小题满分12分）

如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与

t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成

为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．

26．解：（1）1，8

5

；

（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC

，4BC =， 得

45QF t =．∴4

5

QF t =． ∴14(3)25S t t =-?，

即22655

S t t =-+．

（3）能．

①当DE ∥QB 时，如图4．

∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°．

由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP

AC AB =

， 即335t t -=． 解得98

t =．

图4

P

图3

F

②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得

AQ AP

AB AC

=

， 即353t t -=． 解得158

t =．

（4）52t =

或45

14

t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．

方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6． PC t =，222QC QG CG =+2234

[(5)][4(5)]55

t t =-+--．

由22PC QC =，得22234

[(5)][4(5)]55

t t t =-+--，解得52t =．

方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得

B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==．∴5

2

t =．

②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．

22234

(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】

（2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，

0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2

+bx 过A 、C 两点.

(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?

②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.

解.(1)点A 的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx

8=16a +4b

得

0=64a +8b

解 得a =-1

2

,b =4 ∴抛物线的解析式为：y =-12

x 2

+4x …………………3分

图5

（2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE =PE AP =BC AB ,即PE AP =4

8

∴PE =

12AP =1

2

t ．PB=8-t ． ∴点Ｅ的坐标为（4+1

2t ，8-t ）.

∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2

+4(4+12t ）=-18

t 2+8. …………………5分

∴EG=-18t 2

+8-(8-t )

=-18t 2

+t .

∵-1

8

＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为2. …………………7分

②共有三个时刻. …………………8分

t 1=

163， t 2=4013，t 3

． …………………11分

(2009年山西省)26．（本题14分）如图，已知直线128

:33

l y x =

+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．

（1）求ABC △的面积；

（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；

（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设

移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关

t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．

26．（1）解：由

28

033

x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，． 由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，

． ∴()8412AB =--=． ······································································· （2分）

（第26题）

由2833216y x y x ?=+???=-+?

，．解得56x y =??

=?，．∴C 点的坐标为()56，． ······························ （3分） ∴11

1263622

ABC C S AB y =

=??=△·．

·················································· （4分） （2）解：∵点D 在1l 上且28

88833

D B D x x y ==∴=?+=，．

∴D 点坐标为()88，． ·

········································································· （5分） 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．

∴E 点坐标为()48，．·········································································· （6分） ∴8448OE EF =-==，． ································································ （7分）

（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，

为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．

∴

BG RG BM CM =，即36

t RG

=，

∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，

∴()()112

36288223

ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-??--?-△△△．

即241644

333

S t t =-++．

························································· （10分） （2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分）

问题解决

如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E

（不与点C ，

D 重合）

，压平后得到折痕MN ．当12

CE CD =时，求AM

BN 的值．

（图3）

（图1）

（图2）

方法指导：

为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2

图（1）

A B

C

D E

F

M

N