历年高考真题考点归纳 2011年 第六章 数列 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和
一、选择题 1．（天津理4）已知
{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为
{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为
A ．-110
B ．-90
C ．90
D ．110
【答案】D 2．（四川理8）数列
{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)
n
n n b a a n N +=-∈．若则
32
b =-，
1012
b =，则
8a =
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
【答案】B
【解析】由已知知128,28,
n n n b n a a n +=--=-由叠加法
21328781()()()642024603
a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=?==
3．（全国大纲理4）设n
S 为等差数列
{}n a 的前n 项和，
若11a =，公差2d
=，224k k S S +-=，
则k =
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
【答案】D
4．（江西理5） 已知数列{n
a }的前n 项和
n
S 满足：n m n m
S S S ++=，且
1
a =1．那么
10
a =
A ．1
B ．9
C ．10
D ．55
【答案】A 二、填空题 5．（湖南理12）设n
S 是等差数列
{}n a ()
n N *∈，的前n 项和，且
141,7
a a ==，
则
9
S = ．
【答案】25
6．（重庆理11）在等差数列{}
n a 中，
3737
a a +=，则
2468a a a a +++=
__________
【答案】74
7．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=1
2，a4=-4，则公比q=______________；12...n a a a +++=
____________。—2
【答案】
2121
-
-n
8．（广东理11）等差数列n
a 前9项的和等于前4项的和．若
141,0
k a a a =+=，则
k=____________． 【答案】10 9．（江苏13）设
7
211a a a ≤≤≤≤ ，其中
7
531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，
6
42,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________
【答案】3
3
三、解答题
10．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列1
}{1=a a n 的首项，前n 项和为
n
S ，已
知对任意整数k ∈M ，当整数)
(2,k n k n k n S S S S k n +=+>-+时都成立
（1）设5
2,2},1{a a M 求==的值； （2）设
}
{},4,3{n a M 求数列=的通项公式
本小题考查数列的通项与前n 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。 解：（1）由题设知，当1112,2()
n n n n S S S S +-≥-=+时，
即
111
()()2n n n n S S S S S +----=，
从而112222,2,2,2(2)2 2.n n n a a a a n a a n n +-===≥=+-=-又故当时
所以
5
a 的值为8。
（2）由题设知，当{3,4},22n k n k n k
k M n k S S S +-∈=>+=+且时,S
11122n k n k
n k
S S S S +++
-++=+且，
两式相减得11111112,n k n k n n k n k n n k
a a a a a a a +++-++++-++-+=-=-即
所以当
6336
8,,,,,n n n n n n a a a a a --++≥时成等差数列，且
6226
,,,n n n n a a a a --++也成等差数
列 从而当8n ≥时，33662.n n n n n a a a a a +-+-=+=+ （*）
且662222,8,2n n n n n n n a a a a n a a a +-+-+-+=+≥=+所以当时，
即
223113
.9,,,,n n n n n n n n a a a a n a a a a +---++-=-≥于是当时成等差数列，
从而
3311
n n n n a a a a +-+-+=+，
故由（*）式知
11112,.
n n n n n n n a a a a a a a +-+-=+-=-即
当9n ≥时，设1.
n n d a a +=-
当28,68m m ≤≤+≥时，从而由（*）式知6122m m m a a a ++=+
故
71132.
m m m a a a +++=+
从而
76113122()()m m m m m m a a a a a a +++++-=-+-，于是
12.
m m a a d d d +-=-=
因此，
1n n a a d
+-=对任意2n ≥都成立，又由22({3,4})
n k n k k k S S S S k +-+-=∈可知
34
()()2,92162n k n n n k k S S S S S d S d S +----===故且，
解得
42173,,.
2
2
2d
a d a d a ===
从而
因此，数列{}
n a 为等差数列，由
11 2.
a d ==知
所以数列
{}
n a 的通项公式为
2 1.
n a n =-
11．（北京理20） 若数列
12,,...,(2)
n n A a a a n =≥满足
111(1,2, (1)
n a a k n +-==-，数列
n
A 为E 数列，
记()
n S A =
12...n
a a a +++．
（Ⅰ）写出一个满足10
s a a ==，且
()
s S A 〉0的E 数列
n
A ；
（Ⅱ）若
112
a =，n=2000，证明：E 数列
n
A 是递增数列的充要条件是
n
a =2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列
n
A ，使得
()
n S A =0？如
果存在，写出一个满足条件的E 数列n
A ；如果不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A5是递增数列， 所以
)
1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .
所以A5是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999. 故
n
n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列.
综上，结论得证。 （Ⅲ）令
.
1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则
因为2111112c c a a c a a ++=++= ……
,
1211+++++=n n c c c a a
所以1
3211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S
)].
1()2)(1()1)(1[(2
)
1(121--++--+----=
n c n c n c n n
因为).
1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以
所以
)
1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数,
所以要使
2
)
1(,0)(-=n n A S n 必须使
为偶数,
即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即. 当
,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n 的项满足数列时1
4=k a
),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a
;
0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时
当n
A E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，
,
1,0243314-===---k k k a a a
当
)
1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除，此时不存在E 数列An ，
使得
.
0)(,01==n A S a
12．（广东理20）
设b>0,数列{}n a 满足a1=b ，
11(2)
22
n n n nba a n a n --=
≥+-．
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n ，11
1.
2
n n n b a ++≤
+
解：
（1）由
1111
1210,0,
.
22
n n n n
n nba n n a b a a n a b
b a ----=>=
>=
+
+-知
令
11,n n
n A A a b =
=
，
当1
122,n n n A A b
b -≥=
+时
211
2
1
1
1222n n n n A b b
b b ----=
+
++
+
212
1
1222
.
n n n n
b
b
b
b
---=
+
+++
①当2b ≠时，
1
2(1)2,
2(2)1n
n n
n n b b b A b b b ??- ?-??
==--
②当
2,.
2n n b A ==
时
(2)
,222,2n n n
n nb b b a b b ?-≠?
=-??=?
（2）当2b ≠时，（欲证
111
1
(2)2
1,(
1)
22
2
2
n
n n n n
n
n n
n
n n nb b b b b a nb b b ++++--=
≤
+≤+--只需证）
1
1
1
1
1
2
1
2(2
)
(2
)(22
)
2
n n
n n n n n n n b b
b
b
b
b ++++----+=++++-
1
1
2
2
2221
1
1
2
22
22
n n n n n
n
n n n b
b
b
b
b
+-+---+=+++++++
212
1
2222(
)
22
2
n n n n n
n
n
n b b b
b b
b
b
--=+
++
+
+
++
1
2(222)222
n
n
n
n
n n
b n b n b +>+++=?=? ，
11
(2) 1.
2
2n
n n n
n
n nb b b a b ++-∴=
<
+- 当
11
2,2 1.
2
n n n b b a ++===
+时
综上所述
11
1.
2
n n n b a ++≤
+
13．（湖北理19） 已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，
且满足：1a a
=(0)a ≠，1n n a rS +=(n ∈N*，,1)r R r ∈≠-．
（Ⅰ）求数列
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若存在k ∈N*，使得1
k
S +，
k S ，2
k
S +成等差数列，是判断：对于任意的m ∈N*，且2m ≥，
1m a +，m a ，2m a +是否成等差数列，并证明你的结论．
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般
的思想。（满分13分） 解：（I ）由已知1,
n n a rS +=可得
21
n n a rS ++=，两式相减可得
2111
(),n n n n n a a r S S r a ++++-=-=
即21(1),n n a r a ++=+
又
21,
a ra ra ==所以r=0时，
数列
{}
n a 为：a ，0，…，0，…；
当0,1r r ≠≠-时，由已知0,0n a a ≠≠所以（*n N ∈），
于是由21(1),
n n a r a ++=+可得
2
1
1()
n n a r n N a *
++=+∈，
23,,,n a a a ∴+
成等比数列，
∴≥当n 2时，2
(1).
n n
a r r a -=+
综上，数列{}n a 的通项公式为2
1,(1),2n
n n a n a r r a n -=?=?+≥?
（II ）对于任意的*
m N ∈，且
12
2,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，证明如下：
当r=0时，由（I ）知，
,1,
0,2m a n a n =?=?
≥? ∴对于任意的*
m N ∈，且12
2,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，
当0r ≠，1r ≠-时，
2121
1
,.k k k k k k S S a a S a +++++=+++ 若存在*
k N ∈，使得112
,,k k S S S ++成等差数列，
则122k k k
S S S +++=，
12
2
1222,2,
k k k k
k k S a a S a a ++++∴++==-即
由（I ）知，
23,,,,m a a a
的公比12r +=-，于是
对于任意的*
m N ∈，且122,2,4,
m m m m m a a a a ++≥=-=从而
1212
2,,,m m m m m m a a a a a a ++++
∴+=即
成等差数列，
综上，对于任意的*m N ∈，且12
2,,,m m m m a a a ++≥成等差数列。
14．（辽宁理17）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I ）求数列{an}的通项公式；
（II ）求数列?
?????-12n n a 的前n 项和．
解：
（I ）设等差数列{}
n a 的公差为d ，由已知条件可得110,
21210,a d a d +=??
+=-? 解得11,
1.a d =??
=-?
故数列
{}
n a 的通项公式为
2.
n a n =- ………………5分
（II ）设数列1
{
}2n
n
n a n S -的前项和为，即
2111
,1
2
2
n n n a a S a S -=+
++
= 故，
12.
224
2
n n n
S a a a =+++
所以，当1n >时， 1
21
11
1
1
2
222
111
21(
)
2422
121(1)2
2
n n n n n n
n n
n n
S a a a a a a n n
------=+++
--=-+++
-
-=--
-
.
2
n
n
所以
1
.
2
n n n S -=
综上，数列1
1
{
}.
2
2
n
n n n a n n S --=的前项和 ………………12分
15．（全国大纲理20）
设数列{}n a 满足10a =且
11
1 1.
11n n
a a +-
=--
（Ⅰ）求
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
, 1.
n
n n k
n k b b
S ==
=
<∑记S 证明：
解：
（I ）由题设
1
1
11,
11n n
a a +-
=--
即
1{
}
1n a -是公差为1的等差数列。
又
1
1
11,.
11n
n a a ==--故
所以
1
1.
n a n =-
（II ）由（I ）得
11
n b ===
，
…………8分
1
1
1 1.
n
n
n k k k S b ===
=
-
=-
<∑
∑
…………12分
16．（山东理20） 等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何
两个数不在下表的同一列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n
n n
b a a =+-，求数列
{}n b 的前n 项和n S ．
解：（I ）当13
a =时，不合题意；
当12
a =时，当且仅当236,18
a a ==时，符合题意；
当
110
a =时，不合题意。
因此
1232,6,18,
a a a ===
所以公式q=3， 故
1
23
.
n n a -=?
（II ）因为
(1)ln n
n n n
b a a =+-
11
11
23(1)(23
)
23(1)[ln 2(1)ln 3]23
(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,
n n
n n n
n n
n
n n ----=?+-?=?+-+-=?+--+-
所以
21
222(133
)[111(1)](ln 2ln 3)[125(1)]ln 3,
n n
n
n S n -=++++-+-++--+-+-++-
所以
当n 为偶数时，
13
2ln 3
13
2
n
n n S -=?
+
-
3ln 31;
2
n
n =+
- 当n 为奇数时，
13
12(ln 2ln 3)(
)ln 3
13
2
n
n n S n --=?
--+--
13ln 3ln 2 1.
2
n
n -=-
--
综上所述，
3ln 31,212n n n n
n S n ?+-??=?
-???为偶数3-ln3-ln2-1,n 为奇数
17．（上海理22） 已知数列{}
n a 和
{}
n b 的通项公式分别为
36
n a n =+，27
n
b n =+（*
n N ∈），
将集合
**
{|,}{|,}
n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列
123,,,,,n c c c c
。 （1）求
1234
,,,c c c c ；
（2）求证：在数列{}
n c 中．但不在数列
{}
n b 中的项恰为
242,,,,n a a a
；
（3）求数列{}
n c 的通项公式。
解：⑴
12349,11,12,13
c c c c ===
=
；
⑵ ① 任意*
n N ∈，设
213(21)66327
n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即
2132
n n a b --=
② 假设
26627n k a n b k =+==+?*
132k n N
=-
∈（矛盾），∴
2{}
n n a b ?
∴ 在数列{}
n c 中．但不在数列
{}
n b 中的项恰为
242,,,,n a a a
。
⑶
3221
2(32)763k k b k k a --=-+=+=，
3165
k b k -=+，
266
k a k =+，
367
k b k =+
∵ 63656
66k k k k +<+<+<+ ∴ 当1k =时，依次有111222334
,,,b a c b c a c b c =====，……
∴
*
63(43)
65(42),66(41)67(4)
n k n k k n k c k N
k n k k n k +=-??
+=-?=∈?+=-??+=?。
18．（天津理20）
已知数列{}
n a 与{}
n b 满足：
1123(1)
0,2
n
n n n n n n b a a b a b ++++-++==
， *
n ∈N ，且
122,4
a a ==．
（Ⅰ）求345
,,a a a 的值；
（Ⅱ）设
*
2121,n n n c a a n N
-+=+∈，证明：
{}n c 是等比数列；
（III ）设
*
242,,
k k S a a a k N =++???+∈证明：4*
1
7()
6
n
k k k
S n N a =<
∈∑
．
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综
合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
（I ）解：由*
3(1)
,,
2
n
n b n N +-=
∈
可得
1,n n b ?=?
?为奇数2,n 为偶数 又
1120,
n n n n n b a a b a +++++=
123123234434543;5;4.
=-=-=当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a 当n=2时,2a +a +a =0,可得a 当n=3时,a +a +2a =0,可得a
（II ）证明：对任意
*
,
n N ∈ 2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,
n n n a a a ++++=
②
21222320,
n n n a a a +++++= ③
②—③，得
223.
n n a a += ④
将④代入①，可得21232121()
n n n n a a a a ++-++=-+
即*
1()
n n c c n N +=-∈
又
1131,0,
n c a a =+=-≠故c
因此
1
1,{}
n n n
c c c +=-所以是等比数列.
（III ）证明：由（II ）可得
2121(1)
k
k k a a -++=-，
于是，对任意*
2k N k ∈≥且，有 133********,()1,1,(1)() 1.
k
k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-
将以上各式相加，得121(1)(1),
k
k a a k -+-=--
即
1
21(1)
(1)
k k a k +-=-+，
此式当k=1时也成立.由④式得1
2(1)
(3).
k k a k +=-+
从而
22468424()()(),
k k k S a a a a a a k -=++++++=-
2124 3.
k k k S S a k -=-=+ 所以，对任意
*
,2
n N n ∈≥， 443424141
1
43
42
41
4(
)
n
n
k m m m m k m k
m m m m
S S S S S a a a a a ---==---=
+
++∑
∑
12221232(
)
222
2123n
m m m m m
m
m m m =+-+=
-
-
+
+++∑
1
2
3
(
)
2(21)
(22)(22)n
m m m m m ==
+
+++∑
2
253
23
2(21)
(22)(23)n
m m m n n ==
+
+
?+++∑
2
15
3
3
(21)(21)
(22)(23)n
m m m n n =<
+
+
-+++∑
15
1111113[()()()]3
235572121(22)(23)n n n n =
+
?-+-++-+-+++
155
1
3
36
221
(22)(23)
7.
6
n n n =+-
?
+
+++<
对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意
*
,
n N ∈
212121
2
212n n n n
S S S S a a a a --+++
+
32121241
2
3
4
21
2(
)()(
)
n n n n
S S S S S S a a a a a a --=+
++
+++
2
2
2
11121(1)(1)(1)
4124
4(41)4
(41)n
n
n
=-
-
+-
-
++--
---
2
22
11
12
1()(
)(
)4
12
4
4(41)
4
4(41)n
n n
n
n =-+
-+
--+
--
111
().4
12
3n n ≤-+=-
19．（浙江理19）已知公差不为0的等差数列
{}
n a 的首项
1
a 为a （a R ∈）,设数列的前n 项
和为
n
S ，且
1
1
a ，
2
1
a ，
4
1
a 成等比数列
（1）求数列
{}n a 的通项公式及
n S
（2）记1
2
3
1111...n n
A S S S S =
++++
，
2
1
2
221111...n
n B a a a a =
++++
，当2n ≥时，试比较n
A
与
n
B 的大小．
本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。
（I ）解：设等差数列
{}
n a 的公差为d ，由
2
2
14
11
1
(),
a a a =
?
得
2
111()(3)
a d a a d +=+
因为0d ≠，所以d a =所以
1(1)
,.
2
n n an n a na S +==
（II ）解：因为
1211()1
n S a n n =
-+，所以
1
2
3
111121(1)
1
n n
A S S S S a
n =
++
++=-
+
因为
11
22n n a a
--=，所以
2
1
1
2
2211()11111212(1).1212n n
n n
B a a a a a a --=
++
++
=?=--
当
1
2
2,21
n n
n n n n n C C C C n ≥=++++>+ 时，
即
1111,
1
2
n
n -
<-
+
所以，当0,;
n n a A B ><时
当
0,.
n n a A B <>时
20．（重庆理21） 设实数数列}
{n a 的前n 项和
n
S ，满足
)
(*
11N n S a S n n n ∈=++
（I ）若
122
,2a S a -成等比数列，求
2
S 和
3
a ；
（II ）求证：对14303k k k a a +≥≤≤≤
有
（I ）解：由题意22
21222221122,2,
S a a S S S a S a a ?=-=-?
==?得，
由S2是等比中项知220. 2.
S S ≠=-因此
由
23332
S a S a S +==解得 23222.
1
21
3S a S -=
=
=
---
（II ）证法一：由题设条件有11,
n n n n S a a S +++=
故
11111,1,,
1
1
n n n n n n n n S a S a a S S a ++++≠≠=
=
--且
从而对3k ≥有
112
11211
21
1121
1111.
1
1
1
1
1
k k k k k k k k k k k k k k k k a a S a S a a a a S a S a
a a a ---------------++-=
=
==
-+--++
-- ①
因
2
2
2
1111131()00
2
4
k k k k a a a a -----+=-
+
>≥且，由①得
k a ≥
要证4
3k a ≤
，由①只要证
2
1
2
114,
3
1
k k k a a a ---≤
-+ 即证
2
2
2
111134(1),(2)0.
k k k k a a a a ----≤-+-≥即
此式明显成立.
因此
4(3).
3k a k ≤
≥
最后证
1.
k k a a +≤若不然2
12,
1
k
k k k
k a a a a a +=
>-+
又因2
20,1,(1)0.
1
k
k k k
k a a a a a ≥>-<-+故
即矛盾.
因此
1(3).
k k a a k +≤≥
证法二：由题设知
111n n n n n
S S a a S +++=+=，
故方程
2
111
0n n n n x S x S S a +++-+=有根和（可能相同）.
因此判别式
2
1140.
n n S S ++?=-≥
又由
2212212121.
1
n n n n n n n n n a S S a a S a S a +++++++++=+=≠=
-得且
因此
2
2
2
2222
2240,340
1
(1)
n n n n n n a a a a a a ++++++-
≥-≤--即，
解得
24
0.3n a +≤≤
因此
40(3).
3
k a k ≤≤
≥
由110
(3)
1
k k k S a k S --=
≥≥-，得
111211
122
1
11(
1)(
1)1
1
1
1
0.
131
()24
k
k k k k k k k k k k k k k
k
k k k S S S a a a a a S a S S
S a a S
S S --+-------=
-=-=-----=-
=-
≤-+-
+
因此1(3).
k k
a a k +≤≥
高考等比数列专题及答案百度文库
一、等比数列选择题 1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34 B ．35 C ．36 D ．37 2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ． 503 B ． 507 C ． 100 7 D ． 200 7 4．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078 a a a a +=+（ ） A 1 B 1 C ．3- D ．3+5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 7．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件 11a >，66771 1, 01 a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a > B ．01q << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为7T 8．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N * ∈，m n m n a a a +=?，若 1262n a a a ++???+=，则n =（ ）
2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
历年高考数学真题精选25 等比数列
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题25 等比数列（学生版） 一．选择题（共6小题） 1．（2014?全国）等比数列4x +，10x +，20x +的公比为( ) A ． 1 2 B ． 43 C ． 32 D ．53 2．（2014?大纲版）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若23S =，415S =，则6(S = ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 3．（2014?重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是( ) A ．1a ，3a ，9a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列 D ．3a ，6a ，9a 成等比数列 4．（2014?上海）如果数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列，*2()n n b a n N =-∈，那么数列{}n b 是( ) A ．以q 为公比的等比数列 B ．以q -为公比的等比数列 C ．以2q 为公比的等比数列 D ．以2q -为公比的等比数列 5．（2013?福建）已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)n m n m n m n m b a a a -+-+-+=++?+，(1)1(1)2(1)n m n m n m n m a a a -+-+-+=?g g g e，*(,)m n N ∈，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m q B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2m q C ．数列{}n e为等比数列，公比为2 m q D ．数列{}n e为等比数列，公比为m m q 6．（2012?北京）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．1322a a a +… B ．222 1322a a a +… C ．若13a a =，则12a a = D ．若31a a >，则42a a >
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案
等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。 解：等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入（1） 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求： （1）求n n b a , （2）解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m
)1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥
(完整版)等比数列测试题含答案
§2.4等比数列练习 1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 2、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项． 3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=． 4、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③1 1n n a q a -=；④n m n m a q a -=． 5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2 n p q a a a =?． 一.选择题：1.下列各组数能组成等比数列的是（ ） A. 111,,369 B. lg3,lg9,lg 27 C. 6,8,10 D. 3,- 2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =（ ） A. 4 B. 2 D. 12 3.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知243546225a a a a a a ++=g g g ，那么35a a +=（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a =g g g g ，则m 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. “2 b a c =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题： 7.等比数列中，首项为 98，末项为13，公比为23 ，则项数n 等于 . 8.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 . 9.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则 22242628210log log log log log a a a a a ++++= . 10.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 . ① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ?????? ④ {} lg n a 三.解答题 11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +. 12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.
各地高考等比数列真题试卷(含详细答案)
等比数列练习题 一、选择题 1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S 5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.() (),01,-∞+∞ C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞ 答案 D 6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．101 22 - D ．11122- 答案 B 11.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） A.16（n --4 1） B.6（n --2 1） ,,a b c ,,c a b
等差数列经典题型
等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d ＝2,a n ＝11, S n ＝35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7＝7, S 15＝75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45 n ＋3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10＝4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4
6、已知等差数列{a n}中,a23＋a28＋2a3a8＝9,且a n<0,则S10为() A.－9 B.－11 C.－13 D.－15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3＝9, S6＝36.则a7＋a8＋a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90,a2＋a4＋…＋a2n＝72,且a1－a2n＝33,则该数列的公差是() A.3 B.－3 C.－2 D.－1 10、设{a n}是公差为－2的等差数列,如果a1＋a4＋…＋a97＝50,那么a3＋a6＋…＋a99＝______. 11、在项数为2n＋1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时，S n na i n ⑵当q 1时，5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列 等比中项：a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列 通项公式：a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * ， q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0，首项：a 1;公比：q 推广：a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项： （1）如果a, A, b 成等比数 那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（ （2）数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义：对任意的 都有a n 1 qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0） {a n }为 a n
6、等比数列的证明方法: 依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 1 7、等比数列的性质： (2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。特别的，当m n 2k 时，得 2 a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式
等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，
数列教案、考点、经典例题_练习
澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以 成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！ 高中数学 一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。 一.基本问题 例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：
四川成都外国语学校等比数列单元测试题含答案doc
一、等比数列选择题 1．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） A ． 19 B ． 17 C ． 13 D ．7 2．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2± B ．2 C ．3± D ．3 3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于122，若第六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1 122f - B ．第三个单音的频率为1 42f - C ．第五个单音的频率为162f D ．第八个单音的频率为1 122f 4．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 5．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->， 1021031 01 a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ） A ．102 B ．203 C ．204 D ．205 6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件 11a >，66771 1, 01 a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a > B ．01q << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为7T 7．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）
2017年高考试题分类汇编(数列)
2017年高考试题分类汇编（数列） 考点1 等差数列 1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=， 648S =，则{}n a 的公差为 C A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则 4a =____．8- 2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知 374S = ,6634 S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯 B A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 考法3 等差数列与等比数列综合 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A A ．24- B ．3- C ．3 D ．8
人教课标版高中数学必修5典型例题剖析：等差数列的通项与求和
等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若 a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .
新课标高考数学题型全归纳：等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题
等比数列与等差数列概念及性质对比 1．数列的定义 顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列． 数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的． 数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义 顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列． 这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质． 3．等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具． 从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系． 4．等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是： 2b a A + =，或2 A=a＋b． 显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或 2b a A + =）是判断三数a，A，b成等差数列 的一个依据，并且，2 A=a＋b（或 2b a A + =）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或 2b a A + =）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列． 5．等差数列前n项的和
等差等比数列练习题及答案
等差 、 等比数列练习 一、选择题 1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135 D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ） A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2 +n n ，则前n 个奇数项的和为（ ） A ．)1(32+-n n B ．)34(2-n n C ．2 3n - D ． 3 2 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 二．填空题 1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = . 2、等差数列{}n a 中，若2 32n S n n =+，则公差d = . 3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是
等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( ) A．a n＝2n－5 B．a n＝3n－10 C．S n＝2n2－8n D．S n＝1 2 n2－2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n}满足，a n＋1＋2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项的和等于( ) A.1－210 3 B．－ 1－210 3 C．210－1 D．1－210 3．已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠－1，且a5＋a4＝3(a3 ＋a2)，则9 a1a2a3…a9等于( ) A．－9 B．9 C．－81 D．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( ) A．－12 B．－10 C．10 D．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，S3＝9，且a2－1，a3－1，a5－1构成等比数列，则S5＝( ) A．15 B．－15 C．30 D．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，S n的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要
见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则此人第4天走的里程是________里． 8．(2019·雅礼中学调研)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________． 三、解答题 9．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9 ＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式； (2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 10．已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：S n ＜ 163 . B 级 能力提升 11．(2019·广州调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3 (n ∈N * )的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．23－2 D.92 12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a ·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足2a n －1
小学奥数等差数列经典练习题
小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1，3，5，7，10，13，16……5，8，11，14，17，20…… 1，5，9，13，17，21，23…90，80，70，60，50，……20，10 二、求等差数列3，8，13，18，……的第30项是多少 三、求等差数列8，14，20，26，……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几 4、求等差数列46，52，58……172共有多少项 5、求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项 6、求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几在这个数列中，2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数，最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这1个等差数列的第10项是多少 1、计算：100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4
等差等比数列练习题(含答案)
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ）
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