7.3根号2是有理数吗(第二课时) Microsoft Of

【学习目标】

1.理解2、3、5、7等无理数的几何意义。

2.能在数轴上或平面直角坐标系中标出表示2、3等无理数的点。

3.能用尺规作图作出长度为无理数的线段，进一步学习使用数形结合思想，培养建模意识。

重点：无理数2、3、5、7等的几何意义；

难点：用数轴上的点表示无理数.

【知识准备】

1、数轴的三要素是什么？画出一条数轴.

2、求出下列图形中线段c的长度

【学习新知】

活动一：探究2等无理数的几何意义

1、已知：单位长度为1的线段

（1）你能作出长度为2的线段吗？5的呢？

（2）想一想，怎样作出长度为3的线段呢？

（3）请你作出长度分别为7和10的线段.

( 思考：像2等无理数的几何意义是什么？你是利用什么知识作图的？你是怎样构造直角三角形的？)

活动二、在数轴上标出表示2、3等无理数的点

我们已经知道有理数可以用数轴上的点表示，那么数轴上的点只能表示有理数吗？如图四边形ABOC是边长为1的正方形，OC在数轴上，以点O为圆心，线段OA的长度为半径画狐，与数轴交于点E，计算线段0A= ,则OE= 。点E表示的数是。

你能在数轴上标出表示3的点吗？5、7、10呢？开动脑筋试一试

吧。

（概括：数轴上除去表示有理数的点以外，其他的点表示的数都是无理数.）

【典型例题】]

例2、如图方格纸上每个小正方形的边长都是1.

（1）分别求出点A到B、C、D、E、F各点的距离.

（2）以A、B、C、D、E、F中的任意三个点为顶点作三角形，有没有等腰三角形？如果有，写出这些三角形.

(3)以点B为圆心，BD为半径

的圆，还经过方格纸上的哪些

格点？如果有，把它们描出

来，标上字母，并说明理由.

【巩固练习】

1、课本第54页“练习1、2”.

2、下列说法：（1）有理数都是有限小数. （2）有限小数都是有理数.（3）无理数都是无限小数.

（4）无限小数都是无理数.

其中正确的为______________________________。

5、一个面积为13cm2的正方形，它的边长是________

【课堂总结】

本节课学习了哪些内容？

【达标检测】

1、判断正误：

（1）所有的无理数都能用数轴上的点表示。（）

（2）数轴上的点都表示无理数。（）

2、如图所示，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在△ABC中边长为无理数的边有（）条。

A、0

B、1

C、2

D、

3、已知正数m满足m2=39，则m的整数部分是

_________

4、如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在三个方格纸中分别画出一个三角形，使第一个三角形有一条边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无理数，第三个三角形的三条边长都为无理数。

【补偿练习】

《配套练习册》本课

时习题

怎样证明根号2是一个无理数

怎样证明2是一个无理数 2是一个非常著名的无理数， 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a, b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2 c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行 的.222b a =改写成a a b ?= 22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2 a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与 b ，这与(a,b )=1矛盾. 证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾. 证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n s n s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1 都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.

探究根号2的近似值

探究2近似值教学设计 教学目标 （1）知识与技能 1、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值? 2、会用计算器求一个数的算术平方根，理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平 方根扩大（或缩小）的规律。 3、体验无限不循环小数的涵义，感受存在着不同于有理数的一类新数。 （2）过程与方法 让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握用“逐次逼近法”求一个数的近似值，理解这种对数进行分析、猜测、探索的方法。 （3）情感、态度与价值观 通过用有理数逼近2的大小的方法，让学生体验数学学习中方法的重要性，培养学生的计算能力和对于夹值法求一个数的近似数的能力，通过探究活动培养学生 的动手能力和激发学生学习数学的兴趣。 教学重点、难点 重点：夹值法及估计一个（无理）数的大小。 难点：夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想方法。 关键：正确理解无限不循环小数的概念及它和无限循环小数的区别与联系。 突破方法：用从两端逼近法得到2的近似值，用计算器求一个数的算术平方根的方 法。 教法与学法

教学方法：指导、讨论、讲练结合。通过指导使学生理解通过夹值法确定一个数的 范围，根据范围求一个数的近似值的方法。 学习方法：自主学习，合作探究，归纳方法。使学生通过计算领会用夹值法求一个 无限不循环小数的近似值的方法，在自主探究的基础上，通过小组合作、相互质疑、 共同探究，使认识得到深化。 教师准备：多媒体课件 学生准备：计算器、夹值法的运用 教学过程 一、回顾与思考 （学生一起回答） 我们已经知道，正数x满足x2=a,则称x是a的算术平方根。当a恰是一个整数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如22=4.但当a不是一个整数的平方数时，它的算术平方根又该怎样求呢？例如大正方形的边长等于多少呢？ 二、复习引入 活动一 问题1：究竟有多大？ 请大家判断一下以下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 因为3个正方形的面积分别为1、2、4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正 方形边长就大。 问题2：大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？ 因为a2>1且a2<4,所以a肯定比1大且比2小，可以表示为12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69， 1.42=1.96，1.52= 2.25等等，而a2=2,故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4 三、新授过程

初中数学_根号2是有理数吗第一课时教学设计学情分析教材分析课后反思

八年级下册第七章实数第三节2是有理数吗（第一课时） 教学设计 《7.32是有理数吗（第一课时）》来源于九年八年级下册第7章第3节。这是一节概念课，所以我把这节课的重心放在探究活动上，也就是探究2是无理数和无理数与有理数概念的辨析。教学设计如下： 一、复习导入环节 1. 复习有理数的分类，主要是让学生回顾有理数按整数，分数分类。 2. 练习题，将下列各数填在适当的括号内。这样设计的目的是加深对有理数概念，分类的理解，另外设计了0.262662666…（每两个2之间依次多一个6）这个数。有的学生可能错把这个数当成分数或有理数，课堂上，我抓住这个错误，让一名优秀的学生做了解释，它是无限不循环小数。这个数自然而然成为了学习无理数的切点，导入新课。 二、合作探究环节 我把这部分的要求展示在课件上，学生能做到心中有数。分为三部分：自主学习、合作探究、小组展示。 导学案我是这样设计的： 探究一：无理数的定义 探究二：构造2 探究三：说明2是无限不循环小数 探究二中，通过求腰长是1的等腰直角三角形中斜边ＡＣ的长度，构造新数2。紧接着，探究2到底是一个什么样的数。通过证明它不是整数不是分数，得出它不是有理数。又借助计算机，求出2小数点后的十分位和百分位，让学生感受到2是无限小数，并且小数位数没有规律，得出2是无限不循环小数，也就是无理数。 我又通过课件展示了2更多的小数位数，加深了学生对2是无限不循环小数的认可。进而，找到了3，π……等更多的无理数。这里设计了填空和选择题，巩固概念。这时，

再让学生总结无理数的一般形式就水到渠成了。后面设计了６个判断题，目的是区分无理数和有理数的概念。 通过对教材资源的整合，我设计了这样三个环节。我感觉这样更符合学生认识规律，学生更易于理解接受 三 、小结 归纳这节课的知识点，说出心中疑惑。学生提出问题 32+π是不是无理数。 四、达标侧评环节 这一环节设计了选择题和判断题，目的巩固学生对无理数概念的掌握和无理数与有理数定义的区分。 最后，评选得分最高的小组，并鼓掌鼓励。 由于运用了新课程教学方法和理念，知识从不同的方向得到了渗透。基本完成了课前制定的教学目标和教学要求，为进一步的深入理解打下了基础。 八年级下册第七章实数第三节2是有理数吗（第一课时） 学情分析 一、学生年龄段分析 ： 1.记忆力强 初中阶段是学生思维发育的黄金时期，记忆力强。这为我们的教学带来很大的好处，

带根号的数未必是无理数

带根号的数未必是无理数 鹿泉市获鹿镇第三中学 崔怀平 在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到：“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。”接着引出定义：“无限不循环小数又叫无理数。”例如： 2，3，是无理数，π=3.14159265......,也是无理数。时间一长， 有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。 无理数的定义是：“无限不循环小数叫无理数”。最本质特征是无限不循环。 我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理 数。但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率=3.14159265．．．．．．，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它是一个比值。还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数；它是通过求极限的方法得到的。还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如：0.101001000…..，（构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个），显然这个数是无限不循环的小数，也是一个无理数。就是说无理数并不都是开方开不尽而得来，还有其他方式可以形成无理数。 另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如：2、45、33等，但不是带根号的数就一定是无理数。例如：35 2++35 2-，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。现在证明一下：设x= 35 2++35 2- 两边3次方得：3x= 3 3 35 2 5 2? ? ? ? ?- + + = 3 35 2? ? ? ? ?++3? ? ? ? ? ?+ ? 2 35 235 2-+3? + ?35 2 2 35 2? ? ? ? ?-+

初二数学活动课教案(根号2有多大)

初二上中学数学活动实践课——2有多大？（共2课时） 一、活动目标 1、通过拼图活动，让学生感觉无理数产生的实际背景和学习 它的必要性。 2、了解数轴上点与实数—一对应，能用数轴上的点来表示无 理数。 3、进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在实际 生活中大量存在，并对无理数产生感性认识。 二、活动重点：明确数轴上的点与实数—一对应并能用数轴上的点来 表示无理数。 三、活动难点：用数轴上的点来表示无理数。 四、教具准备： 1、用硬纸板剪制若干个直角三角形，坐标纸一张，三角板，计 算器 2、多媒体课件 五、活动过程创 一、设情境，引入课题 （出示图片）一组由直角三角形所组成的图形。 问：这个图形是由哪些基本图形所组成的。 前面我们已经认识了直角三角形，哪位同学能告诉我们直角三角 形有什么特点吗？（有一个角是90度） 很好，我们知道了直角三角形中一个角是90度，那么直角三角 形还有其它的特点吗？它的三条边有什么样的关系呢？ 二、探究新知 活动一：让学生在坐标纸上画一个三角形，要求两条直角边分别长3 和4厘米的 直角三角形，然后用直尺量出斜边的长c

设问：和b，斜边为c，则a、b、c的关系怎样？引导学生说出三者之间的关系：a2＋b2=c2指导学生叙述这个猜想：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。（即勾股定理） 验证猜想：让学生作图验证猜想。 （1）作一个直角三角形，其两直角边分别为6、8，验证斜边长。 （2）作一个三边长为5、12、13的三角形，先计算三边中较短两边的平方和及大边的平方，再测大边所对的角。 （3）量一量自己的直角三角板的三边的长，计算一下，看看是否也满足这个特点。 （4）量一量教具两直角长1分米的等腰直角三角形的三边的长，计算斜边的长。（2） 三、运用新知 活动二：你能估计2的大小吗？它在一个什么范围内？越精确越好？ （1）鼓励学生借助计算器探索2的整数部分是几？十分位是几？百分位部分是几呢？千分位呢？…… （2）出示某一位同学的结果。让学生把自己整理的结果与此对比。（3）你能用平方关系验算所得的结果吗？用验算的结果你发现了什么问题呢？ （4）如果用计算机计算2，结果如何了？（可能会让你大吃一惊）活动三：你能在数轴上找到表示2的点吗？画的一画，说说你的方法。 请同学们把准备好的两个边长为１分米的正方形拿出来，每一小组为一组，分别沿着它的一条对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，

初二证明(一)

如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？ 古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。 单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。 中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。 当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。 根号2是无理数，我们证明到了。根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus 曾证明它们也是无理数。但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？一个俄国的数学历史家“猜”到了原因。 他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的。比如，要证明根号x不是有理数，于是p^2=x*q^2。我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数。一个奇数2n+1的平方应该等于4(n^2+n)+1，也即8 * n(n+1)/2 + 1，其中n(n+1)/2肯定是一个整数。如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p^2=x*q^2，有8[k(k+1)/2 - x*m(m+1)/2] = x-1。于是x-1必须是8的倍数。如果当时Theodorus 是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论，如果x-1不能被8整除，那么它不可能被表示成(p/q)^2。好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数。在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数。而当x=17时这种证明方法没办

经典证明：几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有： 我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。 这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设α 和β 都是代数数，如果α 不等于0 和1 ，并且β 不是有理数，那么α 的β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。 那么，是否存在一个无理数a ，使得a 的a 次方是有理数呢？最近，Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有(1, ∞) 里的有理数都是某个无理数a 的 a 次方。 注意到当x 大于1 时，函数f(x) = x x是连续单调递增的，因而对于所有(1, ∞) 里的有理数r ，一定存在唯一的a ，使得a a = r 。不妨假设a 是一个有理数，它的最简分数形式是n / m 。如果m = 1 ，那么我们会有平凡解n n = r 。下面我们证明，m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。 假设有理数r 的最简分数形式是c / b ，于是我们有： (n / m)n / m = c / b 或者说： n n · b m = m n · c m 注意到，m n是n n · b m的约数。然而，m 和n 是互质的，m n与n n没有公共因子，因而m n一定是b m的约数。同理，b m是m n · c m的约数，但由于b

根号二故事

根号二的故事 古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯，他对数学的研究是很深的，对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。 当时他成立“毕达哥拉斯学派”。其中有这样一个观点：“万物皆数”，他们认为：“人们所知道的一切事物都包含数，因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物”。其中，毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，而分数是被看作两个整数之比，他们相信宇宙万物总可以归结为简单的整数和整数之比。 毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫勾股定理。可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。 毕达戈拉斯的一个学生西伯斯他勤奋好学，善于观察分析和思考。一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？”他根据毕达戈拉斯定理，发现了正方形的对角线与边的长度之比不能用整数或整数之比（即现在所说的有理数）表示，也就是找不到一个数（指整数或整数之比，即有理数）使它平方后等于2，即正方形的对角线和边的不可公度性（所谓线段的可公度性是指：对于两条给定的线段，能找到某第三条线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分成整数段）。 他既高兴又感到迷惑，根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号 2 是一种新数，否则，这就动摇了他们“万物皆数”的根本信念，整个学派的理论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。 西佰斯在毕达戈拉斯的高压下，心情非常痛苦，在事实面前，通过长时间的思考，他认为根号2 是客观存在的，知识老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观有问题。后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，整个学派顿时轰动了，也使毕达戈拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”。决定对西伯斯严加惩罚。西伯斯听到风声后，连夜成船逃走了。然而，他没想到，就在他所成坐的海船后面追来了几艘小船，他还正憧憬着美好的未来，当他还未醒悟过来的时候，毕达戈拉斯学派的打手已出现在他的面前，他手脚被绑后，投入到了浩瀚无边的大海之中，他们要把他发现的秘密和他们的困惑一起抛入大海，永不泄露，他为根号2的诞生献出了自己的宝贵的生命！ 然而，真理是不会被淹没的。人们很快发现不可公度并非罕见：面积等于3，5，6，…，17的正方形的边与单位正方形的边也不可公度。新的问题促使人们重新认识曾经被看成是完美无缺的有理数理论，数学发展出现了“第一次危机”，这次危机使毕达哥拉斯学派迅速瓦解。随着对于数的认识的发展，无理数终于在人们心口中取得了合法地位，并逐渐发展了实数的严格理论，也使数学本身发生了质的飞跃。 人们会永远记住西伯斯，他是真正的无理数之父，他的不谓权威，勇于创新，敢于坚持真理的精神永远激励着后来人！关于实数的理论现在已广泛应用于科学技术和口常生活之中。不过用“√”的符号表示平方根却是在16世纪由法国数学家笛卡儿（Descartes，1596—1650）首先采用的，那时离发现是无理数已有两千多年了。

七年级数学下册6.3实数《根号2的近似值》素材新人教版

无理数2的近似值 虽然发现“2是无理数”应该归功于“万物皆数”的毕达哥拉斯（Pythagoras 约580-500 BC ）及其学派成员，但是关于2的近似值，历史上不同时期有不同的计算方法. 1古巴比伦人的贡献 1.1 计数的进位制 公元前二千多年的古巴比伦王国时代，人们计数采用的是60进制.而当时的美索不达米亚人就有表示平方、平方根、立方和立方根的数表.当方根是整数时，给出的是准确值，对于其他的方根，相应的60进制数值只是近似的. 1.2 使用的公式 古巴比伦人在计算高为h 宽为w 的矩形对角线d 时出现了平方根.他们使用的公式是 h w h d 22 +≈.曾有一个问题是求给定宽和高的一扇门的对角线，他们当时给出的解答并未说明 公式的来历，只是使用了这个近似公式.这个公式在h ＞w 时是求d 的很好的近似值. 1.3 2的近似值 耶鲁大学收藏了一块当时的古巴比伦人的泥板，上面是标有数字的正方形，其中数30表示正方形的边长，而对角线上的两个数字分别表示对角线长和2的近似值，在这里2是准确到60进制的三位小数，即414213.160 10 605160241232≈+++ ≈，这是有关2的最早的结果. 另外，大约在公元前六世纪，印度的婆罗门教的经典《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与 测量部分《绳经法》（sulvasutrus ）中关于正方形祭坛的对角线计算公式中取 414215686.1) 34)(4)(3(1 )4)(3(13112=-++ =，这里所有的分数都是单位分数. 2 渐近分数法——欧几里得《原本》中的发现 柏拉图(Plato 400 BC)指出，在毕达哥拉斯学派成员之前就有对正方形边和对角线方面的研究，但是作为理论最早出现在欧几里得《原本》中. 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上截取与边长相等的线段CE ，然后以AE 为边长做正方形AEFG ，再在AF 的延长线上截取FH=AE ，再以AH 为边做正方形AHIJ ……如此下去我们得到如下的费波那契数列，并令111D S ==

根号2是无理数的8种证明

1 2是无理数的8种证明 南京师大附中江宁分校 叶军 2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.“危机”过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好见证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面悬挂着许多有趣的方法，从中可以窥见数学的趣味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，以体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ?=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a

2017年春季学期新版青岛版八年级数学下学期7.3、根号2是有理数吗、无理数“π”的计算小史素材

无理数“π”的计算小史 几千年来，人们为了寻求圆周率π的越来越精密的近似值而付出了巨大的心血。 起初，人们通过经验和实例得到了粗略的π值。第一个以科学方法计算π值的是古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年），他用正多边形来逼近圆周，得到22322717 π<<。 中国古代数学家在圆周率计算方面有着卓越的成就。公元3世纪，刘徽创造了一种比阿基米德更巧妙的方法，他算出圆周率π157 3.1450 ≈=，现在叫做“徽率”。南北朝时代的祖冲之（公元429—公元500）得到3.1415926 3.1415927π<<，并得到了圆周率的另外两个近似分数：227π≈和355113 π≈，前者称为“约率”，后者称为“密率”。 祖冲之的记录保持了将近一千年。1430年，阿拉伯数学家阿尔?卡西才算得π的准确到小数点后14位的近似值。到16世纪，德国人奥托和荷兰人安托尼兹又重新计算出密率355113 π≈。 文艺复兴以后，欧洲数学家用无穷级数法代替正多边形逼近的几何方法，使圆周率的计算更为简捷。用手工计算π值的最高记录是1946年英国人弗戈森创造的，他将π的值准确到小数点后620位。 进入电脑时代，圆周率的计算更是突飞猛进。1949年，科学家们在一台电子计算机ENIAC 上将π值准确到2 035位小数。1989年，美国哥伦比亚大学查德诺夫斯基兄弟在计算机上算出π值的4.8亿位可靠数字，将这些数字印出来长达数百公里！而到了1999年，日本学者金田安政及其合作者在一台日立SR —800计算机上，算得的π值竟准确到2 061亿多位。现在，计算π的近似值已成为测试计算机运行速度和精确度的一个重要指标。

有关有理数与无理数的证明

狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式 本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明 √2代表根号2 证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程 前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数 3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数 命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数 X为任意无理数 则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题1成立 命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数 则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题2成立 命题3：√2为无理数 证明：假设命题不成立 则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2=(p*p)/(q*q) 则p必须是偶数 ∵p/q是既约分数 ∴q是奇数 ∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)

《根号2是有理数吗》第二课时习题

一．选择题 1．如图，在数轴上表示的点可能是（） A．点M B．点N C．点P D．点Q 2．如图，数轴上A．B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（） A．a＜b B．a=b C．a＞b D．ab＞0 3．估计的值（） A．在2到3之间 B．在3到4之间 C．在4到5之间 D．在5到6之间 4．下列说法正确的是（） A．（）0是无理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是有理数 5．下列各数中，是无理数的是（） A．0 B．﹣2 C． D． 6．如图，在数轴上点A，B对应的数分别为a，b，则有（） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．＞0 7．在0，﹣，，﹣2中，最小的是（） A．﹣2 B．﹣ C．0 D． 8．估计的值在（） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 9．下列哪一选项的值介于0.2与0.3之间？（） A． B． C． D． 10．下列各数中，比0小的数是（）

A．﹣1 B．1 C． D．π 11．下列各选项中，既不是正数也不是负数的是（） A．﹣1 B．0 C． D．π 12．下列各组数中互为相反数的是（） A．﹣3与 B．﹣（﹣2）与﹣|﹣2| C．5与 D．﹣2与 13．下列整数中与最接近的数是（） A．2 B．4 C．15 D．16 二、填空题 14．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b= ．15．写出一个大于1且小于2的无理数． 16．比较大小：2 （用“＞”或“＜”号填空）． 17．一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数与之间．18．在﹣2，2，这三个实数中，最小的是．

答案： 1．解：∵12.25＜14＜16，∴3.5＜＜4，∴在数轴上表示实数的点可能是点P．故选C． 2．解：∵b在原点左侧，a在原点右侧，∴b＜0，a＞0，∴a＞b，故A．B错误，C 正确；∵a、b异号，∴ab＜0，故D错误．故选C． 3．解：9＜=11＜16，故3＜＜4；故选B． 4．解：A．（）0=1是有理数，故本选项错误，B．是无理数，故本选项错误，C．=2是有理数，故本选项错误，D．=﹣2是有理数，故本选项正确．故选D． 5．解：0、2是整数，是分数，故A．B．D均是有理数；是开方开不尽的数，故是无理数．故选C． 6．解：∵由数轴上a、b两点的位置可知，a＜0，b＞0，|a|＜b，∴A．a+b＞0，故本选项正确； B．a﹣b＜0，故本选项错误；C．ab＜0，故本选项错误；D．＜0，故本选项错误．故选A． 7．解：∵正数大于0和一切负数，所以只需比较和﹣2的大小，因为|﹣|＜|﹣|，所以最小的数是﹣2．故选A． 8．解：∵＜＜，∴3＜＜4，故选：C． 9．解：A．===2.2＞0.3故选项错误； B．===0.22×＞0.3，故选项错误； C．===0.22，0.2＜0.22＜0.3，故选项正确； D．===0.022×＜0.2，故选项错误．故选C． 10．解：∵π＞＞1＞0＞﹣1，∴比0小的数是﹣1．故选A． 11．解：由正负数的定义可知，A是负数，C．D是正数，B既不是正数也不是负数．故选B．

根号2的大小

13.1.3 2的大小 北京市永丰中学钱健学习目标： 1、探究2的过程中理解2不是整数、不是分数、是无理数； 2、理解2、 3、5、7等这样的非平方数的算术根可以表示一个数； 3、探究算术根的增减性，会用有理数估算2、3、5、7等的近似值； 教学目标1、知识与技能：理解2不是整数、不是分数、是无理数；理解2、3、5、7等这样的非平方数的算术根可以表示一个数；会用有理数估算2、3、5、7等的近似值；会比较两个算术平方根的大 小； 2、过程与方法：通过探究活动理解2是无理数，了解无理数的估算 方法； 3、情感态度价值观： 教学 重点 1、对2的认识； 2、比较无理数的大小； 教学 难点 2的估计方法. 问题与情境师生行为设计说明 活动1：探究：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？ 那这个大正方形的边长是多少呢？ 设这个大正方形的边长为x，则 X2=2 X=2 所以大正方形的边长是2. 如果正方形的面积是3、5、7，则正方形的边长分别是多少？ 学生分组 讨论，教师引 导学生解释 说明大正方 形面积为2. 对学生中 好的作法给 予表扬，并选 择典型作法 分析. 学生通过 观察总结被 第一个探究活动，要 求学生动手操作.这 个问题也是已知面积 求边长的问题，与前 面不同的是这个面积 的值不是完全平方 数，因此它的边长只 能用算术平方根的符 号，即2表示.这样， 通过一个拼正方形的 探究活动，引出了 2. 研究2大小的过 程中应用了以下结 论：若a＞b＞0，则

通过比较，我们发现： 2 3572357＞＞＞而， ＞＞＞ 因此，被开方越大，算术平方根越大；反之同样成立. 活动2：探究 2有多大呢？ ∵1＜2＜3＜4 ∴1＜2＜3＜2； ∵（1.1）2=1.21,……（1.4）2=1.96 （1.5）2=2.25,……. ∴1.4＜2＜1.5； …… 如此进行下去，可以得到2的更精 确的近似值.事实上， 2=1.4142156…，它是一个不循环小 数. .236.25732.13414.12≈≈≈；； 例题2：估算2-27的值在哪两个 整数之间. 活动3：生活中，我们经常遇到估计一个数的大小的问题. 例题3：小丽想用一块面积为400cm 2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2.不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积较大的纸片裁出一块面积较小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求开方数与算术平方根的增减性关系. 教师讲授， 学生听讲. 教师用计 算器演算 532、、等 数. 学生根据题意完成方程. 教师引导学生关注无理数比较大小的方法. 0b a ＞＞，这一点 书中并没有明确指出，但学生容易产生疑问并对直接影响对估计2这种方法的理解，因此有必要再此让学生了解并体会这个结论. 对于估算2的方法，学生理解起来有一定的困难，因此教学中要让学生动手经历这个过程，重点是让学生结合具体数据感受无限不循环小数的意义. 学生需要记忆常用的三个无理数的近似值. 例2是对夹逼法的简单应用. 会用有理数估计无理数的大小也是本章的教学要求.例题3结合一个实际问题的背景，给出了一种常见的用有理数估计无理数的方法.例3体现了数学知识的实际价值，也是学生感受到估算能力是生活中需要的一种能力.

(完整word版)证明根号2为无理数的方法

试证明2是无理数. 证明：易知2是方程022=-x 的一个根，设它有有理根,a b 即)0(2≠=a a b 先证明一个引理：若整系数方程： 0...02211=+++++--a ax x a x a x a n n n n )0(0≠?a a n 有有理根p q 0(≠pq 且q p ,互质)，则有： p a n ，q a 0. 证明：把p q x =代入原方程，得： 0...02211=++??? ? ??++???? ??+???? ??--a p q a p q a p q a p q a n n n n ，两边同乘n p ，得: .00...0122211== +++++----n n n n n n n n p p a aqp p q a p q a q a 那么，由于0≠p ，所以一定有0p ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a p +++++---- 由于n p p p ,...,,2都满足被p 整除，那么有：n n q a p ，又因1),(=q p ，所以有： .n a p 同理，由于0≠q ，所以一定有0q ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a q +++++---- 由于n q q q ,...,,2都满足被q 整除，那么有：n p a q 0，又因1),(=q p ，所以有： q a 0. 回到原命题，由于0)2(1≠-?，1)2,1(=-，所以方程022=-x 的有理根 a b 满足： 1a ，2-b .22,1±=?±=±=?a b b a 经检验，2±都不是方程022=-x 的根，那么022=-x 无有理根，即2为无理数. ...D E Q

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明 是一个无理数 2 2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点. a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b 其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、 a 2 b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数. a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a , b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 a a 2 b 2 b 是偶数，设 a=2 c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底. 证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2 因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾. 证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此 a 2 b 2 2 2 2 ， 存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾. 证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地 写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 1 m n

2017八年级数学复习资料：无理数的定义

2017八年级数学复习资料：无理数的定义 2017八年级数学复习资料：无理数的定义 知识点总结 1无理数的定义 无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。 初一数学阶段接触到的无理数主要有无限不循环小数、开方开不尽的数、含有圆周率π的代数式。 2有理数和无理数的区别 实数分为有理数和无理数。有理数和无理数主要区别有两点： 1）把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=40；4/=08；1/3=03而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=14142，π=3141926，根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数． 2）所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数” 精选问题

【例题1】 原命题：“两个无理数之积，一定是无理数”。 否命题：＂至少有一个数不是无理数的两数之积，一定不是无理数＂。否定：＂两个无理数积，不一定是无理数＂。 或＂至少存在两个无理数之积，不是无理数＂。 否命题中＂一定不是＂能否换成＂不一定是＂？为什么？ 【例题2】 下列语句正确的是： A有理数与数轴上的点一一对应 B两个无理数的和一定是无理数 两个无理数的商不一定是无理数 D任何实数都有倒数 【例题3】 1两个无理数的和与积都是有理数，这两个无理数可以是 2如果两个不是互为相反数的无理数的和是有理数，则这两个数可以是 无理数概念 无理数是无限不循环小数。如圆周率、√2(根号2)等。 有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如22/7等。 实数(real nuber)分为有理数和无理数(irratinal nuber)。 有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数); 也

阅读与思考——根号2不是有理数

《阅读与思考——为什么不是有理数》教学设计 2 广河一中马维俊 一、教材分析 本节内容是人教版数学七年级下册第六章《阅读与思考》的内容，是在学完了实数之后，专门安排的一节阅读课，旨在提升学生对无理数的理解。 二、学情分析 学生学完了本章内容后，对实数有了很好的理解，尤其对无理数和有理数从概念上有了认识，本节课的内容的学习会让学生对无理数有更深的理解。 三、学习目标 1.理解有理数可以用分数来表示，并能将有限循环小数化为分数。 2.通过用反证法证明2不是有理数，进而加强对无理数的理解。 3.通过本节课的学习，认识无理数并非“无理”，而是对客观世界存在的量的反映 四、重点难点 重点：理解“2不是有理数，但和有理数一样反映客观世界中的量”。 难点：用反证法证明2不是有理数。 五、教学方法

老师引导为主，学生合作探究学习和自主学习。 六、教学过程 （一）毕达哥拉斯学派——万物皆数 公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，当这一学派的希帕索斯发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，即2不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惶恐不安。由此，引发了第一次数学危机。 （二）学生活动——面积为2 dm2的正方形的边长 问题：能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？你知道这个大正方形的边长是多少吗？ 学生活动：动手操作，并得出大正方形的边长是2dm。 思考：2有多大呢？它是有理数吗？ （三）回顾——有理数与无理数 回顾之前学过的内容，回答下面问题： 1.什么是有理数？ 2.么是无理数？ 要点结论：有理数可以表示两个互质的整数的比（分数）的形式。 （四）探究——有理数化分数 思考：如何将有理数化为分数的形式？ 1.有限小数化为分数