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数学史教案(朱家生)000

闽江学院

教案

课程名称:数学史

课程代码:

授课专业班级:10数本(1)(2)(3)(4)授课教师:陈福松

系别:数学系

2012 年9 月1 日

绪论

一、教学时间安排:3学时

二、教学目的、要求:

1.了解数学史研究对象;

2.理解学习数学史的意义。

三、教学的重点和难点:

数学史研究对象和学习数学史的意义的介绍

四、教学方法和教学手段:讲授法、多媒体辅助

五、教学过程设计:导入、新课、小结

六、教学内容:

数学是人类文明的一个重要组成部分。与其他文化一样,数学科学也是几千年来人类智慧的结晶。(数学是人类文明的一个重要组成部分?)(1)从远古时期的结绳记事、屈指记数到借助于现代电子计算机进行计算、证明与科学管理,从利用勾股测量等具体的操作到抽象的公理化体系的产生,……所有这些,都构成了科学史上最富有理性魅力的题材。(1)

随着时代的进步,数学科学的思想、方法与内容已经渗透到人类生活的各个领域,科学技术包括社会科学的数学化已成为一种共识。(数学科学的思想、方法与内容已经渗透到人类生活的各个领域?科学技术包括社会科学的数学化已成为一种共识?)人类的现实生活需要数学、国家的发展、科学技术的进步更离不开数学。(20世纪中叶,美、苏两国在检讨本国科技落后时,寻找到的最终根源都是“数学问题”没处理好)因此,具备一些必需的数学知识和一定的数学思想方法,是现代人才基

(为什么说具备必需的数学知识和一定的数学思想方本素质的非常重要的组成部分。

法,是现代人才基本素质的非常重要的组成部分?)(1)

与其他学科相比,数学是一门积累性很强的学科,他的许多重大理论都是在继

(天文学——地心学说;物理学——燃素说,承和发展原有理论的基础上发展起来的。

等等都被推翻了。)如果我们不去追溯古今数学思想方法的演变与发展,也就不可能真正理解数学的真谛,正确把握数学科学发展的方向。(许多有成就的数学家都关注数学发展史。如我国的华罗庚、苏步青、吴文俊、张奠宙、法国的庞加莱等大数学家都非常关注数学史的发展)。法国著名数学家庞加莱说过:“如果我们要预知数学的未来,最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。”(“如果我们要预知数学的未来,最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。” 谁的名言?)数学史主要研究数学科学发生发展及其规律,简单地说就是研究数学的历史。(数学史主要研究什么?)它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程,而且还探索影响这种过程的各种因素,以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。(1)

数学史的研究对象不仅包括具体的数学内容,而且涉及历史学、哲学、文化学、

(如果人类文明史去掉数学史,宗教等社会科学与人文科学内容,是一门交叉性学科。

那么人类文明史将会变成……?)(1)

研究与学习数学史,可以弄清数学发展过程中的基本史实,再现其本来面貌,

同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价,进而探究数学科学发展的规律与文化本质,帮助我们掌握数学的思想、方法、理论和概念,认识数学科学与人类社会的互动关系以及研究数学思想的传播与交流史,了解数学家的生平等。(为什么要学数学史?)(1)

具体而言,学习数学史至少具有以下一些重要意义:首先,每一门科学都有其发展的历史,作为历史上的科学,既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现

(今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的在科学概念与方法的延续性。

深化和发展,或者是对历史上科学难题的解决,因此,我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。)数学科学具有悠久的历史,与自然科学相比,数学更是积累性科学,其概念和方法更具有延续性。(2)

科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴,预见科学未来,使我们在明确科学研究的方向上少走弯路或错路,为当今科技发展决策的制定提供依据。(2)

我国著名数学史家李文林先生曾经说过:“不了解数学史就不可能全面了解数学科学。”(2)

美国数学史家M.克莱因曾经说过:“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。”“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言,数学更重要的是一门有着丰富内容的知识体系,其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用,同时影响着政治家和神学家的学说”。(2)

例如,古希腊(公元前600年——公元前300年)的数学家们强调严密的推理和由此得出的结论,他们不关心这些成果的实用性,而是要人们去进行抽象的推理,从而激发对理想与美的追求。通过对希腊数学史的考察,就容易理解为什么古希腊会具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学以及理想化的建筑与雕塑了。

再者,当我们学习过数学史后,自然会有这样的感觉:数学的发展并不合乎逻辑。或者说,数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。(3)通过对数学史的学习和研究,既可以使数学类专业的学生在接受数学专业训练的同时,获得人文科学方面的修养;也可使文科或其他专业的学生了解数学概貌,获得数理方面的修养。此外,历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。(3)

思考题:

1、简述数学史研究的对象是什么?

2、简述数学史与数学教育的关系。

3、简述文科与理科学生学习数学史的必要性。

第一章源自河谷的古老文明——数学的萌芽

一、教学时间安排:3学时

二、教学目的、要求:

1、了解数学的起源与世界古老文明产生的关系;

2、探讨古埃及和古巴比伦人古老的数学知识在我们的生活中哪些还具有现实意义。

三、教学的重点和难点:

数学的起源与世界古老文明产生的关系及古埃及和古巴比伦人古老的数学的介绍。

四、教学方法和教学手段:讲授法、多媒体辅助

五、教学过程设计:导入、新授课、小结

六、教学内容。

数学,作为人类文明的重要组成部分,有着非常悠久的历史。

据文字记载,至少在5000年以前,人类就已有了数学活动。

数学是人类文明的一部分,最早出现于尼罗河中下游的古埃及、幼发拉底河与底格里斯河两河流域的古巴比伦、黄河流域的中国和恒河流域的印度。但就国外数学发展的源头而言,客观地讲,一般还应首推古埃及与古巴比伦。(4)

1.1 古埃及的数学

我们知道,非洲的尼罗河是世界上最长的河流之一。早在公元前3000年左右,在这条河的中下游,古埃及人建立起了早期的奴隶制国家,其地理位置与现在的埃及区别不大。打猎、渔业及畜牧业是古埃及人最初的谋生方式。一年一度的尼罗河的洪水给这片谷地带来的肥沃的淤泥,那些以游牧为生的古埃及人便在这里定居下来,由狩猎转向耕种。在发展农业的同时,手工业与贸易也随之迅速发展起来,这些都推动了自然科学各学科知识的积累。(4)

提到古埃及,大家就会自然想到作为世界七大奇迹之一的金字塔。位于开罗附近的吉萨省的胡夫金字塔——法老胡夫的陵墓——是埃及最大的金字塔,大约建于公元前2500年左右。该金字塔呈正四棱锥形,底面正方形面向东西南北四个方向,边长230.5m,塔高146.6m(现高约137m)。近年来,科学家们通过古埃及人在建造神奇的金字塔、狮身人面像以及神庙的同时,也建立了相当发达的数学。

从公元前3000年起,古埃及人就已经有了象形文字。(流传至今的古埃及文献,大部分是以僧侣文(又称祭司文)书写在纸草上保存下来的,人们通常称其为纸草书)。(6)

保存至今有关数学的纸草书主要有两种:一种是陈列于英国伦敦大不列颠博物馆东方展室中的兰德纸草书,这是由英国人兰德1858年搜集到的;另一种收藏于俄国莫斯科美术博物馆,被称为莫斯科纸草书,这是由俄罗斯人郭列尼舍夫于1893

年搜集到的。这两份纸草书都是公元前2000年前后的作品,为古埃及人记录一些数学问题的问题集。人们对古埃及人数学的了解主要来自这些纸草书以及其他保留至今的历史文献。(6)

1.1.1 古埃及的记数制与算术

古埃及人使用的是十进制记数制,并且有数字的专门符号。当在一个数中出现某个数码的若干倍时,就将它的符号重复写若干次,即遵守加法的法则,这说明,古埃及人的记数系统是叠加制而不是位值制。古埃及人已有了分数的概念,但他们仅使用单位分数也就是分子为1的分数,表示整体的若干等份中的一份,只有2/3是一个例外。(6)

古埃及人的乘法运算与除法运算是通过叠加来进行的。(7)

1.1.2 古埃及的代数

古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题,实际上相当于方程问题,他们解决这类问题的方法是试位法。古埃及人还用它来解二次甚至更高次的方程。(7)在古埃及纸草书中还有有关数列问题的记载。(8)

等比数列也已在古埃及纸草书中出现。

1.1.3古埃及的几何学

古埃及的几何学是尼罗河的赠礼。

尼罗河水泛滥后冲刷去了许多边界标记,洪水退后也需要重新勘测土地的界线,这一切,为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。

在两种纸草书的110个问题中,有26个是几何问题,其中大部分是计算土地的面积与谷物的体积,还有许多与金字塔有关。(8)

古埃及人认为圆的面积等于直径的8/9的平方。由此可知,古埃及人把圆周率近似地取为3.16。(8)

著名数学史家贝尔形象地将古埃及的正四棱台的体积公式称为“最伟大的埃及金字塔”。(9)(古埃及人是通过具体问题说明了高为h、底边长为a和b的正四棱台的体积公式是:略

1.2古巴比伦的数学

古巴比伦,又称美索波达米亚(错误),位于亚洲西部的幼发拉底河与底格里斯河两河流域,大体上相当于今天的伊拉克。大约是在公元前3000年左右,古巴比伦人在这里建立了自己的奴隶制国家。(9)

在过去相当长的一段时间内,人们对于古巴比伦数学的认识是通过古希腊文化中的零星资料得到的。(9)

19世纪后期,考古学家开始发掘美索波达米亚遗址,在发掘的过程中,人们发现了数以万计的不同时期的泥板,他们用胶泥制成的,一块完整的泥板与手掌的大小差不多,上面写有符号,这种符号是用断面呈三角形的尖棍刻写的,呈楔形,故人们称之为楔形文字。(10)(人们为什么把古巴比伦的文字称为楔形文字?)

1.2.1古巴比伦的记数制与算术

古巴比伦人很早就有了数的写法,其记数系统是60进制。(10)

古巴比伦人也使用分数,他们总是用60作分母,因此古巴比伦人的分数系统是不成熟的。(10)

与古埃及人相仿,古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的,在已发现的泥版书中,大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表,甚至还有指数表。

倒数表用于把除法转化为乘法进行,指数表和插值法一起用来解决复利问题的。

1.2.2古巴比伦的代数

在公元前2000年前后,古巴比伦数学已出现了用文字叙述的代数问题。(11)古巴比伦人可能已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式,由于他们没有负根的概念,二次方程的负根不予考虑。

他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法。(11)

最令人感兴趣的是哥伦比亚大学普林顿收集馆中收藏的第322号泥板,这是一张勾股数数表(即x+y=z的整数解)表,并且极有可能用到了下列参数式:

x=2uv,y=u-v,z=u+v而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。(1

1.2.3古巴比伦的几何

在古巴比伦人的心目中,几何是不重要的,因为实际中的几何问题都很容易转化为代数问题,他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的。(12)古巴比伦人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领。(12)

古巴比伦人错误地认为,圆台或棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积。这一事实表明,古巴比伦的计算方法还是经验型的,这些结果都没有经过证明。(12)

1.2.4古巴比伦的天文学

在公元前5000年到公元前4000年间,古巴比伦人就已开始使用年、月、日的天文历法,他们的年历是从春分开始的,一年有12月,每月有30天。(12)所谓“星期”也就是指星的日期,我们现在的“星期制”就是在古巴比伦时代所创立的。(12)

从古巴比伦和古埃及的数学,可以看出,它们的内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关。(13)

古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣,因此,相对而言,他们的以60进位记数法为基础的算术与代数较为领先。(13)

古埃及人偏重于测量与建筑施工,因而他们的几何成果比较突出。

以上情况表明,数学从她的萌芽之日起,就是以实际需要为基础的,离开了实际需要,数学研究就缺少了直接动力,数学也就不能迅速发展了。(13)需要指出的是,在古巴比伦或古埃及的数学知识还仅仅表现为对于一些实际问题观察的结果以及某些经验的积累,数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们察觉,更谈不上掌握了。

在古埃及和古巴比伦时代,数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量问题的工具或者方法,其所给出的仅仅是“如何去做”,而基本没有涉及到“为什么这样做”,这标志着他们的数学还远没有进入理性思维的阶段。(13)从这个意义上来说,数学作为一门科学还远远没有建立起来。(13)

思考题:

1、进一步收集阅读相关资料,进行整理研究,初步探讨数学的起源与世界古老

文明产生的关系。

2、进行调查研究,探讨古埃及和巴比伦人哪些古老的数学知识在我们的生活(包括

学习、工作等)中还具有现实意义。

3、在古埃及和古巴比伦人的数学中,大量地使用了归纳的思想。试通过对他们文献资料的研究,阐述他们是如何利用这种思想发现和得到数学结论的,并进一步探讨这种古老的思想方法对于我们今天的数学研究的现实意义。

4、试比较古埃及人和巴比伦人解方程的饭饭,探讨他们各自对后来的数学发展的启

迪作用。

第二章地中海的灿烂阳光——希腊的数学

一、教学时间安排:3学时

二、教学目的、要求:

1、了解古典时期的希腊学派对数学科学的发展的重要贡献;

2、了解第一次数学危机的起因及毕氏学派对危机所采取的态度;

3、了解亚历山大时期的希腊数学;

4、了解欧几里得《几何原本》对数学及整个科学的发展的重大意义。

三、教学的重点和难点:

第一次数学危机的起因与毕氏学派对危机所采取的态度及欧几里得《几何原本》对数学及整个科学的发展的重大意义的介绍。

四、教学方法和教学手段:讲授法、多媒体辅助

五、教学过程设计:导入、新授课、小结

六、教学内容:

从公元前2000年左右到公元前30年,古希腊人(又称海伦人)以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心,在包括北非、西亚和意大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地区建立起了一系列奴隶制国家。(希腊数学是希腊人创造的吗?)特别是在公元前5、6世纪西波战争以后,雅典取得了希腊社会的霸主地位,经济生活高度繁荣,生产力显著提高,在这个基础上产生了在整个世界文明史中都占有十分重要地位的希腊文化,数学也是其中非常重要的一个组成部分。(14)希腊一些城市加强与海外各地的商业联系,为希腊接触并吸收优秀的东方文化提供了方便。(15)

从公元前6世纪起,由于经济和政治的进步,希腊出现了欧洲文化的第一个高峰,希腊数学就是其中的重要成就之一。(15)

数学史上把公元前6世纪至公元前3世纪的希腊数学称为古典时期的希腊数学或前期希腊数学,而把公元前3世纪至公元6世纪称为后期希腊数学,希腊众多的数学学派的工作把数学研究推进到一个崭新的阶段。(15)

2.1希腊数学学派与演绎数学的产生

在公元前6世纪~公元前3世纪期间,先后出现了许多数学学派,(什么时候出现许多数学学派?)他们的工作使得希腊数学得以长足的发展,其中最有影响的有爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辩学派和柏拉图学派。(15)

2.1.1爱奥尼亚学派和演绎证明

以演绎证明为基本特征的数学,最早诞生于古希腊爱奥尼亚地区的海滨城市米利都。(15)(什么城市?什么数学成就?)

享有“希腊科学之父”盛誉的泰勒斯(公元前636——公元前546)在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学派——爱奥尼亚学派。(15)(谁创立?数学什么学派?)

泰勒斯是一个精明的商人,青壮年时代,他依靠自己的聪明才智,在商场上积累了足够的财富,使他的后半生能够从事游历和研究。(15)(可见足够的经济基础,才能让天才更好地发挥其才能。)

关于泰勒斯的生平和学术工作虽然没有确切可靠的材料,但他的成就还是被后

人肯定。(15)(是金子总会发光,)

泰勒斯对数学科学发展的贡献不仅在于他发现一些定理,更重要的是泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理。(16)

从泰勒斯开始,人们已不仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了。

泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学,奠定了演绎数学的基础,这使得他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉。(16)

泰勒斯曾用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离,因此他被西方学者称为“测量学的鼻祖”。(16)(因什么获得测量鼻祖的美誉?)

客观地讲,就数学科学而言,以泰勒斯为首的爱奥尼亚学派并不出色,但他们在哲学特别是自然哲学方面的工作也是无与伦比的,他们肯定在一切表面现象的千变万化之中,有一种始终不变的东西,这一原始物质的内蕴本质是守恒的,而所有的物质形式都可用它来解释,这种理解思维的观念,正是希腊科学精神的精髓之所在。(16)()

2.1.2毕达哥拉斯学派与“万物皆数”

毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天文学家和音乐理论家,出身于爱琴海中的萨摩斯海(今希腊东部小岛),青年时期,他曾经离开家乡,到世界各地游学,游历过埃及和巴比伦,可能还曾向泰勒斯或他的门徒学习过几何、哲学,40岁左右,他定居意大利半岛南部的克罗多内,并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社,这就是著名的毕达哥拉斯学派。(16)在学术方面,这个学派主要致力于哲学和数学的研究。相传希腊文中“哲学”和“数学”这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的。(16)

尽管人们将许多几何学的成就归功于毕达哥拉斯学派,但这个学派的基本信条却是“万物皆数”。(16)

在毕达哥拉斯学派看来,万物的本质就是数,这个学派一个重要成员就曾经说过:“人们所知道的一切事物都包含数,因此,没有数既不可能来表达也不可能来理解任何事物。”他们认为:数是由单子或1生成的,因此将1命名为“原因数”,(数是由什么生成的?“1”被命名为什么数?)(16)

每一个数都被赋予了特定的属性,而一切数中最神圣的是10,他们信奉和崇拜10,认为它是完美、和谐的标志。(他们认为什么数是完美、和谐的标志?)(16)这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用,这也是数学化思想的最初表达形式。(17)(什么思想的最初表达形式?)

(他们定义了许毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的分类研究。

多概念)(17)

毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现,都是借助图形的直观分析而得到的。(17)

他们常把数以点的形式排成各种图形。(见教材17)

毕达哥拉斯学派认为,“美是和谐与比例”,这是他们对科学美所持的基本观点。(18)(他们对科学美所持的基本观点是什么?)

在对各种自然物体的本质讨论中,他们认为,最美的图形在平面上是圆,在空间是球,整个地球、天体和宇宙是一个圆球,宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动。(18)(最美的图形是什么?)

最完美的数是10,因为10=1+2+3+4,并将1,2,3,4称为四象。

他们认为音乐的基本原则是数量原则,音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调,按照一定数量比例组成的,他们研究了一些美的比和比例关系;(18)(音乐的基本原则是什么?)

毕达哥拉斯不仅把“美是和谐与比例”的科学美学思想用于音乐和天文学,还十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学、医学等领域。(18)(美只用于音乐和雕刻?)

西方学者认为,有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的。(据传,毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现,特地宰了一百头牛来祭神,感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青,因此有人诙谐地将这个定理称为“百牛定理”,但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明这一定理的直接证明。)(18)(什么是“百牛定理”?)

按照“万物皆数”的观点,毕达哥拉斯学派相信:任何量都可以表示成两个整数之比(即某个有理量)。(18)这在几何上相当于对于任何两条给定的线段,总能找到第三条线段作为单位线段,将所给定的两条线段划分为整数段。他们称这样的两条线段为“可公度量”,既有公共的度量单位。(19)(什么是可公度量?)据亚里士多德的著作记载,毕达哥拉斯学派曾经发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段,其证明与我们现在的中学数学教科书中证明……是无理数的方

(19)法相同。相传该学派的成员希帕索斯还因为研究这一问题被抛入大海处以极刑。(数学的研究不是一帆风顺的)

由于不可公度量的发现,毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条受到了冲击,这在数学史上称为“第一次数学危机”。(第一次数学危机发生的原因是什么?)希腊人对第一次数学危机的态度不是积极地去解决,而是想方设法去回避它,这就使得从毕达哥拉斯学派开始的对数的研究专项对型的探讨,虽然这种转向最终导致了几何学的迅速发展,但在客观上使得希腊数学在代数方面的发展与其几何学的成就是很不对称的。(态度怎样?什么原因使其研究转向?)(19)

2.1.3芝诺悖论与巧辩学派

巧辩学派又称诡辩学派

毕达哥拉斯学派发现的不可公度量向希腊数学提出了一个难题,这就是如何处理离散与连续、有限与无限的关系。(提出一个什么难题?)(19)

大多数希腊数学家回避这个问题,转而去研究几何量之间的关系去了。(19)来自卢卡尼亚的一位哲学家芝诺,针对当时对无限、运动和连续等人们认识模糊不清的概念,提出了45个违背常理的悖论,把这些矛盾暴露出来,在希腊数学界引起了巨大的震动。(针对什么问题?提出几个悖论?)(19)

芝诺关于运动的三个悖论是:(1)二分说:物体运动是不存在的;(2)阿基里斯追龟说:阿基里斯是古希腊神话中的“神行太保”,却永远追不上乌龟;(3)飞箭静止说:飞箭在飞行中的某一瞬间总是停留在某一确定的位置上,他此时是不动的,因此说飞箭实际上是静止的。(19)

芝诺的悖论在当时是十分困难的,因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念。更重要的是,人们明知它的悖论是不符合常理的,却又不能驳倒他,这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。

毫无疑问,这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。(19)(芝诺的悖论在当时为什么困难?“自圆其说”与“公理化思想方法产生”的关系?)

巧辩学派创立、活动于雅典。这个学派中聚集了各方面的学者大师,如文法、修辞、辩证法、人文,以及几何、天文和哲学方面的学者。(20)

巧辩学派研究的主要目标之一是用数学来讨论宇宙的运转。(20)

巧辩学派的名字与著名的尺规作图不能问题紧密地联系在一起的。(20)(什么学派的名字与著名的尺规作图不能问题紧密地联系在一起的?)

巧辩学派在芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋的时候,提出了三大著名作图问题,又让古希腊人陷入了困惑。(20)(感谢对手!)

所谓三大尺规作图不能问题是指,只允许用圆规和直尺作一正方形,使其与给定的圆面积相等;给定立方体的一边,求作另一立方体之边,是后者体积两倍于前者体积;三等分任一已知角。(20)(三大尺规作图不能问题是指什么?)围绕三大作图不能问题,希腊数学家们表现出了杰出的数学思想和方法。许多数学成果都是研究这三个问题的副产品。(20)(研究不但要重视结果,更要重视研究的过程,及过程中产生的副产品。)(故事:煮石头、煮铁钉)

巧辩学派及其他希腊学者,所以要把作图工具只限于直尺和圆规,反映了他们对数学的这样一个认识:即他们强调在研究一个概念之前必须证明它的存在性,只有从真理出发,依靠演绎推理才能获得真理。在他们看来,直线和圆客观上是存在的,所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾,这样的思想促进了希腊数学的严密化。(21)(希腊学者为什么要把作图工具只限于直尺和圆规?)

2000多年来,三大作图(不能)问题的研究,花费了人们的大量心血。(人们对此研究了多少年?)直至1831年,法国数学家万采尔首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决,接着德国数学家林德曼于1882年又证明了π的超越性,因而否定了用尺规化圆为方的可能性,到此,三大尺规作图(不能)问题才彻底得以解决。(什么时间?什么人?解决了什么问题?2000多年来的研究过程的意义?)(21)

2.1.4柏拉图学派

(继巧辩学派之后领导希腊继巧辩学派之后领导希腊数学活动的是柏拉图学派。

数学活动的是什么学派?)(21)

柏拉图是古希腊哲学家和教育家,出生于雅典的贵族家庭。(柏拉图出生于何地?)(21)

公元前407年,柏拉图20岁时曾拜年逾六旬的苏格拉底为师,他是苏格拉底最杰出的学生,深受苏格拉底逻辑思想的影响。(柏拉图几岁拜谁为师?受谁的逻辑思想的影响?)(21)

公元前399年,在苏格拉底被雅典重建的民主政权处死后,柏拉图被迫开始了为期12年的游历生涯,他先后去了麦加拉、埃及等地,后回到了雅典。(21)(柏拉图12年的游历生涯为何称为被迫?游历了哪些地方?)

公元前387年,柏拉图在雅典创建了欧洲历史上第一所综合性的、传授知识、培养上层统治者的学校,学校兼收女生,并实行分层次教育。(在什么时间?什么地点?创建什么性质的学校?是否招收女生?)(21)

柏拉图对于数学科学在培养人的思维能力方面的作用有比较充分的认识。据说在他学校的门口甚至挂上“不懂几何者不得入内”的告示。(柏拉图对于数学科学在培养人的思维能力方面的认识如何?“不懂几何者不得入内”的告示说明了什么?)(21)

柏拉图学派特别强调要用数学来解释宇宙,因而特别重视对立体几何的研究。(柏拉图学派为什么特别重视对立体几何的研究?)(21)

柏拉图学派把德谟克利特的原子论和毕达哥拉斯的数学成就等结合起来,提出

(21)了几何学的原子说。

(柏拉图学派结合什么成果?从而提出了几何学的原子说。)柏拉图学派设想物质世界的本原不是土、气、水和火,而是两种直角三角形,即正方形之半与等腰三角形之半。因为这两种图形是最完美的图形,它们可以无限分下去。因此,神就用它们构成4种正多面体的界面:火微粒是正四面体,圡微粒是立方体,气微粒是正八面体,水微粒是正二十面体;最初一切是混乱的,后来它们才被安排好,从而形成了宇宙。(柏拉图学派设想物质世界的本原是什么?为什么?)(21)

柏拉图在其老师苏格拉底逻辑思想的影响下,明确提出了数学的演绎证明应遵循的逻辑规则。他指出:“首先我假定某个我认为是最有力的假定,然后肯定凡与之相符合的就是真的,无论是关于原因还是别的什么,只要与之不符合的,我就认为它是不真的。”这里柏拉图明确提出,数学证明是以某些自明的假设,即公理作为出发点,然后经过一系列严格的逻辑推理,他称之为“假设法”。(22)显然这正是公理化方法的开端,对于形成欧几里得几何学的公理演绎系统和推进希腊数学的发展具有极为重要的意义。可以说,这是古希腊方法论的最高成就。这也表明至少从柏拉图时代起,数学就已经有了公理化的思想。(柏拉图在谁逻辑思想的影响下,明确提出了数学的演绎证明应遵循的逻辑规则?古希腊方法论的最高成就是什么?我们认为数学公理化的思想至少从柏拉图时代起就已经有了。)(22)柏拉图学派中最杰出的数学家应首推欧多克索斯。有人认为,古希腊数学家中,他的地位仅次于阿基米德。他的数学成果成为欧几里得《几何原本》,特别是第5、6、7卷的主要内容。他对数学的最大贡献是运用公理法建立了比例理论,其中包括相当严密的实数定义,处理了所谓“不可公度量”既无理数问题。(柏拉图学派中最杰出的数学家是谁?欧多克索斯对数学的最大贡献是什么?)(22)

欧多克索斯的学生梅奈赫莫斯是圆锥曲线理论的创始人。并形成了最早的圆锥曲线理论。(最早的圆锥曲线理论是由谁建立的?)(22)

柏拉图学派的亚里士多德对数学的最大贡献是建立了形式逻辑学。亚里士多德把形式逻辑规范化和系统化,使之上升为一门科学。(亚里士多德对数学的最大贡献是是什么?)(22)

2.2希腊数学的黄金时代

(有前人的积奠才有黄金时代的出现)

(早期数学的进程在早期数学的进程在很大程度上取决于人类历史发展的进程。

很大程度上取决于什么的进程?)(23)

亚历山大城是托勒密王国的首都,经历代托勒密国王的经营,成为当时整个地中海地区最大的城市,在这里兴建了藏书达六十万卷的图书馆,国家设立了研究机构,其研究人员由国家供养。优秀数学家云集于此,亚历山大学派由此产生。(关键

词:最大城市、兴建图书馆、六十万卷、国家、研究机构、研究人员、国家供养。)(亚历山大学派如何产生的?)(23)

亚历山大的东征,客观上促进了东西方文化的融合,数学由此产生了新的生长点。(一分为二地看问题。当你遇到困难时,是否也看到了机遇?)(23)亚历山大时期的数学发展有两个方向,其一是沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的方向,继续致力于纯粹数学理论的研究,并使之系统化,其代表人物有欧几里得、阿波罗尼斯;其二是以阿基米德为代表,致力于研究数学与天文、物理、力学、光学等学科的结合,在继承古典时期研究成果的基础上,不断开拓新的领域。(亚历山大时期的数学发展沿那两个方向发展?代表人物是谁?)(23)

阿基米德、欧几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人。他们的工作,使得希腊数学的发展达到了前所未有的最高水平。(那些数学家被称为亚历山大时期的三大数学巨人?黄金时代的代表应有众多杰出的数学家、数学学派的出现。)(23)

2.2.1欧几里得与他的《几何原本》

欧几里得出生于雅典,曾受教于柏拉图学院。雅典衰落后,应托勒密国王的邀请,来亚历山大城主持数学学派的工作。(欧几里得出生于何地?应谁的要求到亚历山大主持数学学派的工作?)(24)

欧几里得是一位温和仁慈的蔼然长者,学生们都很尊敬他。他严谨治学,不图名利,据说当托勒密国王向他询问学习几何知识的捷径时,他答道:“几何无王者之道”。当有一位学生刚学完第一个几何命题便问欧几里得学了几何后将得到什么好处时,欧几里得则幽默地对侍者说:“拿一个便士给这位先生,因为他总要从他学习的东西中获取好处的。”(“几何无王者之道” 是谁的名言?)(24)

欧几里得是一位勤奋的学者,他以满腔热情将以雅典为代表的希腊数学成果,

(将什么为代表的运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。

希腊成果,运用谁曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书?)(24)欧几里得首先收集、整理已有的数学成果,以命题的形式作出表述,完善前人的各种定理并给于重新证明,使其达到无懈可击的地步。然后,他做出了自己的伟大创造:对定义进行筛选,选择出具有重大意义的公理,逻辑地、严密地按演绎方法组织命题及其证明,最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》。它是在公元前300年左右完成的。(欧几里得如何完成《几何原本》的?在整理过程中有那些伟大创造?《几何原本》完成的时间?)(24)

“原本”希腊文的原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。(24)

欧几里得《几何原本》的原稿早已丢失,现在版本是以希腊评注家泰奥恩编写的修订本为依据的。全书分13卷,共有465个命题。(原稿已丢失,现在版本是以谁编写的修订本为依据的?全书分几卷?共有几个命题?)(25)

前六卷相当于平面几何内容,第一卷首先用23个定义给出了点、线、面、圆以及平行线等原始概念,接着提出了5个公设和5个公理。(25)值得指出的是,由于《几何原本》中第5公设所阐述的事实不像其他4个公设那样明显,人们怀疑它可能由前4条公设推出,(既不独立于前4条公设)。因此,在《几何原本》问世以后的2000多年中,许多人都曾试图由其它的公设给出这一公设的证明。

直到19世纪初由于罗巴切夫斯基、高斯、波尔约等人的工作导致了“非欧几何”

的诞生,人们才知道该公设是不能由其它公设推导出来的,从而证明了这5个公设是相互独立的。同时,随着非欧几何的诞生,人们关于几何的认识也从欧几里得的框架中解放出来,使得几何学得到迅速的发展。(25)(第5公设,因何原因引来无数数学家2000多年的不懈研究?可见数学家对问题的态度……。我们从中可得到什么收获?)

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,是约300年来希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶,其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起,在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。他经历多次翻译和修订,自1482年第一个印刷本出版后,至今已有一千多种不同的版本。除了《圣经》之外,没有任何其他著作、其研究、使用和传播之广泛,能够与《几何原本》相比。但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响,却是《圣经》所无法比拟的。(26)(《几何原本》是古希腊数学家谁的一部不朽之作,是约多少年来希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶?自哪年第一个印刷本出版后,至今已有多少种不同的版本?影响可与《圣经》比拟的数学著作是哪一本?)

诚然,正如一些现代数学家所指出的那样,《几何原本》存在着一些结构上的缺陷,但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影响之深远。使得“欧几里得”与“几何学”几乎成了同义词。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神,是人类文化遗产中的瑰宝。(26)(从《几何原本》结构上的缺陷与其历史上的影响,是否看出瑕疵掩盖不了其崇高价值?)

欧几里得还写了许多其他出色的著作,他对天文学和光学都有研究,但在纯数学方面保留下来的仅有两本:(1)《数据》这是在《几何原本》基础上进一步研究几何学的一本问题集,共95个问题;(2)《论图形的分割》,研究将图形分割成比例的问题,共有36个问题。(纯数学方面的著作保留下来的有几本?各有几个问题?)(27)

2.2.2阿基米德的数学成就

古希腊最伟大的数学家非阿基米德莫属。(27)

阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古。他的父亲是天文学家,母亲出生于名门望族,且知书达理。(阿基米德出生于何处?)(27)

青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学,当时亚历山大的学术空气较为自由,学生们可以自由地选择内容听讲并参加讨论和研究。这里的科学研究包括四个方面:文学、数学、天文学和医学,由于希腊天文学实际是一种数理天文学,以天体运动的数学设计为其主要内容,而医学和占星术也含有数学,故

(当时亚历山大的学术空气如何?科学研究包括哪些数学在亚历山大占有主导地位。

方面?数学在亚历山大占有主导地位吗?)(27)

在亚历山大期间,阿基米德系统地阅读了欧几里得的《几何原本》,研究了古希腊时期巧辩学派代表人物的著作及安提丰等人关于三大几何问题讨论的种种方法,特别是安提丰和欧多克索斯的穷竭法对阿基米德影响最为深刻,以至后来发展成为他处理无限问题的基本工具。(在亚历山大期间,阿基米德系统地阅读了谁的数学著作?研究了古希腊时期谁的著作及安提丰等人关于什么问题讨论的种种方法?特别是谁的穷竭法对阿基米德影响最为深刻,以至后来发展成为他处理无限问题的基本

工具?)(27)

阿基米德学成后返回故乡,并终身保持同亚历山大学派的联系,研讨学问,成为亚历山大学派最杰出的代表。他一直住在叙拉古。(阿基米德发明了投石炮、火镜等先进武器,让敌人吃尽苦头。)(27)

公元前212年,罗马人在其统帅马塞路斯的率领下围攻叙拉古,由于叛徒出卖,罗马人趁叙拉古人庆祝女神节的狂欢之夜,攻占了城市,阿基米德死于士兵剑下,临死前还在思考几何问题。(阿基米德临死前还在思考什么问题?)(27)阿基米德的数学著作流传至今,按时间顺序,依次为《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》,这些论著无一不是数学创造的杰出之作,正如英国数学史家希思所指出的,这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑。解题步骤的循循善诱,命题次序的巧妙安排,严格摒弃叙述的枝节及对整体的修饰润色,总之,给人的完美印象是如此之深,使读者油然而生敬畏的感情。”(28)

阿基米德在力学方面的贡献也是相当杰出的。他是古希腊绝无仅有的应用试验进行力学研究的人,因而也是这门学科当之无愧的创始人。(28)

阿基米德应用力学方法进行数学规律探索的倡导者和典范。在他的一篇题为《方法论》的手抄本中,他断言“力学便于我们发现结论,而几何则能帮助我们对结论作出证明”。这一手抄本是海伯格1906年在君士坦丁堡发现的,那是阿基米德给埃拉托塞尼的一封信。(29)

阿基米德用力学方法探索数学结论的基本思想是:为了找出所求图形的面积和体积,可将它分成很多窄的平行条和重心为已知的图形,利用杠杆平衡原理及已知图形的面积、体积,便可探求出未知图形的面积和体积来。(29)

虽然“穷竭法”在欧几里得《几何原本》中已有记载,甚至更早的还可追溯到欧多克索斯,但是任何人都难以否认这样的事实;阿基米德对穷竭法的运用代表了古代用有限方法处理无限问题的最高水平。(32)

将运动观点引入数学,也是阿基米德数学思想的重要组成部分,这集中反映在《论螺线》一书中。阿基米德对螺线的定义,其思想方法在古代数学中是独树一帜的。(32)

阿基米德杰出创造微小三角形的引入,它本质上类同于微积分中的微分三角形,阿基米德的这一例子,是希腊几何中可以找到的孕育微分法的为数不多的最为优秀的杰作之一。(32)

2.2.3阿波罗尼斯与《圆锥曲线》

阿波罗尼斯出身于小亚细亚西北部的城市柏加,青年时代的阿波罗尼斯曾客居亚历山大城,追随欧几里得的学生学习数学。他写过多部数学著作,但以《圆锥曲线》最为成功,是古希腊继《几何原本》之后的又一部力作。(出生于何处?最为成功的数学著作是哪一部?)(33)

阿波罗尼斯的《圆锥曲线》共8卷,有487个命题,现存前7卷,第一卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质。在这一卷中,阿波罗尼斯首创了通过改变截面的角度,从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法,并依据曲线的做法推导出它们的特征关系式,进而导出了圆锥曲线的弦、直径、共轭直径、切线等的定义和性质,甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论。(33)(甚至还得到类似于

在坐标变换下曲线性质的不变性的结论。这个难度较大。)

需要指出的是,阿波罗尼斯的方程是用几何语言叙述的。(共几卷?有几个命题?在研究圆锥曲线首创了什么方法?阿波罗尼斯的方程是用什么语言叙述的?)(33)

2.3希腊数学的衰落

虽然希腊数学自阿波罗尼斯之后开始走下坡路,但在后来的岁月里也还是有一些数学成就值得人们去研究的。(33)

代数的重大进展是产生了代数符号。第一次系统地提出符号的是丢番图。丢番图是希腊化的巴比伦人,其主要著作《算术》,堪称古代数学的典籍,共13卷。(代数符号的产生是代数的重大进展。第一次系统地提出符号的是谁?他的什么著作堪称古代数学的典籍?共几卷?)(33)

丢番图是当时解代数方程的大师,在《算术》中,绝大多数问题是不定方程,考察的范围是1~4次。(丢番图在《算术》中,绝大多数是什么方程?考察的范围是?)(34)

帕普斯在总结希帕恰斯和梅乃劳斯工作的基础上,写成三角学的最早系统论著《数学汇编》。在该书中有著名的托勒密定理:在圆内接四边形中,两对角线之积等于两对对边乘积之和。帕普斯的《数学汇编》被认为是古希腊数学的安魂曲(帕普斯在总结谁的工作的基础上,写成三角学的最早系统论著《数学汇编》?帕普斯的什么数学著作被认为是古希腊数学的安魂曲?)(34)

总之,亚历山大时期大大开拓了希腊数学的领域,正是由于这个时期的成就,希腊数学才能作为一个比较完整的体系载入史册。在这一时期,定量研究有了很大进展,但并没有使偏重几何的方向发生逆转。算术和代数中,演绎式的逻辑结构始终没有建立起来;三角学的研究尚未摆脱天文学。这就决定了对于数的研究仍然是直观的、经验的,其发展是缓慢的,从而使几何的发展步履艰难。(亚历山大时期,定量研究有了很大进展,偏重几何的方向是否发生发生逆转?算术和代数中,演绎式的逻辑结构是否建立建立起来?三角学的研究是否摆脱天文学?对于数的研究仍然是直观的、经验的吗?因什么发展的缓慢,才使几何的发展步履艰难?)(34)整个希腊数学的消亡是由于罗马人的入侵所导致的。(34)(消亡的原因?)公元前146年,罗马人征服了希腊本土。公元前47年,凯撒纵火焚毁停泊在亚利山大港的埃及船队,大火延及该城,并无情地将图书馆两个半世纪以来收集的藏书毁于一炬,罗马统治者推崇的基督教的传播,迅速地以强烈的宗教狂热淹没了丰富的科学想像,使希腊数学蒙受了更大的灾难。查封学园,禁止学习研究数学,使欧洲数学进入了漫长的黑暗时期。(34)

思考题:

1、试从数学科学发展的角度,探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引入数学的理由,

并进一步论述数学与逻辑的关系。

2、古典时期的希腊学派对数学科学的发展最重要的贡献有哪些?并通过对资料的分

析,论述团队协作对数学发展的重要性。

3、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的?他们为什么要对这次数学危机采

取回避的态度?这种态度对数学发展有什么重要的影响?

4、希腊数学学派的数学观各有什么相同与不同的地方,它们对数学以及整个科学的

发展有什么影响?

5、希腊数学的鼎盛时期为什么会出现在亚历山大时期?试论述数学科学发展与社会

发展的关系。

6、欧几里得《几何原本》对数学以及整个科学的发展有什么重要影响?其重要影响

的成就有哪些?

7、阿基米德是如何用力学方法发现和证明球体积计算公式的?是比较他的方法与其

他民族,如中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。

8、圆锥曲线的概念是如何提出的?古希腊的数学家们又是如何得到圆锥曲线的?

9、希腊数学最重要的成就有哪些?他们留给了人哪些问题?这些问题为什么在希腊

人的手里无法解决?

10、收集阅读相关资料,并对其进行整理,论述欧几里得和阿基米德的科学精神和

爱国主义情操。

第三章来自东方的继承者与传播者——印度与阿拉伯的数学

一、教学时间安排:3学时

二、教学目的、要求:

1、了解古印度数学对世界数学发展主要的贡献及数学发展特色;

2、了解古阿拉伯数学对世界数学发展主要的贡献及数学研究的特色;

3、了解古阿拉伯数学家阿尔.花拉子米对代数学发展的贡献。

三、教学的重点和难点:

古印度数学对世界数学发展主要的贡献及数学发展特色、古阿拉伯数学对世界数学发展主要的贡献及数学研究特色的介绍。

四、教学方法和教学手段:讲授法、多媒体辅助

五、教学过程设计:导入、新授课、小结

六、教学内容。

当希腊人在爱琴海岸创造的高度数学文明被来自异族的侵略者毁灭之后,延续了1000多年的古希腊文明虽在数学上留给后人无比丰富的遗产,但同时也留下了许多问题。首先,希腊数学的严格演绎推理的特点在发明创造时却是一个缺陷,因为许多发明创造都是以不慎严谨的猜想推测为出发点的,而正是这一点又为希腊数学所不齿。因此,希腊数学失去了许多发明创造的大好时机。如希腊人的穷竭法关于无限的讨论已相当深入,但是囿于严谨而终与发现微积分的一般方法失之交臂。再者,同样由于严谨性的考虑,代数学相对来说受到了冷遇。由于古希腊数学的巨大影响力,这种情形一直持续了几百年,然而就是在古希腊数学文明衰微、欧洲处于长达1000年的中世纪黑暗时期,“西方不亮东方亮”,在世界的东方,希腊残留的火花得到了保存与传播,这就是印度与阿拉伯的数学.(36)

3.1印度的数学

地处恒河流域的印度与古巴比伦、埃及和中国一样,也是人类文明的发祥地之一。印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的达罗毗荼人的哈拉帕青铜文化。(具体见教材36)(印度文明最早可以上溯到公元前多少年左右居住在印度河流域的达罗毗荼人的哈拉帕青铜文化?)(36)

从5世纪始,印度文明又不断受到其他民族的侵占。(37)大约在5000年前印度人就兴建起了具有相当规模的城市与宫殿,并且有了书写、计算和度量衡的体系。由于印度以农业为经济来源,很早就开始观察星象,编写历书,因而带动了数学研究。另外,印度是一个宗教盛行的国家,释迦牟尼创建的佛教曾流传到中国等地,这一教派的“绳法经”在科学文化方面有较高的水平,也是在数学史上有意义的为数不多的宗教作品之一。(什么时候起印度有了书写、计算和度量衡的体系?什么带动了印度数学研究?佛教的“绳法经”是在数学史上有意义的为数不多的宗教作品之一。)(37)

印度远古时期的文字是书写在棕榈叶和白桦树皮等天然材料上的。由于印度长期多雨,这些材料很快就腐烂了,故这个国家远古时期的文化没有能像古巴比伦、埃及和中国那样保存下来,这就使我们无从了解到这支人类文化的源头那个时代在数学方面究竟做了些什么。(印度远古时期的文字为什么没有保留下来?)(38)

自公元前326年亚历山大大帝征服印度西北部以来,这个民族受到多次的外来侵略,多民族的文化在这里交融,也就孕育了印度数学的繁荣。(什么孕育了古印度数学的繁荣?)(38)

公元3世纪至12世纪是印度数学的繁荣时期,而繁荣的标志表现为出现了一些著名的天文学家兼数学家。他们主要是:阿耶波多、婆罗门笈多、摩诃毗罗和婆什迦罗。(38)

阿耶波多写了一部关于天文学的著作《阿耶波多文集》,其中有一章专讲数学,介绍了比例、开方、二次方程、一次不定方程、算术级数等问题,他得出了圆周率为3.1416的较好的近似值。(阿耶波多的著作《阿耶波多文集》是数学专著吗?他得出的圆周率是多少?都介绍了哪些数学问题?)

婆罗门笈多30岁时写成一部重要著作《婆罗门修正体系》,包括“算术讲义”、“不定方程讲义”等章,其中有算术、勾股定理、面积、体积等内容,并讨论了二次方程,线性方程组及一次和二次不定方程的解法。他还利用内插公式造了一张正弦表,其著作曾译成阿拉伯文,对伊斯兰教国家的数学和天文学都产生过重大影响。(婆罗门笈多几岁时写成一部重要著作《婆罗门修正体系》,包括“算术讲义”、“不定方程讲义”等章,其中有算术、等哪些数学内容?并讨论了哪些方程的解法?)(38)摩诃毗罗著有《数学九章》一书,其内容主要是算术运算、开平方和开立方、二次方程及组合问题,也讲到解二次不定方程等。(摩诃毗罗著有《数学九章》一书,其内容主要是什么问题?也讲到解什么方程等?)(38)

婆什迦罗对天文学和数学都有研究,是古代印度最杰出的数学家。他的数学名著有《丽罗娃提》和《算法本原》。这两部著作除了整理前人的成果之外还论述了有理数的四则运算、线性方程组和不定方程。(《丽罗娃提》和《算法本原》的作者是谁?这两部著作的主要内容是什么?)(38)

12世纪以后,印度数学的发展日趋滞缓,直到19世纪才有新的起色。(12世纪以后,印度数学是如何发展的?)

3.1.1印度的算术

在印度数学中最值得称道的是印度数码和10进位值制记数法。人们所说的“阿拉伯数码”实际上最早是由印度人发明的,这是他们对数学乃至整个人类文化的重要贡献。印度数码的完善是经历了漫长的发展过程的,直到4世纪在巴克沙里手稿中才比较接近于现在的形式。(在印度数学中最值得称道的是什么?“阿拉伯数码”是谁发明的?)(39)

在各类记数制中,零的记号是该进位制是否先进的一个重要标志。摩诃毗罗给出了零的运算法则。(在各类记数制中,什么的记号是该进位制是否先进的一个重要标志?)(39)

印度人很早就引进了负数。婆罗门笈多在628年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则。婆什迦罗在《根的计算》中又进一步讨论了负数。(印度人是否很早就引进了负数?是否有负数四则运算的正确法则?)(39)

印度人较早就有分数的概念,除了在天文学中的分数仍然沿用巴比伦的60进制记号外,他们在其他场合都用整数之比表示分数。他们会对分数进行四则运算,在分数相加减时取分母的乘积为公分母而不求他们的最小公倍数。在著名的巴克沙里手稿中,印度人将分子记在分母之上,无分数线分隔。在带分数的情形,则把整数